Synagoge

10 Ἐὰν ὦσιν τρεῖς κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένοι καὶ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων, καὶ ὁ περιλαμβάνων αὐτοὺς  κύκλος δοθεὶς ἔσται τῷ μεγέθει. προγράφεται δὲ τάδε.

11 ζ΄. Γετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν καὶ δοθεῖσαν ἑκάστην τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν· δεῖξαι δοθεῖσαν τὴν ἐπιζευγνύουσαν τὰ θειῶν· β σημεῖα τὴν Βθειῶν·.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ κάθετοι ἥχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ ἡ ΑΗ, ἐπὶ δέ τὴν AΓ ἡ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν ἢ ἐν ἀριθμοῖς, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΒE, δοθεῖσα ἄρα ἔσται β καὶ ἑκάστη τῶν ΑE EΓ· ΑΓ ΒΕ (καὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ BΓ γίνεται δοθέν καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, ὥστε ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ ΒΕ ἔσται δοθεῖσα). πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΑΗ, δοθεῖσά ἐστι καὶ ἑκάστη τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ (καὶ γὰρ ἡ ὑπεροχή τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ἀ παρά τὴν Γ∠ παραβληθεῖσα ποιεῖ δοθεῖσαν τὴν τῆς  Γ∠ πρὸς Η∠ ὑπεροχήν, ὡς ἔστι λῆμμα· ὥστε καὶ ἑκάστην τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ δεδόσθαι.. καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἥ τε ΑΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν EΖ. καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΕ λόγος· δοθεῖσα ἄρα  ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΖ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΒΓ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΖΒ ΒΓ ΓΖ δοθεῖσα. ἤχθω δὴ κάθετος ἐτὶ τὴν ΓΖ ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΖΘ ΘΓ· ΒΘ· ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΒ δοθεῖσά ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΘ∠ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν  ἡ Β∠.

Ἄλλως.

12 η΄· Ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΜΕ καὶ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν Α∠ ∠Γ· ΓΑ, καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΕΓ, καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς EΖ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ. δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ λόγος: δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ΓΕ πρὸς ΕΖ λόγος. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἦν δὲ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσα καὶ ὅλη ἄρα ἡ ∠Ζ ἔσται δοθεῖσα. κατά ταὐτὰ δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΖ ΖΓ· ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΕ. καὶ δοθεὶς ὁ τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ λόγος). ἤχθω δὴ πάλιν ἀπὸ τοῦ ∠ κάθετος ἡ ∠Η· δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ΖΗ ΗΓ, ὣστε καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΗ Η∠ δοθεῖσά ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ Η γωνία δοθεῖσα ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ Β∠.

13 θ΄. Ἰσοι κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δοθέντες, ὧν κέντρα τὰ Α Β, καὶ δοθὲν σημεῖον τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐφαπτόμενος τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β, γεγράφθω ὁ ΓΕΖ ὅτι δοθεῖσά ἐστιν αὐτοῦ ἡ διάμετρος.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ EΖΗ ΓΖΘ ΓΜΠ ΑΓΕ ΠΖΚ ΘΚ ΘΗ· γίνεται δὴ παράλληλος ἡ ΗΘ τῇ ΓΕ διὰ τὸ τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΖΓ ΗΖΘ ἴσας εἶναι, καὶ ὁμοίας [*](2. ηόν Β, ζ ΑS 4. καὶ (ante ἐκατέρα) add. Co ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ Ε∠ coni. Ηυ 17. post ΓΒ λόγος add. δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΖΓ πρὸς ΓΕ λόγος. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΖ Co (at haec tacite Suppleri voluit scriptor) 18. 19. ἐκατέρα τῶν //// ὥστε A, in lacuna δηζ add. B Co, ΖΗ ∠ Sca, corr. Ηυ 21. Θ A1 in marg. BS) 22 τὰ ΑΒ AΒ, dstinx S 23. τὰ ΑΒ A, distinx. BS, tem 4. 96,4 25. ΑΒΓ Ε Π Κ Θ Κ Α, αβγ επζ κθκ ΒS, AB ΓΕ ΠΖ ΖΗΘ Sca, corr. Co 26. ΘΗ add. Ηυ)

14 ί. Τρίγωνον τὸ ΑBΓ ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, καὶ σημεῖον ἐντὸς τὸ ∠, καὶ ὧ ὑπερέχει ἡ Α∠ τῆς  Γ∠, τούτῳ ὑπερεχέτω καὶ ἡ Γ∠ τῆς ∠Β, καὶ ἔστω ὑπεροχὴ δοθεῖσα· ὅτι ἑκάστη τῶν Α∠   ∠Γ ∠Β δοθεῖσά ἐστιν. Ἐπεὶ ἡ τῶν Α∠ ∠Γ ὑπεροχή δοθεῖσά ἐστιν , ἔστω τῇ ὑπεροχῇ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΒΖ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ Ε∠ ∠Γ ∠Ζ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. γεγράφθω περὶ κέντρον τὸ [*](3. 4 τὸ ὑπὸ ΝΜΡ Co pro τὸ ὑπὸ ΗΜΡ 6. τουτέστιν τὸ add. Ηυ auctore Co 45. 46. τῆι ΓΠ τῇι ΚΘ AB1S, τὴν ΓΠ τῇ ΚΘ voluit Co, corr. Β3 19, Ι A1 in marg. (BS) 20. εν τοῖς τὸ A(S), corr. B Sca)

15 ια΄. Τὰ μὲν οὖν λήμματα ταῦτα, τὸ δὲ ἀρχαϊκόν· τρεῖς κύκλοι ἄνισοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων δοθείσας ἔχοντες τὰς διαμέτρους, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, καὶ περὶ αὐτοὺς κύκλος ἐφαπτόμενος αὐτῶν ὁ ∠ΕΖ, οὗ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν διάμετρον.

Ἔστω δὲ αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τὰ Α Β Γ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ ΓΒ καὶ ἔτι αἱ ΗΑ∠ ΗΒΖ ΗΓΕ. ἐπεὶ οὖν αἱ διάμετροι τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, δοθεῖσαί εἰσιν, γενήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δοθεῖσα.  καὶ αἱ τῶν ΑΗ ΗΓ ΗΒ διαφοραὶ δοθεῖσαι· διὰ ἄρα τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε δοθεῖσά ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου. καὶ τοῦτο μὲν ἐνθάδε μοι πέρας  ἔχει, τὰ δὲ λοιπὰ ὑπογράψω.

16 ιβ΄ Ἕστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΓΒΑ, καὶ διήχθω ἡ Γ∠, καὶ ἴση ἔστω ἡ ΓΒ συναμφοτέρῳ τῇ AB △Γ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴv AΓ αἱ ΒΕ △Ζ ὅτι ἡ AΖ διπλασίων ἐστὶν τῆς BΕ.

Κείσθω γὰρ τῇ μὲν AΕ ἴση ἡ ΕΗ, τῇ δὲ ΑΒ ἴση ἡ ΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΘ ΘΗ ΘΖ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ. ἐπεὶ ἡ ΓΒ ἴση ἐστὶν συναμφοτέρᾳ τῇ ΑΒ  ∠Γ, ὧν ἡ ΒΘ τῇ BΑ ἐστὶν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΓ λοιπῇ τῇ Γ ∠ ἐστὶν ἴση καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ ∠ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς  ∠Γ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΓΖ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΓ ἐστὶν ἴση καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΘΖΗ ἐστὶν ἴση. καὶ κάθετος  ἦκται ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΒΘ ΑΚΘ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὸ ΑΒΘΚ τετράπλευρον ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ἡμίσους δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ· ἡμίσους ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ὀρθὴ δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΚ. τῆς [*](1. ΙΒ A1 in marg. (BS) 1—5. τὸ ABI κεκλα| σθω ἡ ΓB| καὶ διήχθω ἡ Γ ∠ καὶ ////////////// συναμφρτέρωι //////////// κάθετοι ἤχθωσαν //////////////////// διπλασίων ἐστιν τῆς ΒΗ καὶ κείσθω γὰρ Α, similesque lacunae in BS, nisi quod κεκλάσθω ἡ γβα Β, κεκλάσθω ἡ γβδ S, et καὶ ante κάθετον atque ἡ δζ ante διπλασίων add. S 1. καὶ (ante κεκλάσθω) add. Sca 2. 3. ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ  ∠Γ ή ΒΓ· Sca, ἔστω ἴση ἡ ΓB συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ  ∠Γ Co 3. ἐπὶ τὴν ΑΓ αἱ add. Sca BE  ∠Ζ ὅτι ἡ ΑΖ add. Co Sca 4. τῆς BE Co Sca Pro τῆς ΒΗ 5. 6. ἡ ΒΟ καὶ A, ἡ βε καὶ Β, corr. S 6. ἐπιζεύχθωσαν A, corr BS 7. επιξεύχθω A, corr BS ἡ ΓΒ Co Pro ἡ ΓΖ)

