De communi mathematica scientia

Ταύτῃ τοίνυν τῇ δυνάμει τῆς μαθηματικῆς ἐστιν ἄλλη ἀντίστροφος, ἡ ὁριστική· χρῆται γὰρ καὶ ὁρισμοῖς ἡ μαθηματική, καὶ τούτους δι’ ἀκριβείας ποιεῖται. τρόπος δὲ τῆς ὅλης τῶν ὁρισμῶν συστάσεώς ἐστιν οὗτος. ἐπειδὰν ἡ διαιρετικὴ τῆς μαθηματικῆς διέλῃ κατὰ γένη καὶ εἴδη τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι, τότε τὰς διαφορὰς τὰς ἐκ τῆς διαιρέσεως εἰς ταὐτὸ συνάγει ἡ ὁριστική, λόγον τε ἕνα κοινὸν ἐκ πάντων συναθροίζει. ποιεῖ δὲ τὸ αὐτὸ καὶ ἀπὸ τῆς ἀναλύσεως· ἐπειδὰν γὰρ ἡ ἀνάλυσις ἐπὶ τὰ ἁπλούστερα καὶ κοινότερα ἀναγάγῃ τὴν νόησιν, καὶ τὰ γένη καὶ τὰς διαφορὰς διακρίνῃ ᾗ πεφύκασιν ἕκαστα, τότε ἡ συναγωγὸς σύνθεσις συνάγουσα εἰς ταὐτὸ τὰ διαφέροντα καὶ τὰ ἁπλᾶ ἀφορίζεται ἕκαστον τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι. καὶ οὕτως ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη οἰκεῖον ἔχει ἀφ’ ἑαυτῆς τὸν ὁριστικὸν λόγον καὶ δύναται αὐτὸν ἐξευρίσκειν θεωρητικῶς. ἐπειδὴ τοίνυν ἡ μὲν διαίρεσις τὸ ἓν πολλὰ ποιεῖ ἡ δὲ ὁριστικὴ τὰ πολλὰ ἕν, κατ’ ἀμφότερα ἀναγκαῖον τὴν μαθηματικὴν τὸ ἓν θεωρεῖν, ἀφ’ οὗ ὁρμᾶται καὶ πρὸς ὃ ἀνάγεται. τοῦτο δὴ οὖν ἔσται τὸ τέλος, ὅπερ ἄν τις καὶ εἶδος εἴποι, ἐπὶ πᾶσι τοῖς πολλοῖς θεωρήμασιν ἕν· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ καλόν ἐστι καὶ ἀγαθόν, πρὸς ὃ τὰ διῃρημένα σπεύδει συνάπτεσθαι.

διὰ δὴ τοῦτο καὶ ἐν τοῖς μαθήμασι τὸ ἄπειρον καὶ καθ’ ἕκαστον ἀφίεμεν ἀεί, ἐπὶ δὲ τὸ κοινὸν καὶ τὸ ὡρισμένον σπεύδομεν ἀνιέναι, ὅσοι κατὰ τὰ ἀρέσκοντα τοῖς Πυθαγορείοις μαθηματικὴν ἀσκοῦμεν, ἕως ἂν ἐπὶ τὸ ἓν τὸ πάντων ὁμοῦ τῶν μαθημάτων ἀναγάγωμεν τὴν ὅλην θεωρίαν τῆς μαθηματικῆς πραγματείας. καὶ τοῦτό ἐστι τὸ τέλος, πρὸς ὃ δεῖ σπεύδειν τοὺς ὄντως φιλοθεάμονας τῶν ὅλων μαθηματικῶν εἰδῶν.

Ἐπεὶ δὲ τῆς Πυθαγορείου μὲν μαθηματικῆς προηγουμένως ἀντιποιούμεθα, ταύτην δὲ οὐκ ἔνεστι τελέως τῷ λόγῳ παραθέσθαι, εἰ μή τις αὐτῆς τὰς πρώτας ἀρχὰς κατίδοι, ἀναγκαῖον διὰ τοῦτο καὶ τοὺς ἀρχηγοὺς γενομένους Πυθαγόρᾳ τῆς τοιαύτης θεωρίας συμπεριλαβεῖν εἰς τὴν περὶ τῶν παρόντων ἐξέτασιν· οὕτω γὰρ ἂν τελειοτάτη γένοιτο ἡ περὶ αὐτῶν ἐπίσκεψις, ἄνωθεν ἀπὸ τῶν πρώτων αἰτίων βεβαιωθεῖσα. φασὶ τοίνυν ὡς Θαλῆς πρῶτος ἐξευρὼν οὐκ ὀλίγα τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παρέδωκε Πυθαγόρᾳ· ὥστε καὶ ὅσα παρειλήφαμεν μαθηματικὰ σκέμματα Θαλοῦ, δικαίως ἂν αὐτὰ προσοικειώσαιμεν τῇ Πυθαγορείῳ μαθηματικῇ. μετὰ δὴ Θαλῆν Αἰγυπτίοις συνεγένετο ἐν πολλῷ χρόνῳ, παρ’ αὐτῶν τε οὐκ ὀλίγα εἰς μαθηματικὴν ἐπιστήμην εὕρατο ἀγαθά· διόπερ οὐκ ἂν ἄπο τρόπου ποιοῖμεν πολλὰ καὶ τῶν παρ’ Αἰγυπτίοις συμπαραλαμβάνοντες. ἐπεὶ δὲ καὶ Ἀσσυρίοις ὕστερον συνεγένετο τοῖς τε παρ’ αὐτοῖς λεγομένοις Χαλδαίοις (οὕτω γὰρ οἱ μαθηματικοὶ παρ’ αὐτοῖς λέγονται), ἀνάγκη | καὶ παρὰ τούτων

ἡμᾶς πολλὰ λαμβάνειν εἰς τὴν μαθηματικὴν μέθοδον.

Οὐ μὴν ἐξαρκεῖ γε τοῦτο. ἀλλ’ ἐπεὶ παραλαβὼν παρὰ βαρβάρων τὰ μαθήματα Πυθαγόρας ἀφ’ ἑαυτοῦ πολλὰ προσέθηκε, δεῖ καὶ τὰς τοιαύτας ἀρχὰς συνεισενεγκεῖν, τήν τε ἰδιότητα αὐτοῦ τῆς μαθηματικῆς προσθεῖναι. πολλὰ γὰρ φιλοσόφως ἐθεώρησε τῶν μαθημάτων, ᾠκειώσατό τε αὐτὰ ταῖς οἰκείαις ἐπιβολαῖς, καίτοι παρ’ ἄλλων παραδοθέντα, τάξιν τε αὐτοῖς ἐφήρμοσε τὴν πρέπουσαν καὶ ζητήσεις περὶ αὐτῶν ἐποιήσατο τὰς προσηκούσας, ὁμολογίαν τε δι’ ὅλων παρέχεται τὴν αὐτὴν ἀεί, ὡς μηδαμοῦ παραβαίνειν τὸ ἀκόλουθον. ταύταις οὖν ταῖς ἀρχαῖς ἐμμένοντας δεῖ τὴν Πυθαγορικὴν μαθηματικὴν ἀνιχνεύειν. ἐξαίρετα δὲ αὐτῆς ὡσπερεὶ στοιχεῖα κοινὰ λάβωμεν, ὡς μὲν αὐτόθεν ἀκοῦσαι τὴν συμβολικὴν καὶ ἀπεξενωμένην χρῆσιν τῶν μαθηματικῶν λέξεων· τῶν γὰρ ὄντων στοχαζόμενος καὶ τῶν ἀληθῶν, οὕτω καὶ τὰ κατὰ φύσιν ὀνόματα ἐτίθει τοῖς μαθήμασιν. ἀρχὴν δὲ διδασκαλίας ἀπ’ αὐτῶν ἐποιεῖτο δυναμένην ὁδηγεῖν τοὺς ἀκούοντας, εἴ τις δι’ ἐμπειρίας ἱκανῆς ἱκανῶς ἀκούοι τῶν ὀνομάτων. καὶ μὴν ἀποδείξεών γε καθαρότητι λεπτότητί τε καὶ ἀκριβείᾳ παραλλάττει πᾶσαν τὴν τῶν ἄλλων ὁμοειδῆ θεωρίαν, ἐναργείᾳ τε πολλῇ χρῆται καὶ ἀπὸ τῶν γνωρίμων ὁρμᾶται· κάλλιστον δὲ ἐν αὐτῇ τυγχάνει τὸ ὃν τὸ ὑψηλόνουν καὶ ἐπὶ τὰ πρῶτα αἴτια ἀναγόμενον, τῶν τε πραγμάτων ἕνεκα ποιούμενον τὰς μαθήσεις καὶ καθαρῶς ἀντιλαμβανόμενον

τῶν ὄντων, ἐνιαχοῦ δὲ καὶ συνάπτον τὰ μαθηματικὰ θεωρήματα τοῖς θεολογικοῖς. τοσαῦτα γὰρ ἄν τις ἐν τῷ παρόντι ὡς κοινὰ ἐξαίρετα τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης προστήσαιτο ἂν στοιχεῖα.

Πῶς δὲ δεῖ μεταδιώκειν αὐτῆς τὴν θήραν, ἄξιον τόδε σύμπαν εἰπεῖν ἑπομένως τοῖς ὑπ’ αὐτῶν τῶν ἀνδρῶν παραδοθεῖσιν. ἀλλ’ ἐπεὶ τὰ πλεῖστα ἐνεργὰ ἦν παρ’ αὐτοῖς, ἐν μνήμαις τε ἀγράφοις διεσῴζετο, αἳ νῦν οὐκέτι διαμένουσι, περὶ ὧν οὐδὲν τεκμήρασθαι ῥᾴδιον οὐδὲ ἀνευρεῖν ἢ ἀπὸ γραμμάτων ἢ παρ’ ἄλλου ἀκούοντα, δεῖ τοιόνδε τι ποιεῖν· ἀπὸ σμικρῶν αἰθυγμάτων ὁρμωμένους σωματοποιεῖν ἀεὶ τὰ τοιαῦτα καὶ συναύξειν, εἰς ἀρχάς τε αὐτὰ ἀνάγειν τὰς προσηκούσας καὶ τὰ παραλειπόμενα ἀναπληροῦν, στοχάζεσθαί τε κατὰ τὸ δυνατὸν τῆς ἐκείνων γνώμης, τίνα ἂν εἶπον, εἰ ἐνεχώρει τινὰ αὐτῶν διδάσκειν. ἤδη δὲ καὶ ἀπὸ τῆς ἀκολουθίας τῶν ἀναμφισβητήτως ἡμῖν παραδοθέντων δυνάμεθα τὰ ἑξῆς ἀνευρίσκειν μαθήματα προσηκόντως. οἱ γὰρ τοιοῦτοι τρόποι τῆς διερευνήσεως ἢ τυχεῖν ἡμᾶς ποιήσουσι τῆς ὄντως μαθηματικῆς Πυθαγορείου ἐπιστήμης, ἢ ἐγγυτάτω προσελθεῖν πρὸς αὐτήν, καθ’ ὅσον οἷόν τ’ ἐστὶ μάλιστα. συνομολογεῖν δὲ ταύτῃ νενόμικα τὴν ἐπιτήδευσιν αὐτῆς, τὴν κατὰ τὸν οἰκεῖον ἀρχηγέτην διαμελετωμένην· πάντῃ γὰρ ἦν ἰδιάζουσα καὶ παρὰ τὰς ἄλλας ἀσκήσεις ἐξαίρετος, πρὸς τὴν ψυχὴν ἀποβλέπουσα καὶ τὴν κάθαρσιν τοῦ τῆς ψυχῆς ὄμματος, εὕρεσίν τε τῶν πρώτων εἰδῶν καὶ αἰτίων τῆς μαθηματικῆς οὐσίας ποιουμένη, καὶ πρὸς τὴν φύσιν αὐτῶν τῶν ὄντων συναρμόζουσα, προσοικειοῦσα

δὲ τοῖς νοητοῖς εἴδεσι, καὶ τὸ συγγενὲς αὐτῶν πρὸς τὸ ἀγαθὸν καὶ τὸ πρὸς ἄλληλα τῶν μαθημάτων οἰκεῖον ἀναδιδάσκουσα.

