Scholia in Euclidis catoptrica (scholia vetera)
Scholia in Euclidem
Scholia in Euclidem, Scholia in Euclidis catoptrica, Heiberg, Teubner, 1895
41. Καὶ ἀνάλογον ἔσται p. 330, 14 διὰ τὸ γ΄ τοῦ ϛ΄ βιβλίου τῆς ἐπιπέδου.
[*](36. V (q1.) 37 V (q1). 38 V (q). 39 V (q). 40. (q). 41. Vq1.)[*](4. ὡς] ὡς ἐν V. 11. ΘΚΑ] ΘΚ∠ V. 16. ΒΓΖ] Β supra scr. m. 1 V. ΖΓΕ] ΖΓ V. 17 ἡμικυκλίου] ιμηκυκλιου V. 24. γʹ] q, ι΄ V.)42. Διὰ τοῦτο μία μόνη, ἐπειδή, εἰ ἦν καὶ ἄλλη, εἰκὸς ἦν αὐτὰς συμπεσεῖν.
43. Οὐ γὰρ συμπεσεῖται p. 330, 19 ἐπειδὴ παντὸς τριγώνου αἱ β γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττους.
44. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστίν ἡ ΒΓ p. 332, 17 ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΠ ἴση τῇ ΠΚ, ἡ ΓΝ μείζων τῆς ΝΚ. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΝΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ἀπὸ μείζονα. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΝΒ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΒ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΒΝΚ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΚ ὥστε ἡ ΓΒ μείζων τῆς ΒΚ.
45. Ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΘ μείζων p. 332, 18 ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΓΒΝ αἱ γ γωνίαι ταῖς τρισὶν γωνίαις τριγώνου τοῦ ΒΝΚ ἴσαι, ἐξ ὧν αἱ δύο ἡ πρὸς τῷ Ρ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΝΚ μείζους τῶν δύο τῆς τε πρὸς τῷ Γ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΝΒ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΒΝ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΓΒΝ ἐλάσσων· ὅπου γὰρ τὸ μεῖζον, ἐκεῖ τὸ ἔλαττον.
46. Τουτέστι τῆς ὑπὸ ΒΘΚ p. 332, 19 ἴση γὰρ ἡ ΒΚ τῇ ΚΘ, ἐπειδὴ δύο αἱ ΒΓΚ δυσὶν ταῖς ΘΓΚ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ.
47. Οὐκ ἄρα συμπεσεῖται p. 332, 19 ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῆς ὑπὸ ΒΘΚ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΒΦ αἰ δύο ἄρα τῶν δύο μείζους. ἀλλʼ αἱ δύο δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ δύο ἄρα δύο ὀρθῶν ἐλάττους. ὥστε αἱ ὑπὸ ΓΒΘ, ΥΘΒ δύο ὀρθῶν μείζους.
[*](42. V (q): ad p. 330, 17 43. V (q1). 44. V (q). 45. V (q). 46. V (q1). 47. V (q).)[*](7. τοῦ] sc. τοῦ ἀπὸ. 23. ΘΒΦ] ΒΘΦ, Β e corr. m. 1. V.)48. Μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ p. 334, 15 διὰ τῶν ἀπὸ ὡς ἐν τῷ λε΄.
49. Συμπεσοῦνται ἄρα p. 334, 17 κοινῆς προσκειμένης τῆς ὑπὸ Ζ ΑΠ.
50. Παράλληλοι γάρ εἰσιν p. 334, 22 ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ ΒΛΖ δυσὶν ταῖς ΓΛΖ ἴσαι, ἀλλὰ καὶ γωνία ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΒΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΓΖ ἴση. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΛ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΛ ὥστε λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΠΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΘΓΑ ἴση διὰ τὸ τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ Π Α Β ἴση τῇ κατὰ κορυφήν. ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα δύο γωνίας δύο γωνίαις ἴσας ἔχῃ καὶ τὰ ἑξῆς· ἴσον ἄρα τὸ ΒΑ Π τρίγωνον τῷ ΘΑΓ τριγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΒΑΓ τὸ ΠΓΒ ἄρα τῷ ΘΒ ἴσον. καί εἰσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΠΘ· παράλληλος ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΠΘ.
51. Μείζων γὰρ ἡ ΜΑ p. 336, 2 ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ Π ΑΜ τρίγωνον τῷ ΑΒΛ τριγώνῳ· αἱ μὲν ὀρθαὶ αὐτῶν ἴσαι, ἡ δὲ πρὸς τῷ Κ τῇ ὑπὸ ΠΑΜ κατὰ τὰ ἤδη δειχθέντα· λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἴση· τῶν δὲ ἰσογωνίων ἀνάλογον αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΠΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΑ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΠΜ πρὸς ΒΛ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ. μείζων δὲ ἡ ΠΜ τῆς ΒΛ· ἐδείχθη γάρ· καὶ ἡ ΜΑ ἄρα τῆς ΑΛ.
