Synagoge

85 νβ΄ (θ΄). Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τριπλῆ ἡ ΑΓ τῆς Γ∠, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΒΓ δυνάμει τριπλασίων ἐστίν (ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ Β∠Γ τριγώνων). τετμήσθω δʼ ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΒΘ, καὶ γεγενήσθω ἡ ΓΕ τῆς ΕΖ δυνάμει πενταπλῆ (δυνατὸν δὲ τοῦτο ἡ γὰρ ΕΓ τῆς Ε∠ μήκει, τριπλῆ δυνάμει ἐνναπλῆ)· λέγω ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γ΄.

Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ ἡ ΖΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Κ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΓΕ ἑαυτῆς τμήματος τῆς ΕΖ πενταπλάσιον δύναται, καὶ ἡ διπλῆ τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Κ, ἡ ΚΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓ διὰ τὸ θεώρημα τοῦ ιγ΄ στοιχείων ὥστε καὶ ἡ ΓΗ. ἄκρον καὶ [*](2, ὡς μἱ ΑΒ Β∠ ABS, corr. EI 3. κατὰ ΓΖ A, dastinx. BS 7. A1 in marg. (BS), θ’ add. Hu 8. καὶ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΒ, corr. S 11. 12. τῶν AB ΓΒ ∠Γ Α, recte distinx. BS 13. δη ΒΓ Α, δὲ ἡ βγ 31, δὴ ἡ βγ B3S, corr. Hu 20. μήκει et 21. δυνέμει ἐνναπλῆ del. Ηυ (vide adnot 1 ad Latina) 21. ὁ ante λόγος add: S Ei. 22. πρὸς τὴν ΓΖ AB Co. πρὸς τὴν βγ S, quod in πρὸς τὴν ζγ corr. Sca 27, τῶν KH KZ ἄρα AB, distinx. S 28. στοχείου ABS, corr: Hu auctore Co)

86 νγ΄ (ι΄). Πάλιν ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ οὗ κέντρον τύ Ζ, καὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ ΕΖ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Δ, καὶ ἔστω μείζων ἡ B∠· ὅτι τὰ ἀπὸ ΓB Β∠ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΓΕ.

Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΓ· ἡ ΗΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΗΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΕΓ τῇ ΑΗ (ὅτι καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ), ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠ (ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΓΒ πρὸς Β∠). ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως ΕΑ πρὸς ΕΓ τοῦτο γάρ δείκνυται διὰ τοῦ α’ τοῦ Ϛ΄ στοιχείων, τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ παραλληλογράμμου καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠. [*](6. τῆς ∠Ε ΗΖ A1, corr. A rec. BS 7. ἡ δὲ ΖΗΓ A, distinx. B (ἡ δὲ ζη τριῶν S Ei) 8 et 9. δυνάμει ὃν Hu pro ὃν δυνάμει Ε πρὸς τὰ Γ A, πέντε πρὸς τὰ τρία Β, πέντε πρὸς τρία S Ei 40, ΝΓ A1 in marg. (BS), ι΄ add. Hu οὗ Hu auctore Co pro καὶ 14. τὸ ἀπὸ ΓΒ Β∠ A, τὸ ἀπὸ γδβ βδ Β (sed γδβ ut spurium notatum), corr. S (τὰ ἀπὸ ΓΒ∠ Ei) post πενταπλάσια add. ἐστι Ei, item vs. 18 post ἄρα 15. ἡ ΖΗ ΗΓ ΑΒ, ἡ add. S 17. τῶ ἀπὸ ΘΗ A(BS), corr. Co 21. ὡς ἡ Ε  πρὸς ABS, corr. Co (ὡς ἡ ΕΗ Ei) 23, τοῦτο — 25. παραλληλογράμμου interpolatori tribuit Hu 24. στοιχείων AB, στποχείου S Ei 26. πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΑ ABS, corr. Co)