Τοιαύτη τοίνυν οὖσα ἡ μαθηματικὴ ἄσκησις συντόνως καὶ σφοδρῶς καὶ ἀδιαλείπτως ἀνεζήτει τὰ ὑφ’ ἑαυτὴν θεωρήματα. συνεβάλλετο δὲ τῇ μὲν ψυχῇ πρὸς γνώσεως καθαρότητα καὶ λεπτότητα τῶν διανοήσεων, ἀκρίβειάν τε τοῦ λόγου καὶ συναφὴν πρὸς τὰς καθ’ ἑαυτὴν ἀσωμάτους οὐσίας, πρὸς συμμετρίαν τε καὶ εὐαρμοστίαν καὶ περιαγωγὴν ἐπὶ τὸ ὄν· τῷ δὲ ἀνθρώπῳ τάξιν εἰς τὸν βίον | παρέχει ἠρεμίαν τε τῶν παθῶν καὶ κάλλος ἐν τοῖς ἤθεσιν εὑρέσεις τε τῶν ἄλλων τῶν εἰς τὸν ἀνθρώπινον βίον λυσιτελούντων. μετεχειρίζοντο δὲ αὐτὴν παρ’ ὅλην τὴν οἰκείαν ζωήν, ταῖς τε πράξεσι συνυφαίνοντες τὸ ἀπ’ αὐτῆς ὄφελος καὶ τοῖς τῆς ψυχῆς τρόποις, ταῖς τε τῶν πόλεων κατασκευαῖς καὶ ταῖς τῶν οἴκων διοικήσεσι, τεχνικαῖς τε ἐργασίαις καὶ πολεμικαῖς ἢ εἰρηνικαῖς παρασκευαῖς, καὶ ὅλως περὶ πάντα τὰ μέρη τοῦ βίου τὴν μαθηματικὴν προσέφερον, οἰκείως μὲν τοῖς πράγμασι, λυσιτελούντως δὲ τοῖς χρωμένοις, ἐμμελῶς δὲ πρὸς ἀμφότερα ταῦτα, καὶ περὶ τἆλλα πάντα συμμέτρως. δεῖ τοίνυν κατὰ ταῦτα τὰ ἴχνη συνεπομένους οὐχ ἁπλῶς ἀσκεῖν μαθηματικήν· ἡ γὰρ νῦν ἐπιπολάζουσα αἰσθήσει καὶ φαντασίᾳ χρῆται μᾶλλον, ἀλλοτρία τέ ἐστιν ἀληθείας, γενέσει τε μᾶλλον προσφιλὴς παραπέφυκεν. εἰ δὴ βουλοίμεθα Πυθαγορικῶς μαθηματικὴν ἀσκεῖν, τὴν ἔνθεον αὐτῆς ὁδὸν καὶ ἀναγωγὸν καὶ καθαρτικὴν καὶ τελεσιουργὸν μεταδιώκειν σπουδῇ προσήκει.

Ὅτι τοίνυν οὐδὲ εἰκῇ Πυθαγόρας τὴν περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφίαν εἰς σχῆμα παιδείας ἐλευθερίου μετέστησε, καὶ τῷ τε πλήθει τῶν δεικνυμένων πολὺ προῆγεν αὐτὰ καὶ τῇ τῶν ἀποδείξεων ἀκριβείᾳ, τῆς τε ἀναγκαίας χρήσεως πρὸς τὸν βίον περιττότερον αὐτὰ ἤσκησεν, ἐντεῦθεν ῥᾴδιον καταμαθεῖν. εἰ γάρ τι σπέρμα καὶ ἀρχὴν τοιαύτης γνώσεως ἐκομισάμεθα, ἀφ’ ἧς τὸ τῆς ἐπιστήμης γένος ὀνομαστὶ παρειληφότες πρότερον ἀκριβῶς ἐθεωρήσαμεν οἷόν τι τὴν φύσιν ἐστίν, οὐκ ἀλλαχόθεν ἡμῖν γέγονεν ἢ ἀπὸ τούτων. ἀλλὰ καὶ ἡ δύναμις τῆς ἐπιστήμης φανερὰ κατέστη διὰ τῶν οἰκείων λόγων ἐν ταῖς περὶ ταῦτα ἀποδείξεσιν. ἔτι δὲ πολλοῖς πιστεύοντας ἡμᾶς εἰκῇ τῶν φαινομένων ἐπηνώρθωκεν ἡ περὶ ταῦτα σύνεσις, φανερὸν καθιστᾶσα περὶ αὐτῶν τἀληθὲς ὅπως ποτὲ ἔχει. μάλιστα δὲ θέας ἐλευθερίου τε καὶ φιλοσόφοις ἁρμοττούσης πρῶτον ἐν τῇ τούτων κοινωνίᾳ μεταλαμβάνομεν· οἰκεῖον γάρ ἐστιν ἑκάστῳ τὸ τὴν φύσιν ὅμοιον, τοῦ δὲ ἐλευθέρου τὸ κύριον τέλος τῆς κατὰ τὸν οἰκεῖον βίον ἐνεργείας πρὸς αὑτὸν τὴν ἀναφορὰν ἔχει καὶ πρὸς οὐδὲν ἕτερον τῶν ἐκτός * * * λεχθείσαις ἐπιστήμαις θεωρητικαῖς οὔσαις ὑπάρχει τε καὶ πρώταις ὑπάρχει διὰ τὸ τὴν μάθησιν αὐτῶν πρώτην ἔχειν τάξιν κατὰ τὸν τῆς ἡλικίας χρόνον, οὐδὲν προσδεομένην τοιαύτης ἐπαγωγῆς, ἢ διὰ συνηθείας ἐκ τῶν καθ’ ἕκαστα γίνεσθαι πέφυκεν· ὅ τε φιλόσοφος ἔοικεν (εἰ δεῖ καθάπερ τὰς ἄλλας οἰκείας ὀρέξεις, ὅσαι τῇ φιλοστοργίᾳ τῇ

πρός τι γένος εἰσὶν ὠνομασμέναι, καὶ τούτῳ προσάψαι τοὔνομα οἰκείως ἀπὸ τοῦ πάθους) ἐπιστήμης τινὸς ἔχειν ἔφεσιν δι’ αὑτὴν τιμίας, ἀλλ’ οὐ διά τι τῶν ἀποβαινόντων ἀπ’ αὐτῆς ἕτερον. οὐ γὰρ ἂν δόξειαν αὐτοῖς τὴν πρέπουσαν ἀπονέμειν τάξιν ἔνιοι τῶν προάγειν μὲν αὐτὰ βουλομένων, φασκόντων δὲ τὴν μάθησιν αὐτῶν δεῖν ἡμᾶς ποιεῖσθαι διὰ τὸ χρησίμην εἶναι τὴν ἐν τούτοις γυμνασίαν πρὸς ἑτέρας θεωρίας. ὧν γὰρ χάριν τοῦτο παρακελεύονται δρᾶν, τῇ τούτων φύσει τἀληθοῦς ἧττόν ἐστιν οἰκεῖα, καὶ τοῖς εἰωθόσιν ὑπὲρ αὐτῶν λέγεσθαι λόγοις, οὐδὲ παράμιλλα κατὰ τὴν τῶν ἀποδείξεων ἀκρίβειαν. ἱκανὸν δὲ τούτου σημεῖον· τὰς μὲν γὰρ διαμενούσας τε καὶ πιστευομένας ὁρῶμεν διὰ τέλους ὁμοίως ὑπὸ τῶν μεταχειριζομένων αὐτάς, τῶν δὲ παντελῶς ὀλίγας ἄν τινας εὕροιμεν τοιαύτας. πρὸς πολλὰς μὲν οὖν καὶ τῶν πρὸς τὸν βίον ἀναγκαίων καὶ τῶν ἐκ περιουσίας ἤδη καὶ καθ’ αὑτὰ τιμίων ἡ περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφία βεβοήθηκεν ἡμῖν. καὶ γὰρ τῶν δημιουργικῶν τεχνῶν οὐκ ὀλίγαις εὕροιμεν ἂν ἐπικουρίαν ἀπ’ αὐτῶν γεγενημένην· καὶ τὴν περὶ φύσεως φιλοσοφίαν, κἂν εἴ τις ἑτέρα ταύτης ἔχῃ τάξιν ἐντιμοτέραν, πολλοῖς ἂν χρωμένην ἴδοιμεν ἐν ταῖς οἰκείαις ἀποδείξεσιν, ἃ διὰ τῶν λεχθέντων τεθεωρήκαμεν. ἔτι δὲ τοῦ τεταγμένου τε καὶ τάξεως οἰκείους ἡμᾶς καθιστᾶσα, καὶ πρὸς ἀρετὴν καὶ τὸ καλὸν ἅπαν ποιοῖτ’ ἄν τινα προτροπήν. οὐ μόνον δὲ διὰ τὴν τοιαύτην βοήθειαν ἀγαπήσειεν ἄν τις αὐτῶν τὴν δύναμιν, ἀλλὰ μᾶλλον ἔτι δι’ αὐτὰς καὶ διὰ τὴν οἰκείαν φύσιν. συγχωρεῖται μὲν γὰρ ὡς εἰσί τινες τῶν ἐπιστημῶν δι’ αὑτὰς αἱρεταί, καὶ οὐ μόνον διὰ τὰ συμβαίνοντα ἀπ’ αὐτῶν· μόναις δὴ μάλιστα τοιαύταις εἶναι ταῖς θεωρητικαῖς ἐνδέχεται, διὰ τὸ μηδὲν αὐτῶν εἶναι τέλος ἕτερον παρὰ τὴν θεωρίαν. ἔστι δὲ ταὐτά, οἷς ἑτέραν ἀνθ’ ἑτέρας ἐπιστήμην αἱρετωτέραν εἶναι τίθεμεν, καὶ οἷς αὐτὴν ἑκάστην αἱρετήν. αἱρούμεθα δὲ ἑτέραν πρὸ ἑτέρας ἢ διὰ τὴν αὐτῆς ἀκρίβειαν ἢ διὰ τὸ βελτιόνων καὶ τιμιωτέρων εἶναι θεωρητικήν· ὧν τὸ μὲν ἅπαντες συγχωρήσειαν 〈ἂν〉 ἡμῖν διαφόρως ὑπάρχειν ταῖς μαθηματικαῖς τῶν ἐπιστημῶν, τὸ δ’ ὅσοι ταῖς μὲν ἀρχαῖς ταῖς πρώταις τὴν εἰρημένην προεδρίαν ἀπονέμουσιν, ἀριθμοῖς δὲ καὶ γραμμαῖς καὶ τοῖς τούτων πάθεσιν οἰκείαν ὑπολαμβάνουσιν εἶναι τὴν τῆς ἀρχῆς φύσιν διὰ τὴν ἁπλότητα τῆς οὐσίας. ἔτι τὰ περὶ τὸν οὐρανὸν θεωρήματα τιμιωτάτην ἔχοντα καὶ θειοτάτην τάξιν τῶν ἡμῖν αἰσθητῶν διὰ τῆς ἀστρολογικῆς ἐπιστήμης γνωρίζεσθαι πέφυκεν, ἣ μία τῶν μαθηματικῶν οὖσα τυγχάνει· ἄτοπον δ’ ἂν δόξειεν εἶναι καὶ οὐδαμῶς ὁμολογούμενον τό, φάσκοντας οἰκεῖον εἶναι τῆς ἀληθείας τὸν φιλόσοφον, ζητεῖν τιν’ αὐτὸν οἴεσθαι δεῖν καρπὸν ἕτερον ἀπὸ τῶν τοιούτων θεωρημάτων, ἃ τῆς ἀκροτάτης ἀληθείας κεκοινώνηκε· καὶ φιλοθεάμονα ὄντα τὰς τοιαύτας τῶν ἐπιστημῶν ἀξιοῦν δι’ ἕτερον λαμβάνειν, αἳ περὶ τὰ κοινότατά τε τῆς φύσεώς εἰσι καὶ τῶν ἡμῖν αἰσθητῶν τὰ θειότατα, πλείστων τε καὶ θαυμασιωτάτων θεαμάτων οὖσαι πλήρεις ἀκρίβειαν οὐ πλαστὴν ἐκ λόγων κενῶν ἔχουσιν, ἀλλ’ οἰκείαν καὶ βέβαιον ἐκ τῆς ὑποκειμένης αὐταῖς φύσεως. ὅλως δ’ ὅσα ζητήσειεν ἄν τις δεῖν ὑπάρχειν ταῖς δι’ αὑτὰς αἱρεταῖς τῶν ἐπιστημῶν, ἁπάντων τούτων εὑρήσομεν κοινωνούσας τὰς μαθηματικάς. περὶ φύσιν γὰρ ἑκάστη τινά ἐστιν αὐτῶν, καὶ ταύτην ἀίδιον καὶ θεάματα ἔχουσαν ἐν αὑτῇ πολλὰ καὶ θαυμαστά, κατὰ τὴν τάξιν τῶν οἰκείων παθῶν καὶ κατὰ τὴν ἀπόστασιν τῆς ἐκ τῶν αἰσθητῶν ὑπολήψεως. ἔτι δὲ τὰς τῶν ἀποδείξεων ἀρχὰς γνωρίμους λαμβάνουσαι καὶ δι’ αὑτῶν πιστάς, οὕτω ποιοῦνται τοὺς ὑπὲρ τούτων συλλογισμοὺς διὰ τούτων, ὥστ’ εἶναι παράδειγμα τοῖς βουλομένοις ἀκριβῶς τι συναγαγεῖν τὰς ἐν τούτοις ἀποδείξεις· διόπερ ἁρμόττειν ἂν δόξειε τοῖς οἰομένοις τὴν μὲν ἐν τῷ φιλοσοφεῖν διαγωγὴν καθ’ αὑτὴν αἱρετὴν εἶναι, τὴν δὲ περὶ τὰ μαθήματα θεωρίαν οἰκείαν καὶ συγγενῆ φιλοσοφίᾳ. εἰκότως ἄρα διὰ ταῦτα πάντα ἐτίμων τὴν περὶ τὰ μαθήματα σπουδὴν οἱ Πυθαγόρειοι, καὶ πρὸς τὴν τοῦ κόσμου θεωρίαν αὐτὴν ποικίλως συνέταττον· οἷον τὸν μὲν ἀριθμὸν ἀπὸ τῶν περιφορῶν καὶ τῆς διαφορᾶς τούτων τῷ λογισμῷ περιλαμβάνοντες, τὰ δὲ δυνατὰ καὶ ἀδύνατα τῇ τοῦ κόσμου συστάσει ἀπὸ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δυνατῶν καὶ ἀδυνάτων θεωροῦντες, τὰς δὲ οὐρανίους περιφορὰς κατὰ τοὺς συμμέτρους ἀριθμοὺς μετ’ αἰτίας νοοῦντες, μέτρα τε τοῦ οὐρανοῦ κατά τινας μαθηματικοὺς λόγους ἀφορίζοντες, καὶ ὅλως τὴν φυσιολογίαν τὴν προγνωστικὴν ἀπὸ τῶν μαθημάτων συστησάμενοι, καὶ πρὸς τὰ ἄλλα τὰ περὶ τοῦ κόσμου θεωρήματα ὥσπερ ἀρχὰς τὰ μαθήματα προστησάμενοι. ἀφ’ ὧν δὴ καὶ εἰς τὰ περὶ φύσεως πολλὰς | ἀποδείξεις ἐπορίσαντο, καὶ εἰς τὸ καλὸν κἀγαθὸν τὴν ἀρετὴν προτρέπουσι, καὶ [εἰς] τὸ μέγιστον θεολογικῶς ἀστρονομοῦσι διὰ τὰ μαθήματα. ὥστε διὰ πάντα ταῦτα θαυμαστὴν εἰκότως σπουδὴν περὶ αὐτὰ ἐποιοῦντο.

