[*](sell. Cpolit. n.1 fol. 67r.)Ἡ πρώτη γεωμετρία, ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει λόγος, περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη· χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν τε μετρήσεων καὶ διανομῶν· καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοηθέντα θεωρήματα, προσεδέηθησαν ἔτι περισσοτέρας ἐπισκέψεως, ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι, καίτοι Ἀρχιμήδους τε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβεβληκότων τῇ πραγματείᾳ. ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι, διʼ ἧς ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. καὶ πρὸς τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον ἦν ἐπινοῆσαι, διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ (π. σφ. [*](1 tituli litterae minio scriptae, dein inauratae 3—9 amplificata leguntur in Heronis pers. Geometria 106 p. 138, 31 sq. Hu. 3 cf. Herodotus II 109 10 προσεδεήθησαν sc. αἱ μετρήεις 14 διʼ ἧς: διότι Heiberg 14—15 cf. Archimedes π.)
4
καὶ κυλ. l, 33 vol. l p. 136 Heib.) καὶ ὅτι τὸ στερεὸν αὐτῆς δύο τριτημόριά ἐστι τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου (ibid. l, 34 corollarium vol. l p. 146 Herb.) καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ τυγχάνει. ἀναγκαίας οὖν ὑπαρχούσης τῆς εἰρημένης πραγματείας καλῶς ἔχειν ἡγησάμεθα συναγαγεῖν, ὅσα τοῖς πρὸ ἡμῶν εὔχρηστα ἀναγέγραπται καὶ ὅσα ἡμεῖς προσεθεωρήσαμεν. ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων μετρήσεων, συμπαραλαμβάνοντες τοῖς ἐπιπέδοις καὶ τὰς ἄλλας ἐπιφανείας κοίλας ἢ κυρτὰς, ἐπειδήπερ πᾶσα ἐπιφάνεια ἐκ δύο διαστάσεων ἐπινοεῖται. αἱ δὲ συγκρίσεις τῶν εἰρημένων ἐπιφανειῶν γίγνονται πρός τι χωρίον εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον, εὐθύγραμμον μὲν, ἐπεὶ
[*](fol. 67v) ἡ εὐθεῖα ἀμετάπτωτός | ἐστι παρὰ τὰς ἄλλας γραμμάς· πᾶσα γὰρ εὐθεῖα ἐπὶ πᾶσαν εὐθεῖαν ἐφαρμόζει, αἱ δὲ ἄλλαι κοῖλαι ἢ κυρταὶ οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας.
--- διὸ πρὸς ἑστηκός τι, λέγω δὲ τὴν εὐθεῖαν, ἔτι δὲ καὶ πρὸς τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν σύγκρισιν ἐποιήσαντο· πάλιν γὰρ πᾶσα ὀρθὴ ἐπὶ πᾶσαν ὀρθὴν ἐφαρμόζει, αἱ δʼ ἄλλαι οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. καλεῖται δὲ πῆχυς μὲν ἐμβαδὸς, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἔχῃ πήχεος ἑνός· ὁμοίως δὲ καὶ ἐμβαδὸς ποῦς καλεῖται, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἔχῃ ἑκάστην πλευρὰν ποδὸς ἑνός. ὥστε αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὰς συγκρίσεις λαμβάνουσι πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἢ τὰ τούτων μέρη. πάλιν δʼ αὖ τὰ στερεὰ σώματα τὰς συγκρίσεις λαμβάνει πρὸς χωρίον στερεὸν εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον, πάντη ἰσόπλευρον· τοῦτο δέ ἐστι κύβος ἔχων ἑκάστην πλευρὰν ἤτοι πήχεος ἑνὸς ἢ ποδὸς ἑνός· ἢ
[*](7 προεθεωρήσαμεν: correxui 8 〈τῶν〉 τῶν Heiberg 10—11 ἐκ δύο στάσεων: corr. man. 3 16 post πάσας spatium 16) 6
πάλιν πρὸς τὰ τούτων μέρη. διʼ ἣν μὲν οὖν αἰτίαν πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἡ σύγκρισις γίνεται, εἴρηται, ἑξῆς δὲ ἀρξώμεθα τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις μετρήσεων. ἵνα οὖν μὴ καθʼ ἑκάστην μέτρησιν πόδας ἢ πήχεις ἢ τὰ τούτων μέρη ὀνομάζωμεν, ἐπὶ μονάδων τοὺς ἀριθμοὺς ἐκθησόμεθα· ἐξὸν γὰρ αὐτὰς πρὸς ὃ βούλεταί τις μέτρον ὑποτίθεσθαι.
α. Ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ε, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων γ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπεὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ ἔστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ περιεχόμενον τοιοῦτο, τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑτερομήκους ἔσται μονάδων ιε. ἐὰν γὰρ ἑκατέρα πλευρὰ διαιρεθῇ ἡ μὲν ΑΒ εἰς τὰς μονάδας ε, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως εἰς τὰς γ μονάδας καὶ διὰ τῶν τομῶν παράλληλοι ἀχθῶσιν ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου [*](fol. 68r) πλευ|ραῖς, ἔσται τὸ χωρίον διῃρημένον εἰς χωρία ιε, ὧν ἕκαστον ἔσται μονάδος α. κἂν τετράγωνον δὲ ᾖ τὸ χωρίον, ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.
β. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν. καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων γ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ. εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. προσαναπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ [*](6 ἐκθησώμεθα: corr. Heiberg 8 spatium 8 litterarum; supplemento a man. 2 adscripto ἔχον addidi 10 αὐτὴν: correxi spatium 8 litterarum; suppglevi 11 spatium 12 litterarum; supplevi coll. Eucl. Elem. II def. 1. 12 spatium 13 litterarum; supplev. 〈εχουσῶν πλευρῶν〉 man. 2 13 spatium 9 litterarum; supplevi. 〈ὀρθογώνιον τὸ〉 man. 2 14 spatium 15 litterarum; supplevi. 〈ἑκατέρα τῶν πλευρῶν〉 m. 2 15 τὰς ε μονάδας)
8
ἐμβαδὸν, ὡς ἐπάνω δέδεικται, μονάδων ιβ. τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ παραλληλογράμμου· ἔσται οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων ϛ· καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ. καὶ ἔστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα μονάδων κε· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄρα ἔσται μονάδων κε· αὐτὴ ἄρα ἡ ΑΓ μονάδων ε. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη· τὰ μὲν γ ἐπὶ τὰ δ ποιήσαντα λαβεῖν τὸ ἥμισυ τούτων· γίνεται ϛ· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. καὶ
---τὰ γ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ ὁμοίως τὰ δ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα συνθεῖναι· καὶ γίγνονται κε· καὶ τούτων πλευρὰν λαβόντα ἔχειντοῦ τριγώνου τὴνὑποτείνουσαν.