89 ἐκκείσθω οὖν κύκλος ὁ περιλαμβάνων τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τυχοῦσα διηγμένη ἡ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Ο, καὶ μεῖζον ἔστω τμῆμα τὸ ΟΝ· δεκαγώνου ἄρα ἡ Ν0 διὰ τὸ προδειχθέν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον οὗ κέντρον τὸ Ν γραφομένου τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς ΝΞ ἐκ κέντρου, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ βιβλίῳ στοιχείων, ἦν δὲ ἡ τοῦ τριγώνου ἡ ΚΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΝΞ. καὶ εἰσὶν ἀμφότεραι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημέναι· διὰ τὸ ἐν ἀρχῆ τοίνυν ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ, ΚΜ πρὸς ΝΟ. καὶ τὰ τετράγωνα. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚΜ τῶν ἀπὸ ΞΝΟ ἐστὶν τριπλάσια. ἐδείχθη δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΗ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚΜ τριπλάσια ἴσα ἄρα τὰ ἀπὸ ΞΝΟ τῷ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΝΞ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΝΟ δεκαγώνου ἡ ΖΗ ἄρα πενταγώνου ἐστὶν πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Ν, γραφομένου (δέδεικται γὰρ ἐν τῷ ιγ΄ στοιχείων καὶ τοῦτο). ἡ δὲ ΖΗ πενταγώνου οὖσα πλευρὰ καὶ δωδεκαέδρου πλευρά ἐστιν ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου.

90 νϚ΄ (ιγ΄). Ἄλλως ὅτι αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον καί τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον. Ἐκκείσθω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὴν δωδεκάεδρον καὶ εἰκοσάεδρον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου [*](1. ἄρο ἀπὸ ΒΖ ΖΘ ABS, corr. Co 4. τῷ Ο Co pro τῶ Θ 8. τοῦ ante κέντρου add. Ei ἐν τῶι Γ A, ἐν τῷ τρίτῳ S, corr. Β 10. τοῦ ἀπὸ ΜΞ AB, corr. S 12. ὡς ᾑ ΒΖ τῆς ΝΞ ἡ ΖΗ πρὸς ΝΟ ABS, corr. Co 13. ἓν τρὸς ἕν idem pro ἔμπροσθεν 14. ἀπὸ ΒΚΜ idem pro ἀπὸ ΒΚ 15. ἀπὸ τῶν ΒΖ ΖΒ AS, ἀπὸ τῶν βζ ζν Β cod. Co, ἀπὸ τῶν ΒΚ ΚΜ Co (quod in ΒΚΜ coniunx. Ei) 16. τὰ ἀπὸ ΞΝΙ A, τὰ ἀπὸ ξνρ Β. corr S τῶι ἀπὸ ΞΝ ΑΒΣ, corr. Co 20. 21. ἡ δὲ ΖΗ δωδεκαέδρου οὐσα πλευρὰ καὶ πενταγώνου πλευρά ἐστιν Ei 21. τὸ ABS, τό τε Ei 23. Νς A1 in marg. (BS),)

Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ιγ΄ στοιχείων. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ κάθετος ἀπʼ αὐτοῦ ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Γ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ (ἡ γάρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων) τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΖ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ.

91 ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ εὐθεῖά τις ἡ ΜΝ, ὥστε πενταπλάσιον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ, ὡς ἔστιν λήμμα ιγ΄ στοιχείων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας [*](2. τῷ add. Hu 4. τό τε Γ∠ΕΖΗ πεντάγωνον καὶ τὸ ΗΡΣ τρἰγωνον Ei ex Hypsicle 7. στοχείκω A, στσιχείῳ S Ei, corr. B)

92 νζ΄ (ιδ΄). Τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων τὰ δώδεκα πεντάγωνα μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων.

