Commentarii in libros de sphaera et cylindro

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α, Ε · δεῖ δὴ τῶν Α, Ε δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Γεγονέτω, καὶ ἔστωσαν αἱ Β, Γ, καὶ ἐκκείσθω θέσει εὐθεῖα ἡ △Η πεπερασμένη κατὰ τὸ △, καὶ πρὸς τῷ △ τῇ Γ ἴση κείσθω ἡ △Ζ καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ, καὶ τῇ Β ἴση κείσθω ἡ ΖΘ. Ἐπεὶ οὖν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β · τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης τῆς Α καὶ τῆς Γ, τουτέστι τῆς △Ζ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. Ἐπὶ παραβολῆς ἄρα τὸ Θ διὰ τοῦ γεγραμμένης. Ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΘΚ, △Κ. Καὶ ἐπεὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ Β, Γ, ἴσον γάρ ἐστι τῷ ὑπὸ Α, Ε, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΘΖ. Ἐπὶ ὑπερβολῆς ἄρα τὸ Θ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ. Δοθὲν ἄρα τὸ Θ · ὥστε καὶ τὸ Ζ.

Συντεθήσεται δὴ οὕτως. Ἔστωσαν αἱ μὲν δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ Α, Ε, ἡ δὲ τῇ θέσει ἡ △Η πεπαρασμένη κατὰ τὸ △, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ παραβολή, ἧς ἄξων μὲν ἡ △Η, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ Α, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν △Η ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ δυνάσθωσαν τὰ παρὰ τὴν Α παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπʼ αὐτῶν πρὸς τῷ σημείῳ. Γεγράφθω καὶ ἔστω ἡ △Θ, καὶ ὀρθὴ ἡ △Κ, καὶ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ γεγράφθω ὑπερβολή, ἀφ᾿ ἧς αἱ παρὰ τὰς Κ△, △Ζ ἀχθεῖσαι

ποιήσουσιν τὸ χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ Α, Ε · τεμεῖ δὴ τὴν παραβολήν. Γεμνέτω κατὰ τὸ Θ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΘΚ, ΘΖ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Α, △Ζ, ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς Ζ△. Πάλιν, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Α, Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖ△, ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ Ζ△ πρὸς τὴν E. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△ καὶ ἡ Ζ△ πρὸς Ε. Κείσθω τῇ μὲν ΘΖ ἴση ἡ Β, τῇ δὲ △Ζ ἴση ἡ Γ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Β πρὸς τὴν Γ καὶ ἡ πρὸς Ε. Αἱ Α, Β, Γ, Ε ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.