17 τγ΄. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΑΒ ∠, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β ∠, καὶ τῇ Β ∠ πρὸς ὀρθάς ἤχθω ἡ  ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒE, καὶ αὐτῇ πρὺς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠, οὕτως ἡ  ∠Θ πρὸς ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ· ὅτι ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕ ∠ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν  ∠ΕΘ γωνίᾳ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἡ ΗΚ· ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΕ. καὶ ἔστιν ἀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν Β ∠E· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ BΚ Κ ∠ ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗK τῇ ΕΖ, καὶ ἐπεὶ ἐζήτουν τὴν ὑπὸ τῶν ΚΕ ∠ γωνίαν τῇ ὑπὸ τῶν  ∠ΕΘ γωνίᾳ ἴσην, καὶ ἔστιν ἴση ἡ  ∠Κ τῇ ΚΕ, ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠ γωνία τῇ ὑπὸ Κ ∠Ε, ὅτι ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ  ∠ΕΘ ἴση ἐστίν , ὅτι ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ  ∠Κ τῇ ΕΘ.

Ἤχθω καὶ τῇ σΕ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Γ ∠ ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΚΛ τῇ  ∠Ε ἐστὶν παράλληλος, ἡ δὲ ΚΗ τῇ EΖ, ζητεῖται δὲ καὶ ἡ Κ ∠ τῇ ΕΘ παράλληλος, ὅτι ἄρα διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ μὲν ΚΛΗ τρίγωνον τῷ Κ ∠Ζ τριγώνῳ, τὸ δὲ ∠ΚΗ τῷ ΕΘΖ, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΛΗ πρὸς ΗK, ἡ  ∠Ζ πρὸς ΖΕ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ· ὅτι ἄρα καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠, οὕτως ἡ  ∠Ζ πρὸς ΖΘ (διʼ ἴσου γάρ)· ὅτι ἄρα καὶ ἁς ἡ Λ ∠ πρὸς τὴν  ∠Η, οὕτως ἡ  ∠Θ πρὸς τὴν ΘΖ (διελόντι γάρ). ὑπέκειτο δέ καὶ ὡς ἡ  ∠Θ πρὸς [*](4. ΙΓ Α1 in marg (BS) Ἔστω etc. ] hoc theorema posteriore demum aetate Pappi collectioni insertum esse videtur 43. ἐπὶ ἐζη/ῆν τὴν A neque haec satis perSpicua, ἐπεζεύχθωσαν τὴν Β (sed εζεύχθωσαν expunctum), ἐπει ..... S, ἐπεί ἐστιν ἡ Sca, quoniam est Co, corr. Hu 14 γωνίαν τῆι ὑπὸ τῶν  ∠ΕΘ γωνίαν ἴσην ABS , γωνία τῆ —γωνίᾳ ἴση Sca (Co) 16. ὑπὸ  ∠Εc ἴση AB cod Co, corr. S Co 18. 19. ἐκ- βεβλήπθω ἡ ΓΑ coni Ηυ 20. fortasse ἔτι ζητεῖται legendum esse adnotal Sca 24. ὥστε δὲ ἡ ΚΗ A1, τε del. A2)

18 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ᾗ  ∠Κ τῇ ΚΕ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ΚΕ ∠ ἀλλʼ ἡ μέν ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ  ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΕ ∠ τῇ ὑπὸ ΒΚΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὰς ΚΛ Ε ∠  παραλλήλους· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ  ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση. ἔστιν δέ καὶ ἡ BΚ εὐθεῖα τῇ Κ ∠ ἴση καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΛ βάσει τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΛΒ ∠ τῇ ὑπὸ B ∠Α, τουτέστιν τῇ ὑπὸ  ∠ΑΒ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΑΒΗ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒ ∠ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ  ∠ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ Β ∠Η τῇ ὑπὸ ΒΑΛ ἐστὶν ἴση δύο δὴ τρίγωνά ἐστιν τὰ Β ∠ΗΒΑΛ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευράν τὴν ΑΒ τῇ Β ∠ ἴση ἔρα ἡ μέν ΒΗ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ  ∠Η τῇ ΛΑ, ὥστε καὶ ἡ Λ ∠ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠, ἡ  ∠Θ πρὸς ΘΖ, ἴση δὲ [*](3. ἡ Λ ∠ τῆι ΛΗ AB, corr S 15 ἡ δὲ ὑπὸ Κ ∠Ε AB, corr. S 16. τῆι ὑπὸ ΚΛ ∠ ΑB cod. Co, corr. S Co 18. ἡ anle γωνία addi-)

19 ιδ΄ Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη ὑποκείσθω τρία ἡμικύκλια ἐχαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ ΑκείσθωΕ ΕΖΓ, καὶ εἰς τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον, ὃ δὴ καλοῦσιν ἄρβηλον, ἐγγεγράφθωσαν κύκλοι ἐφαπτόμενοι τῶν τε ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν , ὡς οἱ περὶ κέντρα τὰ Η Θ Κ Λ δεῖξαι τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ Η κέντρου κάθετον ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴσην τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Η. κύκλου, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετον διπλασίαν τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Θ κύκλου, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετον τριπλασίαν, καὶ τὰς ἑξῆς καθέτους τῶν οἰκείων διαμέτρων ολλαπλασίας κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμοὺς ἐπʼ ἄπειρον γινομένης τῆς τῶν κύκλων ἐγγραφῆς. δειχθήσεται δὲ πρότερον τὰ λαμβανόμενα.

20 τέ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΖΒ ΒΜ περὶ κέντρα τὰ Α Γ ἐχαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β, καὶ μείζων ἔστω ὁ ΒΜ, ἄλλος δέ τις ἐφαπτόμενος αὐτῶν κατὰ τὰ Κ Λ περὶ κέντρον τὸ Η ὁ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ

Ἔστιν δὲ φανερόν ἐπιζευχθείσης τῆς Γ ∠· γίνεται γὰρ ἰσογώνια τὰ Γ ∠Λ ΛΚΗ τρίγωνα τάς κατά κορυφὴν γωνίας πρὸς τῷ Λ ἴσας ἔχοντα καὶ περὶ τὰς Γ Η γωνίας τὰς πλευράς ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ  ∠ΓΗ ΓΗΑ γωνίας ἐναλλάξ, καὶ παράλληλον τὴν Γ ∠ τῇ ΑΗ, καὶ ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν ΕΓ, τὴν ΑΚ πρὸς Γ ∠, τουτέστιν τὴν ΑΒ πρὸς BΓ.

21 Καὶ τὸ ἀναστρόφιον δὲ φανερόν ἐστιν. ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ Κέστιν ἐπʼ τὐθείας γίνεται τῇ ∠Ε.

Παράλληλός τε γάρ ἐστιν ἡ ΑΚ τῇ Γ ∠ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς βΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς Γ ∠· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ Κ ∠ τῇ  ∠Ε. εἰ γὰρ ἡ διὰ τῶν Κ Ε οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ  ∠, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, γίνεται ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΘ, ὅπερ ἀδύνατον. ὁμοίως οὐδὲ τοῦ  ∠ ἐκτὸς ἥξει τέμνουσα τὴν Γ ∠ ἐκβληθεῖσαν, [*](1. πεσουνται A2(BS), πεσουται correctum ex πεσουσαι A1, δαοῦσαι coni. Ηυ 2. τὸν Β εύκλον A, τὸν β κύκλον B1, τὸν βμ κύκλον 3 τὸν ηθλ κύκλον S, corr. Ηυ 3. συμπεσεῖται voluit Co 3. 4. ἐκἀμλλομενηι εὐθεῖα //// τὸ μείζονα A, εὐθεία (sic) corr. aitera manus in Paris, 2368, διὰ add. BS 4. 5. τῆς ΓΛ τοῦ ΑΚ τραπεζείου A, τῆς γλ τοῦ ακλγ τραπεζίου BS, corr Ηυ 5. τὴν κυκλον A, corr. BS 8. ἐπιζευχθείσης τῆς Γ ∠ interpolatori tribuit Ηυ (nam iungendam esse δγ scriptor iam supra verbis τοῦ ΑΚ ∠Γ τραπεζἰου significavit) 10. πρὸς τῶι Λ As, πρὸς τὸ λ ΒS, del. Ηυ τὰς ΓΗ A, distinx. BS 11. ἔχοντα interpolatori tribuit Ηυ ὑπὸ  ∠ΓΗ Sca (ὑπὸ ΗΓ ∠ Co) pro ὑπὸ  ∠ΗΓ· 12. τῇ ΑΗ] καὶ τῆι ΑΚ AS cod. Co, καὶ del. Β Co Sca, AH corr. Ηυ 13. post τὴν ΕΓ add. γζ Paris. 2368 S (vo- luerunt οὕτως) 19. ἡ ΑΕ Α2 ex ἡ) Α* 20. ἡ Κ ∠ Co Sca pro ἡ 23. τέ|μνουσα*τὴν A)

