Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900

λα. Οἱ δὲ ἀκριβέστερον ἐζητηκότες προστιθέασι τῷ [*](fol. 83v) εἰρημένῳ ἐμβαδῷ τοῦ τμήματος | τὸ ιδ΄ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως. οὗτοι δὴ τῇ ἑτέρᾳ φαίνονται ἠκολουθηκότες ἐφόδῳ, καθʼ ἣν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τριπλασία ἐστὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῷ ζ΄ μέρει μείζων· ἐὰν γὰρ ὁμοίως ὑποστησώμεθα τὴν μὲν ΑΒ διάμετρον μονάδων ιδ, τὴν δὲ ∠Γ κάθετον ζ, ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων κβ· ἐπὶ τὸν ζ· γίγνεται ρνδ. ὧν ἥμισυ γίγνεται οζ. καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου ἀποφαίνεσθαι. [*](2 τούτου: corr. m. 2 〈τοῦ〉 addidit m. 2 5 ταύτην: corr. m. 2)

τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἐὰν οὕτως ποιήσωμεν. σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ· ὧν ἥμισυ γίγνεται ιU+2220· ἐπὶ τὰ ζ· γίγνεται ογU+2220. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως μονάδων μθ. τούτων καθόλου τὸ ιδ΄· γίγνεται γU+2220. ταῦτα πρόσθες τοῖς ογU+2220· γίγνεται οζ. ταύτῃ οὖν τῇ ἐφόδῳ χρήσασθαι δεῖ ἐπὶ τῶν ἐλασσόνων τοῦ ἡμικυκλίου τμημάτων· οὐ μέντοι ἐπὶ παντὸς τμήματος πάλιν καὶ αὕτη ἁρμόσει ἡ ἔφοδος, ἀλλʼ ὅταν ἡ βάσις τοῦ τμήματος μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ τῆς καθέτου· ἐπεί τοι, ἐὰν ἡ βάσις ᾖ μονάδων ξ, ἡ δὲ κάθετος α, ἔσται τὸ περιεχόμενον σχῆμα μονάδων ξ, ὃ δὴ μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος. τούτου δὲ μεῖζόν ἐστι τὸ ιδ΄ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως· ἔστι γὰρ μονάδων ξδ ιδ΄. ὥστε οὐκ ἐπὶ παντὸς τμήματος ἁρμόσει ἡ εἰρημένη ἔφοδος, ἀλλʼ, ὡς εἴρηται, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ. ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ τριπλῆ, τῇ ἑξῆς ἐφόδῳ χρησόμεθα.

λβ. Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος [*](fol. 84r) ἴσον. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ | ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Β καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η χωρίον, τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ. τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον, --- [*](1 συνθέντες: corr. Heiberg 4 τὰ ιδ΄: correxi 16 μεῖζον: correxi 23 ἐπίτριτος: corr. m. 2 28 τοῦ ΘΚ: correxi; τὸν m. 2)

τὸ Η, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ, τὸ δὲ τοῦ Μ. καὶ τοῦτο γιγνέσθω, ἕως οὗ τὸ τοῦ ἐσχάτου τρίτον ἔλαττον γένηται τοῦ Κ. γεγονέτω καὶ ἔστω τὸ Μ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρειαι δίχα καὶ ἐπὶ τὰς διχοτομίας ἐπεζεύχθωσαν· τὰ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνα τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονα ἔσται ἢ τετραπλάσια· τὸ δὲ ΘΚ τοῦ Λ μεῖζον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν· τὰ ἄρα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Λ. ἔστω αὐτοῖς ἴσα τὰ ΛΝ. καὶ πάλιν τετμήσθωσαν αἱ γενόμεναι περιφέρειαι καὶ ἐπεζεύχθωσαν ὁμοίως. τὰ ἄρα προειρημένα, οἷς ἴσα ἐστὶ τὰ ΛΝ, τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονά ἢ τετραπλάσια, τὸ δὲ ΛΝ τοῦ Μ μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ὥστε τὰ ἔσχατα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Μ. ἔστω αὐτοῖς ἴσον τὸ ΜΞ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιά ἐστιν ἀλλήλων, τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τοῖς ΘΛΜ καὶ τῷ γ΄τοῦ Μ, τὸ δὲ γ΄ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστι τῶν ΚΝΞ ἐπεὶ καὶ τοῦ Κ. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἔλασσόν ἐστι τῶν ΘΚΛ ΝΜΞ. τὸ ἄρα Η τῶν εἰρημένων ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον. τὸ Η ἄρα μετὰ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ἀναστρέψαντι ἄρα τὰ [*](1 τὸ δὲ Η τοῦ Θ τετραπλάσιον, τὸ m. 2; 〈ἔστω δὴ τοῦ Θ τετραπλάσιον〉 Heiberg f. τὸ δὲ 〈Λ〉 9 ∠Ν: corr. m. 2)

ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η τοῦ Η --- ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τὰ δὲ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η ἴσα τῷ ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμῆμα πολυγώνῳ· τὸ ἄρα ἐγγεγραμμένον εἰς τὸ τμῆμα πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον· πολλῷ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ [*](fol. 84v) τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τρι| γώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον. ὥστε ἐὰν μετρήσωμεν τὸ τρίγωνον καὶ τούτου τὸ τρίτον προσθῶμεν, ἀποφανούμεθα ὡς ἔγγιστα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἁρμόσει δὲ ἡ αὐτὴ μέθοδος, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μείζων ᾖ ἢ τριπλασίων· ἐὰν μέντοι τμῆμα ᾖ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ παραβολῆς καὶ δοθῇ ἡ τε βάσις αὐτῆς καὶ ἡ κάθετος, τουτέστιν ὁ ἄξων ὁ μέχρι τῆς βάσεως, καὶ τούτου βουλώμεθα τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, μετρήσαντες τὸ τρίγωνον τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον καὶ τούτῳ προσθέντες τὸ τρίτον αὐτῶν ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἔδειξε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος αὐτῷ τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος δὲ ἴσον.

Λῆμμα. Ἔστω τῷ μὲν Η ἴσον τὸ ΑΒ, τοῖς δὲ Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ τὸ ΒΓ∠, τὸ δὲ ΑΒ τοῦ ΒΓ ἔλασσον ἢ τριπλάσιον ἔστω· πῶς ἀναστρέψαντι τὸ ΑΓ, τουτέστι τὸ Η μετὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ, τοῦ ΑΒ, τουτέστι τοῦ Η, μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον; ἔστω γὰρ τὸ Α∠ τοῦ ∠Γ τριπλάσιον· τὸῦ ΑΓ ἄρα τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ∠Γ. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ Α∠ ἐπίτριτόν ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα τοῦ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον.

[*](1 〈μείζονά ἐστιν ἢ ἐπίτριτα. τῷ δὲ Η〉 Heiberg 5 πλω. ἄρα: correxit m. 2 16 αὐτῶν: αὐτοῦ Heiberg 18 ἀπὸ: correxi 22 τὸ ΒΓ∠: [∠] seclusit Nath 25 〈ἢ〉 add. m. 2 26 τοῦ ΑΓ: corr. m.2)

[*](fol. 85r)

λγ. | Ἐὰν δὲ δέῃ τμῆμα μετρῆσαι μεῖζον ἡμικυκλίου, μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸῦ ΑΒΓ, οὗ ἡ μὲν ΑΓ βάσις ἔστω μονάδων ιδ, ἡ δὲ Β∠ κάθετος μονάδων ιδ. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β∠Ε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Α∠ μονάδων ἐστὶ μθ, ἔσται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε μονάδων μθ. καὶ ἔστιν ἡ Β∠ μονάδων ιδ ἡ ἄρα ∠Ε ἔσται μονάδων γU+2220· ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων ιδ· τοῦ ἄρα ΑΕΓ τμήματος, ὅ ἐστιν ἔλασσον ἡμικυκλίου, τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων, ὡς ἐμάθομεν, λδ η΄. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Β∠ ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ∠Ε γU+2220, ἡ ἄρα ΒΕ διάμετρος ἔσται μονάδων ιζU+2220· τοῦ ἄρα κύκλου τὸ ἐμβαδὸν ὡς ἐμάθομεν ἔσται σμU+2220η΄. ὧν τὸ τοῦ ΑΕΓ τμήματος ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λδη΄. λοιπὸν ἄρα τὸ τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων σϛU+2220.

λδ. Ἔστω δὲ ἔλλειψιν μετρῆσαι, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων μονάδων ιϛ, ὁ δὲ ἐλάσσων ιβ. ἐπεὶ οὖν ἐν τοῖς κωνοειδέσιν Ἀρχιμήδους δείκνυται (c. 5 t. l p. 312 Heib.) ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται κύκλον ἴσον τῇ ἐλλείψει, δεήσει τὰ ιϛ ἐπὶ τὰ ιβ πολλαπλασιάσαντα [*]( τοῦ ΑΒΓ: correxi 19 ante λδ η΄ delevit μν m. 1 20 γε: corr. m. 2 28 〈διάμετρον〉 κύκλου ἴσου coni. Heiberg)

τούτων λαβεῖν τὰ ια ιδ΄· ἔστι δὲ ρμϛU+2220· τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐλλείψεως.