Commentarii in libros de sphaera et cylindro

Τὸ ἄρα περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ στερεὸς τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶνον | Εἰ γὰρ τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ζ, ἡ δὲ πρὸς Ε μείζονα ἢ τριπλασίονα, τὸ ἄρα περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ △ πρὸς Ε. Ἡ δὲ △ πρὸς Ε ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον· καὶ τὸ περιγεγραμμένον ἄρα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον.

Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὸ πρῶτον τῶν Ἀρχιμήδους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ.

Σαφῶς ἡμῖν τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ θεωρημάτων γεγραμμένων ἀκόλουθος καὶ ἡ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἐν τοῖς τοῦ δευτέρου θεωρήμασι σπουδή.

Φησὶν δὴ πρῶτον ἐν τῷ α΄ θεωρήματι·

Εἰλήφθω τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος | Τοῦτο δὲ διχῶς δυνατόν ἐστιν ποιεῖν ἤτοι τῆς βάσεως τῆς αὐτῆς σωζομένης ἐν ἀμφοτέροις ἢ τοῦ ὕψους. Καὶ ἵνα σαφέστερον γένηται τὸ λεγόμενον, νενοήσθω κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ Α κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΑΓ, καὶ δέον ἔστω αὐτοῦ ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν.

Ὑποκείσθω δὴ πρότερον ὁ ΑΓ κύλινδρος, καὶ προσεκβεβλήσθω τὸ ΑΓ ὕψος τοῦ κυλίνδρου, καὶ κείσθω τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ Γ△ ἡ ἄρα Α△ ἡμιολία ἐστὶν τῆς ΑΓ. Ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον βάσιν μὲν ἔχοντα τὸν Α κύκλον, ὕψος δὲ τὴν Α△ εὐθεῖαν, ἡμιόλιος ἔσται τοῦ προτεθέντος τοῦ ΑΓ· οἱ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.

Eἰ δὲ κῶνος εἴη ὁ ΑΓ, τμηθείσης τῆς ΑΓ δίχα ὡς κατὰ

Οὕτως μὲν οὖν τῆς αὐτῆς βάσεως σωζομένης ἔν τε τῷ προτεθέντι καὶ ἐν τῷ λαμβανομένῳ γενήσεται τὸ πρόβλημα, ἕνεστι δὲ καὶ τῆς βάσεως διαφόρου τυγχανούσης, τοῦ δὲ ἄξονος τοῦ αὐτοῦ μένοντος, τὸ αὐτὸ ποιεῖν.

Ἔστω γὰρ πάλιν κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ ΖΗ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, οὗ δέον ἔστω ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν ὕψος ἔχοντα ἴσον τῇ ΘΚ. Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΖΗ διαμέτρου τοῦ κύκλου τετράγωνον τὸ ΖΛ, καὶ προσεκβληθείσης τῆς ΖΗ κείσθω αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΗΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον· τὸ ἄρα ΖΝ ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ ΖΛ καὶ ἡ ΜΖ τῆς ΖΗ. Συνεστάτω δὴ τῷ ΖΝ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΞΠ, καὶ περὶ διάμετρον μίαν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τὴν ΞΟ κύκλος γεγράφθω. Ἔσται δὴ ὁ ΞΟ ἡμιόλιος τοῦ ΖΗ· οἱ γὰρ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων

Εἰ δὲ κῶνος εἴη, ὁμοίως τὰ αὐτὰ ποιήσαντες καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ΖΝ παραλληλογράμμου ἴσον συστησάμενοι τετράγωνον ὡς τὸ ΞΠ καὶ περὶ τὴν πλευρὰν αὐτοῦ τὴν Ξ0 κύκλον γράψαντες νοήσωμεν ἀπʼ αὐτοῦ κύλινδρον ὕψος ἔχοντα τὴν ΘΚ· ἕξομεν αὐτὸν ἡμιόλιον τοῦ προτεθέντος κώνου. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον τοῦ ΞΠ τετραγώνου τριπλάσιον, τοῦ δὲ ΖΛ ἡμιόλιον, τὸ ΖΛ τοῦ ΞΠ ἔσται διπλάσιον, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου διπλάσιος καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου. Ἀλλ᾿  ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν ΖΗ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τριπλάσιός ἐστι τοῦ περὶ τὴν αὐτὴν βάσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ κώνου ὥστε καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Ξ0 κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ, ἡμιόλιός ἐστι τοῦ προκειμένου κώνου.

Εἰ δὲ δέοι μήτε τὸν ἄξονα τὸν αὐτὸν εἶναι μήτε τὴν βάσιν, γενήσεται τὸ πρόβλημα πάλιν διχῶς ἢ γὰρ τὴν βάσιν ἕξει ἴσην τῇ δοθείσῃ ἢ τὸν ἄξονα ὁ ποριζόμενος κύλινδρος. Ἔστω γὰρ πρότερον ἡ βάσις διδομένη, ὡς ὁ

Τούτου ληφθέντος ἐπεὶ διʼ ἀναλύσεως αὐτῷ προέβη τὰ τοῦ προβλήματος, ληξάσης τῆς ἀναλύσεως εἰς τὸ δεῖν δύο δοθεισῶν δύο μέσας ἀνάλογον προσευρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ φησὶν ἐν τῇ συνθέσει· εὑρήσθωσαν. Τὴν δὲ εὕρεσιν τούτων ὑπʼ αὐτοῦ μὲν γεγραμμένην οὐδὲ ὅλως εὑρίσκομεν, πολλῶν δὲ κλεινῶν ἀνδρῶν γραφαῖς ἐντετυχήκαμεν τὸ πρόβλημα τοῦτο ἐπαγγελλομέναις, ὧν τὴν Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου παρῃτησάμεθα γραφήν, ἐπειδή φησιν μὲν ἐν προοιμίοις διὰ καμπύλων γραμμῶν αὐτὴν ηὑρηκέναι, ἐν δὲ τῇ ἀποδείξει πρὸς τῷ μὴ κεχρῆσθαι καμπύλαις γραμμαῖς ἀλλὰ καὶ διῃρημένην ἀναλογίαν εὑρὼν ὡς συνεχεῖ χρῆται· ὅπερ ἦν ἄτοπον ὑπονοῆσαι, τί λέγω περὶ Εὐδόξου, ἀλλὰ περὶ τῶν καὶ μετρίως περὶ γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων. Ἵνα δὴ ἡ τῶν εἰς ἡμᾶς ἐληλυθότων ἀνδρῶν ἔννοια ἐμφανὴς γένηται, ὁ ἑκάστου τῆς εὑρέσεως τρόπος καὶ ἐνταῦθα γραφήσεται.

Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Ἐκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὰ △, Ε, καὶ κατεσκευάσθω ὀρθὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΗΘ, καὶ ἐν ἑνὶ σκέλει, οἷον τῷ ΖΗ, κινείσθω κανὼν ὁ ΚΛ ἐν σωλῆνί τινι ὄντι ἐν τῷ ΖΗ οὕτως, ὥστε παράλληλον αὐτὸν διαμένειν τῷ ΗΘ. Ἔσται δὲ τοῦτο,

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β△ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, Β△ φανερὸν δὴ ὅτι ἴσαι οὖσαι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· ὁ γὰρ περὶ μίαν αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν περάτων τῆς ἑτέρας διὰ τὸ ὀρθογώνιον εἶναι τὸ παραλληλόγραμμον. Ἐκβεβλήσθωσαν αἱ △Γ, △Α ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β καὶ κινείσθω, ἕως ἀποτέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε, τουτέστι τὰς ΕΗ, ΕΖ. Καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων,

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΑΓ γεγράφθω περὶ αὐτὴν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΕΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν τῇ μὲν ΒΑ ἡ Α△, τῇ δε ΒΓ

Νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ △Α, ΖΓ καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Θ· φανερὸν δὴ ὅτι παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΒΑ, ΖΘ ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ὀρθή ἐστιν, καὶ ὁ ΑΕΓ κύκλος ἀναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Θ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ △Β τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ὑπὸ Ε△Β ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ. Ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ Ε△Β ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Θ△Α· ἑκάτερον γὰρ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ △· τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΖΓ· ἑκάτερον γὰρ ὁμοίως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Ζ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ Θ△Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖΓ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς △Α. Ἀλλ᾿  ὡς ἡ Θ△ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἥ τε ΒΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ △Α πρὸς ΑΒ· τριγώνου

Ἰστέον δὲ ὅτι ἡ τοιαύτη κατασκευὴ σχεδὸν ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Ἥρωνος· τὸ γὰρ ΒΘ παραλληλόγραμμον τὸ αὐτό ἐστι τῷ ληφθέντι ἐπὶ τῆς Ἥρωνος κατασκευῆς καὶ αἱ προσεκβαλλόμεναι πλευραὶ αἱ ΘΑ, ΘΓ καὶ ὁ πρὸς τῷ Β κινούμενος κανών. Ταύτῃ δὲ μόνον διαφέρει, ὅτι ἐκεῖ μὲν μέχρι τοσούτου ἐκινοῦμεν περὶ τὸ Β τὸν κανόνα, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τῆς διχοτομίας τῆς ΑΓ, τουτέστι τοῦ Κ, ἴσαι ὑπʼ αὐτοῦ ἀπετέμνοντο πρὸς τὰς Θ△, ΘΖ προσπίπτουσαι, ὡς αἱ Κ△, ΚΖ, ἐνταῦθα δέ, ἄχρις ἂν ἡ △Β ἴση γένηται τῇ ΕΖ. Ἐφ᾿  ἑκατέρας δὲ κατασκευῆς τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖ, τὸ δὲ νῦν εἰρημένον πρὸς χρῆσιν εὐθετώτερον τὰς γὰρ △Β, ΕΖ ἴσας τηρεῖν ἐνδέχεται διῃρημένου τοῦ κανόνος εἰς ἴσα καὶ συνεχῆ πολύ γε εὐκολώτερον τοῦ καρκίνῳ διαπειράζειν τὰς ἀπὸ τοῦ Κ ἴσας πρὸς τὰ △, Ζ.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ ΒΑΓ ὀρθὴν περιέχουσαι γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ, κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΚΘΛ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΜΘΝ καὶ τεμνέτω τὴν ΚΘΛ κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΑ. Τετμήσθω

Τούτου γὰρ γενομένου ἔσται τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ αὐτὴ κατασκευή ἐστι τῇ τε ὑπὸ Ἥρωνος καὶ φίλωνος γεγραμμένῃ, καὶ δῆλον ὅτι ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ ἁρμόσει.

Ἐν κύκλῳ διήχθωσαν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ△, καὶ δύο περιφέρειαι ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐφ᾿  ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΕΒ, ΒΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος τῇ ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ △Ε. Λέγω ὅτι τῶν ΓΗ, ΗΘ δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΗ, Η△.

Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΚ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η△. Ἔσται γὰρ τοῦτο δῆλον ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν· ἴσαι γὰρ γίνονται αἱ ὑπὸ ΓΛΕ, ΖΛ△, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Κ, Η· καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν διὰ τὸ τὴν ΛΕ τῇ ΛΖ

Τούτων προκατεσκευασμένων ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ Α, Β, καὶ ἔστω κύκλος, ἐν ᾧ δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ Γ△, ΕΖ, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ἡ διὰ τῶν συνεχῶν σημείων γραμμή, ὡς προείρηται, ἡ △ΘΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΚ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ· διὰ ἄρα τὰ προγεγραμμένα τῶν ΓΛ, ΛΘ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΛ, Λ△. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΘ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ταῖς ΓΛ, ΛΜ, Λ△, ΛΘ παρεμβάλωμεν μέσας τῶν Α, Β, ὡς τὰς Ν, Ξ, ἔσονται εἰλημμέναι τῶν Α, Β μέσαι ἀνάλογον αἱ Ν, Ξ· ὅπερ ἕδει εὑρεῖν.

Προέθετο μὲν ὁ Πάππος κύβον εὑρεῖν πρὸς τὸν δοθέντα κύβον λόχον ἔχοντα δεδομένον, καὶ ὡς πρὸς τὴν τοιαύτην πρόθεσιν καὶ τὰ τῆς ἀποδείξεως αὐτῷ προέρχεται, δῆλον δὲ ὅτι τούτου εὑρισκομένου καὶ τὸ προκείμενον εὑρίσκεται· δύο γὰρ δοθεισῶν εὐθειῶν ἐὰν τῶν ὀφειλουσῶν μέσων εὑρεθῆναι ἡ δευτέρα εὑρεθῇ, καὶ ἡ τρίτη αὐτόθεν δοθήσεται.

Γεγράφθω γάρ, ὥς φησιν αὐτὸς κατὰ λέξιν, ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ △ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ △Β, καὶ κινείσθω κανόνιον περὶ τὸ △ σημεῖον, ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ △ σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β, Γ. Τούτων δὲ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους τὸν ἐπιταχθέντα.

Καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β△ πρὸς △Ε, καὶ ἐπζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. Παραγέσθω

Νενοήσθω γὰρ ὁ κύκλος ἀναπεπληρωμένος, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ△ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β△ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ Κ△ τῇ △Λ. Ἐπεζεύχθω δὴ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. Ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ, ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτὲστιν ἡ ΤΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. Κοινὸς προσκείσθω ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ λόγος· ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ λόγος, ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόγῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόχῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ. Ἀλλ᾿  ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Γ△ πρὸς △Ε, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Α△ πρὸς △Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ Β△ πρὸς △Ε, τουτέστιν

Προσέχειν δὲ χρὴ ὡς καὶ ἡ τοιαύτη κατασκευὴ ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Διοκλέους εἰρημένῃ τούτῳ μόνον διαφέρουσα φέρουσα τῷ ἐκεῖνον μὲν γραμμήν τινα καταγράφειν διὰ συνεχῶν σημείων μεταξὺ τῶν Α, Β, ἐφ᾿  ἧς ἐλαμβάνετο τὸ Η ἐκβαλλομένης τῆς ΓΕ καὶ τεμνούσης τὴν εἰρημένην γραμμήν, ἐνταῦθα δὲ τὸ Η πορίζεται διὰ τοῦ ΑΚ κανόνος κινουμένου περὶ τὸ Α. Ὅτι γὰρ τὸ Η τὸ αὐτό ἐστι, εἴτε ὡς ἐνταῦθα διὰ τοῦ κανόνος ληφθῇ, εἴτε ὡς ἔφη Διοκλῆς, μάθοιμεν ἂν οὕτως. Ἐκβληθείσης τῆς ΜΗ κατὰ τὸ Ν ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, καὶ παράλληλος ἡ ΗΝ τῇ ΘΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΝ. Καὶ κοινὴ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΒ· ἡ γὰρ ΚΝ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ κέντρου καὶ βάσις ἄρα βάσει ἴση, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΒ περιφέρεια τῇ ΒΝ. Tὸ ἄρα Η ἐστὶν τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τοῦ Διοκλέους. Καὶ ἡ ἀπόδειξις δὴ ἡ αὐτή ἐστιν. Ἐφασκεν γὰρ ὁ Διοκλῆς ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΝΜ τῇ ΜΛ· ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Τῶν ἄρα ΓΜ, ΜΗ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΛΜ, ΜΑ. Ἀλλ᾿  ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Γ△ πρὸς △Ε, ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ἡ Γ△ πρὸς △Θ καὶ τῶν δύο μέσων ἄρα τῶν Γ△, △Ε δευτέρα ἐστὶν ἡ △Θ, ἥντινα ἐπορίσατο καὶ ὁ Πάππος.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ △ΒΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ, ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ △ΑΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ △ διήχθω τις εὐθεῖα οὕτως ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΘ τῇ ΘΚ· τοῦτο γὰρ δυνατόν καὶ ἢχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, ἐπὶ τὴν δὲ κἀθετοι αἱ ΗΛ, ΚΝΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΗ, ἡ ΜΒ πρὸς ΒΛ, ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΛ ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΜΕ τῇ Λ△. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ △Μ τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Λ, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ. Ἀλλ᾿  ὡς μὲν ἡ Μ△ πρὸς △Λ, ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ, ἡ ΗΛ πρὸς ΝΜ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ △Μ πρὸς ΜΚ, ἡ ΚΜ πρὸς ΜΕ, ὡς ἄρα ἡ △Μ πρὸς △Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ △Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ △Β τῇ ΒΑ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Β,

Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ αὕτη ἡ αὐτή ἐστιν τῇ τε ὑπὸ Πάππου καὶ Διοκλέους γεγραμμένῃ.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α, Ε · δεῖ δὴ τῶν Α, Ε δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Γεγονέτω, καὶ ἔστωσαν αἱ Β, Γ, καὶ ἐκκείσθω θέσει εὐθεῖα ἡ △Η πεπερασμένη κατὰ τὸ △, καὶ πρὸς τῷ △ τῇ Γ ἴση κείσθω ἡ △Ζ καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ, καὶ τῇ Β ἴση κείσθω ἡ ΖΘ. Ἐπεὶ οὖν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β · τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης τῆς Α καὶ τῆς Γ, τουτέστι τῆς △Ζ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. Ἐπὶ παραβολῆς ἄρα τὸ Θ διὰ τοῦ γεγραμμένης. Ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΘΚ, △Κ. Καὶ ἐπεὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ Β, Γ, ἴσον γάρ ἐστι τῷ ὑπὸ Α, Ε, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΘΖ. Ἐπὶ ὑπερβολῆς ἄρα τὸ Θ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ. Δοθὲν ἄρα τὸ Θ · ὥστε καὶ τὸ Ζ.

Συντεθήσεται δὴ οὕτως. Ἔστωσαν αἱ μὲν δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ Α, Ε, ἡ δὲ τῇ θέσει ἡ △Η πεπαρασμένη κατὰ τὸ △, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ παραβολή, ἧς ἄξων μὲν ἡ △Η, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ Α, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν △Η ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ δυνάσθωσαν τὰ παρὰ τὴν Α παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπʼ αὐτῶν πρὸς τῷ σημείῳ. Γεγράφθω καὶ ἔστω ἡ △Θ, καὶ ὀρθὴ ἡ △Κ, καὶ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ γεγράφθω ὑπερβολή, ἀφ᾿ ἧς αἱ παρὰ τὰς Κ△, △Ζ ἀχθεῖσαι

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ γεγονέτωσαν αὐτῶν μέσαι αἱ △Β, ΒΕ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς Β△, οὕτως τὴν Β△ πρὸς ΒΕ καὶ τὴν ΒΕ πρὸς ΒΑ, καὶ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ △Ζ, ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ △Β πρὸς ΒΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β△, τουτέστι τῆς ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ, τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς Β△, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ△, τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Β△, ἴσον ἐστὶ

Συντεθήσεται δὲ οὕτως. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθας ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ᾿ ἄπειρον ἀπὸ τοῦ Β, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ παραβολή, ὥστε τας καταγομένας ἐπὶ τὴν ΒΕ δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΒΓ. Πάλιν γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν △Β παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΑΒ · τεμοῦσιν δὴ ἀλλήλας αἱ παραβολαί. Τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ζ△, ΖΕ. Ἐπεὶ οὖν ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ ΖΕ, τουτέστιν ἡ △Β, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β△ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ △Β πρὸς ΒΕ. Πάλιν, ἐπεὶ ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ Ζ△, τουτέστιν ἡ ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ △ΒΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς ΒΑ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς Β△· καὶ ὡς ὄρα ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ Β△ πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.

Γράφεται δὲ ἡ παραβολὴ διὰ τοῦ εὑρεθέντος διαβήτου τῷ Μιλησὶῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ τῷ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ, γραφέντος δὲ ὑπ᾿ αὐτοῦ εἰς τὸ γενόμενον αὐτῷ ὑπόμνημα τῶν Ἥρωνος Καμαρικῶν.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α△, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α△, Γ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Γεγράφθω περὶ τὴν μείζονα τὴν Α△ κύκλος ὁ ΑΒ△Ζ, καὶ τῇ Γ ἴση ἐνηρμόσθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ἀπὸ του ἐφαπτομένῃ τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Π, παρὰ δὲ τὴν Π△Ο ἤχθω ἡ ΒΕΖ, καὶ νενοήσθω ἡμικυλίνδριον ὀρθὸν ἐπὶ τοῦ ΑΒ△ ἡμικυκλίου, ἐπὶ δὲ τῆς Α△ ἡμικύκλιον ὀρθὸν ἐν τῷ τοῦ ἡμικυλινδρίου παραλληλογράμμῳ κείμενον · τοῦτο δὴ τὸ ἡμικύκλιον περιαγόμενον ὡς ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὸ Β μένοντος τοῦ Α πέρατος τῆς διαμέτρου τεμεῖ τὴν κυλινδρικὴν ἐπιφάνειαν ἐν τῇ περιαγωγῇ καὶ γράψει ἐν αὐτῇ γραμμήν τινα. Πάλιν δὲ, ἐὰν τῆς Α△ μενούσης τὸ Α△ τρίγωνον περιενεχθῇ τὴν ἐναντίαν τῷ ἡμικυκλίῳ κίνησιν, κωνικὴν ποιήσει ἐπιφάνειαν τῇ ΑΠ εὐθείᾳ, ἣ δὴ περιαγομένη συμβαλεῖ τῇ κυλινδρικῇ γραμμῇ κατά τι σημεῖον ἅμα δὲ καὶ τὸ Β περιγράψει ἡμικύκλιον ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ. Εχέτω δὴ θέσιν κατὰ τὸν τόπον τῆς συμπτώσεως τῶν γραμμῶν τὸ μὲν κινούμενον ἡμικύκλιον ὡς τὴν τοῦ △ΚΑ, τὸ δὲ ἀντιπεριαγόμενον τρίγωνον τὴν τοῦ △ΛΑ, τὸ δὲ τῆς εἰρημένης συμπτώσεως σημεῖον ἔστω τὸ Κ, ἔστω δὲ καὶ τὸ διὰ τοῦ Β γραφόμενον ἡμικύκλιον τὸ ΒΜΖ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ καὶ τοῦ Β△ΖΑ

Βασιλεῖ Πτολεμαίῳ Ἐρατοσθένης χαίρειν.

Τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν φασιν εἰσαγαγεῖν τὸν Μίνω τῷ Γλαύκῳ κατασκευάζοντα τάφον, πυθόμενον δὲ ὅτι πανταχοῦ ἑκατόμπεδος εἴη εἰπεῖν·

Δεδόσθωσαν δύο ἄνισοι εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύα μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, αἱ ΑΕ, △Θ, καὶ κείσθω ἐπί τινος εὐθείας τῆς ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ ἐπὶ τῆς ΕΘ τρία συνεστάτω παραλληλόγραμμα ἐφεξῆς τὰ ΑΖ, ΖΙ, Θ, καὶ ἤχθωσαν διάμετροι ἐν αὐτοῖς αἱ ΑΖ, ΛΗ, ΙΘ · ἔσονται δὴ αὗται παράλληλοι. Μένοντος δὴ τοῦ μέσου παραλληλογράμμου τοῦ ΖΙ συνωσθήτω τὸ μὲν ΑΖ ἐπάνω τοῦ μέσου, τὸ δὲ ΙΘ ὑποκάτω, καθάπερ ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος, ἕως οὗ γένηται τὰ A, Β, Γ, △ κατ᾿ εὐθεῖαν, καὶ διήχθω διὰ τῶν Α, Β, Γ, △ σημείων εὐθεῖα καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ ἔσται δὴ ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΖΒ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ. Ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ καὶ ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἐν μὲν ταῖς ΒΖ, ΓΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἐν δὲ ταῖς ΒΗ, ΓΘ παραλλήλοις ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ὡς ἄρα ἡ

Ταῦτα οὖν ἐπὶ τῶν γεωμετρουμένων ἐπιφανειῶν ἀποδέδεκται· ἵνα δὲ καὶ ὀργανικῶς δυνώμεθα τὰς δύο μέσας λαμβάνειν, διαπήγνυται πλινθίον ξύλινον ἢ ἐλεφάντινον ἢ χαλκοῦν ἔχον τρεῖς πινακίσκους ἴσους ὡς λεπτοτάτους, ὧν ὁ μὲν μέσος ἐνήρμοσται, οἱ δὲ δύο ἐπωστοί εἰσιν ἐν χολέδραις, τοῖς δὲ μεγέθεσιν καὶ ταῖς συμμετρίαις ὡς ἕκαστοι ἑαυτοὺς πείθουσιν· τὰ μὲν χὰρ τῆς ἀποδείξεως ὡσαύτως συντελεῖται· πρὸς δὲ τὸ ἀκριβέστερον λαμβάνεσθαι τὰς γραμμὰς φιλοτεχνητέον, ἵνα ἐν τῷ συνάγεσθαι τοὺς πινακίσκους παράλληλα διαμένῃ πάντα καὶ ἄσχαστα καὶ ὁμαλῶς συναπτόμενα ἀλλήλοις.

Ἐν δὲ τῷ ἀναθήματι τὸ μὲν ὀργανικὸν χαλκοῦν ἐστιν καὶ καθήρμοσται ὑπ᾿ αὐτὴν τὴν στεφάνην τῆς στήλης προσμεμολυβδοχοημένον, ὑπ᾿ αὐτοῦ δὲ ἡ ἀπόδειξις συντομώτερον φραζομένη καὶ τὸ σχῆμα, μετ᾿ αὐτὸ δὲ ἐπίγραμμα. Ὑπογεγράφθω οὖν σοι καὶ ταῦτα, ἵνα ἔχῃς καὶ ὡς ἐν τῷ ἀναθήματι. Τῶν δὲ δύο σχημάτων τὸ δεύτερον γέγραπται ἐν τῇ στήλῃ.

Δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. Δεδόσθωσαν αἱ ΑΕ, △Θ. Συνάγω δὴ τοὺς ἐν τῷ ὀργάνῳ πίνακας, ἕως ἂν κατ᾿ εὐθεῖαν

Ἐὰν δὲ αἱ δοθεῖσαι μὴ ἴσαι ὦσιν ταῖς ΑΕ, △θ, ποιήσαντες αὐταῖς ἀνάλογον τὰς ΑΕ, △Θ τούτων ληψόμεθα τὰς μέσας καὶ ἐπανοίσομεν ἐπ᾿ ἐκείνας, καὶ ἐσόμεθα πεποιηκότες τὸ ἐπιταχθέν, Ἐὰν δὲ πλείους μέσας ἐπιταχθῇ εὑρεῖν, ἀεὶ ἑνὶ πλείους πινακίσκους καταστησόμεθα ἐν τῷ ὀργανίῳ τῶν ληφθησομένων μέσων ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή

Εἰ κύβον ἐξ ὀλίγου διπλήσιον, ὦγαθέ, τεύχειν φράζεαι ἢ στερεὴν πᾶσαν ἐς ἄλλο φύσιν εὖ μεταμορφῶσαι, τόδε τοι πάρα, κἂν σύ γε μάνδρην ἢ σιρὸν ἢ κοίλου φρείατος εὐρὺ κύτος τῇδ᾿ ἀναμετρήσαιο, μέσας ὅτε τέρμασιν ἄκροις συνδρομάδας δισσῶν ἐντὸς ἕλῃς κανόνων.

Μηδὲ σύ γ᾿ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων

Τοῖσδε γὰρ ἐν πινάκεσσι μεσόγραφα μυρία τεύχοις ῥεῖά κεν ἐκ παύρου πυθμένος ἀρχόμενος.

Εὐαίων, Πτολεμαῖε, πατὴρ ὅτι παιδὶ συνηβῶν πάνθ᾿ ὅσα καὶ Μούσαις καὶ βασιλεῦσι φίλα αὐτὸς ἐδωρήσω τὸ δ᾿ ἐς ὕστερον, οὐράνιε Ζεῦ, καὶ σκήπτρων ἐκ σῆς ἀντιάσειε χερὸς.

Καὶ τὰ μὲν ὣς τελέοιτο, λέγοι δὲ τις ἄνθεμα λεύσσων τοῦ Κυρηναίου τοῦτ᾿ Ἐρατοσθενέος.

Ὡς Νικομήδης ἐν τῷ Περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν.

Γράφει δὲ καὶ Νικομήδης ἐν τῷ ἐπιγεγραμμένῳ πρὸς αὐτοῦ Περὶ κογχοειδῶν συγγράμματι ὀργάνου κατασκευὴν τὴν αὐτὴν ἀποπληροῦντος χρείαν, ἐφ᾿ ᾧ καὶ μεγάλα μὲν σεμνυνόμενος φαίνεται ὁ ἀνήρ, πολλὰ δὲ τοῖς Ἐρατοσθένους ἐπεγγελῶν εὑρήμασιν ὡς ἀμηχάνοις τε ἅμα καὶ γεωμετρικῆς ἕξεως ἐστερημένοις. Τοῦ τε ἀνελλειποῦς τοίνυν τῶν περὶ τὸ πρόβλημα πεπονηκότων τῆς τε πρὸς Ἐρατοσθένη συγκρίσεως ἕνεκα καὶ αὐτὸν τοῖς ἤδη γεγραμμένοις συνάπτομεν δυνάμει γράφοντα οὕτως

Νοεῖν χρὴ κανόνας δύο πρὸς ὀρθὰς ἄλλήλοις συμβεβλημένους οὕτως, ὥστε μίαν ἀποσῴζειν αὐτοὺς ἐπιφάνειαν, καθάπερ εἰσὶν οἱ ΑΒ, Γ△, ἐν δὲ τῷ ΑΒ σωλῆνα

Ταύτῃ δὴ τῇ γραμμῇ συμβαῖνον δείκνυσιν τὸ ἀεὶ ἐπ᾿ ἔλαττον μὲν συμπορεύεσθαι τῷ ΑΒ κανόνι, καὶ ἐὰν τις εὐθεῖα διαχθῇ μεταξὺ τῆς τε γραμμῆς καὶ τοῦ ΑΒ κανόνος, ὅτι πάντως τέμνει τὴν γραμμήν. Καὶ τὸ μὲν πρότερον τῶν συμβαινόντων ἐστὶν εὐκατανόητον ἐφ᾿ ἑτέρας καταγραφῆς. Κανόνος γὰρ νοουμένου τοῦ ΑΒ, πόλου δὲ τοῦ Γ, διαστήματος δὲ τοῦ △Ε, γραμμῆς δὲ κογχοειδοῦς τῆς ΖΕΗ, προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Γ δύο αἱ ΓΘ, ΓΖ, ἴσων δηλονότι γινομένων τῶν ΚΘ, ΛΖ. Λέγω ὅτι ἡ ΖΝ κάθετος ἐλάττων τῆς ΘΝ καθέτου.

Μεἱζονος γὰρ οὔσης τῆς ὑπὸ ΜΛΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΝΚΓ λοιπὴ ἡ λείπουσα εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΜΛΖ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΝΚΘ ἐστὶν ἐλάσσων, καὶ διὰ τοῦτο ὀρθῶν οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς Μ, Ν μείζων ἔσται καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ τῆς πρὸς τῷ Θ. Καὶ ἐὰν τῇ πρὸς τῷ Θ ἴσην συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΜΖΞ, ἡ ΚΘ, τουτέστιν ἡ ΛΖ, πρὸς ΘΝ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν ἡ ΞΖ πρὸς ΖΜ· ὥστε ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΘΝ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΜ, καὶ διὰ τοῦτο μείζων ἡ ΘΝ τῆς ΖΜ.

Τὸ δὲ δεύτερον ἦν τὸ τὴν διαγομένην εὐθεῖαν μεταξὺ τῆς τε ΑΒ καὶ τῆς γραμμῆς τέμνειν τὴν γραμμήν· καὶ τοῦτο δὲ οὕτω γίνεται γνώριμον·

Ἡ γὰρ διαγομένη ἤτοι παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ ἢ οὔ. Ἔστω πρότερον παράλληλος, ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ △Ε πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Κ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῇ Κ, περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΓ· ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἧν ἡ △Ε πρὸς τὴν Κ, τουτέστι τὴν ΓΖ ἴση ἄρα ἡ △Ε τῇ ΛΖ ὅπερ ἀδύνατον δεῖ γὰρ εἶναι τὸ Ζ πρὸς τῇ γραμμῇ.

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ἡ διαγομένη παράλληλος, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΗΝ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ. Ἡ ἄρα ΖΗ συμπεσεῖται τῇ γραμμῇ ὥστε πολλῷ μᾶλλον ἡ ΜΝ.

Τούτων δὲ ὄντων τῶν παρακολουθημάτων διὰ τοῦ ὀργάνου τὸ χρήσιμον εἰς τὸ προκείμενον δείκνυται οὕτως.

Πάλιν γωνίας δοθείσης τῆς Α καὶ σημείου ἐκτὸς τοῦ Γ διαγαγεῖν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ ἴσην τῇ δοθείσῃ.

Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ △Θ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ δοθέντι τῷ △Θ, κανόνι δὲ τῷ ΑΒ, γεγράφθω κογχοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ Ε△Ζ· συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προδειχθὲν. Συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ· ἴση ἄρα ἡ τῇ δοθείσῃ.

Τούτων δειχθέντων δεδόσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ, ΛΑ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εὑρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς △, Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ △Λ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ Α△, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ

Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε, καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΚ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΚΖ. Καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. Καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεα ἡ Α△, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ (ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΓ τῆς △Β)· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς Α△, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους

Καὶ συνθέντι ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΓ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ | Ὡς γὰρ ἐπὶ αὐτῆς τῆς ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφῆς, ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΓΒΑ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἧκται ἡ ΒΕ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας. Ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ.

Διὰ δὲ τῶν αὐτῶν δείκνυται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς

Εἶτα ἐφεξῆς δεικνύναι πειρώμενος τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσον τὸν ΒΚΖ κῶνον ἐκθέμενος κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΑΖ τμήματος, ὕφος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, φησὶν ὅτι ὁ Ν κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΖΑΒΘ στερεῷ τομεῖ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ. Ἰστέον δὲ ὅτι ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ οὐ τὸν τοιοῦτον τομέα ἀπεδείκνυεν ἴσον ὄντα τῷ οὕτως λαμβανομένῳ κώνῳ, ἀλλὰ τὸν περιεχόμενον ὑπὸ τε τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας ἐλάττονος ἡμισφαιρίου, ὅντινα καὶ κυρίως ἐν τοῖς ὅροις τομέα στερεὸν καλεῖν ἐφαίνετο. Ἔφασκεν γάρ · τομέα δὲ στερεὸν καλέω, ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμνῃ τὰν κορυφὰν ἔχων ποτὶ τῷ κέντρῳ τᾶς σφαίρας, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ τᾶς ἐντὸς τοῦ κώνου | Τὸ δὲ νῦν προκείμενον σχῆμα περιέχεται μὲν ὑπὸ κωνικῆς ἐπιφανείας τὴν κορυφὴν ἐχούσης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, ἀλλ᾿ οὐ τῆς ἐντὸς ἀπολαμβανομένης τοῦ κώνου. Ὅτι δὲ καὶ τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἴσον γίνεται τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ σφαιρικῇ τῇ περιεχούσῃ τὸ τμῆμα, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, δειχθήσεται οὕτως διὰ τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ δεδεγμένων.

Νενοήσθω χωρὶς σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ μὴ διὰ τοῦ κέντρου τῷ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλῳ,

Εἶτα πάλιν φησίν ἴσος ἄρα ὁ Ν κῶνος, τουτέστιν ὁ ΒΘΖΑ τομεύς, τῷ ΒΘΖΚ σχήματι | Ἐπεὶ γὰρ συνήχθη ὁ Ν κῶνος ἴσος ὢν κώνῳ, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΕΚ, ἴσος τῷ τε εἰρημένῳ κώνῳ καὶ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος · δὲ τὴν ΕΘ · πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη · κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΕΘ, λοιπὸν τὸ ΒΘΖΚ σχῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τουτέστι τῷ Ν κώνῳ, τουτέστι τῷ ΒΑΘΖ τομεῖ.

Ἐπαγαγὼν δὴ τὸ ἐκ τῶν συναχθέντων πόρισμα ἐπὶ τέλει τοῦ θεωρήματος ἑξῆς δι᾿ ἑτέρας ἀποδείξεως συνάγει τὸ τελευταῖον μέρος τοῦ θεωρήματος, τουτέστιν ὅτι τὸ ΑΒΖ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΚΖ κώνῳ, καὶ προιών φησιν · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, καὶ ὅλη ἡ Κ△ πρὸς △Θ ἐστὶν ὡς ἡ △Θ πρὸς △Γ | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, ἡ ΘΓ πρὸς Γ△, καὶ συνθέντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, τουτέστιν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ · ἦν γὰρ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΘΑ.

Καὶ μετ᾿ ὀλίγον · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς △Θ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ | Νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ Κ△, ΑΓ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ. Λέγω ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΘ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Θ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΘΚ πρὸς Θ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△ κοινοῦ ὕφους τῆς Θ△ λαμβανομένης, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ κοινοῦ πάλιν ὕψους λαμβανομένης τῆς ΕΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ἀπὸ Θ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Κ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ· καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Κ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ. Καὶ ἀνάπαλιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ὡς δὲ οἱ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ △Β, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ | Ὡς γὰρ ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ, ἐπεὶ ἐν ὀρθογωίῳ τριγώνῳ τῷ Α△Β κάθετος ἦκται καὶ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἡ

Καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον διὰ τῆς κατασκευῆς ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ καὶ ἡ △Χ πρὸς ΧΒ | Ἐν γὰρ τῷ πρὸ τούτου συνήγετο οὕτως ἐπεί ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ Κ△, △Χ πρὸς △Χ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Χ, ἡ ΡΒ πρὸς ΒΧ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ△, τουτέστιν ἡ ΚΒ, πρὸς ΒΡ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΛΧ πρὸς Χ△, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΒ, ΒΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ. Ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ △Χ πρὸς ΧΒ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ ὡς ἄρα ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ.

Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ὅλην τὴν ΚΛ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ | Ὡς γὰρ ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

Ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△| Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΚ, ἡ ΚΛ πρὸς Λ△, καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△· ἀνάλογον γάρ εἰσιν ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△.

Κείσθω τῇ ΚΒ ἴση ἡ ΒΖ· ὅτι γὰρ ἐκτὸς τοῦ Ρ πεσεῖται δῆλον | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Χ△ πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ ΧΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ. Ἐκτὸς ἄρα τοῦ Ρ πίπτει τὸ Ζ.

Ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶ τῆς △Λ πρὸς ΛΧ δοθεὶς καὶ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ, καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶ δοθείς | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ, τουτέστιν ἡ ΖX πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ ΧΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΧΛ πρὸς Λ△, καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ, ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ. Δέδοται δὲ ὁ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς δεδομένης σφαίρας, ἡ δὲ ΒΧ τῶν Β, Χ περάτων αὐτῆς δεδομένων καθ᾿ ὑπόθεσιν τετμημένης τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδου καὶ τῆς △Β πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῇ ΑΓ δἔδοται, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὅλη ἡ ΧΖ καὶ ὁ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΒ· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΧΛ πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶν δοθείς. Πάλιν ἐπειδὴ δέδοται ὁ λόγος τῶν τμημάτων, καὶ ὁ τοῦ ΛΑΓ κώνου πρὸς τὸν κῶνον λόγος ἔσται δοθείς· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΛΧ πρὸς ΧΡ πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΡΛ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς. Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρας τῶν ΡΛ, Λ△ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐσστὶ

Ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, καὶ ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ | Ὅτι μὲν ἡ σύνθεσις τῶν λόγων λαμβάνεται τῆς Λ△ μέσης λαμβανομένης, ὡς κὰν τῇ Στοιχειώσει ἐλαμβάνετο, φανερὸν ἐπεὶ δὲ τὸ λεγόμενον ἀδιαρθρώτως πως καὶ οὐχ οὕτως, ὥστε τὴν ἔννοιαν ἀποπληρῶσαι, λέλεκται, ὡς ἔστιν εὑρεῖν ἐντυγχάνοντας Πάππῳ τε καὶ Θέωνι καὶ Ἀρκαδίῳ ἐν πολλοῖς συντάγμασιν οὐκ ἀποδεικτικῶς, ἀλλ᾿ ἐπαγωγῇ τὸ λεγόμενον παριστῶσιν, οὐδὲν ἄτοπον πρὸς βραχὺ ἐνδιατρίψαντας τῷ λόχῳ τὸ σαφέστερον παραστῆσαι.

Φημὶ τοίνυν ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν μέσος τις ὅρος ληφθῇ, ὁ τῶν ἐξ ἀρχῆς ληφθέντων ἀριθμῶν λόχος σύγκειται ἐκ τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν μέσον, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ μέσος πρὸς τὸν τρίτον.

Ὑπομνηστέον δὴ πρότερον πῶς ἐλέγετο λόφος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι. Ὡς γὰρ ἐν τῇ Στοιχειώσει· ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ᾿ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσίν τινα, πηλικότητος δηλονότι λεγομένης τοῦ ἀριθμοῦ, οὗ παρώνυμός ἐστιν ὁ διδόμενος λόχος, ὥς φασιν ἄλλοι τε καὶ Νικόμαχος ἐν τῷ πρώτῳ Περὶ μουσικῆς καὶ Ἡρώνας ἐν τῷ ὑπομνήματι τῷ εἰς τὴν Ἀριθμητικὴν εἰσαγωγήν, ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν καὶ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ πολλαπλασιαζομένου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον τοῦ λόχου καὶ ποιοῦντος τὸν ἡγούμενον. Καὶ κυριώτερον μὲν ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων ἡ πηλικότης ἂν λαμβάνοιτο, ἐπὶ δὲ τῶν ἐπιμορίων ἢ ἐπιμερῶν οὐκέτι τὴν πηλικότητα δυνατὸν

Τούτων δὴ προσαφηνισθέντων ἐπανακτέον ἐπὶ τὸ προτεθέν, Ἔστωσαν γὰρ οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, μέσος δὲ αὐτῶν εἰλήφθω τις ὁ Γ· δεικτέον δὴ ὅτι ὁ τοῦ A πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ὁ A πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Β.

Eἰλήφθω γὰρ τοῦ μὲν Α, Γ λόγου πηλικότης ὁ △, τοῦ δὲ Γ, Β ὁ E· ὁ ἄρα Γ τὸν △ πολλαπλασιάσας τὸν A ποιεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ. Ὁ δὴ △

Ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ ὑποδείγματος φανερὸν γένηται τὸ εἰρημένον. παρεμπιπτέτω τοῦ ιβ καὶ τοῦ β μέσος τις ἀριθμὸς ὁ δ. Λέγω ὅτι ὁ τοῦ β πρὸς τὸν β λόγος, τουτέστν ὁ ἑξαπλάσιος, σύγκειται ἔκ τε τοῦ τριπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὰ △Ζ καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ △Ζ πρὸς τὰ β.

Ἐὰν γὰρ τὰς πηλικότητας τῶν λόγων πολλαπλασιάσωμεν ἐπ᾿ ἀλλήλας, τουτέστι τὸν γ ἐπὶ τὸν β, γίνεται

Εἰ δὲ καὶ ὁ μέσος παρεμπίπτων μὴ ὑπάρχῃ τοῦ μὲν μείζονος ἐλάττων, τοῦ δὲ ἐλάττονος μείζων, ἀλλ᾿ ἢ τὸ ἀνάπαλιν ἢ ἀμφοτέρων μείζων ἢ ἀμφοτέρων ἐλάττων, καὶ οὕτως ἡ σύνθεσις ἡ προειρημένη ἀκολουθήσει. Τοῦ θ καὶ τοῦ ς΄ μέσος τις παρεμπιπτέτω ἀμφοτέρων μείζων ὁ ιβ. Λέγω ὅτι ἔκ τε τοῦ ὑπεπτρίτου τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ σύγκειται ὁ ἡμιόλιος τοῦ θ πρὸς τὰ ς΄.

Ἡ γὰρ πηλικότης τοῦ τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου ἐστὶ τρία τέταρτο, τουτέστν ἥμισυ καὶ τέταρτον, ἡ δὲ πηλικότης τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ ἐστὶν ὁ β, Ἐὰν οὖν πολλαπλασιάσωμεν τὸν β ἐπὶ τὸ ἥμισυ καὶ τὲταρτον, γίνεται μονὰς α καὶ ἥμισυ, ἥτις πηλικότης ἐστὶ τοῦ ἡμιολίου λόγου, ὃν ἔχει καὶ ὁ θ πρὸς τὸν ς΄. Ὁμοίως δέ, κἂν τοῦ θ καὶ μέσος ἐμπέσῃ ὁ δ, ἐκ τοῦ θ πρὸς △Ζ διπλασιεπιτετάρτου καὶ τοῦ △Ζ πρὸτ ς΄. ὑφημιολίου σύγκειται ὁ ἡμιόλιος λόφος. Πάλιν γὰρ τὴν πηλικότητα τοῦ διπλασιεπιτετάρτου τὰ β δ΄ ἐπὶ τὴν πηλικότητα τοῦ ὑφημιολίου, τουτέστι τὰ δύα τρίτα, πολλαπλασιάσαντες ἕξομεν τὸ ἓν ἥμισυ πηλικότητα τοῦ ἡμιολίου, ὡς εἴρηται, λόγου. Καὶ ἐπὶ πάντων δὲ ὁμοίως ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.

Συμφανὲς δὲ ἐκ τῶν εἰρημένων ὡς, ἐὰν δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν κἂν μὴ εἷς μέσος, πλείους δὲ, παρεμπίπτωσιν ὅροι, ὁ τῶν ἄκρων λόγος σύγκεται ἐκ πάντων τῶν λόχων, ὧν ἔχουσιν οἱ κατὰ τὸ ἑξῆς κείμενοι ὅροι ἀρχὸμενοι ἀπὸ πρώτου καὶ λήοντες εἰς τὸν ἔσχατον τῇ κατὰ τοὺς ἐχομένους τάξει.

Δύο γὰρ ὄντων ὅρων τῶν Α, Β παρεμπιπτέτωσαν πλείους ἑνὸς οἱ Γ, △. Λέγω ὅτι ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόφος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △, καὶ ὁ △ πρὸς τὸν Β.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν △, καὶ ὁ △ πρὸς τὸν Β, ὡς ἀνωτέρω εἴρηται, ὁ δὲ τοῦ Α πρὸς τὸν λόχος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △, ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △, καὶ ὁ πρὸς τὸν Β. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δειχθήσεται.

Ἔτι ἐν τῷ ῥητῷ φησιν

Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, ἐδείχθη τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ | Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ △Λ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΧ ἐδείχθη γὰρ ὡε ἡ ΚΛ πρὸς Λ△, ἡ Β△ πρὸς △Χ διὰ τοῦ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ.

Πεποιήσθω δὲ ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ Τὸ Θ σημεῖον ὅπως ποτὲ μὲν ἂν τεθῇ, ὅσον πρὸς τὴν ἀκολουθίαν τῆς ἀποδείξεως κατʼ οὐδὲν ἐμποδὼν γίνεται τῷ λόγῳ· ὅτι δέ, καθὰ ἐν τῇ καταγραφῇ κεῖται, ἀεὶ μεταξὺ τῶν Β,

Φανερὸν δὲ αὐτόθεν ὅτι ἡ ΖΘ τῆς ΘΒ μείζων ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ Λ△ πρὸς ∠Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ, μείζων ἄρα καὶ ἡ Λ△ τῆς △Κ καὶ ἡ ΚB τῆς ΒΡ ὥστε καὶ ἡ Λ△ τῆς ΒΡ. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΛΧ τῆς ΧΡ μείζων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΘΒ.

Λοιπὸν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ Β△, τουτέστι τὸ δοθέν, πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, οὕτως ἡ ΖΧ πρὸς ΖΘ Ἐπεὶ γὰρ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΘΖ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ, τῷ δὲ αὐτῷ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΘ ὁ αὐτός ἐστι καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ, καὶ ὁ συγκείμενος ἄρα ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τοῦ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ. Ἐὰν οὖν τὸν ἐν ἀμφοτέροις τοῖς λόφοις κοινὸν ἀφέλωμεν τὸν τῆς ΒΖ πρὸς ΧΖ, λοιπὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ.

Καὶ δὴ δοθεῖσαν τὴν τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν· τουτέστι τὴν ΖΘ· οὕτως τὸ δοθέν τουτέστι τὸ ἀπὸ Β△· πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Χ. Τοῦτο δὲ οὕτως ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορισμόν, προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ τοῦ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, ὡς κατὰ τὴν ἀνάλυσιν· οὐκ ἔχει διορισμόν καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, τὴν ΧΖ πρὸς ΖΘ· ἑκάτερα δὲ ταῦτα ἐπὶ τέλει ἀναλυθήσεται καὶ συντεθήσεται | Ἐπὶ τέλει μὲν τὸ προρηθὲν ἐπηγγείλατο δεῖξαι, ἐν οὐδενὶ δὲ τῶν ἀντιγράφων εὑρεῖν ἔνεστι τὸ ἐπάχγελμα. Ὅθεν καὶ Διονυσόδωρον μὲν εὑρίσκομεν μὴ τῶν αὐτῶν ἐπιτυχόντα, ἀδυνατήσαντα δὲ ἐπιβαλεῖν τῷ καταλειφθέντι λήμματι, ἐφ᾿ ἑτέραν ὁδὸν τοῦ ὅλου προβλήματος ἐλθεῖν, ἥντινα ἑξῆς γράψομεν Διοκλῆς μέντοι καὶ αὐτὸς ἐν τῷ Περὶ πυρίων αὐτῷ συγγεγραμμένῳ βιβλίῳ ἐπηγγέλθαι νομίζων τὸν Ἀρχιμήδη, μὴ πεποιηκέναι δὲ τὸ ἐπάγγελμα, αὐτὸς ἀναπληροῦν ἐπεχείρησεν, καὶ τὸ ἐπιχείρημα ἑξῆς γράψομεν ἔστιν γὰρ καὶ αὐτὸ οὐδένα μὲν ἔχον πρὸς τὰ παραλελειμμένα λόγον, ὁμοίως δὲ τῷ Διονυσοδώρῳ διʼ ἑτέρας ἀποδείξεως κατασκευάζον τὸ πρόβλημα. Ἔν τινι μέντοι παλαιῷ βιβλίῳ οὐδὲ γὰρ τῆς εἰς πολλὰ ζητήσεως ἀπὲστημεν ἐντετύχαμεν θεωρήμασι γεγραμμένοις οὐκ ὀλίγην μὲν τὴν ἐκ τῶν πταισμάτων ἔχουσιν ἀσὰφειαν περί τε τὰς καταγραφὰς πολυτρόπως

Εὐθείας δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΓ καὶ χωρίου τοῦ △ προκείσθω λαβεῖν ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον ὡς τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς ΑΓ, οὕτω τὸ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ.

Γεγονέτω, καὶ κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΓΗ, διὰ δὲ τοῦ Β τῷ ΑΓ παράλληλος ἡ ΖΒΗ συμπίπτουσα ἑκατέρᾳ τῶν ΓE, ΓΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΓΘ, ΗΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ τῷ △ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΗΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπο ΕΒ, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ, οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, τουτέστι

Συντεθήσεται δὲ οὕτως ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἄλλη δὲ τις δοθεῖσα ἡ ΑΓ, τὸ δὲ δοθὲν χωρίον τὸ △, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν ΑΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὸ ἓν τμῆμα πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ δοθὲν τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος.

Εἰλήφθω τῆς ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΑΕ· τὸ ἄρα △ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον. Εἰ μὲν οὖν μεῖζόν ἐστιν, οὐ συντεθήσεται, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται· εἰ δὲ ἴσον ἐστί, τὸ Ε σημεῖον ποιήσει τὸ πρόβλημα. Ἴσων γὰρ ὄντων τῶν στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν

Εἰ δὲ ἔλασσόν ἐστι τὸ ∠ ἐπὶ τὴν ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, συντεθήσεται οὕτως κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΖ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΕ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ. Ἐπεὶ οὖν τὸ △ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ. Ἔστω οὖν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ, καὶ τῷ △ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΖΝ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, ἡ ΓΖ

Ὅτι δὲ διπλασίας οὔσης τῆς ΒΕ τῆς ΕΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ δειχθήσεται οὕτως. Ἔστω γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει, πάλιν δοθεῖσα εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ΑΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ διὰ τοῦ Β παραλλήλῳ ἠχμένῃ τῇ ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τῶν Γ, Ζ παράλληλοι τῇ ΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΘΖ, ΓΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ταύτῃ παράλληλος διὰ τοῦ Ε ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ,

Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ· ἥξει δὴ διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται, καὶ συμπεσεῖται ἐκβαλλομένη τῇ ΘΓ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς διὰ τὸ ἕβδομον καὶ εἰκοστὸν θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΝΓΗ γεγράφθω ὑπερβολή ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει εἴρηται. Ἐρχέσθω οὖν ὡς ἡ ΒΚ, καὶ ἐκβληθείσῃ τῇ ΖΗ ἴση κείσθω ἡ ΗΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο· φανερὸν ἄρα ὅτι ἐφάπτεται τῆς παραβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τετάρτου καὶ τριακοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ, οὕτως γὰρ ὑπόκειται, τουτέστιν ἡ ΖΚ τῆς ΚΘ, καί ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΘΚ τρίγωνον τῷ ΞΖΚ τργώνῳ, διπλασία ἐστὶ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΟ. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΠ διπλῆ διὰ τὸ καὶ τὴν ΞΖ τῆς ΞΗ καὶ παράλληλον εἶναι τὴν ΠΗ τῇ ΚΖ ἴση ἄρα ἡ ΟΚ τῇ ΚΠ. Ἡ ἄρα ΟΚΠ ψαύουσα τῆς ὑπερβολῆς καὶ μεταξὺ οὖσα τῶν ἀσυμπτώτων δίχα τέμνεται· ἐφάπτεται ἄρα τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τρίτου θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐφήπτετο δὲ καὶ τῆς παραβολῆς κατὰ τὸ αὐτὸ Κ· ἡ ἄρα παραβολὴ τῆς

Ἀλλὰ δὴ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν Ε, Α σημεῖον τὸ Ϛ. Λέγω ὅτι καὶ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατεσκευασμένων ἤχθω διὰ τοῦ Ϛ τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ϥϚΡ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Ρ συμβαλεῖ γὰρ αὐτῇ διὰ τὸ παράλληλος

Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ καὶ τοῖς ἀκολουθοῦσιν κατὰ τὴν εἰρημένην καταγραφήν. Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ καὶ τὸ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ ἔλασσον τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, δυνατόν ἐστι καὶ τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ κατὰ δύο σημεῖα τὴν ΑΒ τεμνομένην ποιεῖν τὸ ἐξ ἀρχῆς πρόβλημα. Τοῦτο δὲ γίνεται, εἰ νοήσαιμεν περὶ διάμετρον τὴν ΧΗ γραφομένην παραβολήν, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΩ· ἡ γὰρ τοιαύτη παραβολὴ πάντως ἔρχεται διὰ τοῦ Τ. Καὶ ἐπειδὴ ἀνάγκη αὐτὴν συμπίπτειν τῇ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ, δῆλον ὅτι τέμνει τὴν ὑπερβολὴν καὶ κατʼ ἄλλο σημεῖον ἀνωτέρω τοῦ Κ, ὡς ἐνταῦθα κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη, ὡς ἐνταῦθα ἡ ΡϚ, τέμνει τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ϛ, ὥστε τὸ Ϛ σημεῖον ποιεῖν τὸ πρόβλημα, καὶ ἴσον γίνεσθαι τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ τῷ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ, ὥς ἐστι διὰ τῶν προειρημένων ἀποδείξεων ἐμφανές. Ὥστε, δυνατοῦ ὄντος ἐπὶ τῆς ΒΑ δύο σημεῖα λαμβάνειν ποιοῦντα τὸ ζητούμενον, ἔξεστιν ὁπότερόν τις βούλοιτο λαμβάνειν ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε,

Καθόλου μὲν οὖν οὕτως ἀναλέλυται καὶ συντέθειται τὸ πρόβλημα ἵνα δὲ καὶ τοῖς Ἀρχιμηδείοις ῥήμασν ἐφαρμοσθῇ, νενοήσθω ὡς ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ διάμετρος μὲν τῆς σφαίρας ἡ △Β, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΖ, καὶ ἡ δεδομένη ἡ ΖΘ. Κατηντήσαμεν ἄρα, φησίν, εἰς τὸ τὴν △Ζ τεμεῖν κατὰ τὸ Χ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς τὴν δοθεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ. Τοῦτο δὲ ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορμσμόν Εἰ γὰρ τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μεῖζον ἐτύγχανεν τοῦ ἀπὸ τῆς △Β ἐπὶ τὴν ΒΖ, ἀδύνατον ἦν τὸ πρόβλημα, ὡς δέδεικται, εἰ δὲ ἴσον, τὸ Β σημεῖον ἐποίει τὸ πρόβλημα, καὶ οὕτως δὲ οὐδὲν ἦν πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς Ἀρχιμήδους πρόθεσιν ἡ γὰρ σφαῖρα οὐκ ἐτέμνετο εἰς τὸν δοθέντα λόχον. Ἁπλῶς ἄρα λεγόμενον εἶχεν προσδιορισμόν προστιθεμένων δὲ

Κατανοεῖν δὲ χρὴ καὶ τοῖς ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους λεγομένοις συμφώνως ἔχουσιν τοῖς ὑφʼ ἡμῶν ἀναλελυμένοις. Πρότερον μὲν γὰρ μετὰ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ καθόλου τὸ εἰς ὃ κατήντησεν λέγων φησίν δοθεῖσαν τὴν △Ζ τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ εἶτα εἰπὼν ὡς καθόλου μὲν τὸ λεγόμενον ἔχει διορισμὸν, προστεθέντων δὲ τῶν ὑπ᾿ αὐτοῦ εὑρεθέντων προβλημάτων, τοῦ τε εἶναι διπλασίαν τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, μὴ ἔχειν διορισμόν μερικώτερον ἐπαναλαμβάνει τὸ πρόβλημα καί φησιν ὅτι καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ, οὐκέτι, ὡς πρότερον, τὴν △Ζ εἰπὼν ἀλλὰ τὴν △Β δεῖν τεμεῖν διὰ τό, ὡς ἀνωτέρω ἡμεῖς ἀπεδείξαμεν, εἰδέναι αὐτὸν ὡς δύο σημεῖά ἐστι τὰ λαμβανόμενα ἐπὶ τῆς △Ζ καὶ ποιοῦντα τὸ πρόβλημα, ἓν μὲν τὸ μεταξὺ τῶν △, Β, ἕτερον δὲ τὸ μεταξὺ τῶν Β, Ζ, ὧν τὸ μεταξὺ τῶν △, Β ἦν τὸ πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρόθεσιν χρήσιμον.

Ταῦτα μὲν οὖν ἀκὸλουθα τοῖς Ἀρχιμήδους ῥήμασιν κατὰ τὸ δυνατὸν σαφῶς ἀπεγραψάμεθα ἐπεὶ δὲ, ὡς προείρηται, καὶ Διονυσόδωρος οὐδαμοῦ τοῖς ἐπὶ τέλει

Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα αὐτῆς πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε. Δδεῖ δὴ τεμεῖν τὴν σφαῖραν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὴν ΑΒ, ὥστε τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, λόχον ἔχειν, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε.

Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΕ πρὸς Ε△, ἐχέτω ἡ ΖΑ

Ὅτι δὲ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, δειχθήσεται οὕτως.

Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ τὴν ΟΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΟ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΜΟ. Ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, ὕψος δὲ τὴν ΜΟ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν ὥστε καὶ τῷ τμήματι ἴσος ἐστίν.

Γράφει δὲ καὶ ὁ Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων προλέγων τάδε.

Ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας ἴσον ἐστὶ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ εὐθεῖάν τινα λόγον ἔχουσαν πρὸς τὴν ἀπὸ τῆς τοῦ τμήματος κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ἡ τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθετος πρὸς τὴν τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθετον. Οἷον ἐὰν ᾖ σφαῖρα ἡ ΑΒΓ καὶ τμηθῇ ἐπιπέδῳ τινὶ τῷ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλῳ, καὶ διαμέτρου οὔσης τῆς ΑΒ, κέντρου δὲ τοῦ Ε, ποιήσωμεν ὡς συναμφότερον τὴν ΕΑ, ΖΑ πρὸς ΖΑ, οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς ΖΒ, ἔτι τε ὡς συναμφότερον τὴν ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως τὴν ΘΖ πρὸς ΖΑ, ἀποδέδεικται ὅτι τὸ μὲν ΓΒ△ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΖΗ, τὸ δὲ ΓΑ△ τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΘΖ. Προταθέντος οὖν αὐτῷ τοῦ τὴν δοθεῖσαν

θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β καὶ λόχου τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △, τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ε καὶ προσθεῖναι τὰς ΖΑ, ΗΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν △, οὕτως τὴν ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, ἔτι τε εἶναι ὡς τὴν ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως δοθεῖσάν τινα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΕΑ.

Γεγονέτω, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΘΑΚ, ΛΒΜ, καὶ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν

Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ὡς γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα, ἣν δεῖ τεμεῖν, ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα ἑτέρα ἡ ΑΚ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν △. Ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΜ ἴση οὖσα τῇ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΜ, καὶ τῇ μὲν ΚΑ ἴση κείσθω ἡ ΑΡ καὶ ἡ ΒΣ, ἀπὸ δὲ τῶν Ρ, Σ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΡΥ, ΣΤ, καὶ πρὸς τῷ Β σημείῳ συνεστάτω ἡμίσεια ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΑΒΟ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΒΟ ἐφ᾿ ἑκάτερα τεμνέτω τὰς ΣΤ, ΡΥ κατὰ τὰ Τ, Υ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ △ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ, οὕτως ἡ ΤΥ πρὸς τὴν Φ, καὶ περὶ τὴν ΤΥ γεγράφθω ἔλλειψις, ὥστε τὰς καταγομένας ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς δύνασθαι τὰ παρακείμενα παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ, Φ, διὰ δὲ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΚ, ΚΜ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ ΒΞ τέμνουσα τὴν ἔλλειψιν κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Π, διὰ δὲ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΞΝ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΚΑ, ΜΒ ἐπὶ τὰ △, Θ, καὶ ἡ ΜΕ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΚΝ κατὰ τὸ Θ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΞ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΚ, ΚΜ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΓ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, καὶ διὰ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΚΕΛ. Κείσθω οὖν τῇ μὲν ΘΑ ἴση ἡ ΑΖ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΒΗ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν △, οὕτως ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, ὡς δὲ ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ διὰ τὸ κ΄ θεώρημα τοῦ πρώτου

Τούτων δεδειγμένων δυνατόν ἐστι τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόχον τεμεῖν οὕτως· ἔστω γὰρ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόχος. ὃν δεῖ ἔχεν τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα, ὁ τῆς πρὸς τὴν κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον τὸ Ζ, καὶ προσκείσθωσαν αἱ ΗΑ, ΘΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν πρὸς τὴν △, οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΖΘ, ἔτι τε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΗΑ πρὸς ΑΖ,

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΒΖ, καὶ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΗΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΒΖ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ, ὕψος δὲ τὴν ΖΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΖ, καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΒΖ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΑ, ΑΖ πρὸς ΑΖ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΖΘ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕφος δὲ τὴν ΒΖ. Ἐπεὶ οὖν οἱ εἰρημένοι κῶνοι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη, τουτέστιν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ, τουτέστιν ἡ Γ πρὸς τὴν △, καὶ τὰ τμήματα ἄρα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν δοθέντα ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Ὡς δὲ δεῖ διὰ τοῦ δοθέντος σημείου περὶ τὰς δοθείσας ἀσυμπτώτους γράψαι ὑπερβολὴν δείξομεν οὕτως, ἐπειδὴ οὐκ αὐτόθεν κεῖται ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιέχουσαι τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ δεδόσθω σημεῖόν τι τὸ △, καὶ προκείσθω διὰ τοῦ △ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς

Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ △Ζ τῇ ΒΑ, καὶ ἴση ἡ ΓΖ τῇ ΖΑ, ἴση ἄρα καὶ ἡ Γ△ τῇ △Β· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Γ△. Καί ἐστι τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ △Ε, Η· ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ Γ△, △Β τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὑπὸ △Ε, Η εἴδους. Αἱ ἄρα ΓΑ, ΑΒ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β΄ βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων.

Ἐν δὲ τῇ συνθέσει προσεκβάλλων τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας τὴν △Β καὶ ἀποθέμενος τῇ ἡμισείᾳ αὐτῆς ἴσην τὴν ΖΒ καὶ τεμὼν αὐτὴν εἰς τὸν δοθέντα λόχον κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπὶ τῆς △Β λαβὼν τὸ Χ οὕτως, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς ΘΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, τὰ αὐτὰ κατασκευάζων τοῖς πρότερόν φησι ὅτι γεγονέτω ὡς συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς △Χ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, καὶ τίθησιν τὸ Ρ μεταξὺ τῶν Θ, Ζ.

Ὅτι δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει δεικτέον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς △Χ, ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Χ, ἡ ΡΒ πρὸς ΧΒ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ△ πρὸς ΡΒ, ἡ △Χ πρὸς ΒΧ. Μείζων δὲ ἡ ΔΧ τῆς ΧΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ, τουτέστιν ἡ ΖΒ τῆς ΒΡ· ὥστε τὸ Ρ ἐντὸς τοῦ Ζ πεσεῖται. Ὅτι δὲ καὶ ἐκτὸς τοῦ Θ δειχθήσεται ὁμοίως τοῖς ἐν τῇ ἀναλύσει προελθούσης πάσης τῆς συνθέσεως τοῦ θεωρήματος. Συνάγεται γὰρ ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΡΧ πρὸς ΧΛ, ἡ ΒΘ πρὸς ΘΖ· ὥστε καὶ συνθέντι, Καὶ διὰ τοῦτο γίνεται ἀκόλουθος τοῖς ἄνω εἰρημένοις καὶ ἐνταῦθα ἡ δεῖξις.

Καὶ διʼ ἴσου ἐν τῇ τεταραχμένῃ ἀναλογίᾳ | Τεταραγμένην ἀναλογίαν ἐν τοῖς Στοιχείοις ἐμάθομεν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος, ὅταν ᾖ ὡς μὲν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡφούμενον πρὸς ἑπόμενον, ὡς δὲ ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι ἐν τοῖς