De communi mathematica scientia

Πρὸς δὲ δὴ τὰς τέχνας πάσας ὡς ἁπλῶς εἰπεῖν ἐπιστημονικὴν ἐντίθησι διάγνωσιν, ἀρχάς τε αὐτῶν παραδεικνύουσα καὶ τέλη καὶ διορισμούς, μέτρα τε καὶ ἐπικρίσεις αὐτῶν ἀναδιδάσκουσα, τό τε ὀρθὸν καὶ διημαρτημένον αὐτῶν διαστέλλουσα, καὶ τούτων ἑκατέρου στοιχεῖα τὰ προσήκοντα ἀφορίζουσα, τέλος τε αὐτῶν γιγνώσκουσα καὶ τὴν ἀκρίβειαν ἐνδιδοῦσα τήν τε εὕρεσιν αὐτῶν ποιουμένη. ἐπειδὴ γὰρ χωρὶς τήν τε οὐσίαν τῆς ὕλης θεωρεῖ αὕτη ἡ ἐπιστήμη, λόγοις τε χρῆται χωριστοῖς καὶ οὐκ ἐπιταραττομένοις ἀπὸ τῶν ἐνύ|λων, εἰκότως διὰ ταῦτα αἰτιωτέρα ἐστὶ καὶ ἡγεμονικωτέρα τῶν τῆς ὕλης ἐφαπτομένων τεχνῶν εἷς τε εὕρεσιν αὐτῶν καὶ ἐπίκρισιν καὶ διάγνωσιν. τὰς μὲν οὖν θεωρητικὰς τέχνας διακαθαίρει καὶ τελειοῖ, ταῖς δὲ ποιητικαῖς ἐν παραδείγματος τάξει πρόσκειται, τὰς δὲ πρακτικὰς ἀνεγείρει καὶ κινεῖ τοῖς ἑστηκόσιν ἑαυτῆς εἴδεσιν, ἐφ’ ὅλων δὲ κοινῶς τοὺς λόγους τοὺς χωρι‐ στοὺς συναρμόζει τοῖς ἐνύλοις εἴδεσιν. ὥσπερ ἀρχιτεκτονικὴ δὲ οὖσα πασῶν, οὕτως αὐτῶν προηγεῖται,

χρηστική τε αὐταῖς ὑπάρχει, καὶ τιμίους αὐτὰς ἀπεργάζεται καὶ ὠφελίμους τῷ μαθηματικῷ λόγῳ βεβαιωθείσας, ἀποδείξει τε μαθηματικῇ κρατύνει αὐτῶν τοὺς λόγους καὶ ποιεῖ ἀψευδεῖς.

Πέφηνεν οὖν ἡ μαθηματικὴ διήκουσα θεωρία καὶ περὶ πᾶσαν τεχνικὴν ἐργασίαν καὶ γνῶσιν.

Καὶ μὴν ὅτι γε τάξις ἐστὶν ἐν αὐτῇ διττή, ἡ μὲν κατὰ φύσιν αὐτῇ συνυπάρχουσα, ἡ δὲ ὡς πρὸς τὴν μάθησιν, ῥᾴδιον ἐντεῦθεν καταμαθεῖν. εἰ γὰρ πᾶσι τοῖς ἄλλοις τὸ τεταγμένον ἀπὸ τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης παραγίγνεται καὶ τὸ ἐξ ἀνάγκης ἀκολουθεῖν τόδε τῷδε, πολὺ δήπου πρότερον αὐτὴ ἡ μαθηματικὴ θεωρία τάξιν περιέχει ἐν ἑαυτῇ, καὶ τὴν ἀγωγὴν τὴν πρὸς τὸ τέλειον τεταγμένως ποιεῖται. ἡ μὲν οὖν κατὰ φύσιν τῶν μαθημάτων τάξις προτάττει τὰ ἁπλούστερα ὡς πρότερα, οἷον ἀριθμητικὴν γεωμετρίας, ἐνίοτε δὲ καὶ πρὸς διδασκαλίαν τὰ αὐτὰ προηγεῖται, ὅταν ἀπὸ τῶν στοιχείων γίγνηται τῶν συνθέτων ἡ μάθησις· οὐ μὴν ἀλλ’ ἐνίοτε καὶ ὡς πρὸς ἡμᾶς τὰ σύνθετα τῶν ἁπλουστέρων ἔσται εἰς μάθησιν πρότερα, ὅταν ᾖ γνωριμώτερα, οἷον ὁ σύμπας οὐρανὸς καὶ ἡ περὶ αὐτὸν κίνησις τῆς ἁπλῶς σφαίρας καὶ τῆς αὐτὸ τοῦτο κινουμένης σφαίρας ἐστὶ δήπου γνωριμωτέρα. εἰ δή τις διὰ τῶν φανερῶν τὰ ἀφανῆ ἐνδεικνύοιτο, οὐκ ἔσται ὁ τοιοῦτος τρόπος ἀπόβλητος τῆς ἐφόδου. οὕτω δὲ τούτων διχῇ διῃρημένων, χρηστέον μὲν ἀμφοτέροις τοῖς τρόποις, τοῖς μὲν ὡς ἐπιστημονικωτέροις τοῖς δὲ

