In Nicomachi Arithmeticam Introductionem

στιγμῆς καὶ σημείου λόγον, ὡς ἂν ἀρχὴ οὖσα ποσοῦ καὶ δὴ καὶ ἀφ’ ἑαυτῆς ὡσανεὶ ῥυεῖσα καὶ κατὰ τὸ ἑαυτῆς μέγεθος ἐφ’ ἓν διαστᾶσα, εἰς μῆκος προελεύσηται. οὕτως καὶ συμβεβηκότα τινὰ ἕξει κοινὰ πρὸς τὸ σημεῖον τό τε ἀρχὴ εἶναι ποσοῦ, ὡς ἐκεῖνο πηλίκου, καὶ τὸ ἀμερὴς εἶναι, ὡς ἐκεῖνο, καὶ τὸ δύνασθαι μηδὲν πλέον ἑαυτῆς, καθὰ κἀκεῖνο· ὡς γὰρ ἅπαξ ἓν οὐδὲν πλέον τοῦ ἕν, οὕτως ἐπ’ ἄλληλα σημεῖα γινόμενα οὐδὲν πλέον σημείου ποιεῖ· οὐδὲ γάρ ἐστιν ἡ γραμμὴ πλειόνων σύνθεσις σημείων, ἀλλ’ ἤτοι ψαυστῶν ἀδιαστασία ἔσται ἢ διαστάντων ἀψαυστία, ὥστ’ οὐκέτι μέρος γραμμῆς τὸ σημεῖον· οὐ γὰρ μόνον σημεῖόν ἐστιν οὗ μέρος οὐδέν, ἀλλὰ καὶ οὐδ’ ἄλλου τινός ἐστι μέρος. κοινὸν δὲ ἔχει πρὸς τὸ σημεῖον ἡ μονὰς καὶ τὸ στερεῶν πυραμίδων ἀπειρογόνων ταῖς βάσεσιν ἐπὶ κορυφῇ θεωρουμένη ὡς ἐκεῖνο πανσχήμων νοεῖσθαι. ἴδια δὲ ἤδη ἔχει, καθὰ διαφέρει σημείου, ὡσανεὶ ὁρογενὴς οὖσα, τό τε κατὰ σύνθεσιν ἑαυτῆς εἰς μῆκος διίστασθαι καὶ ἔτι τὸ μέρος εἶναι τούτου. εἰ δὲ τῆς ἐφ’ ἓν διαστάσεως παυσαίμεθα καταγράφοντες

τὰς μονάδας καὶ ἐπεκβάλλοντες

Ἐκκειμένου γὰρ τοῦ ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος ἀριθμοῦ, ἐὰν μὲν μηδὲν διαλιπόντες σωρηδὸν συντιθῶμεν αἰεὶ τοὺς ἐφεξῆς καθ’ ἕνα, οἷον ἕνα πρῶτον, εἶτ’ ἐπὶ τούτῳ δύο, εἶτα ἐπὶ τοῖς δυσὶ τρία καὶ πρὸς τούτοις τέσσαρα καὶ μέχρις οὗ βουλόμεθα, τρίγωνοι ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος ἀποτελεσθήσονται οἱ αʹ γʹ ϛʹ ιʹ ιεʹ καʹ κηʹ λϛʹ καὶ ἐφεξῆς, ὧν ἕκαστος σχηματισθήσεται ἀναλυθεὶς εἰς μονάδας τριγώνου τρόπον, καὶ αὐτὴ δὲ καθ’ ἑαυτὴν ἡ μονὰς ὡς δυνάμει οὖσα τριγωνική. τὰς δὲ πλευρὰς ἕκαστος τῶν μετὰ μονάδα τοσούτων ἕξει μονάδων, ὅσωνπερ καὶ ὁ γνώμων ἐστίν, ἢ νὴ Δία ὅσωνπερ μονάδων ὁ ὕστατος παραληφθεὶς ἐν τῇ ἐπισυνθέσει γνώμων ἐστίν, ὅπερ ἴδιον μόνων τριγώνων ἐστίν.

