Synagoge

44 κθ΄. Τούτου δειχθέντος πρόδηλον ὅπως δεῖ κύβου δοθέντος κύβον ἄλλον εὑρεῖν κατὰ τὸν δοθέντα λόγον.

Ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α εὐθείας πρὸς τὴν Β, καὶ τῶν Α B δύο μέσαι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εἰλήφθωσαν αἱ Γ ∠· ἔσται ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Α κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ κύβον· τοῦτο γὰρ δῆλον ἐκ τῶν στοιχείων.

45 λ΄. Εἰς τὸν τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου παρελήφθη τις [*](2. post ἡ ΓΗ add ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΓ τῆς Α∠ Eutoc. 8. τὰς ΗΖ ΓΘ Pappus p. 62, 1 Eutoc., ΖΓΘ ΑΒ1, ηζ γθ B3S 12. ἐπεὶ — 14. ἡ Α∠] conf. supra ad p. 62, 2. 3 17, τὸ ὑπὸ ΒΜΑ Pappus p. 62,5)

Ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠ καὶ περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΒΕ∠ καὶ κινείσθω ἡ μὲν ΑΒ οὕτως ὥστε τὸ μὲν Α σημεῖον μένειν τὸ δὲ Β φέρεσθαι κατὰ τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν, ἡ δέ ΒΓ παράλληλος ἀεὶ διαμένουσα τῇ Α∠ τῷ σημείῳ φερομένῳ κατὰ τῆς ΒΑ συνακολουθείτω, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἥ τε ΑΒ κινουμένη ὁμαλῶς τὴν ὑπὸ ΒΑ∠ γωνίαν, τουτέστιν τὸ Β σημεῖον τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν, διανυέτω , καὶ ἡ ΒΓ τὴν ΒΑ εὐθεῖαν παροδευέτω, τουτέστιν τὸ Β σημεῖον κατὰ τῆς ΒΑ φερέσθω. συμβήσεται δῆλον τῇ Α∠ εὐθείᾳ ἅμα ἐφερμόζειν ἑκατέραν τήν τε ΑΒ καὶ τὴν ΒΓ. τοιαύτης δὴ γινομένης κινήσεμως τεμοῦσιν ἀλλήλας ἐν τῇ φορᾷ αἱ ΒΓ ΒΑ εὐθεῖαι κατά τι σημεῖον αἰεὶ συμμεθιστάμενον αὑταῖς, ὑφ᾿ οὗ σημείου γράφεταί τις ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν τε ΒΑ∠ εὐθειῶν καὶ τῆς ΒΕ∠ περιφερείας γραμμὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλη, οἵα ἐστὶν ἡ ΒΖΗ, ἣ καὶ χρειώδης εἶναι δοκεῖ πρὸς τὸ τῷ δοθέντι κύκλῳ τετράγωνον ἴσον εὑρεῖν. τὸ δὲ ἀρχικὸν αὐτῆς σύμτοιοῦτόν ἐστιν. ἥτις γάρ ἂν διαχθῇ τυχοῦσα πρὸς τὴν περιφέρειαν, ὡς ἡ ΑΖΕ, ἔσται ὡς ὅλη ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν Ε∠, ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΘ· τοῦτο γὰρ ἐκ τῆς γενέσεως τῆς γραμμῆς φανερὸν ἐστιν.

46 λα΄. Δυσαρεστεῖται δὲ αὐτῇ ὁ Σπόρος εὐλόγως διὰ [*](1. ὑπὸ νικοστράτου B νικοδήμου ΑΒ3, νικομήδου Β1 Το, corr. S 5. τὸ ΑΒ Γ∠ AS, coniunx. B καὶ add. Το auctore Co 6. ἡ add. Hu 9. τῶι B A Το, τὸ β Β, τῷ et τὸ β Paris. 2368 S σημεῖον φέρον ἐν ὧι ΑBS , corr. Το κατὰ τῆς ΒΑ To pro κατὰ τῆς Β 10. συνακολουθεῖ τῶι AS, συνακολουθεῖ τὸ Β, corr. Sca Το καὶ add. Το κινουμένης ΑΒ3S, corr. B1 12. περιφέρειαν add. Το auctore Co 13. παροδευέτω Hu, /////ευέτω A (sed initio vestigia litterarum παρ comparent), . . . . .ευέτω Β1S, παραλευέτω Β3, παραδεβέτω e “cod. Vat.” affert alque inde παραβαινέτω scribit Το 14. δῆλον] δὴ vel δηλονότι coni. Hu εκατερα A, ἑκατέρα B, corr. S 20. ἣ add. Hu χρειῶδες ABS, corr. To auctore Co 22, 23. πρὸς τὴν —)

