De communi mathematica scientia

Ἐπεὶ δὲ πολλάκις οὐκ ἔστι φανερὸν εἴτε μαθηματική ἐστιν εἴτε κατ’ ἄλλην ἐπιστήμην ἡ προκειμένη ζήτησις, ὅ τε τρόπος τῶν ἀποδείξεων ἀμφισβητεῖται ποῖός ἐστι μαθηματικός, δεῖ διευκρινῆσαι καὶ περὶ τούτων τὰ ποῖα προβλήματα καὶ τὰ πῶς ἀποδεικνύμενα μαθηματικὴν ἐμφαίνει μέθοδον. καθόλου μὲν οὖν δεῖ προειδέναι ὡς παράκεινται τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ ἥ τε θεολογικὴ ἐπιστήμη καὶ ἡ φυσική, ὥστε καὶ αἱ ἀποδείξεις καὶ τὰ προβλήματα ἐπικοινωνεῖ τούτων τῶν ἐπιστημῶν πρὸς ἀλλήλας. ἔχει μὲν οὖν καὶ τἀληθὲς οὕτως ἡ τῆς γνώσεως συγγένεια περὶ τὰς διαφόρους γνωριστικὰς δυνάμεις συνάπτουσά τινα μίαν οἰκειότητα, ἔχει δὲ καὶ τὰ πράγματα σύνεγγύς πως ὄντα τὴν συνέχειαν τὴν κοινὴν τῶν ἐπιστημῶν πρὸς ἀλλήλας. οὐ μὴν ἀλλὰ οἵ γε Πυθαγόρειοι ἔτι μᾶλλον τὴν κοινωνίαν ταύτην συνάπτουσιν ἀδιαίρετον, πολλὰ μὲν περὶ τῶν νοητῶν εἰδῶν διὰ τῶν μαθημάτων παραδιδόντες, πολλὰ δὲ περὶ τῆς φύσεως, πολλὰ δὲ καὶ περὶ τῶν ἠθῶν μαθηματικῶς ἀναδιδάσκοντες. δεῖ δ’ ὅμως διακρίνειν τὰ | τρία γένη τῶν λόγων τούτων καὶ

τὸ μαθηματικὸν διορίζειν κατ’ ἰδίαν, ὥστε πρὸς μηδὲν αὐτῶν συγκεχύσθαι. ἔστωσαν μὲν οὖν ἀκίνητοι καθ’ ἑαυτοὺς καὶ ἀνέλεγκτοι οἱ μαθηματικοὶ λόγοι τοῖς καθ’ αὑτὰ εἴδεσι καὶ γένεσι μαθηματικοῖς συνηρμοσμένοι, οὐ κατὰ ἀφαίρεσιν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν ταῦτα περιλαμβάνοντες, ἀλλ’ ὡρισμένως αὐτοῖς ἐπιβάλλοντες, ἅτε δὴ καθ’ ἑαυτὰ ὑφεστηκόσιν, οὔτε κινήσεως ἐφαπτομένοις, οὔτε τῶν νοητῶν καὶ ἀμερίστων εἰδῶν ἢ τῶν νοήσεων εἰς ταυτότητα συνιοῦσι, κατὰ δὲ τὰ νοητὰ διεξιοῦσι καὶ τὰς διανοήσεις τὰς περὶ αὐτὰ συνισταμένας μέσον τέ τινα τρόπον τοῦτον μεταχειριζομένοις γνώσεως. ἡ γὰρ τοιαύτη μέθοδος τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων μαθηματική τέ ἐστι καὶ πολὺ κεχωρισμένη τῶν παρὰ τοῖς ἄλλοις ἐπιστήμοσι λόγων.

