Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900

κζ. Εἰς δὲ τὴν τοῦ τμήματος μέτρησιν προγράψομεν ταῦτα. ἔστω ὁσαδηποτοῦν μεγέθη τετραπλάσια ἀλλήλων τὰ Α, Β, Γ, ∠ ἢ καὶ πλείονα ἀρχόμενα ἀπὸ μεγίστου τοῦ Α· λέγω ὅτι τὸ γ΄ τοῦ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠· ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ Β, τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶ τέτταρσι τοῖς Β. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Α ἴσον ἐστὶ τῷ Β καὶ τῷ γ΄ τοῦ Β. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ γ΄ τοῦ Β ἴσον ἐστὶν τῷ Γ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ Γ τὸ γ΄ ἴσον ἐστὶ τῷ ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠. ὥστε τὸ γ΄ τοῦ Ἂ ἴσον ἐστι τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠.

κη. Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, ἀπὸ δὲ μέσης τῆς Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ. ὅτι ἡ Β∠ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Β∠, ΖΕ ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ κάθετος ἡ ΖΚ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ Α∠ τῆς ∠Ε, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Ε, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ. [*](3 τὰ in τὸ mut. m. 2 ιδ ια: correxi 10 in mg. τὸ τριτημόριον τοῦ Α m. 1 καὶ: ἔτι supra scr. m. 2 11 τῷ γ΄: ριτημορίῳ supra scr. m. 2 14 τέταρσι: correxi)

[*](fol. 82v) ὥστε | καὶ τὸ ὑπὸ Η∠Ε τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΗΚΒ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ Η∠, ΚΒ, τουτέστιν ἢ ∠Β πρὸς ΒΚ. ἡ ἄρα ∠Β τῆς ΒΚ μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλῆ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἡ ∠Β τῆς ∠Κ, τουτέστι τῆς ΕΖ, ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος.

κθ. Ἔστω τμῆμα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ ἡ ∠Β καὶ δίχα αἱ ΑΒ, ΒΓ περιφέρειαι κατὰ τὰ Ε, Ζ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἤχθω κάθετος μὲν ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΕΗ, παράλληλος δὲ τῇ Β∠ διὰ τοῦ Η ἡ ΘΚ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ Κ∠. ἡ ἄρα Β∠ τῆς ΘΚ ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. τῆς δὲ ΗΚ ἔστι διπλῆ· ὥστε ἡ ΚΗ τῆς ΘΗ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλασίων· ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς ΘΗ, τὸ ΑΚΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΘ τρίγωνον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλάσιον τὸ ΑΚΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΘ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΚΒ διπλάσιόν ἐστιν τὸ ΑΒ∠· ἔλαττον ἄρα ἢ τετραπλάσιον τὸ ΑΒ∠ τοῦ ΑΒΘ· τὸ δὲ ΑΒΘ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΕΒ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΗ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ καθέτου. πολλῷ ἄρα τὸ Α∠Β ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΕΒ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ∠ΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΒΖΓ τριγώνου· τὸ ἄρα ΑΒΓ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων.

[*](fol. 83r)

λ. | Τὸ δὲ τμῆμα τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου οἱ μὲν ἀρχαῖοι ἀμελέστερον ἐμέτρουν. συντιθέντες [*](1 Η∠Β: sed ∠ in ras. m. 2 (?) 6 〈ἢ〉 add. m. 2 18 〈ἡ〉 add. m. 2)

γὰρ αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον καὶ τούτων τὸ ἥμισυ λαμβάνοντες ἐπὶ τὴν κάθετον ἐποίουν καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος ἀπεφαίνοντο. δοκοῦσι δὲ οὗτοι ἠκολουθηκέναι τοῖς τὴν περίμετρον τοῦ κύκλου τριπλασίονα ὑπολαμβάνουσιν τῆς διαμέτρου. ἐὰν γὰρ ἡμικύκλιον κατὰ τὴν τοιαύτην ὑπόθεσιν μετρῶμεν, ἀκολουθήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου σύμφωνον τῇ εἰρημένῃ μεθόδῳ. οἷον ἔστω ἡμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ κάθετος ἡ Γ∠. καὶ ἔστω ἡ διάμετρος μονάδων ιβ. ἡ ἄρα Γ∠ μονάδων ϛ. οὐκοῦν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἔσται μονάδων λϛ. ἡ ἄρα τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων ιη. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ χωρίου, δεῖ τὰ ιη πολλαπλασιάσαντας ἐπὶ τὰ ϛ λαβεῖν τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες νδ. ὥστε τοῦ ἡμικυκλίου τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὴν εἰρημένην ὑπόθεσιν ἔσται μονάδων νδ. τὸ δʼ αὐτὸ ἔσται κἂν συνθῇς τὰ ιβ καὶ τὰ ϛ, ἃ γίγνεται ιη. ὧν ἥμισυ λαβὼν ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου ποιήσεις· γίγνεται ὁμοίως νδ.