Ἢ οὕτως. διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΚΝ ἤχθω, καὶ γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓΝΚ, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΓΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΓΝ, πρὸς Γ ∠ , διελόντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ἡ Ν ∠ τρὸς  ∠Γ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΝ, πρὸς Ν ∠, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς Γ ∠. καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Ν Γ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ Ε ∠Γ τρίγωνον τῷ  ∠ΝΚ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε ∠Γ γωνία τῇ ὑπὸ Ν ∠Κ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΓΝ· εὐθεῖα ἄρα καὶ ἡ Κ ∠Ε.

22 Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΒ.

Ἔπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν πρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Κ ∠. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΚΕ πρὸς Ε ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς EΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ BΕΖ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠ τῷ ὑπὸ ΒΕ ΕΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ τῷ ἀπὸ EΒ.

23 ιϚ΄ .  ∠ύο ἡμικύκλια τὰ BΗΓ· BΕ ∠, καὶ ἐφαπτόμενος αὐτῶν κύκλος ὁ ΕΖΗΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Α κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν BΓ βάσιν τῶν ἡμικυκλίων ἡ ΑΜ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ

Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ BΓ παράλληλος ἡ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι οἱ BΗΓ· EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Η, καὶ διάμετροι ἐν αὐτοῖς παράλληλοί εἰσιν αἱ BΓ ΖΘ, εὐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Η Θ B καὶ ἡ διὰ τῶν Η Ζ Γ, πάλιν ἐπεὶ δύο κύκλοι οἱ ΒΕ ∠ EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι διάμετροί εἰσιν αἱ ΘΖ B ∠, εἐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Ζ Ε B καὶ ἡ δμὼ τῶν Θ Ε  ∠. ἤχθωσαν καὶ ἀπὸ τῶν Θ Ζ σημείων κάθετοι αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΗΙ ΒΘΚ τριγώνων ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΒΚ, καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΖΛ ΒΕ ∠ τριγώνων ὡς ἡ  ∠Β πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΒΛ, καὶ τὸ ὑπὸ  ∠Β ΒΛ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ τῷ ὑπὸ  ∠Β ΒΛ , ἂν δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ  ∠ [*](4. τουτέστιν τὴν Γ ∠ add Ηυ 6. ΕΖ ΗΘ A, coniunx. BS, item vs. 9 8. τῶν ΗΘΒ ABS, distinx. Ηυ ἡ (ante διὰ) add S τῶν ΗΖΓ AS, distinx. 8 11. 12. τῶν ZEB — τῶν ΘΕ ∠ AS, distinx. B 12. τῶν ΘΖ A, distinx S (τῶν ζ θ Β) 14. 15. πρὸς τὴν ΘΚ καὶ ΑB cod Co, corr. S Co 15. ἴσον τὸ AΒ, corr. S 20, ἄν δὲ) — p 216, ἀπὸ τῆς Β ∠ a Graeco scriptore addita sunt propter propos 17)

24 Συνθεωρεῖται δʼ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑM. διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΘΚ ΖΛΓ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΛΓ, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΚ ΖΛ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ.

Γίνεται δὲ καὶ διὰ μὲν τὸ εἶναι ὡς τὴν BΓ πρὸς τὴν Γ ∠, οὕτως τὴν ΒΛ πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ ΒΓ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΛ  ∠Γ, διὰ δὲ τὸ εἶναι ὡς τὴν Β ∠ πρὸς τὴν Γ ∠ , οὕτως τὴν BΚ πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ τῆς B ∠ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΚ  ∠Γ.

25 ιζ´. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων γεγράφθω κύκλος ὁ ΘΡΤ ἐφαπτόμενος τῶν τε ἐξ ἀρχῆς ἡμικυκλίων καὶ τοῦ ΕΗΘ κύκλου κατὰ τὰ Θ P Γ σημεία, καὶ ἀπὸ τῶν Α Π κέντρων κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΒΓ· βάσιν αἱ ΑΜ ΠΝ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετά τῆς διαμέτρου τοῦ ΕΗ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον αὐτοῦ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον.

Ἤχθω τῇ Β ∠ τρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ· ἐφάπτεται ἄρα τοῦ ΒΗΓ ἡμικυκλίου. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ διὰ τό προδειχθέν ὡς συναμφότερος ἡ [*](1. συνθεωρεῖται ταδʼ ὅτι A(BS), συνθεωρεῖται λέγω ὅτι Co, corr. Ηυ 2. ἐστιν τὸ ἀπὸ A, corr. BS 4. BK ΛΓ Co pro ΒΚ  ∠Γ 8. τῶι ὑπὸ ΒΛ AΒS, corr. Co 42. A1 in marg. (ΒS) 14 τὰ ΘΡΤ τῶν ΑΠ Α, distinx. BS 49. Ἤχθω τῇ ΒΓ coni. Ηυ)

26 ιη´  Τούτων προτεθεωρημένων ὑποκείσθω ἡμικύκλιον τὸ ΒΗΓ, καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον εἰλήφθω τὸ ∠, καὶ ἐπὶ τῶν Β∠ ∠Γ ἡμικύκλια γεγράφθω τὰ ΒΕ∠ ∠ΥΓ, καὶ ἐγγεγράφθωσαν εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῶν τριῶν περιφερειῶν τὸν καλούμενον ἄρβηλον κύκλοι ἐχαπτόμενοι τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς οἱ περὶ τὰ κέντρα τὰ Α ΠΟ, καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων αὐτῶν κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΑΜ ΠΝ ΟΣ· λέγω ὅτι ἡ μὲν ΑΜ ἴση ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , ἡ δὲ ΠΝ διπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου, ἡ δὲ ΟΣ τριπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν οἰκείων διαμέτρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς.

Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ παράλληλος τῇ BΓ, καὶ [*](1. ιε´] ί ε΄ * A, ί ε´ S, ἐν τῷ τε ω΄ B (conf. ad p. 222, 7. 8) 2. τῇ ΜΑ Co pro τῆι ΜΛ εκβληθείσης A(BS), corr. Sca (Co) 4. οὕτως — ΑΘ πρὸς ΘΠ bis scripta in ABS, corr. Co Sca 5. 6. πρὸς ΠΟ· ἴση ἄρα ἡ ΑΣ τῇ add. Hu auctore Sca, qui) ἴση αρα ἡ σκ τῇ πσα adscripsit (πσα igitur pro codicum scriptura ΣΚ intulit) 7. καὶ ante ἔστιν super versum add. A prima, ul videtur, manu 8. ἡ ante ΝΠ om. AS , add. B1, rursus del. B3 11. in fine huius lemmaltis quaedam periise videntur: vide append 12. ΙΗ A1 in marg. (BS) 15. ἐγγράχθωσαν A1, corr. A2(BS) 17. ὅσοι δήποτ᾿ οὖν ΑΒ, coniunx. S ὡς ὁ περὶ ABS, corr. Hu 18. τὰ ΑΠΟ A, distinx. BS 21. post διπλῆ add. ἐστι (sic) ABS, del. Hu τοῦ A2 in rasura pro τῆς 22. αἱ ἑξῆς αἱ AS, ἑξῆς αἱ B, corr. Hu)

27 Ἂν δʼ ἀντὶ τῶν BΗΓ. ∠ΥΓ περιφερειῶν εὐθεῖαι ὦσιν ὀρθαὶ πρὸς τὴν Β∠, ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης ἔχει καταγραφῆς, τὰ αὐτὰ συμβήσεται περὶ τούς ἐγγραφομένους κύκλους· αὐτόθεν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν Β∠ ἴση γίνεται τῇ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου διαμέτρῳ.

Ἂν δὲ αἱ μὲν ΒΗΓ ΒΕ∠ μένωσιν  περιφέρειαι, ἀντὶ δὲ τῆς ∠ΥΓʼ περιφερείας εὐθεῖα ὑποτεθῇ (ὡς ἐπὶ τῆς τετάρτης ἔχει καταγραφῆς) ἡ ∠Ζ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΒΓ, τῆς μὲν BΓ πρὸς τὴν Γ∠ τετραγωνικὸν ἐν ἀριθμοῖς λόγον ἐχούσης, σύμμετρος ἔσται ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος τῇ διαμέτρῳ