Ἔστω κύκλος ὁ περιλαμβάνων τό τε τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου ὁ ΒΓ∠Ε, καὶ ἐγγεγράφθω εῖς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ᾑ ΒΕ, πενταγώνου δὲ ἡ Γ∠, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἐπὶ τὰς παραλλήλους ἡ ΑΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ Α∠ ΑΕ ΒΘ ΓΘ. ἐπεὶ οὖν ΒΕ τριγώνου πλευρά ἐστιν, ἡ ΒΘ ἄρα ἑξαγώνου ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ Γ∠ πενταγώνου [*](2. ιγ΄ στοιχείων uncis seclusit Ei 4. ἀπὸ ΖΕ Hu pro ἀπὸ ∠Ε, item vs. 7 5. δεκαπέντε Hu, δὲ καὶ πέντε ABS, δέκα καὶ πέντε Co Ei, item vs. 8 τῆς ἐκ add. Ei τοῦ κύκλου bis scripta in A 6. διὰ τὸ Ζ AB, διὰ τὸ ἕβδομον S, corr. Ei auctore Co στοιχείου ABS, corr. Hu auctore Co 8. ἀπὸ τῆς add. Ei 10. δεκαπέντε Ei, δὲ καὶ πέντε AB, καὶ πέντε S 11. ἀπὸ τῆς Ei pro ἀπὸ τῶν 12. δεκαπέντε Ei pro δὲ καὶ πέντε 13. τὸ ἓν Ei auctore Co pro τὸ ἐν 18. Νζ ον add B, νζ΄ S, ιδ΄ add. Hu 20. τό τε τρίγωνον S, τὸ τετράγωνον AB 21. ὁ ΑΒΓ∠Ε AB, corr. S 26. ΒΘ ΓΘ add. Hu)

93 νή (ιε'). Τὸ ὑπερτεθέν. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ Β∠, καὶ ἑξαγώνου μὲν περιφέρεια ἡ ∠Ε, δεκαγώνου δὲ ἡ ∠Ζ, καὶ αἱ ΕΘ ΖΗ. κάθετοι ἐπὶ τὴν Β∠ διάμετρον ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ.

Ἔστω γὰρ ὀκταγώνου ἡ ∠Ο· οἵων ἄρα ὁ κύκλος τξ΄, τοιούτων ἡ μὲν ∠Ε ξ΄, ἡ δὲ ∠Ζ λϚ΄, ἡ δὲ Ο∠ με΄· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΟ θ΄ ἡ δὲ ΟΕ ιε΄. κείσθω οὖν τῇ ΖΟ ἴση ἡ ΟΡ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΡ τῇ ∠Ζ ἴση ἐστίν. ἐπιζευχθεῖσαι

94 νθ΄ (ιϚ΄). Ἐὰν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον αὐτῷ ἴσον ἦ, δείκνυται τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς, τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ ἰσοσκελοῦς ἐλάσσονα λόγον ἔχον ὔπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος.

Ἔστω γὰρ ἰσοσκελὲς τρίγωνον τὸ Β∠Ε ἔχον τεσσάρων πέμπτων τὴν πρὸς τῷ Ε κύκλῳ οὗ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρος ΑΕΖΓ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν Β∠ πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ∠ πλευρά. ἐὰν δὲ ἀπολάβωμεν ἑκατέραν [*](1. 2. αἱ ΝΕ ΖΞ ΑΡ ΖΜ ΑΒ, coniunx. S. Λ pro A corr. Co 2. ἐπιζευχθεῖσαι A, corr. BS ἡ ΚΟ Co pro ἡ ΚΘ 4. κμὶ ἐπι A(B),)

95 Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄, ἴση δὲ ἡ ΘΕ τῇ ΕΓ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ EΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ, τουτέστιν τὸ ΚΕΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΗΘ τρίγωνον. καὶ τὰ ἑξαπλᾶ· τὸ περιγεγραμμένον ἑξάγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον λόγον ἔχει ὃν δ΄ πρὸς γ΄, τουτέστιν ὃν ιβ΄ πρὸς θ΄. τοῦ δὲ περιγεγραμμένου ἑξαγώνου πρὸς ε΄ τρίγωνα τὰ ΚΕΛ λόγος ἐστὶν ὃν ιβ΄ πρὸς ι΄ καὶ πέντε ἄρα τρίγωνα τὰ ΚΕΛ μείζονά ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἑξαγώνου πολλῷ ἄρα τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου μείζονά ἐστιν (ἐν γὰρ κύκλῳ τὸ ἐγγεγραμμένον πεντάγωνον ἰσόπλευρον τοῦ ἐγγραφομένου ξαγώνου ἔλασσόν ἐστιν)· ἔλασσον ἄρα τὸ ∠ΕΒ τοῦ ΚΕΛ.

Λέγω δὴ ὅτι καὶ τοῦ ΕΗΘ μεῖξόν ἐστιν. εἰλήφθω γὰρ ἡ ΓΝ περιφέρεια ἑκαγώνου καὶ κάθετος ἡ ΝΗ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου τὸ ὑπὸ ∠ΖΕ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΝΞΕ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΝΞΕ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ (πάντα γὰρ πᾶσίν ἐστιν ἴσα), καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ, ὥστε καὶ τὸ Β∠Ε τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΘΕΗ τριγώνου.

96 Τὸ ἄρα τῷ Β∠Ε ἴσον συνιστάμενον ἰσόπλευρον, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ παράλληλον εἶναι τῇ ΗΘ ἢ τῇ ΚΛ, μεταξὺ τῶν Κ Θ πίπτει. ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἐν τῷ Ϛ΄ λήμματι ὅτι εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄, ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, λόγον ὃν δ΄ πρὸς γ΄, πολλῷ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν ΚΕ ΘΕ τοῖ ἰσοπλεύρου τριγώνου πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, τουτέστιν τῆς Ε∠ τοῦ ἰσοσκελοῦς.

97 ξ΄. Τὰ μὲν οὖν λαμβανόμενα εἰς τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημήτων ἐδείχθη καθʼ αὑτά, δεικτέον δʼ ἐφεξῆς ὅτι τὸ μὲν εἰκοσάεδρον μέγιστόν ἐστιν, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ δωδεκάεδρον, εἶτα τὸ ὀκτάεδρον, μετὰ δὲ τὸ ὀκτάεδρον ὁ κύβος, ἐλάχιστον δὲ τὸ τῆς πυραμίδος.

98 Ἔστω δὲ πρῶτον ἐπὶ τοῦ κύβου καὶ τῆς πυραμίδος ὁ λόγος, καὶ ἔστω κύβου μὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ, πυραμίδος δὲ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι ὑπόκεινται τῶν σχημάτων αἱ ἐπιφάνειαι, ἓξ ἄρα τετράγωνα τὰ ΑΒ ἴσα ἐστὶν τέσσαρσι τριγώνοις τοῖς μάτωνΕΖ· λόγος ἄρα τοῦ μάτωνΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ὃν γ΄ πρὸς β΄. ἤχθω δὴ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ Θ κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον γραφομένου κύκλου· [*](1. τῷ add. Ei auctore Co 2. ἢ B1 S S, ἡ A, ἢ Β3 3. τῶν ΚΘ A, distinx. BS 5. μείζονος AB, corr. S 6. ἔχει δὲ — 6. δ΄ πρὸς γ΄ om. Εi 11. πρὸς τὴν ΕΘ τουτἔστιν τὴν Ε∠ A(BS), corr. Co 13. ξ A1 in marg. (BS) 14. πέντε σχημάτων add. Hu auctore Co ex cap. 72, πολυέδρων Ei ἐλήφθη AB, corr. S 16. εἶτα BS, εια A 17. πυραμίδος] scil. σχῆμα 20. κύβος μὲν AB, corr. 8 τὸ ABS, τὸ ΑB Ei 21. τὸ ∠ΕΖ Co pro τὸ ∠ΖΕ 24. ὃν add. Εi (quam habent Co) 25. ἐπὶ τὸ add. Co, εἰς S 26. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ ΕΗ coni. Hu)

99 ξα΄. Τὸ ὀκτέδρον τοῦ κύβου μεῖζόν ἐστιν.

