Commentarii in libros de sphaera et cylindro

Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τμῆμα τῷ ΘΚΛ τμήματι, ὅμοιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΕΖΩ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ καταγραφαὶ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΕΗ, ΗΖ, ΕΟ, ΟΖ, ΘΛ, ΛΚ, ΘΞ, ΞΚ. Ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΕΖΗ, ΘΚΛ τμήματα, ἴσαι εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΕΗΖ, ΘΛΚ γωνίαι· ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν. Καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Φ, Υ· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΗΦΖ τρίγωνον τῷ ΛΥΚ, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσογωνίων ὄντων τῶν ΦΖΟ, ΥΚΞ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΚΥ πρὸς ΥΞ· δι᾿ ἴσου ἄρα,

ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΞ. Καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΗΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΛΞ πρὸς ΞΥ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἡ ΣΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΡΞ πρὸς ΞΥ· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΦΟ, τουτέστιν ἡ ΩΦ πρὸς ΦΗ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΡΞΥ πρὸς ΞΥ, τουτέστιν ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ· καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΥΚ· καὶ τῶν ἑπομένων τὰ διπλάσια ὡς ἄρα ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ. Τῶν ἄρα ΩΕΖ, ΨΘΚ κώνων ἀνάλογόν εἰσιν οἱ ἄξονες καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων· ὅμοιοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λόγος δὲ τῆς ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς | Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν, δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων· ὥστε δὲδοται ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΗΦ. Καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ΕΖ ἡ ΕΦ δοθήσεται ὥστε καὶ τὸ ἀπ᾿ αὐτῆς. Καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΦΟ. Ἐὰν δὲ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληρῇ, πλάτος ποιεῖ δοθεῖσαν δοθεῖσα ἄρα ἡ ΦΟ. Ἀλλὰ καὶ ἡ ΦΗ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας δοθεῖσά ἐστι, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς δέδοται ἡ ΣΟ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΦ δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΣΟ πρὸς ΟΦ λόγος. Καὶ συνθέντι ὁ συναμφοτέρου τῆς ΣΟΦ πρὸς τὴν ΟΦ λόγος δοθείς ἐστιν, τουτέστι τῆς ΩΦ πρὸς ΦΗ. Καὶ δέδοται ἡ ΦΗ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΩΦ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΕΖ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΩΦ πρὸς ΕΖ λόγος.

Τὰ αὐτὰ δὲ ἂν ῥηθείη καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος, καὶ συναχθήσεται ὁ τῆς ΧΤ πρὸς ΑΒ λόγος δοθείς· καὶ διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ΑΒ δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ XT.

Ὅτι δέ, ἂν τὰ τμήματα δεδομένα ᾗ, καὶ τὰ ὕψη αὐτῶν

δοθήσονται πρόδηλον μέν, ἵνα δὲ καὶ τοῦτο ἀκολούθως τῇ στοιχειώσει τῶν Δεδομένων δοκῇ συνάγεσθαι, λεχθήσεται.

Ἐπειδὴ δέδοται τὰ τμήματα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει, δέδοται καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία· ὥστε καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς. Καὶ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην τὴν ΕΗ, δεδομένης τῆς πρὸς τῷ Φ ὀρθῆς δεδομένη ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ καὶ τὸ ΕΗΦ τρίχωνον τῷ εἴδει· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΕΦ πρὸς ΦΗ λόγος δοθεὶς ἔσται. Καὶ δέδοται ἡ ΕΦ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΖ δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἔνεοτι δὲ καὶ ἄλλως λέγειν. Ἐπειδὴ δέδοται ἡ ΕΖ τῇ θέσει, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Φ, διχοτομία γάρ ἐστι τῆς ΕΖ, πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΦΗ τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ ἡ περιφέρεια τοῦ τμήματος τῇ θέσει, δέδοται ἄρα τὸ Η. Ἦν δὲ καὶ τὸ Φ δεδομένον δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς △ Ἐπεὶ γὰρ γέγονεν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ, ἡ ΧΤ πρὸς △, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, ἡ ΚΘ πρὸς △. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ· ἴσων γὰρ ὄντων τῶν κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ὡς δὲ αἱ βάσεις πρὸς ἀλλήλας, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς τὴν △.

Καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ΄ πρὸς △ | Ἐπειδὴ τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Ϛ΄ καὶ ὁ τῆς ΚΘ πρὸς △, καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς Ϛ΄ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΚΘ πρὸς △· ὥστε ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ΄ πρὸς △.