Metrica

η. Ἔστω δὲ στερεὸν μετρῆσαι ὑπὸ εὐθυγράμμων περιεχόμενον ἐπιπέδων, οὗ βάσις ἔστω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἤτοι ὅμοιον τῷ ΑΒΓ∠ ἢ μή. καὶ κείσθω τῇ μὲν ΕΖ ἴση ἡ ΑΚ, τῇ δὲ ΖΘ ἡ ΒΛ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΒΚ ΓΛ δίχα τοῖς Φ, Χ καὶ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΥ, ΦΜ, ΛΝ, ΧΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ ΗΡ ΛΗ ΗΝ ΘΝ. τὸ δὴ εἰρημένον στερεὸν ἔσται κατατετμημένον εἴς τε στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΡ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΗ, καὶ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, [*](4 supplevi litt. evanidas 16 ἀποφαινούμεθα: correxi 21 οὖν post ἤτοι ins. m. 2 25 ΗΝ: Ν in ras. m. 2 28 ΕΝ: corr. m. 2)

[*](fol. 92v) κορυφὴ δὲ ἡ ΖΗ εὐθεῖα, καὶ | ἕτερον πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δε ἡ ΗΘ εὐθεῖα, καὶ πυραμίδα, ἧς ἡ βάσις μὲν τὸ PΓ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον. ἀλλὰ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῶ, οὗ βάσις τὸ ΚΠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ τῷ στερεῷ, τὸ δὲ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ, ἡ δὲ πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ ΡΓ παραλληλόγραμμον, ἴση ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν ἓν καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ· ὥστε τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεὸν ἴσον εἶναι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ ἐξ ἀρχῆς στερεῷ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΚ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡμίσεια ἡ ΑΦ, δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΦ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΧ, τουτέστιν ἡ ΦΞ δοθὲν ἄρα τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἡ ΒΚ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΦ, τουτέστιν ἡ ΡΠ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΞ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΞΡ παραλληλόγραμμον. ὥστε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεόν. συντεθήσεται δὴ οὕτως ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἔστω γὰρ ἡ μὲη ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιβ, ἡ δὲ ΕΖ μονάδων [*](11 supplevi 12 ἴσον: correxi 13 sq. τὸ ΡΞ παραλληλόραμμον: correxi) τὸν λόγον ἔχει ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛΜ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, ἐπειδήπερ καὶ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις τὸ ΘΛ παραλληλόγραμμον, ὕψος δὲ τὸ πρὸς τὸ ΖΗ, πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ αὐτό, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει. διὰ τὰ αὐτὰ [*](fol. 93v) δὴ καὶ ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΝΞΟΠ τε |τράγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ στερεὸν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΛ, κορυφὴ δὲ τὸ ΝΟ, πρὸς τὸν κόλουρον κῶνον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. δοθὲν δὲ τὸ ΘΛΝΟ στερεὸν, ὡς δέδεικται· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ κόλουρος κῶνος. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. σύνθες κ καὶ ιβ· ὧν τὸ ἥμισυ γίγνεται ιϛ. ἐφʼ ἑαυτὰ σνϛ, ἐπεί ἐστι τετράγωνος. καὶ ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ· λοιπὰ η. ὧν ἥμισυ γίγνεται δ. ἐφʼ ἑαυτὰ ιϛ· τούτων τὸ γʹ· γίγνεται εγ΄. πρόσθες σνϛ· γίγνεται σξα γʹ· τούτων τὸ ια· γίγνεται σε γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι· γίγνεται βνγ γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.

ι. Ἔστι δὲ καὶ ἄλλως τὸν κόλουρον κῶνον μετρῆσαι προδηλοτέρᾳ μὲν ἀποδείξει χρησάμενον, τῇ δὲ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς λήψει οὐκ εὐχερεστέρᾳ τῆς προγεγραμμένης. ἔστιν κῶνος κόλουρος, οὗ κέντρα τῶν βάσεων τὰ Α, Β, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ. καὶ δοθεὶς ἔστω ὅ τε [*](6 correxi et supplevi 18 post ιϛ inseruit 〈ταῦτα〉 m. 2 f. τετράγωνον 19 supplevit m.2)