47 Τετραγώνου γάρ ὄντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ τῆς μέν περὶ τὲ κέντρον τὸ Γ περιφερείας τῆς ΒΕ∠, τῆς δέ ΒΗΘ τετραγωνιζούσης γινομένῃς, ὡς προείρηται, δείκνυται, ὡς ἡ ∠ΕΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΘ εὐθεῖαν. εἰ γὰρ μὴ ἔσκιμ, ἤτοι πρὸς μείζονα ἔσται τῆς ΓΘ ἢ πρὸς ἐλάσσονα.

48 Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, πρὸς μείζονα τὴν ΓΚ, καὶ περὶ κέντρον τό Γ περιφέρεια ἡ ΖΗΚ γεγράφθω τέμνουσα τήν γραμμὴν κατὰ τὸ Η, καὶ κάθετος ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ∠ΕΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ Γ∠, πρὸς τὴν ΓΚ, ὡς δὲ ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΚ περιφέρειαν (ὡς γὰρ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον, ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν), φανερὸν ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ. καὶ ἐπειδὴ διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἦρ ἡ ΖΗΚ πρὸς τὴν ΗΚ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΒΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΗΛ. καὶ ἐδείχθη ἴση ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΗΚ περιφέρεια τῇ ΗΛ εὐθείᾳ, ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς μείζονα τῆς ΓΘ.

49 λβ΄. Λέγω δέ ὅτι οὐδέ πρὸς ἐλάσσονα. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΚΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ περιφέρεια

50 Ἔστι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι ἡ τῶν ΘΓ ΓΒ εὐθειῶν τρίτη ἀνάλογον λαμβανομένη εὐθεῖα ἴση ἔσται τῇ ΒΕ∠ περιφερείᾳ, καὶ ἡ τετραπλασίων αὐτῆς τῇ τοῦ ὅλου κύκλου περιφερείᾳ. εὑρημένης δέ τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσης εὐθείας πρόδηλον ὡς δὴ καὶ αὐτῷ τῷ κύκλῳ ῥᾴδιον ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι· τὸ γάρ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου, ὡς Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν.

51 λγ΄. Αὕτη μὲν οὖν ἡ γένεσις τῆς γραμμῆς ἐστιν , ὡς εἴρηται, μηχανικωτέρα, γεμωμετρικῶς δὲ διὰ τῶν πρὸς ἐπιφανείαις τόπων ἀναλύεσθαι δύναται τὸν τρόπον τοῦτον.

Θέσει κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ Β∠, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΕΖ λόγον ἔχουσα [*](3. δὴ Hu pro δὲ 3. 6. τοῦτό ἐστιν ΑΒ, corr. S 6. πρὸς τὴν ΜΚ οὕτως τὴν ΒΓ ευθεῖαν bis scripta in A(B), corr. S 43. τρίτηι ἀνάλογον λαμδανομένηι ABS, corr. Το 16. δὴ S, δεῖ ΑΒ Το ῥά- διον ΑΒ, ῥᾳδίως Το 20 sqq.] cap. 51— 56 stilo multis in rebus di- verso a vulgari veterum mathemalicorum consletudine composita Sunt 20. ΛΓ Α1 in marg. (S), om. B 23 24. προσεπιφανείαις A (Β Το), πρὸς ἐπιφανείας S (conf. p. 270, 18) 26. τετάρτη μόριον A, coniunx,)

Νοείσθω γὰρ ἀπὸ τῆς Α∠Γ περιφερείας ὀρθοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια, καὶ ἐν αὐτῇ ἕλιξ γεγραμμένη δεδομένη τῇ θέσει ἡ ΓΗΘ , καὶ πλευρά τοῦ κυλίνδρου ἡ Θ∠, καὶ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΕΙ ΒΛ ἀνεσταμέναι ὀρθαί, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΘΛ. ἐπεὶ λόγος τῆς ΕΙ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειάν ἐστιν δοθεὶς διὰ τὴν ἕλικα, δοθεὶς δὲ καὶ ὁ τῆς ΕΖ λόγος πρὸς τὴν ∠Γ, ἔσται καὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΕΙ λόγος δοθείς. καὶ εἰσὶν αἱ ΖΕ ΕΙ παρὰ θέσει· καὶ ἡ ΖΙ ἄρα ἐπιζευχθεῖσα παρὰ θέσει. καὶ ἔστιν κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ· ἐν τέμνοντι ἄρα ἐπιπέδῳ ἡ ΖΙ, ὥστε καὶ τὸ Ι. ἔστιν δὲ καὶ ἐν κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ (φέρεται γὰρ ἡ ΘΛ διά τε τῆς ΘΗΓ ἕλικος καὶ τῆς ΛΒ εὐθείας καὶ αὐτῆς τῇ θέσει δεδομένης αἰεὶ παράλληλος οὖσα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ)· πρὸς γραιμμῇ ἄρα τὸ Ι, ὥστε καὶ τὸ Ε. τοῦτο μὲν οὖν ἀνελύθη καθόλου, ἂν δʼ ὁ τῆς ΕΖ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν [*](1. πρὸς γραμμὴν ABS, corr. Hu, item vs. 16, 17 (conf. cap. 52 sub fin. πρὸς ᾗ τὸ Κ et πρὸς γραμμῇ ἄρα) 4. ἐν om. S γε- γρνννίνη: δεδομένηι A, corr. Β (γεγραμμένη δεδομένῃ S) 5. πλευρὰ S, πλ ΑΒ cod. Co 6. αἱ ΕΙΒΛ A , distinx. Β (αἱ ει λβ S) 6. 7. ἀνεσταμέναι ὀρθαί interpolatori tribuit Co 7. διὰ δὲ τοῦ Κ ABS , corr. Co 8. ἐπι λόγος A, ἐπίλογος e suo cod. Vat.” affert Το corr. BS 8. τῆς EI — 40. λόγος δοθείς] τῆς ΕΖ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν τῆς ∠Ε ∠Γ διὰ τὴν ἕλικα λόγος πρὸς τὴν ∠Θ ἔσται καὶ τῆς ΕΖ πρὸς Η λόγος δοθεὶς ABS, τῆς EZ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΕΙ, τουτέστι τῆς ∠Θ, πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν διὰ τὴν ἕλικα, καὶ δοθείς ἐστι ὁ τῆς ΕΖ λόγος πρὸς τήν ∠Γ, ἔσται καὶ τῆς ΕΙ πρὸς ∠Γ λόγος δοθείς To partim auc- tore Co, corr. Hu 11. παραθέσει ABS, distinx. Hu, item proximo vs. 12. 13. ἐν τέμνοντι ἄρα Hu, ἐ/ ////// ἄρα A, . . . . . . B1S ἔστω ἐν B3, ἔστι δὲ ἐν Το 13. 14. κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ Hu, κ/////// ///φανείαι A, . . . . . . .  . ἐπιφανείᾳ BS, κυλῖνδροειδεῖ ἐπιφανείᾳ Το (vide apud hunc p. 95 adn. 9) 14. διά τε Το pro διὰ δὲ 16. 17. πρὸς γραμ- μὴν ABS (conf. ad vs. 1) 18. πρὸς τὴν ∠Θ περιφέρειαν ABS, corr Co)