Ἕπεται δὲ τοῖς τοιούτοις προβλήμασι κἀκεῖνο συνεπισκέψασθαι, πῶς χρῆται διαιρέσει καὶ ὁρισμῷ καὶ συλλογισμοῖς ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη, εἴπερ δεχομένη παρὰ διαλεκτικῆς τὴν μάθησιν αὐτῶν, ἢ καὶ αὐτὴ ἀφ’ ἑαυτῆς ἐνεργοῦσα περὶ ταῦτα. εἰ μὲν δὴ παραλαμβάνει ταῦτα ἀπὸ τῆς περὶ τὸν λόγον θεωρίας, πολλῶν ἔσται ἐπιδεὴς καὶ τῆς οἰκείας γνώσεως τὰς ἀρχὰς ἑτέρωθεν μεταλαμβάνει· εἰ δὲ τὸ τοιοῦτον ἄλλῃ τινὶ μᾶλλον ἢ τῇ μαθηματικῇ ἀκριβείᾳ προσήκει, δεῖ νοεῖν τὰ τρία ταῦτα, οἷον διαίρεσιν, ὁρισμόν, συλλογισμόν, ἄλλα μὲν ὄντα ἐν διαλεκτικῇ, ἄλλα δὲ ἐν τῇ μαθηματικῇ, κατὰ τὸ οἰκεῖον δὲ γένος ἑκατέρων διωρισμένα ἐφ’ ἑκατέρων. τὰ μὲν οὖν τῆς διαλεκτικῆς μείζονά τέ ἐστι θεωρήματα καὶ οὐ πρόκειται νυνὶ

διεξιέναι, τὰ δὲ τῆς μαθηματικῆς οἰκεῖα αὐτῇ μόνῃ διαφέρει τῇ μαθηματικῇ. ἀφ’ ἑαυτῆς οὖν εὑρίσκει τε αὐτὰ καὶ τελειοῖ καὶ ἐξεργάζεται, τά τε οἰκεῖα αὑτῇ καλῶς οἶδε δοκιμάζειν, καὶ οὐ δεῖται ἄλλης ἐπιστήμης πρὸς τὴν οἰκεῖαν θεωρίαν. οὐ γὰρ τὸ ἁπλῶς καθάπερ ἡ διαλεκτική, ἀλλὰ τὰ ὑφ’ ἑαυτὴν διαγινώσκει, οἰκείως τε αὐτὰ θεωρεῖ καθόσον αὑτῇ ὑπόκειται, καὶ περὶ αὐτῶν ποιεῖται τοὺς ἀκριβεῖς διορισμούς, κριτήριά τε οἷς δεῖ δοκιμάζεσθαι αὐτὰ ἔχει παρ’ αὑτῇ, καὶ τρόπους τῶν ἀποδείξεων πλείονας ποιεῖται, καὶ τούτων διαιρεῖ τούς τε βελτίονας καὶ ἀληθινούς, ὅσοι τέ εἰσιν ἀμφίβολοι καὶ δεόμενοι πλείονος ἐπιστάσεως. ἤδη δὲ καὶ διττὴν ποιεῖται πραγματείαν· τὴν μὲν πρὸς εὕρεσιν συντείνουσαν, τὴν δὲ πρὸς κρίσιν. κριτικὴ δέ ἐστι καὶ εὑρετικὴ κατὰ τὸν ἴδιον τῆς οἰκείας τέχνης λόγον, οὐ κατὰ τὸν ἁπλῶς θεωρητικὸν νοῦν. δύναται οὖν διακρίνειν κατὰ τοῦτον πῶς μὲν δεῖ διαιρεῖν τὰ ἐν μαθηματικῇ εἴδη, τίνες δέ εἰσιν αἱ διαιροῦσαι αὐτὰ οἰκείως διαφοραί, τίνες δέ εἰσιν οἱ ὅροι οἱ ἐν τῇ μαθηματικῇ, καὶ πῶς δεῖ συνάγειν αὐτοὺς ἀπὸ τῶν μαθηματικῶν διαιρέσεων, πῶς δὲ γίγνεται μαθηματικὸς συλλογισμός, καὶ κατὰ πόσους διορισμοὺς τὸ ἀκριβὲς λαμβάνει, καὶ πότε δυνατός ἐστι καὶ πότε ἀδύνατος, καὶ ποσαχῶς ἔχει τὸ ἀναγκαῖον. ἡ γὰρ ἐν τούτοις πᾶσιν οἰκεία αὐτῆς εὕρεσις καὶ χρῆσις καὶ κρίσις οὐδεμιᾶς ἐπεισάκτου δεῖται παρασκευῆς, ὡς ἔνιοι νομίζουσιν.