αὐξητικὸς ἑκάστου εἴδους τῶν πολυγώνων κατὰ πρόσθεσιν τὸ αὐτὸ εἶδος διαφυλάττων, ὡς φέρε εἰπεῖν τῷ τρία τριγώνῳ ὄντι περιτεθεῖσα ἡ τριὰς τὸ αὐτὸ εἶδος ἔχοντα τὸν ἐπίσημον ἀπετέλεσε. μετῆκται δὲ ἀπὸ τῶν ἐν γεωμετρίᾳ τὸ ὄνομα· λέγεται γὰρ ἡ ὑπεροχὴ ἥπερ ἔχει τετράγωνον τετραγώνου γνώμων. πάντως δὲ ἡ σχημάτισις κατ’ ἰσόπλευρον ἔσται τρίγωνον· ὥστε τρίγωνος ἂν εἴη ἀριθμὸς ὁ 〈ἐκ〉 τῶν ἀπὸ μονάδος κατὰ

Πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς ἐὰν ἐκ τοῦ ἐφεξῆς ἀριθμοῦ ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι συντιθῶμεν σωρηδὸν μηκέτι τοὺς ἐφεξῆς ἀλλὰ τοὺς παρ’ ἕνα, τουτέστι τοὺς περισσούς, οἷον αʹ, εἶτα αʹ γʹ, εἶτα αʹ γʹ εʹ, καὶ πάλιν αʹ γʹ εʹ ζʹ καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως, τετράγωνοι φύσονται καὶ ἐπιπεδωθήσονται

τετραγωνικῶς ἀναλυθέντες εἰς μονάδας. οἱ δὲ γνώμονες γωνίαν ποιοῦντες ἀεὶ περιτεθήσονται καὶ οὐκέτι κατὰ μίαν πλευρὰν αὐξηθήσονται οἱ τετράγωνοι, ὥσπερ ἐπὶ τῶν πρὸ αὐτῶν ἐγένετο. ἄρξεται δὲ πάλιν κἀνταῦθα ὁ τρίτος ἐμπεριέχειν τὸν πρῶτον καὶ ὁ τέταρτος τὸν δεύτερον καὶ ὁ πέμπτος τὸν τρίτον ἀλλὰ καὶ τὸν πρῶτον, ἕκτος δὲ τέταρτον καὶ δεύτερον, καὶ καθόλου οἱ ἀρτιοταγεῖς ἀρτίους καὶ οἱ περισσοταγεῖς περισσούς. ἔστιν οὖν τετραγωνικὸς ἀριθμὸς ὁ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων συντιθεμένων ἀποτελούμενος, ὡς αʹ δʹ θʹ ιϛʹ κεʹ λϛʹ καὶ ὁ ἐφεξῆς ἕκαστος πάλιν ἔχων τοσούτων μονάδων τὴν πλευράν, ὅσουσπερ καὶ τοὺς ἐν τῇ συνθέσει παραληφθέντας γνώμονας. ἐπεὶ δὲ τὸ τετράγωνον σχῆμα ἐν γραμμικοῖς διαγωνίου ἀχθείσης εἰς δύο τρίγωνα λύεται, δῆλον δ’ ὅτι καὶ συνίσταται

ἑαυτὴν μονάσασα τετραγωνικὴ γίνεται, ἡ δὲ δυὰς ἑαυτὴν δυάσασα τετράγωνον τὸν δʹ ποιεῖ καὶ ἡ τριὰς ἑαυτὴν τριάσασα τὸν θʹ καὶ ἑξῆς ἀκολούθως.

Ἐὰν δὲ πάλιν ἐκ τοῦ ἐφεξῆς ἀριθμοῦ τοὺς δύο διαλείποντας τῇ μονάδι σωρηδὸν ἐπισυνθῶμεν, πεντάγωνοι φύσονται οἱ αʹ εʹ ιβʹ κβʹ λεʹ καὶ ἐφεξῆς, καὶ αὐτοὶ ἀναλυόμενοι εἰς μονάδας καὶ πενταγωνικῶς σχηματιζόμενοι κατὰ τὰς τρεῖς πλευρὰς περιτιθεμένων τῶν γνωμόνων. πάλιν δὲ τοσούτων μονάδων ἔσται ἡ πλευρὰ ἑκάστου, ὅσοιπερ καὶ γνώμονες εἰς τὴν γένεσιν αὐτοῦ συνετέθησαν. ἔσται οὖν πενταγωνικὸς ἀριθμὸς ὁ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος τριάδι διαφερόντων συντιθεμένων ἀποτελούμενος, ἑξαγωνικὸς δὲ ὁ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος τετράδι διαφερόντων, καὶ ἑπταγωνικὸς ὁ 〈ἐκ〉 τῶν πεντάδι καὶ ἑξῆς ἀκολούθως, καὶ κατὰ δυάδος ὑπεροχὴν τῶν πολυγώνων πρὸς τὰς διαφορὰς τῶν γνωμόνων τὴν ὀνομασίαν ἰσχόντων. εἰ δέ τις ἐκθοῖτο στιχηδὸν ἐφεξῆς τοὺς πολυγώνους ἀπὸ τριγώνου προτάξας αὐτῶν καὶ τὸν συνεχῆ ἀριθμόν, φανήσονται ἐν τῷ διαγράμματι τρίγωνοι μὲν δύο παρὰ δύο ἄρτιοι καὶ περισσοὶ ὄντες, τετράγωνοι δὲ εἷς παρ’ ἕνα, πεντάγωνοι δὲ ὁμοίως τοῖς τριγώνοις δύο παρὰ δύο, καὶ

ὅλως οἱ ὁμοταγεῖς αὐτῶν, τουτέστιν ***ἀρτιοταγεῖς.

Ἐπεὶ δὲ ἡ μονὰς πάσης γενέσεως τῶν πολυγώνων ἀφηγεῖται καὶ διὰ τοῦτο πανσχήμων ἐστίν, ἐοικέναι λέγεται τοῦτο κύκλῳ καὶ σφαίρᾳ, διότι τε ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς ὁ κύκλος περιέχεται καὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἡ σφαῖρα καὶ διότι ὅ τε κύκλος χωρητικός ἐστι καὶ περικλειστικὸς παντὸς πολυγώνου ἐπιπέδου σχήματος καὶ ἡ σφαῖρα στερεοῦ. φανήσεται δὲ καὶ ἑξῆς καὶ τῶν στερεῶν σχημάτων τῆς γενέσεως ἀφηγουμένη ἡ μονὰς καὶ δυνάμει ἐπιδεχομένη τοὺς πάντων λόγους, πρὸς τούτοις τε ὅτι ἀφ’ ἑαυτῆς καὶ περὶ ἑαυτὴν ὡσανεὶ κινηθεῖσα εἰς ἑαυτὴν ἀποκαθίσταται, καθὰ καὶ ὁ κύκλος ἀπό τινος περί τι ἐξ ἴσου διαστήματος εἰς ταὐτὸν ἀποκαθίσταται. εἰ δὲ ὁ κυκλικὸς λόγος τῇ μονάδι ἐμφαίνεται ἄρχονται δὲ ἐπὶ τριάδος αἱ σχηματίσεις τῶν πολυγώνων, τὴν δυάδα εὐλόγως οἱ ἀπὸ Πυθαγόρου