52 λδ΄. Δύναται δὲ καὶ διὰ τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γρσφομένης ἕλικος ἀναλύεσθαι τὸν ὅμοιον τρόπον. ἔστω γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, καὶ ἐν ᾧ ἡ ΑΒ εὐθεῖα περὶ τὸ Β κινουμένη παροδεύει τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω θέσιν λαβούσης τὴν ΓΒ τῆς ΑΒ, καὶ ποιείτω τὴν ΒΗΑ ἕλικα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ Α∠Γ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλάξ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΖ πρὸς ∠Γ· ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΖΕ. ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἡ ΚΗ ἔση τῇ ΒΗ· ἐν κυλινδροειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς ἕλικος τὸ Κ. ἀλλὰ καὶ ἐν κωνικῇ (ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΒΚ ἐν κωνικῇ γίνεται ἐπιφανείᾳ ἡμίσειαν ὀρθῆς κεκλιμένη πρὸς τὸ ὑποκείμενον καὶ ἠγμένῃ διὰ δοθέντος τοῦ Β)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Κ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΕΒ παράλληλος ἡ ΛΚΙ, καὶ ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ αἱ ΒΛ ΕΙ· ἐν πλεκτοειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ ἡ ΛΚΙ (φέρεται γὰρ διά τε τῆς ΒΛ εὐθείας θέσει οὔσης καὶ διὰ θέσει γραμμῆς πρὸς ᾗ τὸ Κ)· καὶ τὸ Ι ἄρα ἐν ἐπιφανείᾳ. ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιπέδῳ (ἴση γὰρ ἡ ΖΕ τῇ ΕΙ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΒΗ, καὶ γίνεται παρὰ θέσει ἡ ΖΙ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν ΒΓ)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Ι, [*](3. Α∠ A1 in marg. (S), om. B 5. περιφέρειαν add. Hu auctore Co 7. τὴν Α∠Γ Co pro τὴν Α∠ 8. τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β  Hu pro τοῦ Β ἐπὶ, τὸ Γ παραγενέσθω Το 9. ΓΒ τῆς add. Hu τὴν ΒΗ Α set 11. πρὸς ∠ Γ Α, coniunx. BS 14. ΒΚ εν γωνικῆι A(B), corr. S 15. κεκλιμένης AB, corr. S 16. πρὸς γραμμὴν AS, πρὸς γεκυλινδροειδεῖ B1, corr. B2 (vel B3) Το 18. πληκτοειδει (sine acc.) A(S), κυλινδροειδεῖ coni. Co (probavit Το), corr. B (nam etiamsi πληκτοειδῶν in codicibus infra cap. 58 redeat, tamen forma per ε verbis quae cop. 57 sq. leguntur: γραμμαὶ ἐκ κινήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναι et ἐπιπλοκῆς confirmatur) 20. διαθέσει ABS, distinx. To 21. ἐν ἐπιφανείᾳ To auctore Co, ἐπιφανεια (sine acc.) A, ἐπιφάνεια BS 22. παραθέσει ABS, distinx. Hu 23. προσγρσμμη A, πρὸς γραμμὴ B, προσγραμμὴ S, corr. To τὸ Ι Co, τὸ ι σ A(BS))

53 λε΄. Ὥσπερ ἐν ἐπιπέδῳ νοεῖται γινομένη τις ἕλιξ φερομένου σημείου κατʼ εὐθείας κύκλον περιγραφούσης, καὶ ἐπὶ στερεῶν φερομένου σημείου κατά μιᾶς πλευράς τινʼ ἐπιφάνειαν περιγραφούσης, οὕτως δέ καὶ ἐπὶ σφαίρας ἕλικα νοεῖν ἀκόλουθόν ἐστι γραφομένην τὸν τρόπον τοῦτον.

