Scholia in Euclidis catoptrica (scholia vetera)

1. Θεωρουμένου τινὸς ὕψους p. 286, 4 ἢ πάλιν ἑτέρου τινὸς σώματος πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἱσταμένου τῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ καὶ τὸ ἔνοπτρον κεῖται.

2. Τῆς σφαίρας p. 286, 15 εἶπε δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ οὐ τὸ κέντρον τοῦ ἐνόπτρου, ἐπειδὴ σφαιροειδές ἐστι τὸ κυρτὸν ἔνοπτρον. ὥσπερ οὖν ἐπὶ τῆς σφαίρας ἔχει, ὅτι, ὅθεν ἂν νοήσῃ τις ἐπʼ αὐτὴν ἐκβαλλόμενόν τι βάρος ἀπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἐκεῖνο τὸ βάρος διὰ τοῦ κέντρου ἐλεύσεται· νεύσει γὰρ ἀεὶ φυσικῶς πρὸς τὸ μέσον, καθὰ καὶ τῷ Θεοδοσίῳ ἀποδέδεικται ἐν τοῖς Σφαιρικοῖς· οὕτω δὴ καὶ ἐπὶ τοῦ σφαιροειδοῦς ἐνόπτρου ἐὰν πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀπό τινος ὁρωμένου ἀφεθῇ τις εὐθεῖα, πρὸς τὸ κέντρον τοῦ ἐνόπτρου πεσεῖται.

3. Οὐκέτι ὁρᾶται p. 286, 12 οὐκοῦν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ὁρᾶται κατʼ ἐκεῖνο τὸ μέρος, καθʼ ὃ σύμπτωσις γίνεται ἐκβαλλομένων τῆς τε ὄψεως καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου καθέτου, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ὑποδείγματος τὸ ∠ [*](1. p. 2. V1 p. 3. V pq.) [*](7. αὐτήν] p, αὐτόν V. 8. τι] p, om. V. 9. ἐκεῖνο] V, ἐκεῖ p. νεύσει] dubium. in V in p. 12. σφαιροειδοῦς] V, σφαιρικοῦ p. 15. σχόλιον add. m. 2 V. 19. ὑποκειμένου] u. nr. 4. ∠ τό] V q, δέ p.)

4. Τοῦ Ε καταληφθέντοςοὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον, ὃ κατὰ μὲν τὸ ἀληθὲς ἔξω ὁρᾶται τὸ ∠, δοκοῦν δὲ ὁρᾶσθαι πρὸς τῇ συμπτώσει.

5. Τοῦ Ε καταληφθέντος οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον, ὅ ἐστι τὸ ∠, ὃ κατὰ μὲν τὸ ἀληθὲς ὁρᾶται πρὸς τῷ τόπῳ τῷ ἀντικρὺ τοῦ Β, φαινόμενον δὲ πρὸς τῇ συμπτώσει.

6. Οὐκέτι ὁρᾶται p. 286, 15 οὐκοῦν ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ὁρᾶται κατʼ ἐκεῖνο τὸ μέρος, καθʼ ὃ σύμπτωσις γίνεται ἐκβαλλομένων τῆς τε ὄψεως καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένης εὐθείας.

7. Ὁ δὲ Ἀρχιμήδης οὕτω λέγει, ὅτι ἡ γωνία τῇ Ε ἢ ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάττων ἢ μείζων. ἔστω πρότερον μείζων ἡ τῆς Ε ἐλάττων ἄρα ἡ Ε. ὑποκείσθω οὖν πάλιν ὄμμα τὸ ∠, καὶ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πάλιν ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ ὁρώμενον τὸ Β. ἔσται ἄρα ἡ Ε γωνία μείζων τῆς Ζ. ἦν δὲ καὶ ἐλάττων· ὅπερ ἄτοπον.

8. Ἀλλὰ καὶ ἡ Θ τῇ Λ p. 288, 16 ἢ ὅτι ἡ κερατοειδὴς γωνία ἀπάσης ὀξείας γωνίας ἐλάττων ἐστίν, ἢ [*](4. V in mg. inf., pq. 5. V in mg. inf., pq. 6. V pq. 7. Vp (ad prop. 1) (q). 8. V p (q).) [*](5. ὅ] om. q. 12. σχόλιον p, m. 2 V. 18. ἤ (pr.)] m. 2 V. ἢ (sec.)] m. 2. V. ἢ μείζων] m. 2 V. 19. μεῖζον V. 24. ὀξείας] ὀξίας postea ins. m. 1 V, om. p.)