ἀόριστον ἔφασαν εἶναι, διότι καθ’ αὑτὴν οὐδ’ ὁτιοῦν περιορίζεται σχῆμα· πρῶτον γὰρ εὐθύγραμμον καὶ στοιχεῖον ἐπίπεδον τὸ τρίγωνον, διότι ἐν τρισὶν ὅροις τὸ διχῇ διαστατόν. καὶ ἐπειδὴ ἐν γραμμικοῖς εἰδοποιεῖται τὰ πολύγωνα ὑπὸ τριγώνου, εἴ γε τὴν σύστασιν ἀπ’ αὐτοῦ καὶ εἰς αὐτὸ τὴν ἀνάλυσιν ἴσχει, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἐν ἀριθμοῖς εἰδοποιηθήσονται οἱ

τῇ τῶν γνωμόνων περιθέσει αἰεὶ ἀλλασσόμεναι, μία μὲν ἐν τριγώνῳ δύο δὲ ἐν τετραγώνῳ καὶ τρεῖς ἐν πενταγώνῳ καὶ ὁμοίως ἐπ’ ἄπειρον, κατὰ δυάδος κἀνταῦθα διαφορὰν τῆς κλήσεως τῶν πολυγώνων πρὸς τὴν ποσότητα τῶν ἀλλασσομένων γινομένης. ἐντεῦθεν καὶ ἡ ἔφοδος τοῦ Θυμαριδείου ἐπανθήματος ἐλήφθη. ὡρισμένων γὰρ ἢ ἀορίστων μερισαμένων ὡρισμένον τι καὶ ἑνὸς οὑτινοσοῦν τοῖς λοιποῖς καθ’ ἕκαστον συντεθέντος, τὸ ἐκ πάντων ἀθροισθὲν πλῆθος ἐπὶ μὲν τριῶν μετὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς ὁρισθεῖσαν ποσότητα ὅλον τῷ συγκριθέντι προσνέμει τ’ ἀφ’ οὗ τὸ λεῖπον καθ’ ἕκαστον τῶν λοιπῶν ἀφαιρεθήσεται, ἐπὶ δὲ τεσσάρων τὸ ἥμισυ καὶ ἐπὶ πέντε τὸ τρίτον καὶ ἐπὶ ἓξ τὸ τέταρτον καὶ ἀεὶ ἀκολούθως, δυάδος κἀνταῦθα διαφορᾶς ἐπιφαινομένης

καὶ τρεῖς πενταγώνων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως ἐνταῦθα δὲ τῷ ἐπανθήματι εἰ μὲν τρεῖς εἶεν οἱ μεριζόμενοι μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν τοῦ ὁρισθέντος ὁρισμοῦ, ὅλον τὸ ληφθὲν προσνεμοῦμεν τῷ συγκριθέντι πρὸς τοὺς λοιπούς, ὡς ἀναλόγως ἔχειν ἐνταῦθα τὸ ὅλον πρὸς τὴν ἐν τοῖς τριγώνοις ἀλλασσομένην μίαν πλευράν. καὶ ἐπεὶ ἐκεῖ δύο ἔσονται ἐπὶ τετραγώνων αἱ ἀλλασσόμεναι πλευραί, ἐνταῦθα, εἰ τέσσ̣αρες εἶεν οἱ μεριζόμενοι, τὸ ἥμισυ προσνεμοῦμεν, εἴτε τρίτον ἐπιτρεῖς, καὶ ἀεὶ ἀναλόγως ποιοῦντες οὐ διαπεσούμεθα. ὅτι δὲ οὐ παρέλκει τὸ ἐπάνθημα τοῦτο, ἀλλὰ καὶ πρὸς θεώρημα ἀριθμητικὸν ἔχει τὴν ἀναφορὰν καὶ ἐφόδου γλαφυρωτάτης πρὸς ἀνεύρεσιν αἴτιον ἡμῖν γίνεται, οὕτως ἂν θεωρήσαιμεν. προστετάχθω γὰρ ἡμῖν λόγου χάριν ἀριθμοὺς ἐκθέσθαι τέσσαρας, ὧν ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ δευτέρου διπλάσιος ἔσται τρίτου ἅμα καὶ τετάρτου, καὶ πάλιν ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ τρίτου τριπλάσιος δευτέρου ἅμα καὶ τετάρτου, ὁμοίως τε ὁ αὐτὸς πρῶτος μετὰ τοῦ τετάρτου τετραπλάσιος τῶν δύο μέσων δευτέρου ἅμα καὶ τρίτου, σύμπαντες δὲ ἅμα πενταπλάσιοι τῶν αὐτῶν δύο

μέσων, ὡς ἂν καὶ τάξει φυσικῇ τῶν πολλαπλασίων ἀπὸ διπλασίου εἰς πενταπλάσιον ἡ προχώρησις

ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο, ὄντων δηλονότι καὶ αὐτῶν ἐν τεσσαράκοντα μονάσι. πάλιν ἐπεὶ ὁ πρῶτος καὶ ὁ τρίτος τριπλάσιοι ἔσονται τῶν λοιπῶν δευτέρου καὶ τετάρτου, ὡς τρία πρὸς ἕν, ἅ ἐστιν ὁμοῦ δʹ, ποιῶ τρὶς τὸν αὐτὸν ρκʹ καὶ γίνεται τξʹ, ἃ μερίζω παρὰ τὸ τέταρτον, ἵν’ ᾖ τὸ μέρος ҁʹ. φημὶ δὴ τοσούτων εἶναι μονάδων τὸν πρῶτον ἅμα καὶ τὸν τρίτον, τοὺς τριπλασίους τῶν λοιπῶν δευτέρου καὶ τετάρτου, ὄντων δηλονότι ἐν μονάσι λʹ. πάλιν ἐπεὶ ὁ πρῶτος σὺν τῷ τετάρτῳ τετραπλάσιός ἐστι τῶν δύο

ἀφαιρῶ δὴ τὸν ἐξ ἀρχῆς μερισθέντα εἰς τοὺς τέσσαρας ὅρους τὸν ρκʹ, καὶ λείπεταί μοι ρμϛʹ, ὧν ἐπεὶ τέσσαρές εἰσιν οἱ μερισάμενοι τὸ ἥμισυ ἕξει ὃ κατὰ τὴν πρώτην συζυγίαν ἴδιον ὁ πʹ. ἔστι δὲ ἥμισυ ὁ ογʹ, καὶ τὰ λοιπὰ ἀπὸ τῶν πʹ τὰ ζʹ ἔσται τοῦ δευτέρου ὅρου. ἐπειδὴ ἡ δευτέρα συζυγία περιέχει ἀριθμὸν τὸν ҁʹ, πάλιν ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ҁʹ τὸν ογʹ, καὶ λείπεται ιζʹ, ἅ φημι εἶναι τοῦ τρίτου ὅρου. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ τρίτη συζυγία ҁϛʹ ἐστὶ μονάδων, πάλιν ἀφαιρῶ τὰ ογʹ, καὶ τὰ λοιπὰ κγʹ προσνέμω τῷ τετάρτῳ ὅρῳ. καὶ οὕτως γίνεταί μοι ὁ πρῶτος ὅρος τῶν ογʹ, ὡσανεὶ γνώμων τῆς τῶν συζυγιῶν εὑρέσεως, ὥστε καθ’ ἕκαστον ἰδίᾳ διακεκριμένους τοὺς τέσσαρας εὑρεθῆναι ἐφεξῆς ὄντας ογʹ ζʹ ιζʹ κγʹ, οἵπερ εἰσὶν ὁμοῦ ρκʹ περιέχοντες τοὺς εἰρημένους λόγους τόν τε διπλάσιον καὶ πενταπλάσιον. πρώτιστοι μὲν οὖν οὗτοι καὶ πυθμενικοὶ ἀριθμοὶ ἐν τελείαις μονάσιν τοὺς εἰρημένους λόγους