54 Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΚΛΜ περὶ πόλον τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ μεγίστου κύκλου τεταρτημύριον γεγράφθω τὸ ΘΝΚ , καὶ ἡ μέν ΘΝΚ περιφέρεια, περὶ τὸ Θ μένον φερομένη κατὰ τῆς ἐπιφανείας ὡς ἐπὶ τὰ Λ Μ μέρη, ἀποκαθιστάσθω πάλιν ἐπὶ τὸ αὐτό, σημεῖον δέ τι φερόμενον ἐπʼ αὐτῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ παραγινέσθω· γράφει δή τινα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἕλικα, οἳα ἐστὶν ἡ ΘΟΙΚ , καὶ ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ Θ γραφῇ μεγίστου κύκλου περιφέρεια , πρὸς τὴν ΚΛ περιφέρειαν λόγον ἔχει ὃν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ0· λέγω δὴ ὅτι, ἄν ἐκτεθῇ τεταρτημύριον τοῦ μεγίστου ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου τὸ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΓΑ, γίνεται ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ΘΟΙΚ ἕλικος καὶ τῆς ΚΝΘ περιφερείας ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ∠ τομεύς πρὸς τύ ΑΒΓ τμῆμα.

Ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΓΖ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α γεγράφθω περιφέρεια ἡ ΑΕΖ· ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΓ∠ τομεὺς τῷ ΑΕΖΓ (διπλασία μὲν γὰρ ἡ πρὸς τῷ ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΖ, ἥμισυ δέ τὸ ἀπὸ ∠Α τοῦ ἀπὺ ΑΓ)· ὅτι ἄρα καὶ ὡς αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ὁ ΑΕΖΓ τομεύς πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα.

55 ἔστω, ὃ μέρος ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ὅλης τοῦ κύκλου περιφερείας, καὶ τὸ αὐτὸ μέρος περιφέρεια ἡ ΖΕ τῆς ΖΑ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΕΓ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΑΒΓ τὸ αὐτὸ μέρος. ὃ δέ μέρος ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας, τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ ΑΒΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΒΓ. γεγράφθω περὶ πόλον τὸν Θ διὰ τοῦ Ο περιφίρεια ἡ ΝΟ , καὶ διὰ τοῦ B περὶ τὸ Γ· κέντρον ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΛΚΘ σφαιρικὴ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ΟΘΝ, ἡ ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν οὗ ἡ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶν ἡ Θ0 , ὡς δʼ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν, οὕτως ἐστὶν τύ ἀπὸ τῆς τὰ Θ Λ ἐπιζευγνυούσης εὐθείας τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Θ Ο , ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς [*](6. ὁ ΑΕΓΖ ΑsS, corr. B 7. ὃ add. Hu 8. περιφέρεια ἡ Hu. ο δὲ μέρ ἡ A, ὁ δὲ μέρος ἡ 8, ὃ δὲ μέρη S 11. θολ Β1, ΘΟΛ ΑΒ2 (vel Β3) S 15. πρὸς τὴν ΟΘ Ν ἡ ολη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπι- φάνεια add. Α2 in marg. (BS), om, A1 16. τὴν τοῦ τμήματος Co, τὴν τοῦ ἡμισφαιρίου ABS, τὴν ἐντὸς τοῦ ἡμισφαρίου coni. Hu οὗ ἡ Co pro οὐκ 17. δ᾿ ἡ Hu auctore Co pro δὴ 18. τὰ ΘΛ A, distinx. B1S (τὰ θ α Β3) 20. τὰ θ ο ἢ Β, τὰ ΘΟ η Λ, τὰ θοη S, τὰ Θ Ο, τουτέστι  Co)

56 συνάγεται δέ διὸ τούτου ἡ μὲν ἀπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμβανομένη ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ΘΝΚ περιφέρειαν ὀκταπλασία τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐπεὶ καὶ ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ∠ τομέως), ἡ δὲ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς βάσεως τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια ὀκταπλασία τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, τουτἐστιν ἴση τῷ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας τετραγώνῳ.