Ὅτι δὲ καὶ πρὸς πᾶσαν φιλοσοφίαν καὶ τὰ ὅλα μέρη αὐτῆς πολλὰς καὶ μεγάλας χρείας ἡ

μαθηματικὴ συμβάλλεται, ὑπουργοῦσα τῇ θέᾳ τῶν ὄντων καὶ κατ’ ἴχνος αὐτῇ συνεπομένη, ῥᾴδιον ἐντεῦθεν καταμαθεῖν. οὐκ ἔστιν ἡ τῶν Πυθαγορείων μαθηματικὴ τοιαύτη, ὁποίαν οἱ πολλοὶ ἐπιτηδεύουσιν. ἐκείνη μέν γε τεχνικὴ τὸ πλέον ἐστὶ καὶ σκοπὸν οὐκ ἔχουσα ἕνα οὐδὲ τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ στοχαζομένη, ἡ δὲ τῶν Πυθαγορείων θεωρητική τέ ἐστι διαφερόντως, καὶ | πρὸς τέλος ἓν ἀναφέρει τὰ ἑαυτῆς θεωρήματα, τῷ καλῷ τε καὶ ἀγαθῷ προσοικειοῖ πάντας τοὺς οἰκείους λόγους, καὶ πρὸς τὸ ὂν αὐτοῖς ἀναγωγοῖς χρῆται. ἀπὸ δὴ τῆς τοιαύτης ἀφορμῆς ὁρμωμένη διαστέλλει παρ’ ἑαυτῇ καλῶς, τίνες μὲν θεωρίαι τῶν παρ’ ἑαυτὴν πρὸς θεολογίαν εἰσὶν ἁρμόζουσαι, τάξεώς τε καὶ μέτρων θείων δυνάμεναι μετέχειν, καὶ ταύτας ἀπονέμει τῷ τοιούτῳ μέρει τῆς φιλοσοφίας, τίνες δὲ τῇ τοῦ ὄντος θήρᾳ προσήκουσι πρός τε οἰκείωσιν καὶ συμμετρίαν καὶ περιαγωγήν, καὶ δὴ καὶ τῷ τοιούτῳ μέρει ἀποδίδωσι τὰ τοιαῦτα θεωρήματα. οὐ διαλανθάνει δὲ αὐτὴν οὐδ’ εἴ τινες πρὸς τὴν τοῦ λόγου ἀκρίβειαν ἐπιστημονικῶς συναίρονται, εἴς τε τὸ συλλογίζεσθαι καὶ ἀποδεικνύναι καὶ ὁρίζεσθαι καλῶς ὁδηγοῦσαι, τά τε ψευδῆ διελέγχουσαι καὶ τὰ ἀληθῆ ἀπὸ τῶν ψευδῶν διακρίνουσαι. οὐ μὴν ἀγνοεῖ οὐδὲ τῆς περὶ φύσιν ἱστορίας τὴν ἐπιβάλλουσαν ἁρμονίαν, πῶς τε συνίσταται καὶ πῶς ἐστι χρήσιμος πῶς τε τὰ ἐλλείποντα τῇ φύσει ἀναπληροῖ, καὶ πῶς τὴν ἐπίκρισιν αὐτῶν ποιεῖται. ἔτι τοίνυν πρὸς πολιτείας κάτεισι καὶ ἠθῶν κατασκευὴν βίου τε ὀρθότητα καὶ οἴκου καὶ πόλεων τοὺς οἰκείους ὅρους τῶν μαθημάτων ἀνευρίσκει, καὶ χρῆται αὐτοῖς δεόντως ἕνεκα τοῦ βελτίστου καὶ πρὸς ἐπανόρθωσιν καὶ παιδείαν τὴν ἀρίστην, εὐμετρίαν τε τὴν ἐπιβάλλουσαν, καὶ φυλακὴν μὲν τῶν αἰσχρῶν, τῶν δὲ καλῶν κτῆσιν, κοινῶς τε οὑτωσὶ κατὰ πάντα τὰ μαθήματα καὶ καθ’ ἕκαστον αὐτῶν οἰκείως συναιρουμένη. καὶ μὴν πρός γε τὰ κατὰ φύσιν ἀγαθὰ καὶ πρὸς τὰ τῶν τεχνῶν πλεονεκτήματα τὰ μὲν εὑροῦσα, τὰ δὲ ὡς πάρεργα καταδείξασα ἐν προσθήκης τε μέρει συγκατασκευάσασα, ἔργα τε ἀφ' ἑαυτῆς παρασχομένη καὶ μόρια ἐνίοις ἐνδοῦσα, ἐτελεώσατο τὴν ἀνθρωπίνην ζωήν, ὥστ’ εἶναι αὐτάρκη ἑαυτῇ καὶ μηδενὸς ἐπιδεῖν ὧν βίος δεῖται. ὥστ’ εἰκότως ἂν τὴν ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων ἐπιτηδευομένην μαθηματικὴν συναρμόζοιμεν ἂν φιλοσοφίᾳ, ὡς οἰκείαν καὶ πρόσφορον αὐτῇ ὑπάρχουσαν.