τοὺς αὐτοὺς περιέχοντες λόγους ὅ τε λϛʹ (ʹʹ καὶ ὁ γʹ (ʹʹ καὶ ὁ ηʹ (ʹʹ καὶ ιαʹ (ʹʹ, ὧν καὶ τὰ συγκεφαλαιώματα ξʹ, ἅτινα ἡμίση ἔσται δηλονότι τοῦ προτέρου συγκεφαλαιώματος τοῦ ρκʹ. εἰ δὲ καὶ πολλαπλασίους τῶν ἐξ ἀρχῆς ποιῶμεν καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασίου εἶδος, ἢ ἐπιμορίους, ἢ ἐπιμερεῖς, οἱ γενόμενοι πάντως τοὺς αὐτοὺς λόγους περιέξουσιν. ἵνα δὲ τεσσάρων ἄλλων ἀριθμῶν ἐκτεθέντων κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν τοῖς προτέροις ὁμοταγεῖς κατὰ συνδυασμὸν τὸν προειρημένον τῶν ὁμοιοτάτων, ἀντὶ μὲν πολλαπλασίων γενικῶς 〈ὑποπολλαπλάσιοι γίνωνται〉, εἰδικῶς δὲ ἀντὶ μὲν διπλασίων ἡμιόλιοι, ἀντὶ δὲ τριπλασίων ἐπίτριτοι ἀντὶ δὲ τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι, λαμβάνω κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον, ἐπεὶ ἡμιολίου λόγου χρεία, ἀντὶ διπλασίου τὸν πρῶτον δυνάμενον ἥμισυ παρασχεῖν, τουτέστι τὸν δύο, ὅσπερ ἦν καὶ πρῶτος διπλάσιος ἐπὶ τῶν προτέρων ἀριθμῶν, καὶ πεντάκις αὐτὸν ποιῶ, διότι σύστημά ἐστι τὰ εʹ τῶν τὸν ἡμιόλιον λόγον περιεχόντων τοῦ γʹ καὶ βʹ. καὶ ἐπεὶ ἀντὶ τριπλασίου ἐπιτρίτου λόγου χρεία, πυθμὴν δὲ ἐπιτρίτων ὁ δʹ πρὸς γʹ ἐστίν, ὁμοῦ ζʹ, ποιῶ ταῦτα δεκάκις, γίνεται οʹ.

πάλιν ἐπεὶ χρεία ἐπιτετάρτου ἀντὶ τετραπλασίου, ἔστι δὲ πυθμὴν ἐπιτετάρτων εʹ πρὸς δʹ, ἅ ἐστι ὁμοῦ θʹ, ἐνάκις ποιῶ τὸν οʹ, γίνεται χλʹ. οὗτος οὖν ἔσται ὁ συνέχων τοὺς περιεκτικοὺς τῶν εἰρημένων λόγων ἀριθμούς.

δευτέρας συζυγίας τῶν ἀναφανησομένων πρώτου καὶ τρίτου ἀριθμοῦ, οἳ συνάμφω ἐπίτριτοι ἔσονται δευτέρου καὶ τετάρτου. ὁμοίως διότι ἐπιτετάρτου λόγου χρεία, ἵνα πρῶτος καὶ τέταρτος συνάμφω τῶν δύο μέσων ἐπιτέταρτοι ὦσιν, ἔστι δὲ πρόλογος ἐν ἐπιτετάρτῳ πυθμέσι 〈ὁ εʹ〉, ποιῶ πεντάκις τὸν χλʹ, γίνεται ͵γρνʹ, μερίζω παρὰ τὸ συναμφότερον τῶν τὸν ἐπιτέταρτον λόγον περιεχόντων πυθμένων, τουτέστιν θʹ, καὶ ἴσχω μέρος θον· τνʹ, ἃ δὴ λέγω τρίτην εἶναι συζυγίαν πρώτου καὶ τετάρτου ἀριθμοῦ, οἳ συνάμφω ἐπιτέταρτοι