[*](48. V q1. 49. V. 50. V (q). 51. V (q).)[*](4. ΖΑΠ] Ζ∠ Π V. 7. ΛΒΖ] ΛΖΒ V. 8. ΛΓΖ] ΛΓΗ V. 10. τάς] hic aliquid excidit (. . . . ἔστι δὲ καὶ ἡ).)[*](12. ἔχῃ] ἔχει V. 13. κοινὸν προσκείσθω] bis V 15. ΠΘ] debuit ΒΓ 18. ΑΒΛ] ΑΒΓ V. 25. ΜΑ] ΜΑΛ V. τῆς Λ] τῇ ΓΑΛ V.)52. Μείζων δὲ ἡ ΜΑ τῆς ΑΛ οὕτως· ἐπεὶ παράλληλος ἡ ΒΛ τῇ ΠΜ, ἴση ἡ πρὸς τῷ Μ γωνία τῇ πρὸς τῷ Λ, ἐπειδὴ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Λ. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ἴση τῇ ὑπὸ ΠΑΜ διὰ τὸ τὴν μὲν πρὸς τῷ Κ ἴσην εἶναι τῇ πρὸς τῷ ∠, τὴν δὲ πρὸς τῷ ∠ τῇ κατὰ κορυφήν· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΠΑ Μ τρίγωνον τῷ ΒΑΛ. τῶν δὲ ἰσογωνίων ἀνάλογον αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΠΜ πρὸς τὴν ΜΑ, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΑ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΠΜ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΛΑ. μείζων δὲ ἡ ΜΑ τῆς ΛΑ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΠΜ τῆς ΒΛ.1) ὁμοίως καὶ ἡ ΜΘ τῆς ΛΓ.
53. Οὐκοῦν τὸ μὲν Β p. 336, 12 ἐπειδὴ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ὁρᾶται κατὰ τὴν σύμπτωσιν ἐκβαλλομένων τῆς τε ὄψεως καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένης, ὥστε τοῦ Β ὁρῶντος τοῦ Γ ὁρωμένου καὶ τοῦ Γ ὁρῶντος τοῦ Β ὁρωμένου ταὐτὰ γίνεσθαι.
54. Ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΚ τῆς ΒΓ ἐκ τοῦ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ∠ΑΓ τῷ ∠ΕΚ2) ἐκ τῆς κοινῆς γωνίας καὶ ἐκ τῶν ὀρθῶν διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὴν ΕΚ καὶ τὴν ΒΓ.
[*](1) Errore permutauit MΑ, ΛΑ et ΠΜ, ΒΛ.)[*](2) Debuit dici: dimidium ∠ΕΚ.)[*](52. V (q); eodem pertinet. 53. V (q) 54. V (q); pertine ad p. 336, 14 sq.)[*](4. τῷ] corr. ex τό m. 1 V. 6. τῇ] τῆς V. κορυφήν κορυφῆς V. ΠΑΜ] ΠΑΝ V. 9. ΜΑ] corr. ex ΜΑ m. 2 V. 10. ΜΑ] ΜΛ V. 11 ΜΑ] ΜΛ V. 16. τοῦ Β τὸ Β V. 17 ταὐτά] ταυτα V.)55. Παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ p. 336, 15 πάλιν ὁμοίως ἰσογωνίου δεικνυμένου τοῦ ΚΖΓ τριγώνου τῷ ΕΖΒ τριγώνῳ καὶ μιᾶς πλευρᾶς μιᾷ πλευρᾷ ἴσης τῆς πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις.
56. Ἡ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῇ p. 34Ο, 9 ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὴν ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Θ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΓΘ τῇ ὑπὸ ΘΓΒ· ἡμικυκλίων γάρ. οὐκοῦν ἡ ὑπὸ ΗΓ∠ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΘΓΒ· πολλῷ πλέον τῆς ὑπὸ ∠ΠΒ.
Διὰ τί δὲ ἡ ἀνακλωμένη μὴ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζεύγνυται; ἐπειδὴ αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται, ἐλάττων δὲ ἔμελλεν εἶναι ἡ πρὸς τῷ Π τῆς ὑπὸ ΘΓΒ, ἀνάγκη οὖν τὴν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Π ἀπὸ τῆς μείζονος ἀφαιρεθεῖσαν τῆς ὑπὸ ΘΓΒ ἀνωτέρω που ποιῆσαι τὴν ἀνάκλασιν ὡς ἐπὶ τὸ Κ.
57. Φανερὸν οὖν, ὅτι p. 340, 13 ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὸ Α, ἔσται δῆλον οὕτως· ἐπεὶ δύο αἱ ΚΘΓ δυσὶν ταῖς ΚΘΑ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ διὰ τὰς περιφερείας, πάντα πᾶσιν· ὥστε γωνία ἡ ὑπὸ ΚΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΓΘ ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΘ∠ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΘ∠ διὰ τὸ τὰς ῥηθείσας ἴσας γωνίας ἐκ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν τὰς ὑπολοίπους δύο ἴσας καταλιμπάνειν, δύο αἱ ΓΘ∠ δυσὶν ταῖς ΑΘ∠ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑ∠ τῇ ὑπὸ ΘΓ∠. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΘΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΓΒ· ἡμικυκλίων γὰρ ἐφαρμοζομένων· ἐξ ὧν ἡ ὑπὸ ΚΑΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΘ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΠΗ· ἡ ἄρα [*](55. V (q1). 56. V (q). 57. V (q).)