ἄξων καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων. λέγω ὅτι καὶ τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου δοθέν ἐστιν. νενοήσθω γὰρ ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Γ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ τοῖς Α, Β· καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου [*](fol. 94r) κώνου τὸ Γ∠Ε τρίγωνον, | ἐν δὲ ταῖς βάσεσιν τὰς ∠Ε ΖΗ διαμέτρους. λόγος ἄρα τῆς ∠Ε πρὸς ΖH δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΖ, τουτέστι τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ διελόντι τῆς ΒΑ πρὸς ΑΓ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΒ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν, τουτέστιν ὁ ἄξων τοῦ ὅλου κώνου. δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ∠Ε διάμετρος τῆς βάσεως. δέδοται ἄρα καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος· κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, δοθείς ἐστι· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ κόλουρος κῶνος δοθείς ἐστι. δεήσει ἄρα ποιῆσαι ὡς τὴν ∠Ε διάμετρον πρὸς τὴν ΖΗ, προστεθείσης τῇ ΑΒ τῆς ΑΓ τὴν ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ διελόντι ὡς ἡ τῶν ∠Ε ΖΗ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΑ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ. καὶ μετρῆσαι τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τούτου ἀφελεῖν τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. καὶ λοιπὸν ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.

ια. Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου μονάδων ι εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (l c. 34 corroll. vol. l p. 146 Heib.) [*](16 τὸ τρίτον σημεῖον: suprascr. Γ m. 1 19 ΒΑ: corr. Nath)

δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας. [*](fol. 94v) ὥστε κατὰ | τοῦτον τὸν λόγον δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα λαβεῖν τῶν γενομένων τὸ ια καὶ ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολλαπλασιάσαντα, τουτέστιν ἐπὶ τὸν ι, τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ δίμοιρον, καὶ ἀποφήνασθαι τὸ τῆς σφαίρας στερεόν· εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ. κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὅτι ια κύβοι οἱ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίγνονται κα σφαίραις. ὥστε δεήσει κυβίσαντα τὰ ι· ἔστι δὲ α· τούτων λαβεῖν τὰ ια. εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ. καὶ τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

ιβ. Ἔστω δὴ τμῆμα σφαίρας μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ιβ, ἡ δὲ κάθετος μονάδων β. πάλιν οὖν ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν (de sph. et cyl. lI, 2 coroll. vol. l p. 200 Heib.), ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντα αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον λόγον ἔχει, ὃν ἡ τοῦ λοιποῦ τμήματος κάθετος μετὰ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν αὐτὴν κάθετον. ἔστω οὖν τμῆμα τὸ εἰρημένον τῆς σφαίρας τὸ κατὰ τὸ ΑΒΓ τοῦ κύκλου, οὗ κάθετος ἡ Β∠. καὶ ἔστω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ζ. ὡς ἄρα τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν εἰρημένον κῶνον, οὕτω συναμφότερος ἡ ∠Ε ΕΖ πρὸς τὴν ∠Ε καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Α∠· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Α∠, τουτέστι τὸ ὑπὸ Β∠ ∠Ε. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Β∠· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσά ἐστιν. ὥστε καὶ ἡ ΕΖ. καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ∠Ε ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν.

ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσά ἐστιν. λόγος ἄρα καὶ τοῦ [*](fol. 95r) κώνου, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διά|μετρον τὴν ΑΓ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ Β∠, πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἐστὶν δοθείς· καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ κῶνος· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας. δεήσει δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀνάλυσιν λαβεῖν τῶν ιβ τὸ ἥμισυ καὶ ἐφʼ ἑαυτὸ ποιῆσαι· ἔστι δὲ λϛ· καὶ ταῦτα παραβαλεῖν παρὰ τὸν β· γίγνεται ιη. καὶ προσθεῖναι τὰ β· γίγνεται κ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ι· ταῦτα μετὰ τῶν ιη γίγνεται κη· καὶ τὴν κάθετον δὶς ποιῆσαι, τουτέστι τὰ β· γίγνεται δ. ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ιϛ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κη· γίγνεται υμη· τούτων τὸ ια· γίγνεται τνη· τούτων τὸ γ΄· γίγνεται ριζ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ τμήματος. καὶ λουτῆρα δὲ ἀκολούθως μετρήσομεν τῇ τοῦ τμήματος μετρήσει· ἔστι γὰρ δύο τμημάτων ὑπεροχή. ἀπὸ τοῦ μείζονος οὖν ἀφελόντες τὸ ἔλασσον ἀποραινούμεθα τὸ τοῦ λουτῆρος στερεόν. καὶ κόγχην δὲ ὁμοίως μετρήσομεν ὡς ἡμισφαιρίου ἢ τμήματος ἥμισυ [*](1 explevi; ἀλλὰ — δοθεὶς del. m. 2 3 κύκλον: corr. m. 2) [*](5 f. ταύτην τὴν 7 παραλαβεῖν et τῶν: corr. m. 2 12 ἑνδεκάκις ιδ in ras. m. 2 τῶ γʹ: corr. et suppl. m.2) ὑπάρχουσαν. αἱ γὰρ ἐν αὐτῇ ξύσται ἐν ἀδιαφόρῳ παραλαμβάνονται εἰς τὰς μετρήσεις.