Τὸ δὴ μετὰ τοῦτο καὶ τὴν συνήθειαν ἄξιον εἰπεῖν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβῆς τῶν Πυθαγορείων. ἐκεῖνοι τοίνυν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν ἀπέστησαν τοὺς περὶ τῶν μαθημάτων λόγους, εἴς τε πίστιν ἀσωμάτου οὐσίας περιῆγον δι’ αὐτῶν τὴν διάνοιαν, διαπορθμεύουσί τε αὐτοῖς ἐχρῶντο ἐπὶ τὰ νοητά, καὶ ἐν τοῖς μάλιστα ἐσκόπουν τί πρὸς τὰ καθαρὰ εἴδη καὶ τοὺς ἑνιαίους λόγους ἐστὶν ἐν αὐτοῖς ἀπεικασμένον. τοῖς μὲν οὖν θεωρήμασι τοῦτον προσεφέροντο τὸν τρόπον, ἅπαξ δὲ ἀποστήσαντες αὐτῶν τὴν ἐπιστήμην τῆς κοινῆς καὶ δεδημοσιευμένης γνώσεως, καὶ τὴν μετάδοσιν ἐποιοῦντο αὐτῶν κατὰ τὰ αὐτὰ ἐν ἀπορρήτοις· ὀλίγοις τε πάνυ τῆς γνώσεως αὐτῶν ἐκοινώνουν, καὶ εἴ πού τι ἔκφορον γένοιτο εἰς τοὺς πολλούς, ἀφωσιοῦντο τοῦτο ὡς ἀσέβημα· διόπερ ἀπωθοῦντο καὶ τοὺς ἔξω τῆς συνηθείας, ὡς ἀναξίους ὄντας αὐτῶν μεταλαμβάνειν. ὑπέλαβε γὰρ Πυθαγόρας οὐ πᾶσι δεῖν κοινωνεῖν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι φιλοσοφίας, ἀλλ’ αὐτοῖς μόνοις, οἷσπερ ἄν τις τοῦ παντὸς βίου κοινωνήσειε. καὶ πρὸς ταύτην τὴν ὁμιλίαν οὐκ εἰκῇ προσίετο οὐδὲ τοὺς τυχόντας, ἀλλὰ πεῖράν τε

λαμβάνων ἐν πολλῷ χρόνῳ καὶ τοὺς ἀναξίους ἀπωθούμενος. καὶ τοῖς μὲν ἔξω τῆς συνηθείας οὐκ ἐποιήσατο κοινὴν τὴν δι’ αὑτοῦ γενομένην ἐπίδοσιν ἀπορρήτους ποιησάμενος πρὸς τοὺς ἄλλους τοὺς περὶ αὐτῶν λόγους, ἐν δὲ τοῖς ὀνομασθεῖσι Πυθαγορείοις διὰ τὴν πρὸς ἑαυτὸν ἑταιρίαν πολλὴν ἐπίδοσιν παρέσχε τῇ τε περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφίᾳ καὶ τῇ περὶ γεωμετρίαν θεωρίᾳ, καὶ σχεδὸν ἁπάντων τῶν ὕστερον ἐπὶ πλέον προελθόντων εὕροι τις ἂν τὰς ἀρχὰς ἡμῖν παρ’ ἐκείνου γεγενημένας. ἠγάπα δ’ ἐν αὐτοῖς οὐχ ὥσπερ ἔνιοι τῶν ὕστερον τὴν δύναμιν, ἀφ’ ἧς οἷοί τ’ ἔσονται τὸ προβληθὲν εὑρίσκειν, ἀλλ’ αὐτὰ τὰ θεωρήματα· καὶ τούτων οὐχ ὅσα χαλεπώτατα ἦν εὑρεῖν, καθάπερ [ἦν] οἱ πλεῖστοι τῶν ὕστερον, ἀλλ’ ἐν οἷς ἦν μάλιστα αὐτῶν κατανοῆσαι τάξιν ἤ τι σύμπτωμα φυσικόν. ἔπαθον δὲ τοῦτο διὰ τὸ τῆς ὅλης φύσεως οἴεσθαι τὰς ἀρχὰς ὑπάρχειν ἐν τούτοις καὶ μάλιστα εὐθεωρήτους εἶναι τίνες τέ εἰσι καὶ πόσαι, διὰ τὸ περὶ μένουσάν τε φύσιν εἶναι καὶ κινήσεως ἀπηλλαγμένην, ἔτι δὲ ἁπλῆν· διόπερ οὔτε τῶν προβληματικῶν ἥψαντο, πλὴν ὅσα ἦν στοιχειώδη, καθάπερ ἡ παραβολὴ καὶ ὁ τετραγωνισμός, οὔτ’ ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἐπραγματεύοντο πάντα ἐπεξιέναι βουλόμενοι καὶ μηδὲν τῶν ἐνδεχομένων παραλιπεῖν, ἀλλ’ αὐτὰς μόνον τὰς ἀρχὰς ἰδεῖν ἐν ἑκάστοις ἐζήτουν. γυμνασίαν δὲ ἐν ταῖς ἐπιστήμαις ταύταις καὶ ἐξεργασίαν λογικὴν ἐποιοῦντο ἀκριβῆ θεωρητικὴν εἰς ἐπιστήμην οἰκείαν, τάξιν τε ἐν ταῖς ἐπιστήμαις προσέθηκαν τὴν προσήκουσαν, ὀλίγα τε κατ’ ἀρχὰς παραλαβόντες ἐξειργάσαντο ταῦτα, καὶ μάλιστα τὰ τιμιώτατα καὶ σεμνότατα τῶν θεωρημάτων ἐτελεώσαντο, ἄλλως τε ἀσκούμενα τὰ θεωρήματα ἐπ’ ἄλλα περιήγαγον, τάξιν τ’ ἐν αὐτοῖς ἐποιοῦντο τοιαύτην ὡς τὰ μὲν ἁπλούστερα 〈πρότερα〉 παραδιδόναι τὰ δὲ συνθέσεως ἐφαπτόμενα δεύτερα, καὶ τῇ φύσει τῶν ὄντων ἑπομένως συνέταττον τὰ θεωρήματα καὶ τῇ ἡμετέρᾳ δυνάμει προσφόρως καὶ τῇ ἀξίᾳ τῶν παραλαμβανόντων αὐτὰ οἰκείως τῇ τε πρὸς ἀρετὴν ἀγωγῇ καὶ τῇ ὅλῃ παιδείᾳ ὁμολογουμένως καὶ τῇ καθάρσει τῆς ψυχῆς προσηκόντως.

Τοιαῦτα ἄν τις καὶ περὶ τούτου γνωρίσματα τοῦ Πυθαγορικοῦ τύπου ποιήσαιτο, περὶ ὧν πλείονα ἐροῦμεν ἐν τοῖς κατ’ ἰδίαν περὶ ἑκάστου τῶν μαθημάτων λεχθησομένοις.

Δύο δ’ ἐστὶ τῆς Ἰταλικῆς φιλοσοφίας εἴδη, καλουμένης δὲ Πυθαγορικῆς. δύο γὰρ ἦν γένη καὶ τῶν μεταχειριζομένων αὐτήν, οἱ μὲν ἀκουσματικοί, οἱ δὲ μαθηματικοί. τούτων δὲ οἱ μὲν ἀκουσματικοὶ ὡμολογοῦντο Πυθαγόρειοι εἶναι ὑπὸ τῶν ἑτέρων, τοὺς δὲ μαθηματικοὺς οὗτοι οὐχ ὡμολόγουν, οὔτε τὴν πραγματείαν αὐτῶν εἶναι Πυθαγόρου, ἀλλὰ Ἱππάσου. τὸν δ’ Ἵππασον οἱ μὲν Κροτωνιάτην φασίν, οἱ δὲ Μεταποντῖνον. οἱ δὲ περὶ τὰ μαθήματα τῶν Πυθαγορείων

τούτους τε ὁμολογοῦσιν εἶναι Πυθαγορείους, καὶ αὐτοί φασιν ἔτι μᾶλλον, καὶ ἃ λέγουσιν αὐτοὶ ἀληθῆ εἶναι. τὴν δὲ αἰτίαν τῆς ἀνομοιότητος τοιαύτην γενέσθαι φασίν. ἀφικέσθαι τὸν Πυθαγόραν ἐξ Ἰωνίας καὶ Σάμου κατὰ τὴν Πολυκράτους τυραννίδα καὶ ἀκμαζού‐ σης Ἰταλίας, καὶ γενέσθαι συνήθεις αὐτῷ τοὺς πρώτους ἐν ταῖς πόλεσι. τούτων δὲ τοῖς μὲν πρεσβυτέροις καὶ ἀσχόλοις διὰ τὸ ἐν πολιτικοῖς 〈πράγμασι κατέχεσθαι,〉 ὡς χαλεπὸν ὂν διὰ τῶν μαθημάτων καὶ ἀποδείξεων ἐντυγχάνειν, ψιλῶς διαλεχθῆναι, ἡγούμενον οὐδὲν ἧττον ὠφελεῖσθαι ἂν καὶ ἄνευ τῆς αἰτίας εἰδότας τί δεῖ πράττειν, ὥσπερ καὶ οἱ ἰατρευόμενοι οὐ προσακούοντες διὰ τί αὐτοῖς ἕκαστα πρακτέον οὐδὲν ἧττον τυγχάνουσι τῆς ὑγείας. ὅσοις δὲ νεωτέροις ἐνετύγχανε καὶ δυναμένοις πονεῖν καὶ μανθάνειν, τοῖς τοιούτοις διὰ ἀποδείξεως καὶ τῶν μαθημάτων ἐνετύγχανεν. αὐτοὶ μὲν οὖν εἶναι ἀπὸ τούτων, ἐκείνους δὲ ἀπὸ τῶν ἑτέρων. περὶ δ’ Ἱππάσου λέγουσιν, ὡς ἦν μὲν τῶν Πυθαγορείων, διὰ δὲ τὸ ἐξενεγκεῖν καὶ γράψασθαι πρῶτος σφαῖραν τὴν ἐκ τῶν δώδεκα ἑξαγώνων ἀπόλοιτο κατὰ θάλατταν ὡς ἀσεβήσας, δόξαν δὲ λάβοι ὡς 〈εὑρών,〉 εἶναι δὲ πάντα ἐκείνου τοῦ ἀνδρός· προσαγορεύουσι γὰρ οὕτω τὸν Πυθαγόραν καὶ οὐ καλοῦσιν ὀνόματι. ἐπέδωκε δὲ τὰ μαθήματα, ἐπεὶ ἐξηνέχθησαν δισσοὶ προάγοντε μάλιστα, Θεόδωρός τε ὁ Κυρηναῖος καὶ Ἱπποκράτης ὁ Χῖος. λέγουσι δὲ οἱ Πυθαγόρειοι ἐξενηνέχθαι γεωμετρίαν οὕτως. ἀποβαλεῖν τινα τὴν οὐσίαν τῶν Πυθαγορείων, ὡς δὲ τοῦτ’ ἠτύχησε, δοθῆναι αὐτῷ χρηματίσασθαι ἀπὸ γεωμετρίας. ἐκαλεῖτο δὴ ἡ γεωμετρία πρὸς Πυθαγόρου ἱστορία. περὶ μὲν οὖν τῆς διαφορᾶς ἑκατέρας τῆς πραγματείας καὶ περὶ τῶν μαθημάτων σχεδὸν ταῦτά τε καὶ τοιαῦτά ἐστι τὰ συμβεβηκότα. οἱ δὲ Πυθαγόρειοι διατρίψαντες ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ τό τε ἀκριβὲς τῶν λόγων ἀγαπήσαντες, ὅτι μόνα εἶχεν ἀποδείξεις ὧν μετεχειρίζοντο ἄνθρωποι, καὶ ὁμολογούμενα ὁρῶντες ἔνισον τὰ περὶ τὴν ἁρμονίαν [ὅτι] δι’ ἀριθμῶν καὶ τὰ περὶ τὴν ὄψιν μαθήματα διὰ 〈δια〉γραμμάτων, ὅλως αἴτια τῶν ὄντων ταῦτα ᾠήθησαν εἶναι καὶ τὰς τούτων ἀρχάς· ὥστε τῷ βουλομένῳ θεωρεῖν τὰ ὄντα πῶς ἔχει, εἰς ταῦτα βλεπτέον εἶναι, τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰ γεωμετρούμενα εἴδη τῶν ὄντων καὶ λόγους, διὰ τὸ δηλοῦσθαι πάντα διὰ τούτων. ὡς οὖν οὔτ’ ἐγκαιροτέρων ἂν οὔτε τιμιωτέρων ἀνάψαντες ἑκάστων τὰς δυνάμεις ἢ εἰς τὰ πάντων αἴτια καὶ πρῶτα σχεδὸν ὁμοτρόπως καὶ τὰ ἄλλα τούτοις διώριζον. αἱ μὲν οὖν ἀγωγαὶ εἰς τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰ μαθήματα τῶν πραγμάτων διὰ ταῦτά τε καὶ τοῦτον τὸν τύπον ἐδόκουν ἔχειν αὐτοῖς. τοιαύτη τις ἦν παρ’ αὐτοῖς καὶ ἡ μέθοδος τῶν ἀποδείξεων, ἐκ τοιούτων τε ἀρχῶν ὁρμωμένη καὶ οὕτως ἔχουσα τὸ πιστὸν καὶ βέβαιον ἐν τοῖς λόγοις.

Γεγόνασι δέ τινες, οἱ μὲν παλαιοὶ οἱ δὲ νέοι, οἵτινες τὴν ἐναντίαν δόξαν περὶ τῶν μαθημάτων ἐξενηνόχασι, ψέγοντες αὐτὰ ὡς παντελῶς ἄχρηστα καὶ πρὸς τὸν ἀνθρώπινον βίον οὐδὲν συμβαλλόμενα. ἔνιοι δὲ οὕτως ἐπιχειροῦσιν· εἰ ἀχρεῖον αὐτῶν τὸ τέλος, δι’ ὅπερ αὐτὰ μανθάνειν φασὶ δεῖν οἱ φιλόσοφοι, πολὺ πρότερον ἀνάγκη μάταιον εἶναι τὴν περὶ ταῦτα σπουδήν. περὶ δὲ τοῦ τέλους σχεδὸν ὁμολογοῦσι πάντες οἱ δοκοῦντες περὶ αὐτὴν μάλιστα ἠκριβωκέναι. φασὶ γὰρ οἱ μὲν εἶναι τὴν τῶν ἀδίκων καὶ δικαίων καὶ κακῶν καὶ ἀγαθῶν ἐπιστήμην, ὁμοίαν οὖσαν γεωμετρίᾳ καὶ ταῖς ἄλλαις ταῖς τοιαύταις, οἱ δὲ τὴν περὶ φύσεως τε καὶ τῆς τοιαύτης ἀληθείας φρόνησιν, οἵαν οἵ τε περὶ Ἀναξαγόραν καὶ Παρμενίδην εἰσηγήσαντο. δεῖ δὴ μὴ λεληθέναι τὸν μέλλοντα περὶ τούτων ἐξετάζειν, ὅτι πάντα τὰ ἀγαθὰ καὶ τὰ πρὸς τὸν βίον ὠφέλιμα τοῖς ἀνθρώποις ἐν τῷ χρῆσθαι καὶ πράττειν ἐστίν, ἀλλ’ οὐκ ἐν τῷ γινώσκειν μόνον· οὔτε γὰρ ὑγιαίνομεν τῷ γνωρίζειν τὰ ποιητικὰ τῆς ὑγιείας, ἀλλὰ τῷ προσφέρεσθαι τοῖς σώμασιν· οὔτε πλουτοῦμεν τῷ γιγνώσκειν πλοῦτον, ἀλλὰ τῷ κεκτῆσθαι πολλὴν οὐσίαν· οὐδὲ τὸ πάντων μέγιστον εὗ ζῶμεν τῷ γιγνώσκειν ἄττα τῶν ὄντων, ἀλλὰ τῷ πράττειν εὖ· τὸ γὰρ εὐδαιμονεῖν ἀληθῶς τοῦτ’ ἐστίν. ὥστε προσήκει καὶ τὴν φιλοσοφίαν, εἴπερ ἐστὶν ὠφέλιμος, ἤτοι πρᾶξιν εἶναι τῶν ἀγαθῶν ἢ χρήσιμον εἰς τὰς

τοιαύτας πράξεις. ὅτι μὲν οὖν οὐκ ἔστιν οὔθ’ αὕτη πραγμάτων ἐργασία τις οὔτ’ ἄλλη τῶν προειρημένων ἐπιστημῶν οὐδεμία, φανερόν ἐστι πᾶσιν· ὅτι δ’ οὐδ’ ἐστὶ χρήσιμος εἰς τὰς πράξεις, ἐκεῖθεν ἄν τις κατα μάθοι. μέγιστον γὰρ ἔχομεν παράδειγμα τὰς ὁμοίας ἐπιστήμας αὐτῇ καὶ τὰς ὑποκειμένας δόξας· ὧν γάρ εἰσιν οἱ γεωμέτραι δι’ ἀποδείξεως θεωρητικοί, τούτων οὐδενὸς ὁρῶμεν αὐτοὺς ὄντας πρακτικούς, ἀλλὰ καὶ διελεῖν χωρίον καὶ τὰ ἄλλα πάντα πάθη τῶν τε μεγε θων καὶ τῶν τόπων οἱ μὲν γεωδαῖται δύνανται δι’ ἐμπειρίαν, οἱ δὲ περὶ τὰ μαθήματα καὶ τοὺς τούτων λόγους ἴσασι μὲν ὡς δεῖ πράττειν, οὐ δύνανται δὲ πράττειν. ὁμοίως δ’ ἔχει καὶ περὶ μουσικὴν καὶ τὰς ἄλλας ἐπιστήμας, ὅσαις διῄρηται τό τε τῆς γνώσεως καὶ τὸ τῆς ἐμπειρίας χωρίς. οἱ μὲν γὰρ τὰς ἀποδείξεις καὶ τοὺς συλλογισμοὺς διωρισμένοι περὶ συμφωνίας καὶ τῶν ἄλλων τῶν τοιούτων, ὥσπερ οἱ κατὰ φιλοσοφίαν, σκοπεῖν εἰώθασιν, οὐδενὸς δὲ κοινωνοῦσι τῶν ἔργων, ἀλλὰ κἂν τυγχάνωσιν αὐτῶν δυνάμενοί τι χει ρουργεῖν, ὅταν μάθωσι τὰς ἀποδείξεις, ὥσπερ ἐπίτηδες, εὐθὺς αὐτὰ χεῖρον ποιοῦσιν· οἱ δὲ τοὺς μὲν λόγους ἀγνοοῦντες, γεγυμνασμένοι δὲ καὶ δοξάζοντες ὀρθῶς ὅλῳ καὶ παντὶ διαφέρουσι πρὸς τὰς χρείας. ὡσαύτως δὲ καὶ περὶ τῶν κατὰ τὴν ἀστρολογίαν, οἷον ἡλίου καὶ σελήνης πέρι καὶ τῶν ἄλλων ἄστρων, οἱ μὲν τὰς αἰτίας καὶ τοὺς λόγους μεμελετηκότες οὐδὲν τῶν χρησίμων τοῖς ἀνθρώποις ἴσασιν, οἱ δὲ τὰς ὑπὸ τούτων ναυτικὰς καλουμένας ἐπιστήμας ἔχοντες χειμῶνας καὶ πνεύματα καὶ πολλὰ τῶν γινομένων δύνανται προλέγειν ἡμῖν. ὥστε πρὸς τὰς πράξεις ἀχρεῖοι παντελῶς ἔσονται αἱ τοιαῦται ἐπιστῆμαι· εἰ δὲ τῶν πράξεων τῶν ὀρθῶν ἀπολείπονται, τῶν μεγίστων ἀγαθῶν ἀπολείπεται ἡ φιλομάθεια.

Πρὸς δὴ ταῦτα ἀντιλέγοντες, εἶναί τέ φαμεν ἐπιστήμας τῶν μαθημάτων καὶ ταύτας δυνατὰς εἰς τὸ μεταλαβεῖν. ἀεὶ γὰρ γνωριμώτερα ἀμφότερα, τὰ πρότερα τῶν ὑστέρων καὶ τὰ βελτίω τὴν φύσιν τῶν χειρόνων. τῶν γὰρ ὡρισμένων καὶ τεταγμένων ἐπιστήμη μᾶλλόν ἐστιν ἢ τῶν ἐναντίων, ἔτι δὲ τῶν αἰτίων ἢ τῶν ἀποβαινόντων. ἔστι δὲ ὡρισμένα καὶ τεταγμένα τὰ ἐν τοῖς ἀκινήτοις μαθηματικοῖς εἴδεσιν. αἴτιά τε μᾶλλον τὰ πρότερα τῶν ὑστέρων· ἐκείνων γὰρ ἀναιρουμένων ἀναιρεῖται τὰ τὴν οὐσίαν ἐξ ἐκείνων ἔχοντα, μήκη μὲν ἀριθμῶν, ἐπίπεδα δὲ μηκῶν, στερεὰ δὲ ἐπιπέδων. ὥστε εἴπερ πάντων ἐστὶν ἁπλούστερα τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν, ἔσται καὶ ἀρχικώτερα πάντων. ὥστε περὶ τὰ ἀμείνονα καὶ ἀρχηγικώτερα ἔσονται πολὺ μᾶλλον ἐπιστῆμαι, καὶ δυναταὶ κτήσασθαι ὑπάρχουσι· πολὺ γὰρ πρότερον ἀναγκαῖον τῶν | αἰτίων καὶ τῶν στοιχείων εἶναι φρόνησιν ἢ τῶν ὑστέρων. οὐ γὰρ ταῦτα τῶν ἄκρων οὐδ’ ἐκ τούτων τὰ πρῶτα πέφυκεν, ἀλλ’ ἐξ ἐκείνων καὶ δι’ ἐκείνων καὶ τἆλλα γίγνεται καὶ συνίσταται φανερῶς. ὅτι δὲ καὶ μέγιστόν ἐστι τῶν ἀγαθῶν καὶ πάντων ὠφελιμώτατον τῶν ἄλλων, ἐπίστασθαι τὰ μαθήματα, ἐκ τῶνδε δῆλον. λόγος γὰρ

καὶ φρόνησις ἡγεῖται τῶν ἀγαθῶν· κανών τε καὶ ὅρος ἀκριβέστατος τῶν ἀγαθῶν οὐδεὶς ἄλλος ἐστὶ πλὴν ὁ φρόνιμος· ὅσα γὰρ ἂν οὗτος ἕλοιτο, ταῦτ’ ἐστὶν ἀγαθά, κακὰ δὲ τἀναντία τούτοις. ἐπεὶ δὲ πάντες αἱροῦνται μάλιστα 〈τὰ〉 κατὰ τὰς οἰκείας ἕξεις (τὸ μὲν γὰρ δικαίως ζῆν ὁ δίκαιος, τὸ δὲ κατὰ τὴν ἀνδρείαν ὁ τὴν ἀνδρείαν ἔχων, ὁ δὲ σώφρων τὸ σωφρονεῖν), ὁμοίως δῆλον ὅτι καὶ τὸ φρονεῖν ὁ φρόνιμος αἱρήσεται πάντων μάλιστα· τοῦτο γὰρ ἔργον ταύτης τῆς δυνάμεως. ὥστε φανερὸν ὅτι κατὰ τὴν κυριωτάτην κρίσιν κράτιστόν ἐστι τῶν ἀγαθῶν ἡ φρόνησις. καὶ οὐ δεῖ πάντας χρείας ἕνεκα αὐτὴν μεταδιώκειν· καὶ γὰρ αὕτη δι’ αὑτήν ἐστιν αἱρετή.

Καὶ περὶ μὲν ὠφελείας καὶ μεγέθους τοῦ πράγ ματος ἱκανῶς ἀποδεδεῖχθαι νομίζω, διότι δὲ πολλῷ ῥᾴστη τῶν ἄλλων ἀγαθῶν ἡ κτῆσις αὐτῆς, ἐκ τῶνδε πέπεισμαι. τὸ γὰρ μήτε μισθοῦ παρὰ τῶν ἀνθρώπων γινομένου τοῖς φιλοσόφοις, δι’ ὃν συντόνως οὕτως ἂν διαπονήσειαν, πολύ τε προεμένους 〈εἰς〉 τὰς ἄλλας τέχνας ὅμως ἐξ ὀλίγου χρόνου θέοντας παρεληλυθέναι ταῖς ἀκριβείαις, σημεῖόν μοι δοκεῖ τῆς περὶ τὴν φιλοσοφίαν εἶναι ῥᾳστώνης. ἔτι δὲ τὸ πάντας φιλοχωρεῖν ἐπ’ αὐτῇ καὶ βούλεσθαι σχολάζειν ἀφεμένους τῶν ἄλλων ἁπάντων, οὐ μικρὸν τεκμήριον ὅτι μεθ’ ἡδονῆς ἡ προσεδρεία γίγνεται· πονεῖν γὰρ οὐδεὶς ἐθέλει πολὺν χρόνον. πρὸς δὲ τούτοις ἡ χρῆσις πλεῖστον διαφέρει πάντων· οὐδὲν γὰρ δέονται πρὸς τὴν ἐργασίαν ὀργάνων οὐδὲ τόπων, ἀλλ’ ὅπῃ τις ἂν θῇ τῆς οἰκουμένης τὴν

διάνοιαν, ὁμοίως πανταχόθεν ὥσπερ παρούσης ἅπτεται τῆς ἀληθείας. ἀλλὰ ταῦτα μὲν ἴσως ἀποχρώντως εἴρηται πρὸς τὸν ἐνεστῶτα καιρόν· καὶ γὰρ ὅτι δυνατὸν καὶ διότι μέγιστον τῶν ἀγαθῶν καὶ κτήσασθαι ῥᾴδιον ἡ φρόνησις, ἀποδέδεικται.

Νεώτατον οὖν ὁμολογουμένως ἐστὶ τῶν ἐπιτηδευμάτων ἡ περὶ τὴν ἀλήθειαν ἀκριβολογία. μετὰ γὰρ τὴν φθορὰν καὶ τὸν κατακλυσμὸν τὰ περὶ τὴν τροφὴν καὶ τὸ ζῆν πρῶτον ἠναγκάζοντο φιλοσοφεῖν, εὐπορώτεροι δὲ γενόμενοι τὰς πρὸς ἡδονὴν ἐξειργάσαντο τέχνας, οἷον μουσικὴν καὶ τὰς τοιαύτας, πλεονάσαντες δὲ τῶν ἀναγκαίων οὕτως ἐπεχείρησαν φιλοσοφεῖν. τοσοῦτον δὲ νῦν προεληλύθασιν ἐκ μικρῶν ἀφορμῶν ἐν ἐλαχίστῳ χρόνῳ ζητοῦντες οἵ τε περὶ τὴν γεωμετρίαν καὶ τοὺς λόγους καὶ τὰς ἄλλας παιδείας, ὅσον οὐδὲν ἕτερον γένος ἐν οὐδεμιᾷ τῶν τεχνῶν. καίτοι τὰς μὲν ἄλλας πάντες συνεξορμῶσι τιμῶντες κοινῇ καὶ τοὺς μισθοὺς τοῖς ἔχουσι διδόντες, τοὺς δὲ ταῦτα πραγματευομένους οὐ μόνον οὐ προτρέπομεν ἀλλὰ καὶ διακωλύομεν πολλάκις, ἀλλ’ ὅμως ἐπιδίδωσι πλεῖστον, διότι τῇ φύσει ἐστὶ πρεσβύτατα· τὸ γὰρ τῇ γενέσει ὕστερον, οὐσίᾳ καὶ τελειότητι προηγεῖται.

Καὶ ἡ τῶν μαθημάτων οὖν ἐπιστήμη κρατεῖ πρὸς ἅπαντα ταῦτα τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν ἐκ περιττοῦ, κάλλει καὶ ἀκριβείᾳ τῶν πάντων ἐπιτηδευμάτων προέχουσα·

ἔχει δὲ καὶ τὸ κατὰ λόγον οὕτως. πρῶτα μὲν γὰρ τὰ τῇ γενέσει ὁμοφυῆ περισπούδαστά ἐστι τοῖς ἀνθρώποις ὥστε κτᾶσθαι κατὰ δύναμιν, ἐπὶ δὲ τούτοις τὰ ἀπολύοντα ἡμᾶς τῆς σωματοειδοῦς φύσεως πολὺ τῶν προτέρων ἐστὶ τιμιώτερα· τὰ μὲν γὰρ ὡς ἀναγκαῖα προϋπόκειται, τὰ δὲ | ὡς δι’ αὑτὰ αἱρετὰ καὶ σεμνὰ πρεσβείων καὶ τιμῆς ἠξίωται. συμβάλλεται μὲν οὖν καὶ πρὸς τὴν ὅλην ἀνθρωπίνην ζωὴν οὐκ ὀλίγας χρείας ἡμῖν τὰ μαθήματα, ὡς πρόδηλον τοῖς ἐπὶ τοῦ βίου τὰ ἀπὸ τῶν μαθηματικῶν τεχνῶν ἔργα ἐπισκοπουμένοις· οὐ μὴν ἀλλὰ ταῦτα μέν ἐστι ἐλάττονος σπουδῆς ἄξια, τὰ δὲ μέγιστα ἡ κάθαρσίς ἐστι τῆς ἀθανάτου ψυχῆς, καὶ ἡ τοῦ νοῦ περιαγωγὴ πρὸς τὸ νοητόν, καὶ ἡ μετουσία τῆς τοῦ ὄντος ἐνεργείας. ταῦτα δ’ ἡμῖν παρασκευάζουσα ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη τὰ πάντα ἀγαθὰ παρέχει, ὥστε πρὸς τὸ τέλος τῆς εὐδαιμονίας οὐκ οἶδ’ εἴ τις ἄλλη μέθοδος οὕτω συναίρεται. διὰ δὴ τούτων οὐ μόνον ψευδεῖς οἱ· ἐναντίοι λόγοι πεφήνασιν, ἀλλὰ καὶ τὰ μαθήματα χρησιμώτατα ὄντα ἡμῖν ἀποδέδεικται.

Ἐπεὶ δὲ τοῦ πεπαιδευμένου ἔργον ἐστὶ τὸ δύνασθαι κρῖναι εὐστόχως τί καλῶς ἢ μὴ καλῶς ἀποδίδωσιν ὁ λέγων, τοιοῦτον δή τινα τὸν ὅλως πεπαιδευμένον οἰόμεθα εἶναι, καὶ τὸ πεπαιδεῦσθαι τὸ δύνασθαι ποιεῖν τὸ εἰρημένον. δῆλον δὴ τοῦθ’ ὅτι καὶ περὶ τὰ μαθήματα τὸν ὀρθῶς πεπαιδευμένον ἀπαιτεῖν

δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὴν ὀρθότητα καὶ τὸ οἰκεῖον ἔργον, εἰ καλῶς ἢ μὴ καλῶς ποιεῖται τὴν περὶ αὐτῶν θεωρίαν. ὥσπερ γὰρ τὸν ἁπλῶς πεπαιδευμένον περὶ πάντων ὡς εἰπεῖν κριτικὸν νομίζομεν εἶναι ἕνα τὸν ἀριθμὸν ὄντα, οὕτως καὶ περί τινος ἐπιστήμης ἀφωρισμένης εἴη ἄν τις ἕτερος τὸν αὐτὸν τρόπον τῷ εἰρημένῳ διακείμενος περὶ μόριον. ὥστε δῆλον ὅτι καὶ τῆς περὶ τὰ μαθήματα θεωρίας δεῖ τινας ὑπάρχειν ὅρους τοιούτους, πρὸς οὓς ἀναφέρων ἀποδέξεται ὁ πεπαιδευμένος τὸν τρόπον τῶν δεικνυμένων, χωρὶς τοῦ πῶς ἔχειν τἀληθές, εἴτε οὕτως εἴτε ἄλλως. λέγω δὲ οἷον πότερον δεῖ λαμβάνοντας ἓν ἕκαστον θεώρημα τῶν μαθηματικῶν περὶ τούτου διορίζειν καθ’ αὑτό, οἷον περὶ τῶνδε τῶν τριγώνων, ἢ τὰ κοινὰ θεωρήματα καὶ τὰ πᾶσιν ὑπάρχοντα δεῖ σκοπεῖν κατά τι κοινὸν ὑποθεμένους. πολλὰ γὰρ ὑπάρχει τὰ αὐτὰ πολλοῖς γένεσιν ἑτέροις οὖσιν ἀλλήλων, οἷον εἴ τις καθόσον ἐστὶ τρίγωνα ποιοῖτο τὴν ἀπόδειξιν, ἢ καθόσον ἐστὶν εὐθύγραμμα κοινῶς. εἰ γάρ τινα τὰ αὐτὰ ὑπάρχοι τοῖς εἴδει διαφέρουσιν, οὐδ’ ἡ ἀπόδειξις αὐτῶν οὐδεμίαν ὀφείλει ἔχειν διαφοράν. ἕτερα δὲ ἴσως ἐστίν, οἷς συμβαίνει τὴν μὲν κατηγορίαν ἔχειν τὴν αὐτήν, διαφέρειν δὲ τῇ κατ’ εἶδος διαφορᾷ· οἷον τὸ ὅμοιον ἐπὶ μὲν τριγώνων ἐστὶν ἄλλο, ἐπ’ ἀριθμῶν δὲ ἕτερον. καὶ δεῖ καθ’ ἑκάτερον ἰδίας ποιεῖσθαι ἀποδείξεις. ἐπισκεπτέον οὖν, πότε κοινῶς κατὰ γένος καὶ πότε ἰδίως καθ’ ἕκαστον θεωρητέον· τὸ γὰρ διωρίσθαι περὶ τούτων μέγα μέρος εἰς παιδείαν μαθηματικὴν συμβάλλεται. ἔτι κατὰ τὴν ὑποκειμένην οὐσίαν δεῖ τοὺς λόγους ἀπαιτεῖν τὸν μαθηματικόν, καὶ τὸν τρόπον τῶν ἀποδείξεων οἰκεῖον ποιεῖσθαι. ὥσπερ οὖν τοῦ ῥητορικοῦ πιθανολογοῦντος ἀνεχόμεθα, οὕτω τὸν μαθηματικὸν ἀποδείξεις δεῖ ἀπαιτεῖν ἀναγκαίας. οὐ πανταχοῦ δὲ τὰς αὐτὰς ἀνάγκας δεῖ ζητεῖν οὐδ’ ὁμοίως τὴν αὐτὴν ἀκρίβειαν ἐν ἅπασιν, ἀλλ’ ὥσπερ τὰ κατὰ τὰς τέχνας ταῖς ὑποκειμέναις ὕλαις διαιροῦμεν, οὐχ ὁμοίως ἐν χρυσῷ καὶ καττιτέρῳ καὶ χαλκῷ ζητοῦντες τὸ ἀκριβές, οὐδὲ ἐν φελλῷ καὶ πύξῳ καὶ λωτῷ, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐν ταῖς θεωρητικαῖς. εὐθὺς γὰρ ποιήσει τὰ ὑποκείμενα διαφοράς, ὅταν 〈τὰ μὲν〉 ἁπλούστερα ᾖ τὰ δὲ ἐν συνθέσει μᾶλλον, καὶ τὰ μὲν ὅλως ἀκίνητα τὰ δὲ κινούμενα, οἷον τὰ ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἐν ἁρμονίᾳ ἢ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ καὶ ἀστρονομίᾳ, καὶ τῶν μὲν ὁ νοῦς ἡ ἀρχὴ τῶν δὲ ἡ διάνοια, ἐνίων δὲ καὶ ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως μικραί τινες ἂν ὦσιν ἀφορμαί, καθάπερ τῶν οὐρανίων. οὐ γὰρ οἷόν τε τὰς αὐτὰς οὐδὲ τὰς ὁμοίας αἰτίας περὶ τῶν τοιούτων φέρειν, ἀλλ’ ὅσον αἱ ἀρχαὶ διαφέρουσι, τοσοῦτον καὶ τὰς ἀποδείξεις διαφέρειν· ἐν ἑκάσταις γὰρ συγγενὴς ὁ τρόπος. ἔτι δ’ ἐν μείζονι διαστάσει τούτων, ὅτι ἐπιζητοῦσιν οἱ μὲν ἔχοντες οἱ δὲ οὐκ ἔχοντες ἀρχάς· ὥστε οὐδ’ ἐνταῦθα ὁμοίας αἰτίας οὐδ’ ὁμοίους τοὺς λόγους ἀποδεικτέον. ἀνάγκη δὲ πρὸς ταῦτα γνωρίζειν τί ταὐτὸ καὶ ἕτερον ἔχουσι καὶ τί κατ’ ἀναλογίαν ταὐτόν, καὶ αἱ ποῖαι πλειόνων δέονται καὶ κατὰ ποίας πλείω τὰ ἀπορούμενα· σχεδὸν γὰρ τούτοις καὶ τοῖς τοιούτοις αἱ παραλλαγαὶ τῶν περὶ ἕκαστον ἀποδείξεων καὶ λόγων εἰσίν. οὐ μόνον δὲ πρὸς τὸ κρίνειν, ἀλλὰ καὶ πρὸς τὸ ζητεῖν ὡς δεῖ, συμβάλοιτ’ ἂν ἡ τοιαύτη θεωρία· διορισμὸν γὰρ ἔχουσα τῆς καθ’ ἕκαστον αἰτίας, οἰκείους ποιήσει λόγους, ὅπερ οὐ ῥᾴδιον μὴ συνεθισθέντα δρᾶν. ἡ γὰρ φύσις αὐτὴ καθ’ ἑαυτὴν ἐπὶ μὲν τὰς ἀρχὰς ὑφηγήσασθαι δύναται, κρῖναι δὲ ἕκαστα μὴ προσλαβοῦσα σύνεσιν ἑτέραν οὐκ αὐτάρκης. ἔτι διακριτέον εἰ πλείους αἰτίαι εἰσὶ περὶ ὧν δεῖ τὸν μαθηματικὸν λέγειν, ποία τε τούτων πρώτη καὶ δευτέρα πέφυκεν. ἐξεταστικὸς γὰρ καὶ τῶν ἀποδιδομένων αἰτίων ὁ πεπαιδευμένος μαθηματικῶς, καὶ τῆς τάξεως αὐτῶν θεωρητικός.

Οὐ δεῖ δὲ λανθάνειν κἀκεῖνο, ὅτι πολλοὶ τῶν νεωτέρων Πυθαγορικῶν μόνα τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα τὰ ὑποκείμενα τοῖς μαθήμασιν ὑπελάμβανον, καὶ μόνας ταύτας ἀρχὰς ὑπετίθεντο· καὶ τὰς ἐπιστήμας οὖν κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον περὶ τῶν τοιούτων ἀφωρίζοντο καὶ τὰς ἀποδείξεις. ἐπεὶ δὲ ἡμεῖς ἔν τε τοῖς προάγουσι νυνὶ λόγοις καὶ ἐν τοῖς ὕστερον ῥηθησομένοις ἀποδείξομεν, ὅτι πολλαὶ οὐσίαι καὶ ἕτεραι ἀκίνητοι καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἔχουσαι, οὐ μόναι αἱ τῶν μαθημάτων, καὶ ὅτι πρεσβύτεραι καὶ τιμιώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, ἀποδείξομεν δὲ καὶ ὅτι οὐ μόνον ἀρχαί εἰσιν αὗται αἱ μαθηματικαί, ἀλλὰ καὶ ἄλλαι, καὶ αἵ γε πρεσβύτεραι καὶ δυνατώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, καὶ

ὅτι οὐ πάντων τῶν ὄντων εἰσὶν ἀρχαὶ αἱ μαθηματικαὶ ἀλλὰ τινῶν· διὰ δὴ ταῦτα διορισμὸν ἀπαιτεῖ νυνὶ ἡ μαθηματικὴ ἀπόδειξις, τῶν ποίων τινῶν κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων ἐστὶν ἀποδεικτική, καὶ ἐκ ποίων τινῶν ἀρχῶν συλλογίζεται, καὶ περὶ ποίων τινῶν προβλημάτων ποιεῖται τὰς ἀποδείξεις. ἡ γὰρ περὶ τούτων ἐπικρίνουσα παιδεία τήν τε ὀρθότητα καὶ τὸ τέλος ἀφορίζεται τῆς μαθηματικῆς, τήν τε ἐπίκρισιν αὐτῆς ποιεῖται δεόντως, καὶ τὸν τρόπον πῶς δεῖ ποιεἶσθαι τὰς ζητήσεις καλῶς περιλαμβάνει. ὥστε καὶ περὶ τούτων ἡμῖν ταυτὶ διωρίσθω.

Ἐπεὶ δὲ πολλάκις οὐκ ἔστι φανερὸν εἴτε μαθηματική ἐστιν εἴτε κατ’ ἄλλην ἐπιστήμην ἡ προκειμένη ζήτησις, ὅ τε τρόπος τῶν ἀποδείξεων ἀμφισβητεῖται ποῖός ἐστι μαθηματικός, δεῖ διευκρινῆσαι καὶ περὶ τούτων τὰ ποῖα προβλήματα καὶ τὰ πῶς ἀποδεικνύμενα μαθηματικὴν ἐμφαίνει μέθοδον. καθόλου μὲν οὖν δεῖ προειδέναι ὡς παράκεινται τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ ἥ τε θεολογικὴ ἐπιστήμη καὶ ἡ φυσική, ὥστε καὶ αἱ ἀποδείξεις καὶ τὰ προβλήματα ἐπικοινωνεῖ τούτων τῶν ἐπιστημῶν πρὸς ἀλλήλας. ἔχει μὲν οὖν καὶ τἀληθὲς οὕτως ἡ τῆς γνώσεως συγγένεια περὶ τὰς διαφόρους γνωριστικὰς δυνάμεις συνάπτουσά τινα μίαν οἰκειότητα, ἔχει δὲ καὶ τὰ πράγματα σύνεγγύς πως ὄντα τὴν συνέχειαν τὴν κοινὴν τῶν ἐπιστημῶν πρὸς ἀλλήλας. οὐ μὴν ἀλλὰ οἵ γε Πυθαγόρειοι ἔτι μᾶλλον τὴν κοινωνίαν ταύτην συνάπτουσιν ἀδιαίρετον, πολλὰ μὲν περὶ τῶν νοητῶν εἰδῶν διὰ τῶν μαθημάτων παραδιδόντες, πολλὰ δὲ περὶ τῆς φύσεως, πολλὰ δὲ καὶ περὶ τῶν ἠθῶν μαθηματικῶς ἀναδιδάσκοντες. δεῖ δ’ ὅμως διακρίνειν τὰ | τρία γένη τῶν λόγων τούτων καὶ

τὸ μαθηματικὸν διορίζειν κατ’ ἰδίαν, ὥστε πρὸς μηδὲν αὐτῶν συγκεχύσθαι. ἔστωσαν μὲν οὖν ἀκίνητοι καθ’ ἑαυτοὺς καὶ ἀνέλεγκτοι οἱ μαθηματικοὶ λόγοι τοῖς καθ’ αὑτὰ εἴδεσι καὶ γένεσι μαθηματικοῖς συνηρμοσμένοι, οὐ κατὰ ἀφαίρεσιν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν ταῦτα περιλαμβάνοντες, ἀλλ’ ὡρισμένως αὐτοῖς ἐπιβάλλοντες, ἅτε δὴ καθ’ ἑαυτὰ ὑφεστηκόσιν, οὔτε κινήσεως ἐφαπτομένοις, οὔτε τῶν νοητῶν καὶ ἀμερίστων εἰδῶν ἢ τῶν νοήσεων εἰς ταυτότητα συνιοῦσι, κατὰ δὲ τὰ νοητὰ διεξιοῦσι καὶ τὰς διανοήσεις τὰς περὶ αὐτὰ συνισταμένας μέσον τέ τινα τρόπον τοῦτον μεταχειριζομένοις γνώσεως. ἡ γὰρ τοιαύτη μέθοδος τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων μαθηματική τέ ἐστι καὶ πολὺ κεχωρισμένη τῶν παρὰ τοῖς ἄλλοις ἐπιστήμοσι λόγων.

Ἕπεται δὲ τοῖς τοιούτοις προβλήμασι κἀκεῖνο συνεπισκέψασθαι, πῶς χρῆται διαιρέσει καὶ ὁρισμῷ καὶ συλλογισμοῖς ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη, εἴπερ δεχομένη παρὰ διαλεκτικῆς τὴν μάθησιν αὐτῶν, ἢ καὶ αὐτὴ ἀφ’ ἑαυτῆς ἐνεργοῦσα περὶ ταῦτα. εἰ μὲν δὴ παραλαμβάνει ταῦτα ἀπὸ τῆς περὶ τὸν λόγον θεωρίας, πολλῶν ἔσται ἐπιδεὴς καὶ τῆς οἰκείας γνώσεως τὰς ἀρχὰς ἑτέρωθεν μεταλαμβάνει· εἰ δὲ τὸ τοιοῦτον ἄλλῃ τινὶ μᾶλλον ἢ τῇ μαθηματικῇ ἀκριβείᾳ προσήκει, δεῖ νοεῖν τὰ τρία ταῦτα, οἷον διαίρεσιν, ὁρισμόν, συλλογισμόν, ἄλλα μὲν ὄντα ἐν διαλεκτικῇ, ἄλλα δὲ ἐν τῇ μαθηματικῇ, κατὰ τὸ οἰκεῖον δὲ γένος ἑκατέρων διωρισμένα ἐφ’ ἑκατέρων. τὰ μὲν οὖν τῆς διαλεκτικῆς μείζονά τέ ἐστι θεωρήματα καὶ οὐ πρόκειται νυνὶ

διεξιέναι, τὰ δὲ τῆς μαθηματικῆς οἰκεῖα αὐτῇ μόνῃ διαφέρει τῇ μαθηματικῇ. ἀφ’ ἑαυτῆς οὖν εὑρίσκει τε αὐτὰ καὶ τελειοῖ καὶ ἐξεργάζεται, τά τε οἰκεῖα αὑτῇ καλῶς οἶδε δοκιμάζειν, καὶ οὐ δεῖται ἄλλης ἐπιστήμης πρὸς τὴν οἰκεῖαν θεωρίαν. οὐ γὰρ τὸ ἁπλῶς καθάπερ ἡ διαλεκτική, ἀλλὰ τὰ ὑφ’ ἑαυτὴν διαγινώσκει, οἰκείως τε αὐτὰ θεωρεῖ καθόσον αὑτῇ ὑπόκειται, καὶ περὶ αὐτῶν ποιεῖται τοὺς ἀκριβεῖς διορισμούς, κριτήριά τε οἷς δεῖ δοκιμάζεσθαι αὐτὰ ἔχει παρ’ αὑτῇ, καὶ τρόπους τῶν ἀποδείξεων πλείονας ποιεῖται, καὶ τούτων διαιρεῖ τούς τε βελτίονας καὶ ἀληθινούς, ὅσοι τέ εἰσιν ἀμφίβολοι καὶ δεόμενοι πλείονος ἐπιστάσεως. ἤδη δὲ καὶ διττὴν ποιεῖται πραγματείαν· τὴν μὲν πρὸς εὕρεσιν συντείνουσαν, τὴν δὲ πρὸς κρίσιν. κριτικὴ δέ ἐστι καὶ εὑρετικὴ κατὰ τὸν ἴδιον τῆς οἰκείας τέχνης λόγον, οὐ κατὰ τὸν ἁπλῶς θεωρητικὸν νοῦν. δύναται οὖν διακρίνειν κατὰ τοῦτον πῶς μὲν δεῖ διαιρεῖν τὰ ἐν μαθηματικῇ εἴδη, τίνες δέ εἰσιν αἱ διαιροῦσαι αὐτὰ οἰκείως διαφοραί, τίνες δέ εἰσιν οἱ ὅροι οἱ ἐν τῇ μαθηματικῇ, καὶ πῶς δεῖ συνάγειν αὐτοὺς ἀπὸ τῶν μαθηματικῶν διαιρέσεων, πῶς δὲ γίγνεται μαθηματικὸς συλλογισμός, καὶ κατὰ πόσους διορισμοὺς τὸ ἀκριβὲς λαμβάνει, καὶ πότε δυνατός ἐστι καὶ πότε ἀδύνατος, καὶ ποσαχῶς ἔχει τὸ ἀναγκαῖον. ἡ γὰρ ἐν τούτοις πᾶσιν οἰκεία αὐτῆς εὕρεσις καὶ χρῆσις καὶ κρίσις οὐδεμιᾶς ἐπεισάκτου δεῖται παρασκευῆς, ὡς ἔνιοι νομίζουσιν.

Ὅτι δὲ καὶ πρὸς πᾶσαν φιλοσοφίαν καὶ τὰ ὅλα μέρη αὐτῆς πολλὰς καὶ μεγάλας χρείας ἡ

μαθηματικὴ συμβάλλεται, ὑπουργοῦσα τῇ θέᾳ τῶν ὄντων καὶ κατ’ ἴχνος αὐτῇ συνεπομένη, ῥᾴδιον ἐντεῦθεν καταμαθεῖν. οὐκ ἔστιν ἡ τῶν Πυθαγορείων μαθηματικὴ τοιαύτη, ὁποίαν οἱ πολλοὶ ἐπιτηδεύουσιν. ἐκείνη μέν γε τεχνικὴ τὸ πλέον ἐστὶ καὶ σκοπὸν οὐκ ἔχουσα ἕνα οὐδὲ τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ στοχαζομένη, ἡ δὲ τῶν Πυθαγορείων θεωρητική τέ ἐστι διαφερόντως, καὶ | πρὸς τέλος ἓν ἀναφέρει τὰ ἑαυτῆς θεωρήματα, τῷ καλῷ τε καὶ ἀγαθῷ προσοικειοῖ πάντας τοὺς οἰκείους λόγους, καὶ πρὸς τὸ ὂν αὐτοῖς ἀναγωγοῖς χρῆται. ἀπὸ δὴ τῆς τοιαύτης ἀφορμῆς ὁρμωμένη διαστέλλει παρ’ ἑαυτῇ καλῶς, τίνες μὲν θεωρίαι τῶν παρ’ ἑαυτὴν πρὸς θεολογίαν εἰσὶν ἁρμόζουσαι, τάξεώς τε καὶ μέτρων θείων δυνάμεναι μετέχειν, καὶ ταύτας ἀπονέμει τῷ τοιούτῳ μέρει τῆς φιλοσοφίας, τίνες δὲ τῇ τοῦ ὄντος θήρᾳ προσήκουσι πρός τε οἰκείωσιν καὶ συμμετρίαν καὶ περιαγωγήν, καὶ δὴ καὶ τῷ τοιούτῳ μέρει ἀποδίδωσι τὰ τοιαῦτα θεωρήματα. οὐ διαλανθάνει δὲ αὐτὴν οὐδ’ εἴ τινες πρὸς τὴν τοῦ λόγου ἀκρίβειαν ἐπιστημονικῶς συναίρονται, εἴς τε τὸ συλλογίζεσθαι καὶ ἀποδεικνύναι καὶ ὁρίζεσθαι καλῶς ὁδηγοῦσαι, τά τε ψευδῆ διελέγχουσαι καὶ τὰ ἀληθῆ ἀπὸ τῶν ψευδῶν διακρίνουσαι. οὐ μὴν ἀγνοεῖ οὐδὲ τῆς περὶ φύσιν ἱστορίας τὴν ἐπιβάλλουσαν ἁρμονίαν, πῶς τε συνίσταται καὶ πῶς ἐστι χρήσιμος πῶς τε τὰ ἐλλείποντα τῇ φύσει ἀναπληροῖ, καὶ πῶς τὴν ἐπίκρισιν αὐτῶν ποιεῖται. ἔτι τοίνυν πρὸς πολιτείας κάτεισι καὶ ἠθῶν κατασκευὴν βίου τε ὀρθότητα καὶ οἴκου καὶ πόλεων τοὺς οἰκείους ὅρους τῶν μαθημάτων ἀνευρίσκει, καὶ χρῆται αὐτοῖς δεόντως ἕνεκα τοῦ βελτίστου καὶ πρὸς ἐπανόρθωσιν καὶ παιδείαν τὴν ἀρίστην, εὐμετρίαν τε τὴν ἐπιβάλλουσαν, καὶ φυλακὴν μὲν τῶν αἰσχρῶν, τῶν δὲ καλῶν κτῆσιν, κοινῶς τε οὑτωσὶ κατὰ πάντα τὰ μαθήματα καὶ καθ’ ἕκαστον αὐτῶν οἰκείως συναιρουμένη. καὶ μὴν πρός γε τὰ κατὰ φύσιν ἀγαθὰ καὶ πρὸς τὰ τῶν τεχνῶν πλεονεκτήματα τὰ μὲν εὑροῦσα, τὰ δὲ ὡς πάρεργα καταδείξασα ἐν προσθήκης τε μέρει συγκατασκευάσασα, ἔργα τε ἀφ' ἑαυτῆς παρασχομένη καὶ μόρια ἐνίοις ἐνδοῦσα, ἐτελεώσατο τὴν ἀνθρωπίνην ζωήν, ὥστ’ εἶναι αὐτάρκη ἑαυτῇ καὶ μηδενὸς ἐπιδεῖν ὧν βίος δεῖται. ὥστ’ εἰκότως ἂν τὴν ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων ἐπιτηδευομένην μαθηματικὴν συναρμόζοιμεν ἂν φιλοσοφίᾳ, ὡς οἰκείαν καὶ πρόσφορον αὐτῇ ὑπάρχουσαν.

Τοιαύτην δὲ αὐτὴν ὑπάρχουσαν κατὰ πολλὰς ὁδοὺς εὑρίσκομεν χρωμένην τῇ περὶ τὰ πράγματα ἐπιστήμῃ. καὶ γὰρ τοῖς αὐτοῖς μαθήμασι πολλάκις ἐπὶ πολλὰ πράγματα χρῆται, ἤτοι φυσικὰ ἢ θεολογικά ἢ ἐπὶ τὴν γένεσιν ἢ ἐπὶ τὰ στοιχεῖα ἢ ὅσα γενεσιουργίας ἔχεται ἢ ἐπὶ τὰ σύνθετα ἢ ἐπὶ τὰ ἁπλᾶ, οἷον τοῖς ἀριθμοῖς πρὸς πάντα ταῦτα χρῆται καὶ ταῖς ἁρμονίαις καὶ τοῖς σχήμασι καὶ τοῖς ἄλλοις τοῖς τοιούτοις· ἐνίοτε δὲ πλείονα ἅμα τοῦ αὐτοῦ δηλωτικὰ συμπαραλαμβάνει, οἷον τῆς ψυχῆς ἀριθμούς, ἁρμονίας, σχήματα, ἄλλ’ ἄττα μαθηματικά. αἴτιον δὲ τοῦ μὲν προτέρου τὸ πολυειδεῖς εἶναι τὰς φύσεις ἑκάστου τῶν μαθημάτων καὶ ἑκάστης μαθηματικῆς

οὐσίας (διὰ γὰρ τοῦτο τοῖς αὐτοῖς ἐπὶ πολλὰ χρώμεθα, οἷον τοῖς ἀριθμοῖς ἐπὶ τὰ θεολογικὰ καὶ τὰ φυσικά), τοῦ δὲ δευτέρου αἴτιόν ἐστι τὸ συγκεκρᾶσθαί τινα τῶν ὄντων ἀπὸ πολλῶν οὐσιῶν καὶ τὸ μέσα εἶναι πλειόνων ἄκρων. διὰ γὰρ τοῦτο ἡ ψυχὴ καὶ αἱ μέσαι φύσεις πᾶσαι πλείοσι μαθήμασιν ἀναδιδάσκονται, ὡς πρὸς πλείονας μαθηματικὰς οὐσίας ἐφαρμόζειν δυνάμεναι καὶ ἀπὸ πλειόνων παραλαμβάνουσαι τὴν βεβαίωσιν τοῦ εἶναι. ταῦτα μὲν οὖν τοιοῦτόν τινα ἂν ἔχοι λόγον.

Ἔθος δ’ ἐστὶ τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ καὶ περὶ αἰσθητῶν ἐνίοτε μαθηματικῶς ἐπιχειρεῖν, οἷον περὶ τῶν τεττάρων στοιχείων γεωμετρικῶς ἢ ἀριθμητικῶς ἢ ἁρμονικῶς, καὶ περὶ τῶν ἄλλων ὡσαύτως. ἐπεὶ γὰρ προτέρα ἐστὶ τῇ φύσει ἡ μαθηματικὴ θεωρία καὶ ἀπὸ προτέρων τῶν κατὰ φύσιν ὄντων ὁρμᾶται, διὰ τοῦτο καὶ τοὺς συλλογισμοὺς ποιεῖται ὡς ἐκ προτέρων αἰτίων ἀποδεικτικούς. πλειοναχῶς | δὲ τοῦτο ποιεῖ· ἢ κατὰ ἀφαίρεσιν, ὅταν τὰ ἔνυλα εἴδη ἀφελοῦσα ἀπὸ τῆς ὕλης ἐπισκοπῇ μαθηματικῶς· ἢ κατὰ ἐφαρμογήν, ὅταν τοὺς λόγους τοὺς μαθηματικοὺς ἐπάγῃ τοῖς φυσικοῖς καὶ συνάπτῃ· ἢ κατὰ τελείωσιν, ὅταν ἀτελῆ ὄντα τὰ εἴδη τὰ σωματοειδῆ προστιθεῖσα τὸ ἐλλεῖπον ἀναπληρώσῃ· ἢ κατὰ ἀπεικασίαν, ὅταν τὰ ἴσα καὶ σύμμετρα τὰ ἐν τῇ γενέσει κατὰ τί μάλιστα ἀφωμοίωται τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσιν ἐπιβλέπῃ· ἢ κατὰ μετοχήν, ὅταν τῶν καθαρῶν λόγων οἱ ἐν ἄλλοις ὄντες λόγοι κατὰ τί μετέχουσιν ἐπισκοπῶμεν· ἢ κατὰ

ἔμφασιν, ἡνίκα ἂν ἀμυδρὸν ἴχνος τοῦ μαθηματικοῦ ἐμφανταζόμενον περὶ τὰ αἰσθητὰ θεωρῶμεν· ἢ κατὰ διαίρεσιν, ὅταν τὸ ἓν καὶ ἀμέριστον μαθηματικὸν εἶδος μεριζόμενον περὶ τὰ καθ’ ἕκαστον καὶ πληθυνόμενον κατανοήσωμεν· ἢ κατὰ παραβολήν, ὅταν παρ’ ἄλληλα συνεπισκοπῶμεν τὰ καθαρὰ τῶν μαθημάτων εἴδη καὶ τὰ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς· ἢ κατὰ τὴν αἰτίαν τὴν ἀπὸ τῶν προτέρων, ὅταν αἴτια προστησάμενοι τὰ μαθηματικὰ συνεπισκοπῶμεν πῶς ἀπ’ αὐτῶν γίνεται τὰ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς. οὕτω γὰρ οἶμαι περὶ πάντων τῶν ἐν τῇ φύσει καὶ τῶν ἐν τῇ γενέσει μαθηματικῶς ἐπιχειροῦμεν. ἀφ’ ἧς δὴ αἰτίας πολλὰ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν οὐ μένει ἐπὶ τῶν μαθημάτων, ἀλλὰ ἕλκεται ἐπὶ τὰ καταδεέστερα αὐτῶν, ἤτοι διὰ τὴν τῶν χρωμένων προαίρεσιν, ἢ καὶ διὰ τὴν τῶν πραγμάτων τῶν αἰσθητῶν πρὸς αὐτὰ συγγένειαν. ἐνίοτε δὲ καὶ ἐπὶ τὰ μείζονα ἀνάγεται ἡ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ἀφορμή, καὶ ἐπὶ πάντα τὰ ἄλλα πράγματα, ἐπειδὴ εὐφυής ἐστιν ἡ ἀσώματος οὐσία προσοικειοῦσθαι ταῖς καθαραῖς οὐσίαις τῶν ὄντων, καὶ διότι τὰ μαθήματα πᾶσιν ἀφομοιοῦσθαι πέφυκεν. τοσαῦτα δὴ καὶ περὶ τούτων.

Ἐπεὶ δὲ τὸ κοινὸν τῆς ὅλης μαθηματικῆς ἐπιστήμης γένος κυριώτατόν ἐστιν εἰς ἐπιστήμην τῆς παρούσης θεωρίας, δεῖ μάλιστα τοῦτο κατιδεῖν, κατὰ τί ἔχει τὸ κοινὸν ἡ πᾶσα μαθηματική. ἐὰν γὰρ τοῦ τὸ ἓν αὐτῆς κατίδωμεν γένος καὶ τὴν κοινὴν οὐσίαν γνῶμεν αὐτῆς, τελεωτάτην ἕξομεν περὶ αὐτῆς εἴδησιν. ἤδη μὲν οὖν καὶ ἐν ἀρχῇ περὶ τούτου προδιεσκεψάμεθα,

πλὴν δεῖ γε καὶ κορυφὴν ἐπιτιθέναι ἐπὶ τῷ τέλει τὴν αὐτὴν τῇ προκαταβληθείσῃ ἀρχῇ. καὶ νῦν οὖν πάλιν ἐπαναλάβωμεν τὸν περὶ τοῦ ἑνὸς γένους τῆς μαθηματικῆς θεωρίας λόγον.

Φημὶ δὴ οὖν ὡς τὸ μέσον ἁπλῶς οὑτωσὶ τῶν τε νοητῶν καὶ αἰσθητῶν εἰδῶν κοινόν ἐστι γένος ταύτης τῆς ἐπιστήμης, τὸ περιέχον ἐν ἑαυτῷ πάντα ὁπόσα ἐστὶ καὶ ὁποῖα διάφορα εἴδη, μετέχον μὲν τῶν τοῦ ὄντος γενῶν πρώτως, συνειληφὸς δὲ ἐν ἑαυτῷ τὰ τῶν αἰσθητῶν γένη, καθαρότητι δὲ καὶ ἀκριβείᾳ καὶ λεπτότητι καὶ ἀσωματίᾳ παντελῶς αὐτῶν προέχον, δυνάμεις δὲ περιέχον ἐν ἑαυτῷ παντοίας, τὰς μὲν ἐπὶ τὰ ὄντα ἀναγούσας τὰς δὲ ἐπὶ τὴν γένεσιν ἐπιρρεπούσας, καὶ γνώσεις ὡσαύτως. τοῦτο δὲ τοιοῦτον ἓν τιθέμενοι τὰς διαφορὰς αὐτοῦ νοήσωμεν κατὰ τὰς διχοτομίας τῆς μέσης ταύτης φύσεως, ὧν τὴν μὲν ἐχομένην τοῦ ὄντος ἀφορισώμεθα, τὴν δὲ τῶν αἰσθητῶν ἀντιλαμβανομένην καὶ πρὸ αὐτῶν ἑστηκυῖαν· πάλιν δὲ καθ’ ἑκάτερον τούτων τῶν εἰδῶν ἄλλους καὶ ἄλλους ὅρους λαμβάνοντες, τὸ μέσον διαφόρως τῶν μαθημάτων ληψόμεθα ἢ κατὰ τὸ ποσὸν ἢ κατ’ ἄλλο τι γένος τούτου διακρίνοντες. καὶ ἡ ἀπόστασις δὲ ἀπὸ τοῦ ὄντος ἢ πορρωτέρω οὖσα ἢ ἐγγὺς παρέξει τὸ διάφορον τοῖς μαθήμασιν. ἔτι δὲ ἡ προήγησις τῶν ἐν τῇ συστάσει τοῦ παντός, πρώτη οὖσα ἢ δευτέρα, καὶ αὐτὴ ἐμποιεῖ τινας διαφορὰς τῶν μαθημάτων. τὴν δὲ τάξιν αὐτῶν ἢ κατὰ τὸ ἐφε|ξῆς ἢ κατὰ τὸ συνεχὲς ἢ κατὰ τὸ ἐχόμενον ἢ κατ’ ἄλλην συνέχειαν ἀνευρίσκειν ὀφείλομεν.

ταύτῃ δὲ τῇ ἀφ’ ἑνὸς προϊούσῃ καὶ πληθυομένῃ συστάσει καὶ τῇ ἐφ’ ἓν ἀναγομένῃ συντάξει διακρίνομεν, διακρίνοντές τε ὡσαύτως συνάπτομεν. καὶ οὕτως ἡμῖν ἡ κοινὴ τῶν μαθημάτων οὐσία κοινῶς τε περιληφθήσεται τῷ λογισμῷ καὶ διαιρεθήσεται καὶ ἀπὸ τῶν πολλῶν πάλιν ἀναχθήσεται ἐπὶ τὸ ἓν γένος τῆς μαθηματικῆς οὐσίας· ὃ δὴ καὶ τέλος ἐστὶ τῆς διαιρετικῆς καὶ ὁριστικῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης.

Ὠνόμασται δὲ ἡ τῶν μαθημάτων ἐπιστήμη, ἐπειδὴ ἀπὸ τῆς περὶ τῶν νοητῶν νοήσεως κάτεισί τις εἰς αὐτὴν μάθησις, καὶ ἔστι πρὸς αὐτὴν οἰκεία αὕτη ἡ θεωρία, περὶ ἃ δὲ νόησίς ἐστι καὶ ἐπιστήμη, περὶ ταῦτα καὶ μάθησις παραγίγνεται, καὶ ταῦτα ἂν εἴη μόνα τῶν ἄλλων μαθητά, διὸ καὶ μαθήματα προσηγόρευται. ἐδόκει δὲ τοῖς Πυθαγορείοις ὥσπερ οἰκεῖά τινα ὄργανα πεπορίσθαι ταυτὶ τὰ μαθήματα πρὸς τὸ ἀναπτύξαι τὴν τῶν ὄντων φύσιν, καὶ πᾶσαν ἀφελεῖν τὴν ἀχλὺν τὴν ἐπισκοτοῦσαν τοῖς πράγμασιν, ὥστε εἰλικρινῶς τὴν ἀλήθειαν αὐτὴν θεᾶσθαι· ἔτι δὲ καὶ τῆς περὶ τὰ ἤθη ὁμολογίας συνεξευπορήσειν τὴν αἰτίαν τὴν τοιαύτην μάθησιν, ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ τὴν φύσιν συναποκαλύψειν φιλοσοφίᾳ προσαρωγὸν γιγνομένην, τῆς τε περὶ τὸν κόσμον τάξεως καὶ τῆς περὶ τὸν οὐρανὸν ἐγκυκλίου φορᾶς τὴν συμμετρίαν δι’ αὐτῆς θεωρεῖσθαι. διόπερ ἐνόμιζον χωρὶς αὐτῆς μὴ οἷόν τε εἶναι φιλοσοφῆσαι. ἔτι τοίνυν πολλά, ὥσπερ διὰ κατόπτρων φανότητι διαφερόντων, θηρᾷ εἴδωλα τῶν τῆς φύσεως ἔργων, ὅπερ μαθηματικὸν

μέρος τῆς φιλοσοφίας ὠνόμαζον, καὶ τοὺς ἐμπείρους τῶν τοιῶνδε λόγων μαθηματικοὺς ἀπέφαινον. ἐνόμιζον δὲ καὶ κάλλιστα παραδείγματα εἶναι τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι τῶν τῇδε, διότι πρὸς νόησιν ἐστάθμηται ταῦτα μόνιμά τε ὄντα καὶ ἀκίνητα καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἀεὶ ὡσαύτως ἔχοντα, πρὸς ἅπερ ἀποβλέπων τις καὶ μιμούμενος ἀπεργάζοιτο ἂν ἕκαστα τά τε σταθηρὰ καὶ βέβαια ἔργα. ἔχει δὲ ὁ μαθηματικὸς λόγος καὶ τὸ καθαρὸν καὶ ἐπιστημονικὸν καὶ ἀνέλεγκτον. πρότερός τε εἶναι δοκεῖ τοῖς παλαιοῖς ὁ μαθηματικὸς τοῦ φυσικοῦ καὶ ἀρχηγικώτερος· ἐκ γὰρ τούτου ἐκκρέμασθαι ὑπελάμβανε τὴν τῶν ἄλλων εἰλικρινῆ νόησιν. χαρακτὴρ μὲν οὖν οὗτός ἐστι τοῦ μαθηματικοῦ λόγου. προσέχειν δὲ δεῖ ἐν τῷ τὸ εἶδος αὐτοῦ ἐπικρίνειν τῇ ἀκριβείᾳ καὶ τῇ ἀνελέγκτῳ γνώσει καὶ τῇ ὀρθότητι τῶν λόγων καὶ τῇ συμφωνίᾳ πρὸς τὰ ὄντα· μετὰ γὰρ τούτων τὸ εἶδος αὐτοῦ ἄριστα διαφαίνεται. ἔστω δὴ καὶ ταῦτα τὰ ἡμῖν προσκείμενα μετὰ τῶν ἔμπροσθεν περὶ τούτων διωρισμένων.

Ἐπειδὴ τοίνυν ἀπετελέσαμεν τὴν κοινὴν περὶ τῶν μαθημάτων θεωρίαν, καιρός ἐστιν ἤδη συναγαγεῖν ὑπὸ μίαν σύνοψιν τὰ ὅλα περὶ αὐτῶν κεφάλαια. πρῶτα μὲν οὖν τὰ τῶν σκοπῶν καὶ τὰ περὶ τῆς ὅλης ἐπιστήμης τῆς μαθηματικῆς, εἶτα περὶ ἀρχῶν τῶν τε κοινῶν καὶ τῶν ἰδίων, ἐπὶ τούτοις περὶ τῶν ὑποκειμένων τοῖς μαθήμασιν ἐποιησάμεθα λόγον, εἶτα περὶ

τῆς ἀρίστης αὐτῶν χρήσεως καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς ἐπιστητῶν καὶ περί τε τῶν καθ’ αὑτὰ κριτηρίων καὶ περὶ τῆς ὡρισμένης αὐτῶν οὐσίας ποσαχῶς αὕτη θεωρεῖται, τί τε τὸ ἔργον τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ τίνες αἱ δυνάμεις αὐτῆς καὶ τίνα τὰ στοιχεῖα, τά τε κοινὰ καὶ τὰ ἴδια, καὶ πῶς ταῦτα πάντα ἐπικοινωνεῖ πρὸς φιλοσοφίαν, καὶ πόσα ταῖς τέχναις συμβάλλεται, καὶ τίνα τάξιν ἔχει τῆς εἰς παιδείαν ἀγωγῆς, τίνες τε οἱ ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθαγορικῆς παραδόσεως τῶν μαθημάτων, καὶ τίς ἡ διαίρεσις κατὰ τοὺς Πυθαγορείους τῆς ὅλης μαθηματικῆς ἐπι|στήμης, καὶ τίς ἡ ὁριστικὴ μαθηματική, καὶ τίνα ἐξαίρετα κατὰ Πυθαγόραν τῆς θεωρίας ταύτης, τίς τε ἡ ἰδιάζουσα αὐτῆς κατ’ αὐτὸν μελέτη, καὶ ὅτι οὐκ εἰκῇ αὐτὰ οἱ Πυθαγόρειοι προήγαγον ἐπὶ πλεῖστον, τίς τε ἦν ἡ συνήθεια αὐτῶν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβῆς καὶ τίνες ἦσαν οἱ μαθηματικοὶ παρ’ αὐτοῖς, ἀντιλήψεις τε τῶν μαθημάτων καὶ ἀντιλογίαι πρὸς αὐτὰς καὶ ἀντιδιατάξεις, καὶ τί δεῖ ἀπαιτεῖν παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὸν ὄντως πεπαιδευμένον, διάκρισίς τε τῶν ἐν αὐτῇ προβλημάτων καὶ τοῦ τρόπου τῶν ἀποδείξεων, περὶ συλλογισμῶν τε καὶ διαιρέσεων καὶ ὁρισμῶν μαθηματικῶν, τίς τε ἡ κοινωνία φιλοσοφίᾳ πρὸς τὴν Πυθαγόρειον ἣν ἐν τοῖς μαθήμασιν ἐχρῶντο οἱ Πυθαγόρειοι, τί τε τὸ κοινὸν καὶ ἴδιον τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης καὶ πόσας ἔχει διαιρέσεις καὶ πῶς τεταγμένας, ἐπὶ τέλει τε περὶ τοῦ ὀνόματος εἴρηται τῆς μαθηματικῆς καὶ τῶν τούτῳ συνεπομένων. τοσαῦτα περὶ τοῦ κοινοῦ λόγου τῶν μαθημάτων καὶ τῶν μαθηματικῶν ἐπιστημῶν κεφάλαια ἐπεσκεψάμεθα, καὶ οἶμαι αὐτὰ συμμέτρως ἔχειν· εἰ δέ πού τινα παραλέλειπται, ῥᾳδίαν ἀπὸ τῶν εἰρημένων καὶ ταῦτα λήψεται τὴν διάγνωσιν.