Ἔστω γὰρ ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, κύθου δὲ τετράγωνον τὸ ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ἔστω κάθετος ἠγμένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἴσα ἓξ τετραγώνοις τοῖς ΖΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΖΗ τετραγώνου πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν διὰ τὸ α’ λῆμμα καθόλου παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευράς τετράγωνον μεῖζον ἢ διπλάσιον τσῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τὸ ἀπὸ βΓ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἢ ς΄ οἵων τὸ ἀπὸ ΖΘ δ΄. τέσσαρα ἄρα πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δμὰ τὸ β’ λῆμμα λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε ὃν γʼ πρὸς α’, ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠, λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ ὃν α’ πρὸς β'. τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὃν Ϛ΄ πρὸς β΄ διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ ὃν α’ πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν ὃν θ' πρὸς νδ΄ τοῦ δὲ ἀπὸ τοῦ γʼ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε λόγος ἐστὶν ὃν α’ πρὸς θ΄ (τὰ γὰρ μήκει τριπλάσια δυνάμει ἐνναπλάσια καὶ τὰ μήκει ἐπίτριτα δυνάμει ἔνατά ἐστιν)· καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ τρίτου οὖν τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ λόγος ἐστὶν ὃν α΄ πρὸς νδ΄ ἐδείχθη δὲ ὅτι λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ· διʼ ἴσου ἄρα λϚ΄ πρὸς α’ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ΄ τῆς ∠Ε· καὶ μήκει ἄρα Ϛ΄ πρὸς α΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ∠Ε. λόγος δὲ Ϛ΄ τετραγώνων τῶν ΖΗ πρὸς α΄ ὃν Ϛ΄ πρὸς α΄ καὶ ἔστιν τὰ Ϛ΄ τετράγωνα ἴσα η΄ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ η΄ ἄρα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΖΗ τετράγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ [*](1, ξα Α1 in marg. (BS) 2. τὸ om. A, add. BS 4. ἀγομένη Ei invitis ABS 6. ἓξ S, Ϛ AB 9. τὸ ἀπὸ As Co, τοῦ ἀπὸ BS cod. Co 10. τετράγαωνον As S Co, τεπραγώνου Β cod. Co 11, 12. τὸ ἀπὸ ΖΘ∠ ABS, distinx. Hu (τὸ ἀπὸ ΖΘ τεσσέρων Ei) 17. πρὸς)

100 ξβ΄. Ἔστω δεῖξαι ὅτι τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖξόν ἐστιν.

Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, εἰκοσαέδρου δὲ τὸ ∠ΕΖ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν στερεῶν κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ζ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ, πέωτε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΓ (ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ἐστὶν δυσὶ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ γὰρ τετραπλάσια κʼ τρίγωνα τοῖς η΄ ἴσα ἐστίν, καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων ἤπερ τῆς ὁμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόηολον πλευράν), δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΛ (προδέδεικται γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ ὃν Ϛ΄ πρὸς α’), δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ ΚΛ· μείζων ἅρα ἡ ΘΗ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ Ϛ΄  τῆς ΘΗ τοῦ γ΄ τῆς ΚΛ μεῖζον. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΚΛ, καὶ ἔστιν κ΄ τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ὀκτὼ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.

101 ξγ΄. Τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου μεἳζόν ἐστιν.

Ἔστω γὰρ πεντάγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ ἓν τῶν τοῦ δωδεκαέδρου, τρίγωνον δὲ τὸ ∠ΕΖ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιεχουσῶν τὰ στερεὰ σχήματα ἐπὶ τὰ ∠ΕΖ ΑΒΓ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Η∠ Θ∠ ΚΑ ΑΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τό τε πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου τοῦ εἶς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένου τῷ δωδεκαέδρῳ, ὥστε ἡ ΑΛ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν τοῦ κύκλου τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ἡ δὲ ΚΛ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὸν κάθετος, ἡ δὲ ΚΑ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἀλλὰ καὶ τὸ ΗΘ∠ τρίγωνον ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον διὸ δὴ καὶ ὅμοιόν ἐστιν τῷ ΚΛΑ τριγώνῳ. ὡς γάρ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον πρὸς τὴν ∠Θ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ τοῦ τριγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον τὸν δεχόμενον τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΑ ἐκ κέντρου σφαίρας πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ Η∠ ἐκ κέντρου σφαίρας πρὸς ∠Θ. καὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς ΛΘ γωνίαι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΚΛ τρίγωνον τῷ ∠ΗΘ τριγώνῳ, καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἐν τῷ μδ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων [*](1. ξΓ add. B(S) 5. ἐπὶ 8, ἐπεὶ AB 7. Co, ΙΓ AB, τρισκαιδεκάτῳ S 8, 9. πεντάγωνον — καὶ τὸ add. Co 9. 10. τοῦ — ἐγγραφομένου S, τῷν — ἐγγραφομένου AB et, ut videtur, cod. Co, τῶν — ἐγγραφομένων coni. et τῷ δωδεκαέδρῳ del. Co 15. διὸ ἐὴ — 25. ∠ΗΘ τριγώνῳ interpolatori tribuit Hu 15, διὸ Paris. 2368, δει ὁ A, δε ὃ (sic) Β, δύο S 19. ἀλλὰ καὶ ὡς ABS, ὡς δὲ Ei ἰσοπλεύρου vitiose interpolator, cum id aut omitti tamquam consentaneum aut ante τριγώνου poni oportuerit 20. τὸ δεχόμενον AB, corr. S 22. πρὸς τὴν αλ S, πρὸς τὴν ay τὴν ΑΛ A(B) 23. σψαίρας — κέντρου add. A2 in marg. (BS) ἡ Η∠ Co pro ἡ Ε∠ 24. τοῖς AB1, distinx. B3S 26. ἐν τῶι ∠ AB, ἐν τῷ τετάρτῳ S, corr. Co)

102 ξδ΄. Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν.

Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ Φ??Τ καὶ κάθετος ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ Φ??Τ πεντάγωνον ἠγμένη, [*](1, δώδεκα BS, ιβ A 3. 4, τὸ πεντάγωνον A8, corr. S 4, τρίγωνον add. Ei κύκλον AB, corr, S 5, post πεντάγωνον repetunt φανερον A (B2 in marg.), sed id in A expunctum 6. ἡ ∠Θ Co pro ἡ ∠Ε post μείζων ἐστιν add. ἡ AB cod. Co, del. S Co 10. τῆς ΑΛ καὶ τὸ τρίγωνον ἄρα ABS, corr, Co 12. ἐπίτριτον τῆς)