9. Ἀνίσους p. 290, 17 ἤγουν ὀξεῖαν καὶ ἀμβλεῖαν, ὅπερ γίνεται πλαγίως εἰσβαλλούσης τῆς ἀκτῖνος.

10> Ἐπεὶ οὖν ἡ Θ τῆς Μ μείζων, κοινὴ προσκείσθω ἡ Κ, Λ. δύο ἄρα αἱ Θ, Κ, Λ δύο τῶν Κ, Λ, Μ μείζους. αἱ δὲ Κ, Λ, Μ δύο ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ Θ, Κ, Λ ἄρα δύο ὀρθῶν μείζους. τὰς δὲ ἀπʼ ἐλαττόνων ἢ δυεῖν ὀρθῶν συμπίπτειν.

11> Σχόλιον. ἐπειδὴ γάρ, ὅση ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον εὐθεῖα, τοσαύτη ἐστὶ καὶ ἡ ἀντανακλωμένη ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου πρὸς ἴσας γωνίας αὐτῇ διὰ τὸν ὅρον, ἔστι διὰ τοῦτο ἡ μὲν ΒΓ τῇ Γ∠ ἴση, ἡ δὲ ΒΑ τῇ ΑΕ, ἐπειδὴ τὸ ὄμμα πρὸς τῷ Β ἐστιν. ἄνισος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ ἄνισος ἄρα καὶ ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ. οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται διὰ τοῦτο διὰ τὸ τὴν μὲν μείζονα εἶναι, τὴν δὲ ἐλάττονα. οὐδὲ ἐξέσται αὐξῆσαι τὴν Γ∠ καὶ ἀγαγεῖν ἕως τοῦ Ε· τοσαύτη γὰρ εἶναι ὀφείλει, ὅσηπερ καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἡ ἀκτίς, τοσαύτης δὲ αὐτῆς ὑποκειμένης πρὸς τὴν ΑΕ οὐ γενήσεται σύμπτωσις.

12. Ἴσαι ἄρα εἰσίν p. 294, 17 κατὰ τὸ ἐφαρμόζεσθαι τὰ ἡμικύκλια.

13. Μείζων ἡ Ζ γωνία p. 296, 4 ἐπειδὴ παντὸς κύκλου τμήματος αἱ γωνίαι ἴσαι εἰσίν· οἷον τμήματος τοῦ ΑΒΓ ἐὰν τέμνωμεν δίχα τὴν ΑΒ οἷον κατὰ τὸ Ν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀναστήσωμεν τὴν ΝΓ, ἐφαρμόζουσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ, Β γωνίαι, καὶ κατὰ τὸν τῶν ἐφαρμοζόντων λόγον καὶ ἴσαι ἔσονται, ἐπειδὴ καὶ τὸ ΓΝΒ ἐφαρμόζει τῷ ΓΝΑ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ αἱ τοῦ ΓΒ τμήματος γωνίαι ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΒΡ, μείζων καὶ ἡ Ζ τῆς Θ· ἴση γὰρ ἡ μὲν Ζ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΡ τῇ πρὸς τῷ Γ. καὶ ταῦτα μὲν ὡς ἐπὶ τοῦ ῥητοῦ. ὅτι δὲ καθόλου ἡ τοῦ μείζονος τμήματος γωνία οἷον ὡς ἡ ὑπὸ Γ∠Ζ μείζων ἐστὶν τῆς τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΖΘ, δείξωμεν οὕτως· ἔστω γὰρ ἡ ὑποκειμένη καταγραφὴ κέντρου ὄντος τοῦ Η. ἐπεὶ οὖν αἱ τῶν ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι εἰσὶν κατὰ τὸν τῶν ἐφαρμοζόντων λόγον, ἴση ἡ ὑπὸ Κ∠Θ τῇ ὑπὸ ΛΖΘ, ὧν ἡ ὑπὸ Κ∠Γ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΛΖΕ· ἐπὶ ἐλάττονος γὰρ περιφερείας βέβηκεν τῆς ΓΚ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Γ∠Θ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΖΘ. ὅπου γίνεται γὰρ τὸ ἔλαττον, ἐκεῖ τὸ μεῖζον. ο). ἔστι δὲ αὐτόθεν [*](13. V (q). Fig. pr. om. V.) [*](3. τήν] τόν V. 6. καί] om. V. 26. γίνεται] γ V. 27. ο)] h. e. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἔστι] sqq. om. q.)