Τοιαύτην δὲ αὐτὴν ὑπάρχουσαν κατὰ πολλὰς ὁδοὺς εὑρίσκομεν χρωμένην τῇ περὶ τὰ πράγματα ἐπιστήμῃ. καὶ γὰρ τοῖς αὐτοῖς μαθήμασι πολλάκις ἐπὶ πολλὰ πράγματα χρῆται, ἤτοι φυσικὰ ἢ θεολογικά ἢ ἐπὶ τὴν γένεσιν ἢ ἐπὶ τὰ στοιχεῖα ἢ ὅσα γενεσιουργίας ἔχεται ἢ ἐπὶ τὰ σύνθετα ἢ ἐπὶ τὰ ἁπλᾶ, οἷον τοῖς ἀριθμοῖς πρὸς πάντα ταῦτα χρῆται καὶ ταῖς ἁρμονίαις καὶ τοῖς σχήμασι καὶ τοῖς ἄλλοις τοῖς τοιούτοις· ἐνίοτε δὲ πλείονα ἅμα τοῦ αὐτοῦ δηλωτικὰ συμπαραλαμβάνει, οἷον τῆς ψυχῆς ἀριθμούς, ἁρμονίας, σχήματα, ἄλλ’ ἄττα μαθηματικά. αἴτιον δὲ τοῦ μὲν προτέρου τὸ πολυειδεῖς εἶναι τὰς φύσεις ἑκάστου τῶν μαθημάτων καὶ ἑκάστης μαθηματικῆς

οὐσίας (διὰ γὰρ τοῦτο τοῖς αὐτοῖς ἐπὶ πολλὰ χρώμεθα, οἷον τοῖς ἀριθμοῖς ἐπὶ τὰ θεολογικὰ καὶ τὰ φυσικά), τοῦ δὲ δευτέρου αἴτιόν ἐστι τὸ συγκεκρᾶσθαί τινα τῶν ὄντων ἀπὸ πολλῶν οὐσιῶν καὶ τὸ μέσα εἶναι πλειόνων ἄκρων. διὰ γὰρ τοῦτο ἡ ψυχὴ καὶ αἱ μέσαι φύσεις πᾶσαι πλείοσι μαθήμασιν ἀναδιδάσκονται, ὡς πρὸς πλείονας μαθηματικὰς οὐσίας ἐφαρμόζειν δυνάμεναι καὶ ἀπὸ πλειόνων παραλαμβάνουσαι τὴν βεβαίωσιν τοῦ εἶναι. ταῦτα μὲν οὖν τοιοῦτόν τινα ἂν ἔχοι λόγον.