Metrica
Hero of Alexandria
Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900
ϛ. Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων υ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ μονάδων ρκα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρξθ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠ μονάδων ρι. τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔστιν μονάδων νε. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ια· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ιγ· ἡ ἄρα Α∠ ἔσται μονάδων ιβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ια· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α∠ ΒΓ ἔσται μονάδων ρλβ. αὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ Γ τριγώνου. τὸ ἄρα ΑΒΓ
Μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμετρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα, ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιησόμεθα.
ζ. Ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον πλευρὰ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός. ἐπεὶ
η. | Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν χωρὶς καθέτου· οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ τὰ θ· γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας· λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η· λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ· λοιπαὶ γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε· γίγνονται ξ. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ· γίγνονται σμ· ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται ψκ· τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι, ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως· ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ, μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ· γίγνεται κϛ καὶ τρίτα δύο· πρόσθες τὰς κζ· γίγνεται νγ τρίτα δύο. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται κϛU+2220γ΄. ἔσται ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϛU+2220γ΄. τὰ γὰρ κϛU+2220γ΄ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛ΄· ὥστε τὸ διάφορον μονάδος [*](5 τὸν ἀπὸ: correxit m. 2 7 ἴσος τὸ: corr. man. 2 9 τὸ πὸ: corr. man. 2 11 ὑπὸ τὸν: correxi 20 τῶν δ: correxi τῶν γ:)
ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε· τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντας μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι.
[*](3 ταῦτα: correxit Curtze 4 ἔλαττον: corr. et suppl. Heiberg 7 cf. Dioptr. cap. XXX; Hultsch Ζeitschrift f. Math. u. Phyvsik 1864 225—249; Heronis reliqu. p. 235 sq. 8 ἀγαγόντας: correxi)ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΝΓ καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ∠Η, ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ∠Η τοῦ ΑΒΗ τριγώνου· [*](fol. 71r) τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τρι|γώνου καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἡ ΓΒ, καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν Α∠ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ∠Β τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ· ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφʼ ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ. ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας ταῖς ΑΗ, ΒΗ, ΓH καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ΑΗ∠ ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ, ∠ΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ Γ ΛΒ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ Α∠Η ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ [*](7 suppl. m. 2 20 ΒΛ: ΛΒ suprascripsit m. 2 21 τῶ:)