57 λς΄. Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον εἰς τρία ἴσα τεμεῖν οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι θελήσαντες ἠπόρησαν διʼ αἰτίαν τοιαύτην. τρία γένη φαμὲν εἶναι τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δέ γραμμικά, τά μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτʼ ἂν εἰκότως ἐπίπεδα καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν εὑρίσκεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δέ λύεται προβλήματα παραλαμβανομένης εἷς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ καὶ πλειόνων, στερεά ταῦτα κέκληται· πρὸς γάρ τὴν κατασκευὴν χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις, λέγω δέ ταῖς κωνικαῖς, ἀναγκαῖον. τρίτον δέ τι προβλημάτων ὑπολείπεται γένος τὸ καλούμενον γρσμμικόν· γραμμαὶ γάρ ἕτεραι παρά τάς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν ἔχουσαι τὴν γένεσιν καὶ βεβιασμένην μᾶλλον, ἐξ ἀτακτοτέρων ἐπιφανειῶν καὶ κινήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναι.

58 τοιαῦται δέ εἶσιν αἵ τε ἐν τοῖς πρὸς ἐπιφανείαις καλουμένοις τόποις εὑρισκόμεναι γραμμαὶ ἕτεραί τε τούτων ποικιλώτεραι καί πολλαὶ τὸ πλῆθος ὑπὸ Δημητρίου τοῦ Ἀλεξανδρέως ἐν ταῖς γραμμικαῖς ἐπιστάσεσι καὶ Φίλωνος τοῦ Τυανέως ἐξ ἐπιπλοκῆς πλεκτοειδῶν τε καὶ ἑτέρων παντοίων ἐπιφανειῶν εὑρισκόμεναι πολλὰ καὶ θαυμαστὰ συμπτώματα περὶ αὐτάς ἔχουσαι. καί τινες αὐτῶν ὑπὸ τῶν νεωτέρων ἠξιώθησαν λόγου πλείονος, μία δέ τις ἐξ οὐτῶν ἐστιν ἡ καὶ παράδοξος ὑπὸ τοῦ Μενελάου κληθεῖσα γραμμή. τοῦ δὲ αὐτοῦ γένους ἕτεραι ἕλικές εἰσιν τετραγωνίζουσαί τε καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειμδεῖς.

59 δοκεῖ δέ πως ἁμάρτημα τὸ τοιοῦτον οὐ μικρὸν εἶναι τοῖς γεωμέτραις, ὅταν ἐπίπεδον πρόβλημα διὰ τῶν κωνικῶν ἢ τῶν γραμμικῶν ὑπό τινος εὑρίσκηται, καὶ τὸ σύνολον ὅταν ἐξ ἀνοικείου λύηται γένους, οἷόν ἐστιν τὸ ἐν τῷ πέμπτῳ [*](1. λς Α1 in marg. (B3S) 5. οὖν om. S 9. εἰς τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν κατασκευήν Co, corr. Hu 13. δέ τι] item supra p. 54, 16 cor- rigas pro δʼ ἔτι 17, γενώμεναι et alterum ν prim. m. superscr. A 21. φίλωνος το τυ*ανεως A 22. πληκτοειδῶν ABS, corr. Hu (conf. p. 262, 18) 23. περὶ αὐτὰς ABS, corr. Hu 26. 27. ἕτεραί εἰσιν)

60 Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΒΓ, δέον ἔστω διαγαγόντα τὴν ΑΕ ποιεῖν τὴν ΕΖ εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ.

Γεγονέτω, καὶ ταῖς ΕΖ Ε∠ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ∠Η ΗΖ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΖΕ καὶ ἔστιν ἴση τῇ ∠Η, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Η. καὶ δοθέν τὸ ∠· τὸ Η ἄρα πρὸς θέσει κύκλου περιψερείᾳ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ∠ δοθέν καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΖ Ε∠ δοθὲν ὥρα καὶ τύ ὑπὸ ΒΖ Ε∠, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ· [*](2. ἡ add. Hu περὶ τῆς ἕλκος] περὶ ἐλίκων accuralius scriptor posuit infra cap. 78 2. 3. στερεα νευσεις A, στερεὰ νεῦσις Β, στερεαὶ νεύσεις S, corr. Hu 3. κύκλον Hu pro κύκλου 6. ἀγομένη εὐθεια A, corr. BS 6. 7. ἐκ τῆς γενέσεως] ἐκ τῆς ἐν τῇ γενέσεi coll. cap. 74 vel ἐκ τοῦ ἐν ἀρχή coni. Hu 7. ἕως add. Hu 9. γωνίας paene evanuit in A 10. τʼ add. Hu 13. ετρχατομησαν (sine spir. et acc.) A, corr. BS 18. γεγονέ*τω A2 ex γέγονεν τω 18. ταῖς ΕΖ Ζ∠ — 20. αἱ ∠Η ΗΘ ABS, corr. Co 24. προσθέσει ABS, distinx. Hu auctore Co, item p. 274, 1 25. 26. τῶι ὑπὸ BE Z∠ et τὸ ὑπὸ ΒΕΖ∠ A(BS), corr Co 26. ὑνὸ BZH Co pro ὑπὸ ΒΘΗ)

61 λζ΄. Συντεθήσεται δή τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμμον τὸ ΑΒΓ∠, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα  τῷ μεγέθει ἡ Μ, καὶ ἵση αὐτῇ ἔστω ∠Κ, καὶ γεγράφθω διὰ μέν τοῦ ∠ περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολή ἡ ∠ΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς ἀποδείξομεν), διὰ δὲ τοῦ Κ περὶ κέντρον τὸ ∠ κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΗ τέμνουσα τὴν ὑπερβολὴν κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ ∠Γ παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΗΖ ἐπεζεύχθω ΖΑ λέγω ὅτι ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶν τῇ M. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ τῇ ΚΑ παράλληλος ἥχθω ἡ ΗΛ. τὸ ἔρα ὑπὸ ΖΗΛ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Γ∠Α, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΓ Γ∠. ἔσειν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΖΗ· ἡ ἄρα Ε∠ ἴση τῇ ΖΗ· παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ∠ΕΖΗ· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ∠Η, τουτέστιν τῇ ∠Κ, τουτέστιν τῇ M.

62 λη΄. Δεδειγμένου δή τούτου τρίχα τέμνεται ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος οὕτως.

Ἔστω γὰρ ὀξεῖα πρότερον ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπό τινος σημείου κάθετος ἡ ΑΓ, καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ΓΖ παραλληλογράμμου [*](1. ὐπερβολὴν ABS, corr. Co 2. περιφέρεια ABS, corr. Hu auc- tore Co 9. καὶ) τῆς ∠Γ ΑΒ, corr. S 9. 10. τῆς HZ A2 ex τῆς *Z 13. ἐστιν τὸ ὑπὸ Γ∠Α A, τῷ corr. BS 15. πρὸς ZH A2 ex πρὸς *H 16. τὸ δεζη Bs, τὸ ∠Ε ΖΗ ΑS 48. λη add. S 20. γὰρ ὀξεῖα 3 γὰρ ///// A, γὰρ . . . . . B1S καὶ ἀπό τινος BS, /// /πὸ //νος A)

Τετμήσθω γὰρ ἡ Ε∠ δίχα τῷ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ∠Η ΗΑ ΗΕ ἴσαι εἰσίν· διπλῆ ἄρα ἡ ∠Ε τῆς ΑΗ. ἀλλὰ καὶ τῆς ΑΒ διπλῆ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΑΗ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗ∠. ἡ δὲ ὑπὸ ΑΗ∠ διπλασία τῆς ὑπὸ ΑΕ∠, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ ἄρα διπλῆ ἐστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ. καὶ ἐὰν τὴν ὑπὸ ΑΒ∠ δίχα τέμωμεν, ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τρίχα τετμημένη.

63 λθ΄. Ἐὰν δὲ ἡ δοθεῖσα γωνία ὀρθὴ τυγχάνῃ, ἀπολαβόντες τινὰ τὴν ΒΓ ἰσόπλευρον ἐπʼ αὐτῆς γράψομεν τὸ Β∠Γ, καὶ τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ γωνίαν δίχα τεμόντες ἕξομεν τρίχα τετμημένην τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν.