Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900

λθ. Τμήματος δὲ σφαίρας τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα σφαίρας, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ἔχων τὴν μὲν ΑΓ διάμετρον μονάδων κδ, τὴν δὲ ΕΖ κάθετον μονάδων ε. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἐστὶ μονάδων ΚΛ, ἡ ἄρα ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιβ. ἡ δὲ ΖΕ μονάδων ε· ἡ ἄρα ΑΕ ἐστὶ μονάδων ιγ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν. ἀπέδειξεν δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (I c. 42sq. t. l p. 176 Heib.) ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τῆς βάσεως τοῦ τμήματος· ἡ δὲ ΑΕ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου· καὶ ἔστι μονάδων ιγ. ἡ ἄρα διάμετρος τοῦ

εἰρημένου κύκλου ἐστὶ μονάδων κϛ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν, ὡς προείρηται, ἔσται μονάδων φλα ζ΄. τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.

Ὅσα μὲν οὖν ἦν σχήματα τεταγμένων ἐπιφανειῶν, αὐτάρκως νομίζομεν μεμετρῆσθαι, ἀναγκαῖον δὲ ὡς [*](fol. 87r) οἶμαι πρὸς τὰς | ἀτάκτους εἰπεῖν ἐπιφανείας, ὡς δέον αὐτὰς μετρεῖσθαι. εἰ μὲν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδός ἐστιν, ἡ δὲ περιέχουσα αὐτὴν γραμμὴ ἄτακτος ὑπάρχει, δεήσει ἐπʼ αὐτῆς τῆς γραμμῆς λαβεῖν τινὰ συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς ἐπιζευγνυούσας αὐτὰ κατὰ τὸ ἑξῆς εὐθείας γραμμὰς μὴ κατὰ πολὺ ἀποᾴδειν τῆς περιεχούσης τὸ σχῆμα γραμμῆς, καὶ οὕτως ὡς πολύγωνον μετρεῖν εἰς τρίγωνα καταδιαιροῦντα. εἰ δὲ οὔκ ἐστιν ἐπίπεδος ἡ ἐπιφάνεια, ἀλλʼ ὥσπερ ἀνδριάντος ἢ ἄλλου τινὸς τοιούτου, δεῖ λαβόντα χάρτην ὅτι λεπτότατον ἢ σινδόνα περιτείνειν κατὰ μέρος ἐπὶ τὴν ἐπιφάνειαν αὐτοῦ, ἄχρι ἂν περιειληθῇ, εἶτα ἐκτείναντα τὸν χάρτην ἢ τὴν σινδόνα εἰς ἐπίπεδον μετρεῖν περιεχομένην ὑπὸ ἀτάκτου γραμμῆς, ὡς προείρηται, καὶ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐπιφανείας. εἰ δέ τινές εἰσιν ἕτεραι ἐπιφάνειαι ἢ σχήματα ἐπιφανειῶν, μετρηθήσεται ἐκ τῶν προειρημένων· καὶ γὰρ αὐτάρκως νομίζομεν τὰς ἐκ δυεῖν διαστάσεων ἐπιφανείας μεμετρηκέναι.

[*](9 f. ἐπὶ ταύτης 23 subscriptum: Ἥρωνος Ἀλεξανδρέως ἐπιπέδων μέτρησις εὐτυχῶς.)

[*](fol. 87v)

| Μετὰ τὴν τῶν ἐπιφανειῶν μέτρησιν εὐθυγράμμων τε καὶ μὴ κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρητέον, ὧν καὶ τὰς ἐπιφανείας ἐν τῷ πρὸ τούτου βιβλίῳ ἐμετρήσαμεν ἐπιπέδους τε καὶ σφαιρικάς, ἔτι τε κωνικὰς καὶ κυλινδρικάς, πρὸς δὲ τούτοις ἀτάκτους, ὧν τὰς ἐπινοίας ὥσπερ παραδόξους οὔσας τινὲς εἰς Ἀρχιμήδην ἀναφέρουσιν κατὰ διαδοχὴν ἱστοροῦντες. εἴτε δὲ Ἀρχιμήδους εἴτε ἄλλου τινός, ἀναγκαῖον καὶ ταύτας προσυπογράψψαι, ὅπως κατὰ μηδὲν ἐνδεὴς ἡ πραγματεία τυγχάνῃ τοῖς βουλομένοις αὐτὰ μεταχειρίζεσθαι.

Στερεὸν εὐθύγραμμον ὀρθογώνιον μετρῆσαι δοθείσης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς, μήκους τε καὶ πλάτους καὶ βάθους ἢ πάχους· οὐδὲν γὰρ διοίσει εἰ ἢ κοῖλον ὑπάρχον μετρεῖσθαί τι σῶμα ἢ ναστόν. βάθος μὲν γὰρ καλεῖται ἐπὶ τῶν κοίλων σωμάτων, πάχος δὲ ἐπὶ τῶν ναστῶν. ἔστω δὲ τὸ μὲν μῆκος μονάδων κ, τὸ δὲ πλάτος μονάδων ιβ, τὸ δὲ πάχος μονάδων π. ἐὰν δὴ διʼ ἀλλήλων τοὺς ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσωμεν, γίγνονται μονάδες ατ. τοσούτων δὲ καὶ τὸ στερεὸν [*](1 titulum supplevi 11 προυπογράψαι: correxi 16 [εἰ]: ??. m. 1 19 sq. numeri corrupti)

ἔσται μονάδων. τούτου δʼ ἡ ἀπόδειξις φανερά. ἐὰν γὰρ τὰς τρεῖς διαστάσεις ἐπινοήσωμεν διῃρημένας εἰς μοναδιαῖα διαστήματα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβάλωμεν παράλληλα τοῖς περιέχουσι τὸ στερεὸν ἐπιπέδοις, ἔσται ὥσπερ καταπεπρισμένον τὸ στερεὸν εἰς μοναδιαῖα στερεά, ὧν τὸ πλῆθος ἔσται ὁ εἰρημένος ἀριθμός. καὶ καθόλου δὲ πᾶν στερεὸν σχῆμα πάχος ἔχον οἱονδηποτοῦν καὶ μῆκος οἱονδηποτοῦν, τὸ δὲ ὕψος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει μετρεῖται τῆς βάσεως αὐτοῦ μετρηθείσης καὶ ἐπὶ τὸ ὕψος πολλαπλασιασθείσης. οἷον· ἔστω τοῦ στερεοῦ βάσις ἔλλειψις, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς ὀρθὰς ἐπινοείσθω τις εὐθεῖα τῷ τῆς ἐλλείψεως ἐπιπέδῳ ὕψος ἔχουσα δοθέν. τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως σχῆμα φερέσθω κατὰ τῆς εἰρη|μένης [*](fol. 88r) εὐθείας οὕτως, ὥστε τὸ μὲν κέντρον κατʼ αὐτῆς φέρεσθαι, τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἐπίπεδον ἀεὶ παράλληλον ὑπάρχειν τῇ ἐξ ἀρχῆς θέσει. ἔσται δή τι σχῆμα ὡσπερεὶ κύλινδρος βάσιν ἔχον τὴν εἰρημένην ἔλλειψιν. τοῦ δὴ τοιούτου σχήματος τὸ ὕψος πρὸς ὀρθὰς καλῶ τῇ βάσει· ὃ δὴ μετρεῖται τῷ προειρημένῳ τρόπῳ. κἂν ἡ βάσις δὲ ἕτερον ἔχῃ σχῆμα, τὸ δὲ ὕψος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, ὡς εἴρηται, ὁμοίως μετρηθήσεται· ὥστε καὶ κύλινδρος ὡσαύτως μετρεῖται. κἂν μὴ δὲ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, ἀλλὰ κεκλιμένον ᾖ, τὸ δὲ στερεὸν τοιοῦτον, ὥστε τεμνόμενον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖν τομὰς ἴσας τῇ βάσει, δοθεῖσα δὲ ᾖ ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ στερεὸν ὡσαύτως λαμβάνεται. δεῖ γὰρ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τῆς βάσεως αὐτοῦ πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον καὶ ἀποφαίνεσθαι τοσούτου τὸ στερεόν· τὸ δὲ εἰρημένον --- ἐπιπέδῳ

παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖ τομὰς τῇ βάσει ἴσας, γίγνεται οὕτως. ἐὰν ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ εὐθεῖά τις ἐπισταθῇ ἤτοι ὀρθὴ ἢ κεκλιμένη πρὸς τὴν βάσιν καὶ μενούσης αὐτῆς ἡ τοῦ στερεοῦ βάσις φέρηται κατὰ τῆς εἰρημένης εὐθείας, ὥστε τὸ μὲν πρὸς τῇ βάσει σημεῖον κατὰ τῆς εὐθείας φέρεσθαι, τὴν δὲ βάσιν ἀεὶ φερομένην παράλληλον ἑαυτῇ διαμένειν, τὸ τοιοῦτον σχῆμα τεμνόμενον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιήσει τομὰς τοσαύτας τῇ βάσει ἴσας, ἐπειδήπερ τῆς βάσεως ἡ φορὰ κατὰ παράλληλον αὐτῇ θέσιν ἐφέρετο.

α. Ἔστω δὴ κῶνον μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος η. ὕψος δὲ τοῦ κώνου καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον ἀγομένην, ἐάν τε ὀρθὸς ὁ κῶνος ὑπάρχῃ ἐάν [*](fol. 88v) τε σκαληνός. νενο|ήσθω δὴ κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. τούτου δὴ τοῦ κυλίνδρου τὸ στερεὸν ἔσται δοθέν. ἥ τε γὰρ διάμετρος αὐτοῦ τῆς βάσεως δοθεῖσά ἐστιν καὶ τὸ ὕψος δοθέν. καὶ ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χκη δ. ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου μονάδων σθ ια ὁμοίως οὖν καὶ πυραμίδος πάσης τὸ στερεὸν ληψόμεθα δοθείσης τῆς βάσεως αὐτῆς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἐπειδήπερ πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον.

[*](9 post ἴσας duae litterae erasae 16—17 ἀπὸ τῆς ὀρθῆς βάσεως; correxi)

β. Ἔστω δὴ κύλινδρον σκαληνὸν μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος μονάδων η. ὕψος δὲ καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς ἐφέδρας αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον. νενοήσθω δὴ πάλιν κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ προειρημένῳ κυλίνδρῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ· ἐπεὶ οὖν οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις, οἱ δὲ εἰρημένοι κύλινδροι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὀρθὸς κύλινδρος τῷ σκαληνῷ. τοῦ δὲ ὀρθοῦ τὸ στερεόν ἐστιν δοθέν· τό τε γὰρ ὕψος αὐτοῦ δοθέν ἐστιν καὶ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως· καὶ ἔστι μονάδων χκη δ. καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἄρα τὸ στερεὸν τοσούτου ἔσται.