Scholia in opticorum recensionem Theonis (scholia vetera)

Scholia in Euclidem

Scholia in Euclidem, Scholia in opticorum recensionem Theonis, Heiberg, Teubner, 1895

11. Ἀλλὰ δηλονότι μέχρι τῶν Κ, Λ περάτων ἐλθοῦσαι στήσονται καὶ ἐφʼ ἑαυτὰς ἀνακλασθήσονται --- στηρίζουσιν, ἀλλʼ ὡς θ --- τι ἐπεὶ ἐγγύτερόν ἐστι τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον, καὶ πλείονες ὄψεις τούτῳ προσπεσοῦνται, καὶ ἀκολούθως ἀκριβέστερον ὁραθήσεται, τουτέστι μᾶλλον ἢ τὸ ἕτερον ὁραθήσεται.

12. Πλειόνων ὄψεων p. 156, 23 εἰ δὲ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων, καὶ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν.

Ad prop. III.

13. Ἴσως εἴποι τις ἄν, ὡς, ἐπειδὴ οὐ μόναι αἱ ΒΓ, Β∠ προσπίπτουσιν ἀκτῖνες πρὸς τὸ Γ∠ μέγεθος, ἀλλὰ καὶ ἄλλαι πλεῖσται μεταξὺ τῶν Γ, ∠, ὅτε ἀφισταμένου τοῦ Γ∠ μεγέθους οὐ πίπτουσιν αἱ ΒΓ, Β∠ ἀκτῖνες, προσπεσοῦνται αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦσαι ἀκτῖνες. λέγομεν οὖν πρὸς τὸν οὕτω ἀπορήσαντα, ὅτι, εἰ καὶ πρὸς μικρὸν ἀφεστηκότος τοῦ Γ∠ μεγέθους οὐ προσβαλοῦσιν αἱ ΒΓ, Β∠ ἀκτῖνες, ἀλλʼ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου, καὶ ἐπὶ πλεῖστον ἀφεστηκότος τοῦ τοιούτου μεγέθους οὐδʼ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦνται διὰ τὸ πλατύνεσθαι τὸ μεταξὺ τῶν τοιούτων ὄψεων διάστημα [*](10. VM1 FR qst (ad p. 156, 23). 11. V2. 12. R1.) [*](13. R (MAF qrstu, Vat. m. 2). 8—10 non intellego. 17. εἴποι] M qr, εἴπῃ RF rt.)

255

ἀφισταμένου τοῦ μεγέθους ὄντος ὡρισμένου παντὸς μεγέθους.

14. Τῶν γὰρ διαστημάτων ἢ μᾶλλον ἀποστάσεων προχωρουσῶν ἔσται μεταξὺ διάστημα, οὗ αἱ ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπʼ ἀλλήλων ἀποσχισθῆναι οὐχ ἅψονται.

Ad prop. IV.

15. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΚΒΖ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, ἴσαι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΓ, Γ∠, ∠Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΚ, ∠Κ. φημὶ δή, ὅτι ἡ Μ τῆς Ν μείζων ἐστίν, ἡ δὲ Ν τῆς Ξ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ∠Κ παράλληλος ἡ ΓΛ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ Κ Λ πρὸς τὴν ΛΒ. ἴση δὲ ἡ ∠Γ τῇ ΓΒ, ἴση ἄρα καὶ ἡ Κ Λ τῇ ΛΒ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β, μείζων ἡ ΓΛ τῆς ΛΒ, τουτέστι τῆς ΛΚ ὥστε καὶ γωνία ἡ Μ μείζων ἐστὶ τῆς Ο. ἀλλὰ ἡ Ο ἴση ἐστὶ τῇ Ν ἐναλλὰξ γάρ εἰσιν· καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Μ ἐλάσσων ἐστίν. πάλιν ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΖΚ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Π φανερὸν δή, ὅτι ἡ Ρ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ὥστε πάλιν ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ Π ∠ μείζων ἐστὶ τῆς ΠΚ ὥστε καὶ γωνία ἡ Ν [*](14. R1. 15. V (Vat. qr); ad p. 158, 20.) [*](1. ὁρισμένου R. 7. ὀρθογώνιον] ⊥ V. ὀρθήν] ⊥. V.) [*](19. τῆς (pr.)] τῇ V? 21. Ante τῆς ras. 4 litt. V. ἐναλάξ V.) [*](22. Μ] e corr. m. rec. V. ἐλάσσων] comp. corr. ex μείζων m. rec. V. 23. Ante Ρ eras. η v.)

256

τῆς Σ. ἀλλʼ ἡ Σ τῇ Ξ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Ξ μείζων ἐστίν.

16. Ἔστω ἴσα διαστήματα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τὰ ΑΒ, ΒΓ, Γ∠, καὶ ἀνήχθω τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, ἐφʼ ἧς κείσθω ὄμμα τὸ Ε. λέγω, ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΒΓ, τὸ δὲ ΒΓ τοῦ Γ∠. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, Ε∠, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΕ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΒΖ διὰ, τὸ δεύτερον τοῦ ἕκτου. λοιπὸν ἔσται ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ. μείζων δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ διὰ τὸ μείζονα γωνίαν ὑποτείνειν· μείζων ἄρα καὶ τῆς ΖΕ. μείζωον ἄρα καὶ ἡ Θ γωνία τῆς Κ. ἀλλὰ τῇ Κ ἴση ἡ Λ διὰ τὸ εἶναι ἐναλλάξ· μείζων ἄρα ἡ καὶ τῆς Λ. μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ. ὁμοίως διὰ τοῦ Γ ἀχθείσης παραλλήλου τῇ ∠Ε τῆς ΓΗ δειχθήσεται τὸ ΒΓ, ὅτι μεῖζον φανήσεται τοῦ Γ∠.

