Scholia in Euclidis Data

Scholia in Euclidem

Scholia in Euclidis Data, Menge, Teubner, 1896

1. Τῶν δεδομένων τὰ μὲν θέσει ἐστὶ δεδομένα, τὰ δὲ μεγέθει, τὰ δὲ καὶ θέσει καὶ μεγέθει.

2. Τὸ δεδομένον λέγεται τετραχῶς· ἢ γὰρ μεγέθει ἢ εἴδει ἢ λόγῳ ἢ θέσει δεδόσθαι λέγεται. καὶ τί μὲν τούτων ἕκαστον σημαίνει, αὐτὸς σαφῶς διδάσκει. κοι- νῶς δὲ λέγεται δεδομένον, ᾧ δυνατόν ἐστιν ἴσον εὑρεῖν τε καὶ πορίσασθαι.

3. Τὴν τῶν δεδομένων πραγματείαν ἐν ἑνὶ ἐπι- πέδῳ κειμένων ὑποθετέον, ὥσπερ καὶ τὰ πρῶτα ἓξ τῆς στοιχειώσεως βιβλία.

[*](σχόλια ρS. 1. PlVat. C1Mon.σρS. 2. Vat. vC1lρS, cum nr. 1 coniunctum PMon.S. ln hoc scholio ρ post μεγέθει add.: ὡς ἡ εὐθεῖα καθʼ ὑπόθεσιν πηχῶν τοσούτων, post εἴδει: ὅταν ἡ τὸ σχῆμα △ ἢ ⁗ ἢ ⊙, post λόγῳ: ὅταν ἡ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον, post θέσει: ὅταν ἐν τῷ δεῖνι τόπῳ λέγῃς δεῖν τεθεῖσθαι τὸ σημεῖον ἢ τὴν εὐθεῖαν ἢ ἐν τόπῳ ἁπλῶς καὶ μὴ νοητῶς αὐτὴν θεωρῇς. 3. C1Mon.σρ, cum nr. 2 conounc- tum Vat.)[*](3. τά — μεγέθει (alt.)] om. ρ. 4. τετραχῶς λέγεται ρ.)[*](5. λόγῳ] θέσει ]. θέσει] λόγῳ l. τί] ὅτι S. 7. δεδο- μένον, ᾧ] δεδομένῳ Pl: ω mut. in οις l1: δεδομένα οἷς C1.)[*](ἐστιν] om. Vat. vMon.S. 8. τε] om. Vat. vMon.S.)

262

4. Δεδομένα ἐστὶ τὰ ὡρισμένα, τουτέστιν ὧν τὰ πέρατα δέδοται εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει· τούτοις γὰρ δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι ὁμοίως εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει. δύναται δὲ καὶ ῥητὸν καὶ ἄλογον δεδο- μένον εἶναι, ὡς λέγει Πάππος ἐν ἀρχῇ τοῦ εἰς τὸ ι΄ Εὐκλείδου· τὸ μὲν γὰρ ῥητὸν καὶ δεδομένον ἐστίν, οὐ πάντως δὲ καὶ τὸ δεδομένον ῥητόν ἐστιν.

5. Ἵνα ᾖ ὡρισμένος τῷ μεγέθει.

6. Ἵνα καὶ τῷ τόπῳ καὶ τῷ μεγέθει ὡρισμένος ᾖ.

7. Ταῦτα ὡς ἐπὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἀκουστέον.

8. Τῷ γὰρ ἀφαιρεθέντι τὸ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπο- μεῖναν μεῖζόν ἐστιν.

9. Τὸ μὲν πρὸ αὐτοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐνταῦθα δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος.

[*](4, 5. PlVat. vC1Mon. σρλc. 6. PlVat. vC1Mon. ρ. 7. Mon.σρ. 8. PlVat. vC1Mon. σρλ. 9. PlVat. vMon. ρ σλ.)[*](2. Post πέρατα add. ὡρισμένα v. τούτοις] τουτέστι ρ.)[*](τούτοις — 4. αἰσθήσει] om. vρ. 3. εἴτε — εἴτε] ἤτοι — ἢ λ.)[*](5. ι΄] om. Mon. 7. καί] om. vρ. 15. τῷ] τὸ lλ. 16. Ante μεῖζον add. αὐτοῦ λοιποῦ σ.)

263

10. Τὰ ϛ τῶν δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο· καὶ τὰ δ τῶν ς δοθέντι ἔλαττόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο πάλιν δεδομένοις.

11. Τὸ ἢ ἐν λόγῳ ἀντὶ τοῦ παρʼ ὃ ἐν λόγῳ. ἔχει δὲ τὴν ἀναφορὰν πρὸς τὸ μεῖζον· παρὰ τοσοῦτον γὰρ οὐκ ἔχουσι λόγον δοθέντα τὰ δύο μεγέθη, παῤ ὅσον ὑπερέχει τὸ ἓν τοῦ ἑτέρου δοθέντι τινὶ μεγέθει, οὗ ἀφαιρεθέντος εὑρίσκεται καὶ ὁ δεδομένος λόγος τῶν δύο μεγεθῶν. εἰ μὲν γὰρ λείπει τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφ- αιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ λοι- πὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον ἐστίν. εἰ δὲ πρόσκειται τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος οὐκέτι τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον, ἀλλʼ ἔχει τινὰ λόγον. μεῖζον οὖν ἐστι τὸ ἓν μέγεθος τοῦ ἑτέρου ἢ ὥστε ποιῆσαι λόγον. ἐὰν οὖν ἡ ὑπεροχὴ δεδομένη ᾖ, καὶ ὁ λόγος δεδομένος ἐστίν.

12. Ἀπὸν γὰρ τὸ προστεθὲν ἐλυμαίνετο τὴν σχέσιν τοῦ δεδομένου λόγου.

[*](10. PlVat. vC1Mon. ρσ; initdio add.: εἰς τὸ αὐτὸ C1; pro τοῖς γάρ lin. 3 — δεδομένοις lin. 4 haec habet C1: δοθεὶς γὰρ ὁ β. ὁ οὖν ϛ ὁ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπομείνας τῶν δύο αὐτῷ τῷ ἀφαιρεθέντι τῶν δ μείζων ἐστίν. 11. C2l1λ; initio huius scholii haec habet C2: Ƒ ζήτει τὸ σημεῖον τοῦτο εἰς τοὺς ὅρους τῶν δεδομένων. σχόλιον εἰς τὸν ὅρον τῶν δεδομένων η (ras. del.) θ (ἔνθα?) τὸ ῥηθὲν σημεῖον. Ƒ signum in textu C2 hab. ad def θ΄. 12. PlVat. vC1Mon. σρλ.)[*](4. δεδομένοις] -να Mon. 9. ὑπερέχει] ὑπερβάλλει l2λ. 12. ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ] δοθέντος l2λ. 14. ὑπερέχοντος] τοῦ δοθέντος μείζονος l2λ. 16. μεῖζον — 18. ἐστίν] om. l2λ.)

264

13. Τούτους Ἀπολλωνίου φασὶν εἶναι τοὺς τρεῖς ὅρους.

14. Τουτέστιν ἀκίνητον, ἵνα ὁμολογουμένη μοι ᾖ ὁποία ἐστὶν ἡ γωνία.

15. Εἰδέναι δεῖ, ὡς, ἔνθα ὁ φιλόσοφος λέγει ἀπο- λελυμένως δεδομένα μεγέθη, μεγέθει δεδόσθαι ση- μαίνει.

16. Ὁ λόγος τοῦ πόσου διακόλουθος, ἡ θέσις δὲ οὐ διὰ τοῦ πόσου, ἀλλὰ τοῦ κεῖσθαι.

17. P. 6, 2] δέδοται καὶ τὸ διὰ τὸ ἀντιστρό- φιον τοῦ ὅρου. (l. 4) ὁμοίως καὶ τὸ ∠· ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πεπόρισται ἐν δεδομένοις μεγέθεσι τοῖς Γ καὶ ∠.

18. Ὁ αὐτὸς γάρ p. 6, 8] διὰ τοὺς ὅρους· λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.

19. Τῶν μὲν δεδομένων μεγεθῶν καὶ ὁ λόγος ὁ πρὸς ἄλληλα δέδοται· οὐκέτι δέ, εἰ τῶν μεγεθῶν ὁ [*](13. PlVat. vC1Mon. σρλ. 14. PlVat. C1Mon. σρλ. 15. PlVat. vC1 Mon. σρλc; C1 post σημαίνει continuo hab. schol. nr. 10. 16. v (coniunct. cum nr. 15.) 17. v. 18. C2.) [*](19. Pl (ad finem libri post schol. nr. 23).) [*](2. τούτους] τούτου Pl, τοῦτά ρ. Ἀπολλώνιος Plvσλ. τοὺς τρεῖς ὅρους Ἀπολλωνίου C1. φησίν Plvσλ. εἶναί φησι Vat. Mon. ρ. εἶναι] om. vσ. τοὺς τρεῖς ὅρους] om. C1.) [*](8. λέγει] λέγῃ ρ. ἀπολελυμένως] -να Mon. 10. Post ση- μαίνει add. τὰ μεγέθη v. 12. οὐ] οὐκ v. 20. εἰ] om codd.)

265

πρὸς ἄλληλα λόγος δέδοται, καὶ ταῦτα πάντως δέδοται τὰ μεγέθη. πολλάκις γὰρ ὁ μὲν λόγος αὐτῶν δέδοται, αὐτὰ δὲ οὐ δέδοται.

20. Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. οὐ γὰρ δὴ καθόλου ῥητέον αὐτὸ ἀντίστροφον. ἧν γὰρ ἂν τὸ ἀντίστροφον τὸ καθόλου ὄν· ἐὰν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει. τινὲς δὲ τὸ θεώρημα ψευδογραφοῦντες ἐπείγονται δεικνύειν ἀντίστροφον αὐτὸ τοῦ πρὸ αὐτοῦ καί τί φασιν ὡς· ἐὰν μεγέθη τινὰ λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει.

21. Καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ p. 6, 20] δέδοται καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου. δέδοται δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ λόγος διὰ τοῦ α΄. δέ- δοται δὲ καὶ τοῦ Β πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντι- στρόφιον τοῦ ὅρου. ἴσον γὰρ αὐτῷ τῷ Β τὸ ∠ πεπόρισται ἐν δεδομένῳ λόγῳ.

22. Ἴσον ἄρα p. 6, 23] διὰ τοῦ θ΄ τοῦ ε΄. χρὴ δὲ γινώσκειν, ὅτι τὰ ἴσα καὶ τὸ αὐτὸ λέγειν ἕν ἐστιν. ὃ γάρ ἐστιν ἴσον τινί, καὶ τὸ αὐτό ἐστιν ἐκείνῳ κατὰ τὴν ἰσότητα. οὐκ ἀντιστρέφει δέ· οὐ γὰρ ὅπερ ἐστὶ τὸ αὐτό τινι, καὶ ἴσον ἐστὶν ἐκείνῳ· δύναται γὰρ καὶ κατὰ ποιότητα τυχὸν τὸ αὐτὸ εἶναι.

[*](20. PlVat. vC1Mon. (superscr. τοῦ δευτέρου) σρc. 21. vσ. 22. C2l2λ.)[*](1. ταῦτα] fort. αὐτά. 4. ἀντίστροφον] -ιον Pl. 5. αὐτό] τό l. ἀντίστροφον] -ιον Mon., item lin. 6. 6 ἄν] om. vr.)[*](τό (alt.)] om. Mon. 8. τό] om. Vat. C1Mon., τῷ l. ψευδο- γραφοῦντες] -?? PlVat. v; -γραφ᾿ C1; γράφει Mon. 9. αὐτό] om. Mon. lacuna relicta 5 litt. 14. Γ] β σ. τοῦ (alt.)] τό σ. 19. λέγειν καὶ τὸ αὐτὸ C2.)

266

23. Ἐὰν λέγῃ ὅτι δέδοται ἄρα, δῆλον, ὅτι τῷ με- γέθει αὐτῷ δεδόσθαι λέγει. ἐὰν δεδομένον τῷ εἴδει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ εἴδει. ἐὰν δεδομένον τῇ θέσει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῇ θέσει. σπανίως πάνυ, ἐὰν ᾖ δεδομένον τῷ μεγέθει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ μεγέθει.

24. Ὅλον ἄρα p. 8, 11] ἐὰν γὰρ ἴσα ἴσοις προσ- τεθῇ, τὰ πάντα ἐστὶν ἴσα.

25. Καὶ τοῦτο ἀντιστρόφιόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ· τὸ γὰρ κυρίως ἀντιστρόφιον ἧν ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς ὁποσαοῦν διαιρεθῇ, καὶ ἕκαστον τῶν, εἰς ἃ διῄρηται, δεδομένον ἐστίν.

26. Λοιπὸν ἄρα p. 8, 24] ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα.

27. Οἷον ὁ ιε πρὸς ἑαυτοῦ μέρος τὸν ῑ λόγον ἔχει τὸν ἡμιόλιον, καὶ πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ε λόγον ἔχει τὸν τριπλασίονα.

28. Τοῦτο ἔοικε τῷ καὶ ἀντιστρέψαντι λόγον ἔχειν δεδομένον.

[*](23. PlVat. ρc (ad finem libri post schol. nr. 101). 24. C2. 25. PlVat. vMon. σρc. 26. C2λ. 27. PIVat. vMon. σρS. 28. PIVat. Mon. σρλ.)[*](3. ἄρα] comp. bis Vat. 11. ἀντίστροφον τσρ. 13. τῶν, εἰς ἃ] αὐτῶν ἴσα Pl. 16. λοιπά] καταλειπόμενα λ. 18. ἑαυτοῦ] τὸ ἑαυτοῦ v. τόν] τό lρ. 20. τριπλάσιον Mon.S.)

267

29. Ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω p. 10, 10] δυνατὸν γὰρ τριῶν δοθέντων μεγεθῶν τέταρτον ἀνάλογον εὑρεῖν.

30. Λόγος ἄρα τοῦ ∠ Ζ p. 10, 14] τῶν γὰρ δεδο- μένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.

31. Ἀναστρέψαντι ἄρα p. 10, 16] διὰ τοῦ ὅρου τοῦ ε8· ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.

32. Λόγος ἄρα καί p. 10, 19] ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐπορίσαμεν τὸν τοῦ ∠ Ζ πρὸς ΖΕ.

33. Ὁ ἄρα τοῦ ∠Ε πρὸς ΕΖ p. 12, 5] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ ἐστιν ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ.

34. Λόγος ἄρα τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον p. 12, 8–9] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ πεπόρισται ὁ τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον τῶν ∠Ε, ΕΖ.