Metrica

γ. Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι. τὴν δὲ ΒΓ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι [*](fol. 68v) τὴν δὲ ΒΓ | μονάδων ιβ. εὑρεῖν αὐτοὺς τὸ ἐμβαδὸν. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠. καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ Α∠ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΓΖ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές [*](1 spatium 19 litterarum; supplevit man. 2 2 spatium 20 litterarumu; supplevit man. 2 3 ΑΒ: corr. man. 2 spatium 18 litterarum; supplevit man. 2 4 spatium 17 litterarum; supplevi. 〈ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία καὶ . . .〉 man. 2 5 spatium 17 litterarum; supplevi. ΑΓ ὑποτεινούσης man. 2 6 ἀπὸ τῶ: corr. man. 2 7 spatium 25 litterarum; supplevi. 〈τ. μ ιϛ συναμφότερα· καὶ τὸ ἀπὸ〉 man. 2 8 spatium 17 litterarum; supplevi. 〈ἄρα ἔσται μονάδων ε〉 man. 2 9 spatium 21 litterarum; supplevi. τὰ μὲν β: correxi 11 spatium 17 litterarum; supplevi post αὐτὰ spatium 9 literarum; supplevi 13 spatium 20 litterarum; supplevi)

ἐστι καὶ κάθετος ἦκται ἡ Α∠, ἴση ἐστὶν ἡ Β∠ τῇ ∠Γ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ· ἡ ἄρα Β∠ ἐστὶ μονάδων ϛ. ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι· ἡ ἄρα Α∠ ἔσται μονάδων η, ἐπειδήπερ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Β∠ ∠Α· ὥστε καὶ ἡ ΒΕἔσται μονάδων η. ἡ δὲ ΒΓ ἐστὶ μονάδων ιβ. τοῦ ἄρα ΒΓΕΖ παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων 𝔮ϛ· ὥστε τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων μη. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη· λαβὲ τῶν ιβ τὸ ἥμισυ· γίνονται ϛ· καὶ τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ· γίνονται ρ. ἄφελε τὰ ϛ ἐφʼ ἑαυτὰ, ἅ ἐστι λϛ· γίγνονται λοιπὰ ξδ. τούτων πλευρὰ γίνεται η· τοσούτου ἔσται ἡ Α∠ κάθετος. καὶ τὰ ιβ ἐπὶ τὰ η· γίνονται 𝔮ϛ. τούτων τὸ ἥμισυ. γίνονται μη· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.

δ. Τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων τὰς γωνίας δεῖ ἐπισκέψασθαι ὅπως τὰς ἀγομένας καθέτους ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς εἰδῶμεν, ἤτοι ἐντὸς τῶν γωνιῶν πίπτουσιν ἢ ἐκτός· ἔστω οὖν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεισῶν μοιρῶν. καὶ δέον ἐστὶν ἐπισκέψασθαι εἰ τύχοι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα ἢ ὀξεῖα· εἰ μὲν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς [*](fol. 68r) ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώ|νοις, δῆλον ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα· εἰ δὲ μεῖζον, δῆλον ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ὑποκείσθω δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν [*](5 spatium 3 litterarum; supplevit Heiberg 13 spatium 17 litterarum; supplevi 14 versus unus et dimidius vacui; supplevi) [*](15 spatium 18 litterarum; supplevi; [ἐπισκε] etiam m. 2.) [*](17 ἴδωμεν: corr. Heiberg 20 fortasse δέον ἔστω 21 spatium 5 litterarum; supplevit man. 2. 24 ἐλάσσων et μείζων: correxi) [*](26 δὲ: correxi ἀπὸ τῆι: correxi ἐλάσσων: correxi)

ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. εἰ γὰρ οὐκ ἔσται ὀξεῖα, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα. ὀρθὴ μὲν οὖν οὔκ ἐστιν· ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνοις· οὐκ ἔστιν δέ· οὐκ ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. οὐδὲ μὴν ἀμβλεῖά ἐστιν· ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνων· οὐκ ἔστιν δέ· οὐδὲ ἄρα ἀμβλεῖα ἐστιν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ὀρθή· ὀξεῖα ἄρα ἐστίν. ὁμοίως δὴ ἐπιλογιούμεθα καὶ ἐὰν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον ᾖ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία.

ε. Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. φανερὸν --- ὅτι ὀξεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλασσον ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετραγώνων. κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔλασσόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ὡς --- δέδεικται. καὶ ἔστι τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ μονάδων τξε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων σκε· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ μονάδων ρμ· τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔσται μονάδων ο. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ [*](1 τῶν ἀπὸ τὸ: correxi 13 [ὀξυγώνιον] Heiberg 14 lacuna 15 litterarum capax; supplevi 16 spatium 14 litterarum; supplevi ὅτι; cetera dubia, f. ἐκ τῶν προγεγραμμένων τῷ Α: corr. Heiberg 17 spatium 14 litterarum; supplevi 18 spatium 17 litterarum; supplevi 19 spatium 26 litterarum; supplevi 20 τοῖς ἀπὸ: correxi 21 spatium 14 litterarum; fortasse 〈ἐν τοῖς)

τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠ ∠Β· καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ [*](fol. 69v) μονάδων ρξθ|, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Β∠ μονάδων κε· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ρμδ. αὐτὴ ἄρα ἡ Α∠ ἔσται μονάδων ιβ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ ἔσται μονάδων ρξη. καὶ ἔστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιον· τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων πδ. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη· τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ· καὶ τὰ ιδ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ𝔮ϛ· καὶ τὰ ιε ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται σκε· σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρ𝔮ϛ· γίγνεται τξε· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ σκε· γίγνεται λοιπὰ ρμ· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ο· παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ε· καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ἀφʼ ὧν ἄφελε τὰ ε ἐφʼ ἐαυτά· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ· τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ιδ· γίγνεται ρξη· τούτων τὸ ἥμισυ πδ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.