103 Ἐκκείσθω δὲ καὶ τὸ ληφθὲν θεώρημα εἰς τὴν σύγκρισιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου οὗ σημεῖον ἀστήρ, διʼ οὗ ἐδείχθη δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠. ἔστω δὲ καὶ τὸ Α,Β,Γ τρίγωνον εἰκοσαέδρου, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ ∠ ἡ ∠,Ε, ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τε ∠,Α,Ε τριγώνῳ καὶ τῷ ΟΝΛ καὶ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ∠,Ε μείζονα ε’ τῶν ἀπὸ ,Β,Γ, τουτέστιν ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΥΩ μείζονα ε΄ τῶν ἀπὸ 𝒢Τ, ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ιϚ΄ λημματίου ἐδείχθη ὅτι, ἐὰν ᾗ τρίγωνον ἰσοσκελές ὡς τὸ 𝒢ΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ω γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ Μ Μ Μ, τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ [*](1. αἱ ωφωυ ω τ ΥΦ A, distinx. BS, Ω𝒢 corr. Hu (Ως Ei 3. κάθετος AB, corr. S 5. οὐ σημεῖον ἀστήρ interpolatori tribuit Co 6. δώδεκα S, IB A, δώδεκα expunctum et ιβ prima manu B 7. ἔστω — 11. ἀπὸ 𝒢Τ om. Ei 7. τὸ Α,Β,Γ Hu, τὸ λ β𝒢 ABS (nisi quod τὸ om. S) 8. τοῦ ∠Ϲ ὠς ἐν A(S), τοῦ δς ὡς ἐν B, corr. Hu auctore Co 9. τοῦ φω τῶι τε ∠ζ 𝒢 τριγώνω A, τοῦ φω τῷ τε ∠ . . τριγώνῳ B, τὸ υψω τῷ τε δζε τριγώνῳ S, τῷ τε ∠, Α,Ε corr. Hu (τῷ τε Α, Ε,∠ voluit Co) 10. 11. καὶ ιβ΄ — ἀπὸ B, Γ] “vera haec quidem sunt, sed quid ad demonstrationem conferant, non video” Co 10. ΙΒ τὸ ἀπὸ ∠𝒢ς μείζονα A(B), δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ δεσ μείζονα e Paris. 2368 descripsit Waitzius. ιβ τὰ ἀπὸ δες μείζονα SV, corr. Hu auctore Co 10. 11. τῶν ἀπὸ Β𝒢 ABS, corr, Mu auctore Co 11. τουτέστίν —ʼ ἀπὸ 𝒢Τ] corrupta haec sunt, ut opi nor, neque enim vera; quare si quis ea una cum antedictis de medio tollat, fortasse non errabit” Co ε A, πεντάκις B, πέντε S ἀπὸ 𝒢Τ Hu, ἀπὸ ωφ ABS Co 18. ὡς τοῦ ωτ AB, ως τὸ νωτ S, corr. Hu (ὡς τὸ ζ ΩΤ Ei) τῷ ω S, τὸ ω A1B, τῶ ω A2 15. ἀπὸ 𝒢Ω Hu, ἀπὸ γω ABS (ἀπὸ ζΩ Ei) 18. ἡ ΕΓ Co pro ἡ ΘΓ)

104 ξε΄. Ὅτι μὲν οὖν τῶν ε΄ σχημάτων τούτων ἃ δὴ καὶ πολύεδρα καλεῖται τὸ πολυεδρότερον αἰεὶ μεῖζόν ἐστιν φανερὸν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων, ὅτι δὲ πλείω τῶν πέντε τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιεχόμενα μάθοι τις ἂν καὶ οὕτως.

105 Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ἐκ τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι [*](3. Β∠Λ add. Ei 4. 5. τουτέστιν — ἀπὸ Ε,Α om. Ei ἀπὸ Δρε πρὸς ιε τὰ ἀπὸ ρελ AB(S), corr. Hu auctore Co 6. 7. τὸ ∠, Α,Ε] τὸ Λ Λ η ε AB. τὸ λ δ ?? ε S, τὸ ΟΛΝ Ei. corr. Co 7. s. τὰ ἀπὸ υω S, τὸ ἀπὸ τω A, τὸ ἀπὸ υφ B 8. 9. μείζονα — ἀπὸ ΩΦ add. Co 12. ξε B, ξ∠ Α1 in marg. S) 13. αἰεὶ Hu pro πολὺ 13, ἐλαχόστων recte se habere neque vero ἐλάχιστον scribendum esse docet Euclides elem. 11, 21)