17. Διὰ τὸ τὴν ΛΓ ὑποτείνειν καὶ τὴν Μ μείζονα οὖσαν καὶ τῆς ΛΚ τῆς ὑποτεινούσης τὴν Ο, ἡ δὲ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει.

ἡ δὲ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ.

Ad prop. VI.

18. Κάθετος ἄρα ἐστίν p. 162, 3—4 πῶς ἡ ΚΜ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΜΛ, δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ἀπὸ [*](16. v 1 in mg. sup. (ad ipsam prop. 4 add ἑτέρα τούτου ἄνω ἀπόδειξις); est opt. uel. prop. lV. 17. q (ad schol. nr. 15 p. 255, 20 21). 18. R, q fol. 109 (add. ζήτει ἐν τῷ ζʹ θεω- ρήματι) (M 1 Arsu, Vat. m. 2).) [*](24. Post ἐπεί add. ο (οὖν) R.)

257

τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἦκται ἡ Κ Α, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ Κ Α ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τὴν ΖΛ κάθετος ἦκται ἡ ΑΜ, καὶ πρὸς τὴν ΑΜ ἡ ΚΑ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α καὶ ἐπὶ τὸ Λ ἡ ΑΛ· καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΑΛ ἡ ΑΚ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ἐπεὶ οὖν τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΛ γωνίαν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΛ. πάλιν ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΑΜΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΜΛ γωνίαν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΑ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΜ, ΜΛ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΜ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ· τρίγωνον γάρ ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ, καὶ διὰ τὸ μηʹ τοῦ πρώτου τῶν Στοιχείων ἡ ὑπὸ ΚΜΛ γωνία ὀρθή ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

19. Μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ κτλ. p. 162, 9 ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ μείζων ἐστίν, δείξομεν τοῦτον τὸν τρόπον· ἐπεὶ ὀρθογώνιόν ἐστι τρίγωνον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν, ὀξεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΜΑ· ὥστε ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΚΜΞ. ἀμβλυγωνίου οὖν τριγώνου τοῦ ΚΞΜ ἡ ΚΞ [*](19. Rq (M 1 AFrsu, Vat. m. 2).) [*](9. ὑπό] corr. ex ἀπό R. τῆς] τοῦ R. ΚΛ] Κ e corr. R.) [*](12. ΑΜΛ (alt.)] q, ΜΑΛ RM. 14. τῆς) q, τοῦ R. 17. τῇς] τοῦ R. 18. ΚΜ] ΚΑ R. 23. τοῦτον τὸν τρόπον] Rr; οὕτως q. 24. τρίγωνόν ἐστι q. 26. ΚΞΜ] ΚΜΞ q.)

258

ὑποτείνει τὴν πρὸς τῷ Μ ἀμβλεῖαν γωνίαν· μείζων ἄρα ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ. ἐπεὶ οὖν τρίγωνά εἰσιν ὀρθογώνια τὰ ΚΞΝ, ΚΜΛ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Ξ, Μ γωνίας, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ, ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ· ἡ γὰρ ΞΝ τῃ ΜΛ ἴση ἐστὶν ὡς παραλληλογράμμου τοῦ ΜΝ οὖσα ἀπεναντίον, ἡ δὲ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων. καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ μεῖζον· ὥστε καὶ ἡ ΚΝ τῆς ΚΛ μείζων. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων· ἴση δὲ ἡ ΞΝ τῇ ΜΛ· ἐὰν ἄρα τὴν ΜΛ ἐπὶ τὴν ΞΝ ἐφαρμόσωμεν, ἐντὸς πεσεῖται τὸ ΚΜΛ τρίγωνον τοῦ ΚΞΝ τριγώνου, καὶ διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ad prop. VII.

20. Γεγράφθω γὰρ περὶ τὸ τρίγωνον κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Κ∠, ΚΓ ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὰ Ν, Ξ. καὶ ἐπεὶ ἀμβλεῖα δείκνυται ἡ ὑπὸ Ζ∠Ν ὡς ἐκτὸς οὖσα, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ Ζ∠ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς ἡ ∠Α. πάλιν ἐπεὶ ἀμβλεῖα δείκνυται ἡ Γ ὡς ἐκτὸς [*](20. V (Vat. q, p in textu post prop. VII); alia demonstratio est prop. VII; cfr. opt. uel.) [*](5. ἴσον ἐστὶ τοῖς q. 6. καί — 7. ΚΜ, ΜΛ] om. q. 7. ΞΝ] ΞΜ q. 10. μείζων q. 13. ἐντὸς πεσεῖται] ἐμ- πεσεῖται q 18. γάρ] om. p. κύκλος] κύκλο V, corr. m. rec.) [*](23. ὀρθάς] comp. m. rec. V, ut p. 259, 1.)

259

οὖσα, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς ἡ ΓΜ. τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων δειχθήσεται ἡ ΖΛΝ περιφέρεια μείζων τῆς ΞΒ περιφερείας ἐκ τοῦ παρακειμένου λήμματος τοῦ ἐν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ γʹ βιβλίου τῶν Σφαιρικῶν· ἴσας γὰρ περιφερείας ἀφαιροῦσιν αἱ κάθετοι. ὥστε καὶ γωνία ἡ Σ μείζων ἐστὶ τῆς Φ. ὥστε καὶ ἡ Ζ∠ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ.