Commentarii in libros de sphaera et cylindro

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α△, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α△, Γ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Γεγράφθω περὶ τὴν μείζονα τὴν Α△ κύκλος ὁ ΑΒ△Ζ, καὶ τῇ Γ ἴση ἐνηρμόσθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ἀπὸ του ἐφαπτομένῃ τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Π, παρὰ δὲ τὴν Π△Ο ἤχθω ἡ ΒΕΖ, καὶ νενοήσθω ἡμικυλίνδριον ὀρθὸν ἐπὶ τοῦ ΑΒ△ ἡμικυκλίου, ἐπὶ δὲ τῆς Α△ ἡμικύκλιον ὀρθὸν ἐν τῷ τοῦ ἡμικυλινδρίου παραλληλογράμμῳ κείμενον · τοῦτο δὴ τὸ ἡμικύκλιον περιαγόμενον ὡς ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὸ Β μένοντος τοῦ Α πέρατος τῆς διαμέτρου τεμεῖ τὴν κυλινδρικὴν ἐπιφάνειαν ἐν τῇ περιαγωγῇ καὶ γράψει ἐν αὐτῇ γραμμήν τινα. Πάλιν δὲ, ἐὰν τῆς Α△ μενούσης τὸ Α△ τρίγωνον περιενεχθῇ τὴν ἐναντίαν τῷ ἡμικυκλίῳ κίνησιν, κωνικὴν ποιήσει ἐπιφάνειαν τῇ ΑΠ εὐθείᾳ, ἣ δὴ περιαγομένη συμβαλεῖ τῇ κυλινδρικῇ γραμμῇ κατά τι σημεῖον ἅμα δὲ καὶ τὸ Β περιγράψει ἡμικύκλιον ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ. Εχέτω δὴ θέσιν κατὰ τὸν τόπον τῆς συμπτώσεως τῶν γραμμῶν τὸ μὲν κινούμενον ἡμικύκλιον ὡς τὴν τοῦ △ΚΑ, τὸ δὲ ἀντιπεριαγόμενον τρίγωνον τὴν τοῦ △ΛΑ, τὸ δὲ τῆς εἰρημένης συμπτώσεως σημεῖον ἔστω τὸ Κ, ἔστω δὲ καὶ τὸ διὰ τοῦ Β γραφόμενον ἡμικύκλιον τὸ ΒΜΖ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ καὶ τοῦ Β△ΖΑ

κύκλου ἔστω ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ Β△Α ἡμικυκλίυ ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν διὰ τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον. Πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευχθεῖσα συμβαλέτω τῇ ΒΖ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΑΛ τῷ ΒΜΖ ἡμικυκλίῳ κατὰ τὸ M, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ Α△, ΜΙ, ΜΘ. Ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν △ΚΑ, ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΜΘ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΒΖ ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΘ. Τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΘΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΘΙ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΜΘ ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜΙ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν ΜΙΘ, ΜΑΘ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΙΜΑ, Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ △ΚΑ ὀρθή · παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ Κ△, ΜΙ, καὶ ἔσται ἀνάλογον ὡς ἡ △Α πρὸς ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΚΑ πρὸς ΑΙ, οὕτως ἡ Α πρὸς ΑΜ, διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων. Τέσσαρες ἄρα αἱ △Α, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν. Καί ἐστιν ἡ ΑΜ ἴση τῇ Γ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΑΒ · δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν Α△, Γ δύο μέσαι ἀνάλογον ηὕρηνται αἱ ΑΚ, ΑΙ.

Βασιλεῖ Πτολεμαίῳ Ἐρατοσθένης χαίρειν.

Τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν φασιν εἰσαγαγεῖν τὸν Μίνω τῷ Γλαύκῳ κατασκευάζοντα τάφον, πυθόμενον δὲ ὅτι πανταχοῦ ἑκατόμπεδος εἴη εἰπεῖν·

μικρόν γ᾿  ἔλεξας βασιλικοῦ σηκὸν τάφου·

διπλάσιος ἔστω, τοῦ καλοῦ δὲ μὴ σφαλεὶς

δίπλαζ᾿ ἕκαστον κῶλον ἐν τάχει τάφου.

Ἐδόκει δὲ διημαρτηκέναι · τῶν γὰρ πλευρῶν διπλασιασθεισῶν τὸ μὲν ἐπίπεδον γίνεται τετραπλάσιον, τὸ δὲ στερεὸν ὀκταπλάσιον. Ἐζητεῖτο δὲ καὶ παρὰ τοῖς γεωμέτραις τίνα ἄν τις τρόπον τὸ δοθὲν στερεὸν διαμένον ἐν τῷ αὐτῷ σχήματι διπλασιάσειεν, καὶ ἐκαλεῖτο τὸ τοιοῦτον πρόβλημα κύβου διπλασιασμός · ὑποθέμενοι γὰρ κύβον ἐζήτουν τοῦτον διπλασιάσαι. Πάντων δὲ διαπορούντων ἐπὶ πολὺν χρόνον πρῶτος Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ἐπενόησεν ὅτι, ἐὰν εὑρεθῇ δύο εὐθειῶν γραμμῶν, ὧν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονός ἐστι διπλασία, δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, διπλασιασθήσεται ὁ κύβος, ὥστε τὸ ἀπόρημα αὐτῷ εἰς ἕτερον οὐκ ἔλασσον ἀπόρημα κατέστρεφεν. Μετὰ χρόνον δέ τινάς φασιν Δηλίους ἐπιβαλλομένους κατὰ χρησμὸν διπλασιάσαι τινὰ τῶν βωμῶν ἐμπεσεῖν εἰς τὸ αὐτὸ ἀπόρημα, διαπεμψαμένους δὲ τοὺς παρὰ τῷ Πλάτωνι ἐν Ἀκαδημίᾳ γεωμέτρας ἀξιοῦν αὑτοῖς εὑρεῖν τὸ ζητούμενον. Τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμικυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν συμβέβηκε δὲ πᾶσιν αὐτοῖς ἀποδεικτικῶς γεγραφέναι, χειρουργῆσαι δὲ καὶ εἰς χρείαν πεσεῖν μὴ δύνασθαι πλὴν ἐπὶ βραχύ τι τὸν Μέναιχμον καὶ ταῦτα δυσχερῶς. Ἐπινενόηται δὲ τις ὑφ᾿ ἡμῶν ὀργανικὴ λῆψις ῥᾳδία, δι᾿ ἧς εὑρήσομεν δύο τῶν δοθεισῶν οὐ μόνον δύο μέσας, ἀλλ᾿  ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ. Τούτου δὲ εὑρισκομένου δυνησόμεθα καθόλου τὸ δοθὲν στερεὸν παραλληλογράμμοις περιεχόμενον εἰς κύβον καθιστάναι ἢ ἐξ ἑτέρου εἰς ἕτερον μετασχηματίζειν καὶ ὅμοιον ποιεῖν καὶ ἐπαύξειν διατηροῦντας τὴν ὁμοιότητα, ὥστε καὶ βωμοὺς καὶ ναούς δυνησόμεθα δὲ καὶ τὰ τῶν ὑγρῶν μέτρα καὶ ξηρῶν, λέγω δὲ οἷον μετρητὴν ἢ μέδιμνον, εἰς κύβον καθίστασθαι καὶ διὰ τῆς τούτου πλευρᾶς ἀναμετρεῖν τὰ τούτων δεκτικὰ ἀγγεῖα, πόσον χωρεῖ. Χρήσιμον δὲ ἔσται τὸ ἐπινόημα καὶ τοῖς βουλομένοις ἐπαύξειν καταπαλτικὰ καὶ λιθοβόλα ὄργανα δεῖ γὰρ ἀνάλογον ἅπαντα αὐξηθῆναι καὶ τὰ πάχη καὶ τὰ μεγέθη καὶ τὰς κατατρήσεις καὶ τὰς χοινικίδας καὶ τὰ ἐμβαλλόμενα νεῦρα, εἰ μέλλει καὶ ἡ βολὴ ἀνάλογον ἐπαυξηθῆναι, ταῦτα δὲ οὐ δυνατὰ γενέσθαι ἄνευ τῆς τῶν μέσων εὑρέσεως. Τὴν δὲ ἀπόδειξιν καὶ τὴν κατασκευὴν τοῦ λεχθέντος ὀργάνου ὑπογέγραφά σοι.

Δεδόσθωσαν δύο ἄνισοι εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύα μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, αἱ ΑΕ, △Θ, καὶ κείσθω ἐπί τινος εὐθείας τῆς ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ ἐπὶ τῆς ΕΘ τρία συνεστάτω παραλληλόγραμμα ἐφεξῆς τὰ ΑΖ, ΖΙ, Θ, καὶ ἤχθωσαν διάμετροι ἐν αὐτοῖς αἱ ΑΖ, ΛΗ, ΙΘ · ἔσονται δὴ αὗται παράλληλοι. Μένοντος δὴ τοῦ μέσου παραλληλογράμμου τοῦ ΖΙ συνωσθήτω τὸ μὲν ΑΖ ἐπάνω τοῦ μέσου, τὸ δὲ ΙΘ ὑποκάτω, καθάπερ ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος, ἕως οὗ γένηται τὰ A, Β, Γ, △ κατ᾿ εὐθεῖαν, καὶ διήχθω διὰ τῶν Α, Β, Γ, △ σημείων εὐθεῖα καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ ἔσται δὴ ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΖΒ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ. Ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ καὶ ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἐν μὲν ταῖς ΒΖ, ΓΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἐν δὲ ταῖς ΒΗ, ΓΘ παραλλήλοις ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ὡς ἄρα ἡ

ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ἡ ΓΗ πρὸς △Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ καὶ ἡ ΓΗ πρὸς △Θ. Ηὕρηνται ἄρα τῶν ΑΕ, △Θ δύο μέσαι ἥ τε ΒΖ καὶ ἡ ΓΗ.

Ταῦτα οὖν ἐπὶ τῶν γεωμετρουμένων ἐπιφανειῶν ἀποδέδεκται· ἵνα δὲ καὶ ὀργανικῶς δυνώμεθα τὰς δύο μέσας λαμβάνειν, διαπήγνυται πλινθίον ξύλινον ἢ ἐλεφάντινον ἢ χαλκοῦν ἔχον τρεῖς πινακίσκους ἴσους ὡς λεπτοτάτους, ὧν ὁ μὲν μέσος ἐνήρμοσται, οἱ δὲ δύο ἐπωστοί εἰσιν ἐν χολέδραις, τοῖς δὲ μεγέθεσιν καὶ ταῖς συμμετρίαις ὡς ἕκαστοι ἑαυτοὺς πείθουσιν· τὰ μὲν χὰρ τῆς ἀποδείξεως ὡσαύτως συντελεῖται· πρὸς δὲ τὸ ἀκριβέστερον λαμβάνεσθαι τὰς γραμμὰς φιλοτεχνητέον, ἵνα ἐν τῷ συνάγεσθαι τοὺς πινακίσκους παράλληλα διαμένῃ πάντα καὶ ἄσχαστα καὶ ὁμαλῶς συναπτόμενα ἀλλήλοις.

Ἐν δὲ τῷ ἀναθήματι τὸ μὲν ὀργανικὸν χαλκοῦν ἐστιν καὶ καθήρμοσται ὑπ᾿ αὐτὴν τὴν στεφάνην τῆς στήλης προσμεμολυβδοχοημένον, ὑπ᾿ αὐτοῦ δὲ ἡ ἀπόδειξις συντομώτερον φραζομένη καὶ τὸ σχῆμα, μετ᾿ αὐτὸ δὲ ἐπίγραμμα. Ὑπογεγράφθω οὖν σοι καὶ ταῦτα, ἵνα ἔχῃς καὶ ὡς ἐν τῷ ἀναθήματι. Τῶν δὲ δύο σχημάτων τὸ δεύτερον γέγραπται ἐν τῇ στήλῃ.

Δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. Δεδόσθωσαν αἱ ΑΕ, △Θ. Συνάγω δὴ τοὺς ἐν τῷ ὀργάνῳ πίνακας, ἕως ἂν κατ᾿ εὐθεῖαν

γένηται τὰ Α, Β, Γ, σημεῖα. Νοείσθω δὴ ὡς ἔχει ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΒΖ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ · ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. Ὡς δὲ αὗται πρὸς ἀλλήλας, ἥ τε ΑΕ πρὸς ΒΖ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ. Ὡσαύτως δὲ δείξομεν ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΓΗ, ἡ ΓΗ πρὸς △Θ ἀνάλογον ἄρα αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ, △Θ. Ηὕργνται ἄρα δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσαι.

Ἐὰν δὲ αἱ δοθεῖσαι μὴ ἴσαι ὦσιν ταῖς ΑΕ, △θ, ποιήσαντες αὐταῖς ἀνάλογον τὰς ΑΕ, △Θ τούτων ληψόμεθα τὰς μέσας καὶ ἐπανοίσομεν ἐπ᾿ ἐκείνας, καὶ ἐσόμεθα πεποιηκότες τὸ ἐπιταχθέν, Ἐὰν δὲ πλείους μέσας ἐπιταχθῇ εὑρεῖν, ἀεὶ ἑνὶ πλείους πινακίσκους καταστησόμεθα ἐν τῷ ὀργανίῳ τῶν ληφθησομένων μέσων ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή

Εἰ κύβον ἐξ ὀλίγου διπλήσιον, ὦγαθέ, τεύχειν φράζεαι ἢ στερεὴν πᾶσαν ἐς ἄλλο φύσιν εὖ μεταμορφῶσαι, τόδε τοι πάρα, κἂν σύ γε μάνδρην ἢ σιρὸν ἢ κοίλου φρείατος εὐρὺ κύτος τῇδ᾿ ἀναμετρήσαιο, μέσας ὅτε τέρμασιν ἄκροις συνδρομάδας δισσῶν ἐντὸς ἕλῃς κανόνων.

Μηδὲ σύ γ᾿ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων

μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας διζήσῃ. μηδ᾿ εἴ τι θεουδέος Εὐδόξοιο καμπύλον ἐν γραμμαῖς εἶδος ἀναγράφεται.

Τοῖσδε γὰρ ἐν πινάκεσσι μεσόγραφα μυρία τεύχοις ῥεῖά κεν ἐκ παύρου πυθμένος ἀρχόμενος.

Εὐαίων, Πτολεμαῖε, πατὴρ ὅτι παιδὶ συνηβῶν πάνθ᾿ ὅσα καὶ Μούσαις καὶ βασιλεῦσι φίλα αὐτὸς ἐδωρήσω τὸ δ᾿ ἐς ὕστερον, οὐράνιε Ζεῦ, καὶ σκήπτρων ἐκ σῆς ἀντιάσειε χερὸς.

Καὶ τὰ μὲν ὣς τελέοιτο, λέγοι δὲ τις ἄνθεμα λεύσσων τοῦ Κυρηναίου τοῦτ᾿ Ἐρατοσθενέος.

Ὡς Νικομήδης ἐν τῷ Περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν.

Γράφει δὲ καὶ Νικομήδης ἐν τῷ ἐπιγεγραμμένῳ πρὸς αὐτοῦ Περὶ κογχοειδῶν συγγράμματι ὀργάνου κατασκευὴν τὴν αὐτὴν ἀποπληροῦντος χρείαν, ἐφ᾿ ᾧ καὶ μεγάλα μὲν σεμνυνόμενος φαίνεται ὁ ἀνήρ, πολλὰ δὲ τοῖς Ἐρατοσθένους ἐπεγγελῶν εὑρήμασιν ὡς ἀμηχάνοις τε ἅμα καὶ γεωμετρικῆς ἕξεως ἐστερημένοις. Τοῦ τε ἀνελλειποῦς τοίνυν τῶν περὶ τὸ πρόβλημα πεπονηκότων τῆς τε πρὸς Ἐρατοσθένη συγκρίσεως ἕνεκα καὶ αὐτὸν τοῖς ἤδη γεγραμμένοις συνάπτομεν δυνάμει γράφοντα οὕτως

Νοεῖν χρὴ κανόνας δύο πρὸς ὀρθὰς ἄλλήλοις συμβεβλημένους οὕτως, ὥστε μίαν ἀποσῴζειν αὐτοὺς ἐπιφάνειαν, καθάπερ εἰσὶν οἱ ΑΒ, Γ△, ἐν δὲ τῷ ΑΒ σωλῆνα

πελεκινοειδῆ, εἰς ὃν χελώνιον διατρέχειν δυνήσεται, ἐν δὲ τῷ Γ△ κατὰ τὸ μέρος τὸ πρὸς τῷ καὶ τὴν μέσον διαιροῦσαν εὐθεῖαν τὸ πλάτος αὐτοῦ κυλίνδριον συμφυὲς τῷ κανόνι καὶ βραχὺ ὑπερέχον τῆς ἄνωθεν ἐπιφανείας αὐτοῦ τοῦ κανόνος, ἄλλον δὲ κανόνα ὡς τὸν ΕΖ μετὰ βραχύ τι διάστημα τοῦ πρὸς τῷ Ζ πέρατος ἀνατομὴν ἔχοντα ὡς τὴν ΗΘ δυναμένην περιβαίνειν τῷ πρὸς τῷ κυλινδρίῳ, πρὸς δὲ τῷ Ε ὀπὴν στρογγύλην, ἥτις ἐγκείσεται εἴς τι ἀξόνιον συμφυὲς τῷ διατρέχοντι χελωναρίῳ ἐν τῷ πελεκινοειδεῖ σωλῆνι τῷ ὄντι ἐν τῷ ΑΒ κανόνι. Ἐναρμοσθέντος τοίνυν τοῦ ΕΖ κανόνος κατὰ μὲν τὴν ΗΘ ἀνατομὴν ἐν τῷ πρὸς τῷ △ κυλινδρίῳ, κατὰ δὲ τὴν Ε ὀπὴν ἐν τῷ ἀξονίῳ τῷ συμφυεῖ τῷ χελωναρίῳ, ἐὰν τις ἐπιλαβόμενος τοῦ Κ ἄκρου τοῦ κανόνος κινῇ αὐτὸν ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Α μέρη, ἔπειτα ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Β, τὸ μὲν Ε σημεῖον ἀεὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος ἐνεχθήσεται, ἡ δὲ ΗΘ ἀνατομὴ ἐπὶ τῷ πρὸς τῷ △ κυλινδρίῳ κινηθήσεται ἀεὶ τῆς μέσης τοῦ ΕΖ κανόνος εὐθείας ἐν τῇ κινήσει διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ πρὸς τῷ △ κυλινδρίου νοουμένης, τὴς δὲ ΕΚ ὑπεροχῆς τοῦ κανόνος ἀεὶ τῆς αὐτῆς μενούσης. Ἐὰν τοίνυν πρὸς τῷ Κ ἐπινοήσωμέν τι γραφεῖον ἐφαπτόμενον τοῦ ἐδάφους, γραφήσεταί τις γραμμή, οἷα ἐστὶν ἡ ΛΜΝ, ἥντινα καλεῖ Νικομήδης κογχοειδῆ πρώτην γραμμήν, καὶ διάστημα μὲν τῆς γραμμῆς τὸ ΕΚ μέγεθος τοῦ κανόνος, πόλον δὲ τὸ △.

Ταύτῃ δὴ τῇ γραμμῇ συμβαῖνον δείκνυσιν τὸ ἀεὶ ἐπ᾿ ἔλαττον μὲν συμπορεύεσθαι τῷ ΑΒ κανόνι, καὶ ἐὰν τις εὐθεῖα διαχθῇ μεταξὺ τῆς τε γραμμῆς καὶ τοῦ ΑΒ κανόνος, ὅτι πάντως τέμνει τὴν γραμμήν. Καὶ τὸ μὲν πρότερον τῶν συμβαινόντων ἐστὶν εὐκατανόητον ἐφ᾿ ἑτέρας καταγραφῆς. Κανόνος γὰρ νοουμένου τοῦ ΑΒ, πόλου δὲ τοῦ Γ, διαστήματος δὲ τοῦ △Ε, γραμμῆς δὲ κογχοειδοῦς τῆς ΖΕΗ, προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Γ δύο αἱ ΓΘ, ΓΖ, ἴσων δηλονότι γινομένων τῶν ΚΘ, ΛΖ. Λέγω ὅτι ἡ ΖΝ κάθετος ἐλάττων τῆς ΘΝ καθέτου.

Μεἱζονος γὰρ οὔσης τῆς ὑπὸ ΜΛΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΝΚΓ λοιπὴ ἡ λείπουσα εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΜΛΖ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΝΚΘ ἐστὶν ἐλάσσων, καὶ διὰ τοῦτο ὀρθῶν οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς Μ, Ν μείζων ἔσται καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ τῆς πρὸς τῷ Θ. Καὶ ἐὰν τῇ πρὸς τῷ Θ ἴσην συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΜΖΞ, ἡ ΚΘ, τουτέστιν ἡ ΛΖ, πρὸς ΘΝ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν ἡ ΞΖ πρὸς ΖΜ· ὥστε ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΘΝ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΜ, καὶ διὰ τοῦτο μείζων ἡ ΘΝ τῆς ΖΜ.

Τὸ δὲ δεύτερον ἦν τὸ τὴν διαγομένην εὐθεῖαν μεταξὺ τῆς τε ΑΒ καὶ τῆς γραμμῆς τέμνειν τὴν γραμμήν· καὶ τοῦτο δὲ οὕτω γίνεται γνώριμον·

Ἡ γὰρ διαγομένη ἤτοι παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ ἢ οὔ. Ἔστω πρότερον παράλληλος, ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ △Ε πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Κ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῇ Κ, περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΓ· ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἧν ἡ △Ε πρὸς τὴν Κ, τουτέστι τὴν ΓΖ ἴση ἄρα ἡ △Ε τῇ ΛΖ ὅπερ ἀδύνατον δεῖ γὰρ εἶναι τὸ Ζ πρὸς τῇ γραμμῇ.

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ἡ διαγομένη παράλληλος, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΗΝ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ. Ἡ ἄρα ΖΗ συμπεσεῖται τῇ γραμμῇ ὥστε πολλῷ μᾶλλον ἡ ΜΝ.

Τούτων δὲ ὄντων τῶν παρακολουθημάτων διὰ τοῦ ὀργάνου τὸ χρήσιμον εἰς τὸ προκείμενον δείκνυται οὕτως.

Πάλιν γωνίας δοθείσης τῆς Α καὶ σημείου ἐκτὸς τοῦ Γ διαγαγεῖν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ ἴσην τῇ δοθείσῃ.

Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ △Θ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ δοθέντι τῷ △Θ, κανόνι δὲ τῷ ΑΒ, γεγράφθω κογχοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ Ε△Ζ· συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προδειχθὲν. Συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ· ἴση ἄρα ἡ τῇ δοθείσῃ.

Τούτων δειχθέντων δεδόσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ, ΛΑ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εὑρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς △, Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ △Λ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ Α△, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ

παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ Α△ ἢ τῇ ΓΖ · τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κογχοειδοῦς · καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ. Λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΚΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ.

Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε, καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΚ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΚΖ. Καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. Καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεα ἡ Α△, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ (ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΓ τῆς △Β)· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς Α△, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους

τὰς ΗΖ, ΓΘ· καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Α, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. Ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ Α△ τῇ ΘΚ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ Α△ ἴση ἄρα καὶ ἡ Μ△ τῇ ΖΚ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Μ△ τῷ ἀπὸ ΖΚ. Καί ἐστιν τῷ μὲν ἀπὸ Μ△ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ △Α, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ὧν τὸ ἀπὸ Α△ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ· ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ Α△ τῇ ΓΖ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ. Ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΒΚ, ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΑΛ ·

Καὶ συνθέντι ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΓ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ | Ὡς γὰρ ἐπὶ αὐτῆς τῆς ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφῆς, ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΓΒΑ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἧκται ἡ ΒΕ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας. Ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ.

Διὰ δὲ τῶν αὐτῶν δείκνυται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς

ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. Διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων ἐστὶ πάλιν ὡς ἡ μὲν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ.

Εἶτα ἐφεξῆς δεικνύναι πειρώμενος τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσον τὸν ΒΚΖ κῶνον ἐκθέμενος κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΑΖ τμήματος, ὕφος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, φησὶν ὅτι ὁ Ν κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΖΑΒΘ στερεῷ τομεῖ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ. Ἰστέον δὲ ὅτι ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ οὐ τὸν τοιοῦτον τομέα ἀπεδείκνυεν ἴσον ὄντα τῷ οὕτως λαμβανομένῳ κώνῳ, ἀλλὰ τὸν περιεχόμενον ὑπὸ τε τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας ἐλάττονος ἡμισφαιρίου, ὅντινα καὶ κυρίως ἐν τοῖς ὅροις τομέα στερεὸν καλεῖν ἐφαίνετο. Ἔφασκεν γάρ · τομέα δὲ στερεὸν καλέω, ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμνῃ τὰν κορυφὰν ἔχων ποτὶ τῷ κέντρῳ τᾶς σφαίρας, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ τᾶς ἐντὸς τοῦ κώνου | Τὸ δὲ νῦν προκείμενον σχῆμα περιέχεται μὲν ὑπὸ κωνικῆς ἐπιφανείας τὴν κορυφὴν ἐχούσης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, ἀλλ᾿ οὐ τῆς ἐντὸς ἀπολαμβανομένης τοῦ κώνου. Ὅτι δὲ καὶ τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἴσον γίνεται τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ σφαιρικῇ τῇ περιεχούσῃ τὸ τμῆμα, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, δειχθήσεται οὕτως διὰ τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ δεδεγμένων.

Νενοήσθω χωρὶς σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ μὴ διὰ τοῦ κέντρου τῷ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλῳ,

κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Α, καὶ νοείσθω κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, ἐκκείσθω δὲ κῶνος ὁ Ε, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ἄρα Ε κῶνος ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ τετραπλάσιος γάρ ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτό, οὗπερ καὶ ἡ σφαῖρα ἐδείχθη τετραπλασία. Ἐκκείσθωσαν δὲ καὶ ἄλλοι δύο κῶνοι οἱ Ζ, Η, ὧν ὁ μὲν Ζ βάσιν ἐχέτω ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΓ△ τμήματος, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ Η βάσιν μὲν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΘ△ τμήματος, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ ὁ ἄρα Ζ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ τομεῖ, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, ἐπιφάνεια δὲ σφαιρικὴ ἡ κατὰ τὴν ΑΓ△. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ Ε κώνου βάσις ταῖς τῶν Ζ, Η κώνων βάσεσιν, καί εἰσιν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε κῶνος, τουτέστιν ἡ σφαῖρα, τοῖς Ζ, Η κώνοις. Ἀλλ᾿ ὁ Ζ ἴσος ἐδείχθη τῷ κατὰ τὴν ΒΓ△ στερεῷ τομεῖ κορυφὴν ἔχοντι τὸ A λοιπὸς ἄρα ὁ ἡ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ λοιπῷ τμήματι βάσιν ἔχων τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κατὰ τὴν ΒΘ△ τμήματος, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου.

Εἶτα πάλιν φησίν ἴσος ἄρα ὁ Ν κῶνος, τουτέστιν ὁ ΒΘΖΑ τομεύς, τῷ ΒΘΖΚ σχήματι | Ἐπεὶ γὰρ συνήχθη ὁ Ν κῶνος ἴσος ὢν κώνῳ, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΕΚ, ἴσος τῷ τε εἰρημένῳ κώνῳ καὶ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος · δὲ τὴν ΕΘ · πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη · κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΕΘ, λοιπὸν τὸ ΒΘΖΚ σχῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τουτέστι τῷ Ν κώνῳ, τουτέστι τῷ ΒΑΘΖ τομεῖ.

Ἐπαγαγὼν δὴ τὸ ἐκ τῶν συναχθέντων πόρισμα ἐπὶ τέλει τοῦ θεωρήματος ἑξῆς δι᾿ ἑτέρας ἀποδείξεως συνάγει τὸ τελευταῖον μέρος τοῦ θεωρήματος, τουτέστιν ὅτι τὸ ΑΒΖ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΚΖ κώνῳ, καὶ προιών φησιν · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, καὶ ὅλη ἡ Κ△ πρὸς △Θ ἐστὶν ὡς ἡ △Θ πρὸς △Γ | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, ἡ ΘΓ πρὸς Γ△, καὶ συνθέντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, τουτέστιν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ · ἦν γὰρ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΘΑ.

Καὶ μετ᾿ ὀλίγον · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς △Θ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ | Νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ Κ△, ΑΓ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ. Λέγω ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΘ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Θ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΘΚ πρὸς Θ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△ κοινοῦ ὕφους τῆς Θ△ λαμβανομένης, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ κοινοῦ πάλιν ὕψους λαμβανομένης τῆς ΕΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ἀπὸ Θ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Κ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ· καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Κ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ. Καὶ ἀνάπαλιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ὡς δὲ οἱ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ △Β, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ | Ὡς γὰρ ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ, ἐπεὶ ἐν ὀρθογωίῳ τριγώνῳ τῷ Α△Β κάθετος ἦκται καὶ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἡ

△Γ, μέση ἀνάλογόν ἐστι τῶν τῆς βάσεως τμημάτων, καὶ τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις ὥστ᾿ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς △Γ, ἡ Β△ πρὸς △Α· καὶ τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν ἄρα. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ△, οὕτως ἡ πρώτη ἡ ΒΓ πρὸς τρίτην τὴν ΓΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α. Δοθεὶς δὴ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ· ὥστε δοθὲν ἐστι τὸ Γ σημεῖον | Ἐπεὶ γὰρ ἡ σφαῖρα ὑπόκειται δεδομένη, δέδοται ἄρα καὶ ἡ διάμετρος αὐτῆς ἡ ΑΒ. Καὶ δέδοται ὁ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ· ἐὰν δὲ δεδομένον μέγεθος εἰς δεδομένον λόγον διαιρεθῇ, δέδοται ἑκάτερον τῶν τμημάτων· ὥσθε δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ. Καὶ δοθὲν τὸ Α· ἐπὶ γὰρ τῆς κοινῆς τομῆς ἐστι θέσει δεδομένων γραμμῶν δέδοται ἄρα καὶ τὸ Γ.