14. Τοῦ γὰρ μείζονος τμήματος ἡ γωνία. καὶ πάλιν ἐὰν τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὰ Γ, Α, κατὰ τὰ αὐτὰ ἔσται.

15. Αἱ ἄρα Ζ, p. 296, 51) ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Α καὶ Γ ἐπιζεύξωμεν, αἱ γινόμεναι πρὸς τῷ Α τῶν ἡμικυκλίων δύο γωνίαι, τουτέστιν αἱ γ ἅμα αἱ Η, Λ, Ζ, ταῖς γινομέναις πρὸς τῷ Γ τῶν ἡμικυκλίων δύο γωνίαις, τουτέστιν ταῖς τρισὶν ἅμα ταῖς Κ, Μ, Θ, ἴσαι εἰσίν· ὧν αἱ Η, Ζ μείζονες ἐδείχθησαν τῶν Κ, Θ· λοιπὴ ἄρα ἡ Λ λοιπῆς τῆς Μ ἐλάττων ἐστίν· ὅπου γὰρ τὸ μεῖζον, ἐκεῖ τὸ ἔλαττον.

16. Ἡ δὲ Π τῆς Ο p. 298, 7 ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὰ Α, Γ, ὡς ἐν τῷ σχολίῳ τοῦ πρὸ αὐτοῦ 15.

17. Φανερὸν δέ p. 298, 13 ἐπεὶ γὰρ ἴσης οὔσης τῆς ΑΘ τῇ ΓΚ ἴση ἐδείχθη καὶ ἡ Π τῇ Ο, μείζονος δὲ οὔσης τῆς Α τῆς ΓΚ ἐλάσσων ἐδείχθη ἡ Ο τῆς Π, ἐὰν ἡ σύμπτωσις ἐπὶ τῆς περιφερείας γένηται ὡς κατὰ τὸ Σ, ἴση ἔσται ἡ ΣΘ τῇ ΣΚ ἢ ἐλάττων ἡ ΣΘ τῆς [*](1) Huc refertur in V q, sed pertinet ad λοιπὴ ἄρα p. 296, 7.) [*](14. V (q1). 15. V (q). 16. V (q1). 17. V (q).) [*](1. ἡ] corr. ex εἰ m. 2 V. ἐν (tert.)] ε V. 5. μείζωνος V. 4. κέντρου] ιε V, ε? m. 2. 7. γεινόμεναι V. 9. Λ] V. γεινομέναις V.)

18. Αὕτη ἡ καταγραφὴ οὐ κατὰ τὰ ἀποδειχθέντα ἐστὶν ἐκβαλλομένων τῶν ὄψεων καὶ τῶν ὁρωμένων, οὐδὲ ἡ τοῦ βιβλίου, ἀλλὰ αὕτη κατὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις ἐκβαλλομένων τῶν ὄψεων καὶ καθέτων ἀγομένων ἀπὸ τῶν ὁρωμένων καὶ ἐκβαλλομένων, καθὸ ἡ σύμπτωσις γίνεται, ὁρωμένων τῶν ὁρωμένων.

19. Δυνατὸν καί, ὡς ἔχει ἡ καταγραφή, προβῆναι τὴν δεῖξιν. ἐπειδὴ γὰρ ἀνωτέρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΒΓ ἐὰν γὰρ ἄνωθεν διὰ αὐτῶν ἀγάγωμεν κάθετον, τὰ κατὰ τῆς Β Α τὰ ἀνώτερά ἐστι τῆς καθέτου· τὸ ἀπὸ τῆς ἀνωτέρας ὁρώμενον, ὅ ἐστι τὸ ∠, τὸ ἀνώτερόν ἐστιν.

20. Καὶ τοῦτο ὁμοίως τῷ ἀνωτέραν εἶναι τὴν ΒΑ τῆς ΒΓ. ἐὰν δὲ κατὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις ἐπὶ τῶν κυρτῶν, ὅτε ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἐν αὐτοῖς ὁρᾶται, [*](18. V (q); ad prop. 9. 19. V (q); ad schol. nr. 18. 20 V (q); ad prop. 10.) [*](4. ἀδύνατον] sc. μεῖζον. 7. ἀλλά] om. q. 8. ἐκβαλλο μένων] q, ἐβαλλομένων V. 12. ἀνωτέρα] ἀνωτερ V, ἀνωτέρω q 14. ἀνώτερα] ἀνωτερ V, ἀνωτέρω q.)