ὅσπερ ἦν τῆς πρώτης συζυγίας ἀριθμός, ἂν ἀφέλω τὰ σκθʹ, λείπεταί μοι ρμθʹ. τοῦτον οὖν φημι τὸν δεύτερον ἐν τῇ ἐκθέσει ἀριθμὸν εἶναι. πάλιν ἐπεὶ ἡ δευτέρα συζυγία ἀριθμός ἐστιν ὁ τῶν τξʹ, ἀφαιρῶ τὸν αὐτὸν σκθʹ καὶ λείπεταί μοι ρλαʹ, ὅν φημι εἶναι τρίτον ὅρον ἐν τῇ ἐκθέσει. ὁμοίως ἐπεὶ τρίτης συζυγίας ἐστὶ τὰ τνʹ, ἀφέλω σκθʹ, λείπω ρκαʹ καὶ ἴσχω τὸν τέταρτον. ὁμοῦ οὖν τῶν τεσσάρων ὅρων τάξει τούτων σκθʹ ρμθʹ ρλαʹ ρκαʹ ὁ μὲν πρῶτος καὶ δεύτερος συνάμφω ἔσονται τρίτου τε καὶ τετάρτου ἡμιόλιοι, πρῶτος δὲ ἅμα καὶ τρίτος δευτέρου καὶ τετάρτου ἐπίτριτοι, πρῶτος δὲ πάλιν καὶ τέταρτος συνάμφω δευτέρου τε καὶ τρίτου ἐπιτέταρτοι, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. καὶ ταῦτα μὲν ἔξωθεν ἡμῖν εἰς ἔνδειξιν τῆς τῶν ἀριθμητικῶν ἐπανθημάτων γλαφυρίας οὐκ ἀσκόπως παρηδολεσχείσθω.

Ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὴν τῶν πολυγώνων θεωρίαν καὶ

στίχου, τοῦ δὲ παρ’ ἕνα τοὺς παρ’ ἕνα καὶ τοῦ παρὰ δύο τοὺς παρὰ δύο καὶ 〈τοῦ παρὰ τρεῖς τοὺς〉 παρὰ τρεῖς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως. καὶ οἱ μὲν τοῦ ἑπταγώνου πάντες γνώμονες ὁμοκατάληκτοι ἔσονται τοῖς πρώτοις δυσὶ τῷ τε αʹ καὶ τῷ ϛʹ, οἱ δὲ τῶν ἄλλων κατ’ ἄλλας καὶ ἄλλας θεωρίας, ὥσπερ ἐν τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἐκθέσει πάντες οἱ τέλειοι εὑρεθήσονται, καὶ ἴδιόν τι τοῖς ἑξαγώνοις συμβεβηκὸς ἔσται τὸ καὶ τριγώνοις εἶναι πᾶσιν, οὐκέτι μὴν τοῖς τριγώνοις πᾶσι τὸ καὶ ἑξαγώνοις εἶναι συμβήσεται, ἀλλ’ ἢ μόνοις τοῖς παρ’ ἕνα, τουτέστι τοῖς ἡμίσεσι τοῖς αʹ ϛʹ ιεʹ κηʹ μεʹ ἵνα καὶ ἐνταῦθα τὸ ἥμισυ τῷ δύο οἰκείως συζυγῇ. ἐπεὶ γὰρ διπλάσιος ὁ ἑξάγωνος καταστὰς γωνίας τε καὶ πλευρᾶς τοῦ τριγώνου, διὰ τοῦτο τοὺς ἡμίσεις παρέξει ἀφ’ ἑαυτοῦ ὁ τριγωνικὸς στίχος ἑξαγώνους, οἱ δ’ ἐν τῇ ἐκθέσει τῶν ἑξαγώνων τέλειοι ἅμα καὶ τρίγωνοί εἰσιν. ἐν δὲ τῇ τοῦ πενταγώνου, ἔνθα δύο ἄρτιοι ἀνὰ μέσον τῶν δύο συζυγιῶν περισσῶν, ὁ μὲν ἕτερος ἀναγκαίως τῶν ἀρτίων ἀρτιοπέρισσός ἐστιν, ὁ δὲ λοιπὸς περισσάρτιος. καὶ πολλὰ ἄλλα παρακολουθήματα γλαφυρὰ εὕροι τις ἂν συντείνων ἑαυτὸν συμβεβηκότα

τῷ τῶν πολυγώνων διαγράμματι, οἷον ὅτι ἐπὶ βάθος οἱ πρῶτοι μετὰ τὰς μονάδας ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός ἐστιν, οἱ δὲ δεύτεροι κοινῇ μὲν διαφορᾷ

καὶ δὶς τοῦ πρὸ ἐκείνου, καὶ πᾶς ἑξάγωνος τοῦ κατ’ αὐτὸν ἐπὶ βάθος τριγώνου καὶ τρὶς τοῦ πρὸ ἐκείνου, καὶ ἑπτάγωνος ὁμοίως τοῦ κατ’ αὐτὸν καὶ τετράκι τοῦ πρὸ ἐκείνου, καὶ ἀεὶ τὸ αὐτὸ συμβήσεται κατὰ πρόσθεσιν μονάδος τῆς ποσότητος παραυξομένης. πάλιν ὁ δεύτερος τετράγωνος ὁ θʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τριγώνου τοῦ ἕξ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου γʹ, ὡς εἴρηται. ὁ δ’ ὑπὸ τοῦτον πεντάγωνος ιβʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ θʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τετραγώνου τοῦ δʹ, παρὰ τὸν εʹ, διαγωνίου κειμένου αὐτῷ ἑνὸς τριγώνου. ὁ δ’ ὑπὸ τοῦτον ἑξάγωνος ὁ ιεʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν πενταγώνου τοῦ ιβʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου εʹ, παρὰ δὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸ πρῶτον αʹ. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑπτάγωνος ὁ ιηʹ ἐκ τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν ἑξαγώνου τοῦ ιεʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τοῦ ϛʹ, παρὰ τρὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸ αʹ. οἱ γὰρ ἐνεργείᾳ

τοῦ ιʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ϛʹ ὁμοίως παρ’ οὐδέν. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν πεντάγωνος ὁ κβʹ σύστημα τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ ιϛʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τοῦ θʹ, παρὰ τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον τὸν γʹ, διαγώνιον ὄντα πρὸς αὐτόν. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑξάγωνος ὁ κηʹ συνέστηκεν ἔκ τε τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν κβʹ πενταγώνου καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ιβʹ, παρὰ δὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸν γʹ. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑπτάγωνος ὁ λδʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν ἑξαγώνου τοῦ κηʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ιεʹ, παρὰ τρὶς [καὶ] τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸν γʹ. καὶ ἑξῆς ὁμοίως τὸ αὐτὸ συμβήσεται συμπροκοπτόντων τοῖς ἑξῆς ἐπὶ τὸ πλάτος λαμβανομένοις πολυγώνοις καὶ τῶν γνωμονικῶν τριγώνων. ὁ μὲν γὰρ ἐφεξῆς εἰς τὸ· ἔπος στίχος τῶν πολυγώνων, οὗ ἄρχει ὁ ιεʹ τρίγωνος, διεκταθήσεται ὁμοίως τοῖς προειρημένοις κατὰ τὸν ιʹ τρίγωνον· ὁ δὲ μετ’ αὐτόν, οὗ ἀρχὴ καʹ, κατὰ τὸν ιεʹ. καὶ ἀεὶ ὁμοίως διεκταθήσεται ἡ προκοπὴ τῶν πολυγώνων καὶ τῶν εἰδοποιούντων αὐτοὺς τριγώνων, ὥστε καθολικὸν ἐπ’ αὐτῶν εἶναι θεώρημα τοῦτο· ἕκαστος γὰρ πολύγωνος σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν μονάδι μικρωνυμωτέρου