ὡς γνωριμωτέροις. καὶ δὴ ὅταν μὲν ἀναγκαῖον ᾖ τῷ ἑτέρῳ μόνῳ χρῆσθαι τρόπῳ, προκρίνειν δεῖ τὸν οἰκειότερον αὐτῶν καὶ μᾶλλον συμβαλλόμενον πρὸς τὸ προκείμενον ἐπιστητόν· ὅταν δὲ ἐξῇ ἀμφοτέροις χρῆσθαι, δι’ ἀμφοτέρων ὁδηγεῖν χρὴ εἰς τὴν ἐπιστήμην. ὅθεν δὴ ἐν πολλαῖς μαθηματικαῖς θεωρίαις τὰ αὐτὰ προβλήματα δι’ ἀναλύσεως τε καὶ συνθέσεως ἀποδείκνυται. ἐφ’ ὧν οὖν συμφωνοῦσιν οἱ δύο τρόποι τῆς ἐπιστήμης, ἐπὶ τούτων χρηστέον ἀμφοτέροις. δεῖ δὲ καὶ τῆς ἕξεως ἑκάστου στοχάζεσθαι, οἷον εἰ εὐφυὴς ὀξὺς ὤν τις δύναται ἀφ’ ἑνὸς ἐπὶ πολλὰ ῥᾳδίως μετιέναι καὶ ἀθρόως ἅμα πολλὰ παραδέχεσθαι τὰ συγγένειαν ἔχοντά τινα πρὸς ἄλληλα. κἀκεῖνο δὲ δεῖ σκοπεῖν, τὸ τέλος τῆς ἀναφορᾶς τί ποτ’ ἐστὶ τῆς ἐν μαθηματικῇ διατριβῆς, πότερον αὐτὸ τοῦτο τὸ μαθεῖν τὰ τῆς ἐπιστήμης θεωρήματα, ἢ εἰς φιλοσοφίαν τις αὐτὰ ἀνάγει καὶ προτίθεται ὁδηγεῖσθαι δι’ αὐτῶν ἐπὶ τὴν τοῦ νοητοῦ θέαν· τῷ γὰρ τοιούτῳ ἄλλη ἂν εἴη ἡ τάξις, ἐνίοτε τὴν κατὰ φύσιν ἀκολουθίαν τῶν μαθημάτων ὑπερβαίνουσα. πάλιν τοίνυν ἕκαστον τῶν ἐν μαθηματικῇ θεωρημάτων τὰ μὲν αὐτόθεν φαινόμενα καὶ ἀτελέστερα ὑποδείκνυσιν ὡς πρότερα, οἷον ὅτι τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον ἴσον ἔχει δυναμένην τὴν ὑποτείνουσαν ταῖς περιεχούσαις, τὰ μέντοι τελειότερα καὶ περιττῆς δεόμενα ἀποδείξεως ὕστερα παραδίδο‐ ταί, ὅσα περὶ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου εἴς τε τὴν τῶν ἄστρων φορὰν καὶ τὴν εἰς τὸν ζῳδιακὸν συντέλειαν καὶ τὴν ἡλίου καὶ σελήνης φορὰν συντείνει. καὶ τὰ περὶ ἁρμονίας δὲ ὡσαύτως, τὰ μὲν περὶ τῆς ἁπλῆς πρότερα διδάσκεται, | τὰ δὲ περὶ τῆς τοῦ κόσμου ὕστερα.

Ταῦτα δὴ οὖν τούτου ἕνεκα προειρήκαμεν, ἵνα μεθόδῳ τινὶ χρώμενοι ἐν τῇ τάξει τῆς μαθηματικῆς πραγματείας δυεῖν στοχαζώμεθα, τῆς τε φύσεως τῶν πραγμάτων καὶ τῆς δυνάμεως τῶν μανθανόντων, ἑκατέρῳ τε χρώμεθα ἁρμοττόντως, καὶ ὅταν συμφωνῇ ταῦτα πρὸς ἄλληλα, ἀμφοτέροις ἐπ’ ἴσης.

Καὶ μὴν οἵ γε ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθαγορείου παραδόσεως τῶν μαθημάτων θαυμαστὴν εἶχον ἀκρίβειαν καὶ πολὺ παρήλλαττον τὴν τεχνικὴν τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβόντων διδασκαλίαν. ὑπογράψωμεν οὖν ἐν τύποις αὐτήν, ὡς ἂν μάλιστα δυνατὸν ᾖ κοινῷ λόγῳ περὶ αὐτῆς εἰπεῖν.

Ἓν μὲν δὴ οὖν τοῦτο διομολογείσθω, ὡς ἄνωθεν ἀπὸ τῶν πρώτων ἀρχῶν ὁρμώμενοι τὴν πρώτην ἐποιοῦντο τῶν μαθηματικῶν θεωρημάτων σύστασιν, ὡς ἂν ἀπ’ αὐτῆς τῆς πρώτης οὐσίας αὐτῶν ποιούμενοι τῆς διανοίας τὰς ἐπιχειρήσεις, καὶ ἐπ’ αὐτὴν ἀνάγοντες τελευταίαν τὴν ὅλην μαθηματικὴν ἐπιβολήν. ἔτι τοίνυν τῷδε ἑπόμενον, ἐπετήδευον τὸ καταδεικνύναι πρώτας τὰς εὑρέσεις τῶν θεωρημάτων, μηδενὶ δὲ ὡς ἤδη ὑπάρχοντι χρῆσθαι, ἀλλ’ ἐπὶ πάντων θεωρεῖν πῶς ἂν εἰς ὑπόστασιν ἔλθοι τὸ δεικνύμενον ἐν τοῖς μαθήμασιν. ἦν δὲ καὶ ἄλλος τρόπος παρ’ αὐτοῖς ὁ διὰ

συμβόλων μαθηματικός, οἷον τῆς δικαιοσύνης ἡ πεντάς, διότι πάντα τὰ εἴδη τῶν δικαίων συμβολικῶς σημαίνει. χρήσιμον δὲ τὸ εἶδος ἦν αὐτοῖς εἰς πᾶσαν φιλοσοφίαν, ἐπειδὴ συμβολικῶς τε τὰ πολλὰ ἐδίδασκον, καὶ ἡγοῦντο τὸν τρόπον τοῦτον τοῖς θεοῖς εἶναι οἰκεῖον καὶ τῇ φύσει πρόσφορον. ἀλλὰ μὴν ὅτι γε καὶ τὰς ἀρχὰς τὰς πρώτας καὶ τὰς εὑρέσεις παρεδίδοσαν τῶν μαθημάτων, δῆλον μέν ἐστι καὶ ἀπὸ τῶν ἄλλων μαθηματικῶν ἐπιστημῶν, φανερὸν δὲ καὶ ἐκ τῶν ἀριθμητικῶν μεθόδων. ἕκαστον γὰρ γένος καὶ εἶδος ἀριθμῶν πῶς ἀπογεννᾶται πρώτως καὶ πῶς ὑφ’ ἡμῶν εὑρίσκεται ἀναδιδάσκουσιν, ὡς μὴ οὔσης ἐπιστημονικῆς τῆς περὶ αὐτὰ θεωρίας, εἰ μή τις αὐτὰ ἄνωθεν ὁρμώμενος καταλαμβάνοι. ἔτι τοίνυν τοῖς ὄντως οὔσι καὶ τοῖς θείοις πᾶσι καὶ ταῖς τῆς ψυχῆς ἕξεσι καὶ δυνάμεσι, τοῖς τε ἐν τῷ οὐρανῷ φαινομένοις καὶ ταῖς περιόδοις τῶν ἄστρων, καὶ τοῖς ἐν τῇ γενέσει πᾶσι στοιχείοις τε σωμάτων καὶ τοῖς ἀπὸ τούτων συγκρινομένοις, τῇ τε ὕλῃ καὶ τοῖς ἀπ’ αὐτῆς γεννωμένοις προσῳκείουν ἀεὶ τὰ θεωρήματα τὰ μαθηματικά, πάντα τε ἁπλῶς καὶ ἀφ’ ἑκάστου λαμβάνοντες τὰ οἰκεῖα μιμήματα πρὸς ἕκαστον τῶν ὄντων. τὰς δὲ ἀναφορὰς ἐποιοῦντο τῶν μαθημάτων ἐπὶ τὰ ὄντα ἢ κατὰ κοινωνίαν τῶν αὐτῶν λόγων, ἢ κατὰ ἔμφασίν τινα ἀμυδράν, ἢ κατὰ ὁμοιότητα ἐγγὺς πλησιάζουσαν ἢ πόρρωθεν ἀφεστηκυῖαν, ἢ κατὰ εἰδώλων τινὰ ἀπεικασίαν, ἢ κατ’ αἰτίαν προηγουμένην ὡς ἐν παραδείγματι, ἢ κατ’ ἄλλον τρόπον. καὶ ἄλλως δὲ πολυειδῶς συζευγνύουσι τοῖς πράγμασι τὰ μαθήματα, ὡς καὶ τῶν πραγμάτων ὁμοιοῦσθαι τοῖς μαθήμασι δυναμένων καὶ τῶν μαθημάτων τοῖς πράγμασι φύσιν ἐχόντων ἀπεικάζεσθαι καὶ ἀμφοτέρων πρὸς ἄλληλα ἀνθομοιουμένων. τῇ μὲν οὖν ποικιλίᾳ τοῦ λόγου καὶ τῇ τῶν μεθόδων εὐπορίᾳ οὐ πάνυ τι ἔχαιρον, ὡς λογικωτέρᾳ οὔσῃ καὶ τῆς τῶν πραγμάτων ἀληθείας ἀφεστώσῃ, προηγουμένως δὲ ἠσπάζοντο τὴν αὐτῶν τῶν προβλημάτων γνῶσιν, ὡς ἂν συμβαλλομένην εἰς τὴν τῶν ὄντων ἐπιστήμην τε καὶ εὕρεσιν. καὶ μᾶλλον τῇ τῆς ἀληθείας εὑρέσει ἰσχυρίζοντο καὶ τῇ πρὸς τὰ πράγματα ἐπιβολῇ, ἀλλ’ οὐχὶ τῇ δριμύτητι καὶ ὀξύτητι τῶν περὶ τὰ προβλήματα συλλογισμῶν. ὅθεν οὐδὲ τῇ εὐπορίᾳ μέγα ἐφρόνουν τῶν μαθηματικῶν ἐπιχειρημάτων, τὸ δὲ | εἰς τὴν τῶν πραγμάτων εὕρεσιν συμβαλλόμενον προτιμῶντες ἐφαίνοντο.

Τρόποι μὲν οὖν οὗτοι καὶ τοιοῦτοί τινες ἦσαν παρ’ αὐτοῖς τῆς μαθηματικῆς παραδόσεως. ἐχρῶντο δὲ αὐτοῖς ἐπιστημονικῶς καὶ μετὰ τῆς θεωρητικῆς φιλοσοφίας τῶν ὄντων καὶ τοῦ καλοῦ στοχαζόμενοι, τό τε πεπερασμένον ἀεὶ καὶ τὸ ἐν βραχυτάτοις συναγόμενον πρεσβεύειν οἰόμενοι δεῖν καὶ τιμᾶν, εἴ τι δὲ χρήσιμον ἀπ’ αὐτῶν ἐκλεγόμενοι πρός τε ἑαυτοὺς καὶ τοὺς συνόντας καὶ πρὸς ὅλην τὴν τῶν ὄντων ἐπιστήμην. ἔτι τοίνυν ἐστοχάζοντο ἐν τῷ παραδιδόναι, κατ’ ἄλλον μὲν τρόπον, τῶν πραγμάτων, ὡς εἶχε ταῦτα τάξεως καὶ τῆς πρὸς ἄλληλα συνεχείας (κατὰ γὰρ τὴν τοιαύτην ἀκολουθίαν τὸ πρῶτον καὶ δεύτερον θεώρημα ἐν αὐτοῖς ἀφώριζον), καθ’ ἕτερον δὲ τρόπον ἀπέβλεπον καὶ πρὸς τοὺς μανθάνοντας, καὶ τούτων ἐστοχάζοντο,

πῶς μὲν ἔχουσι δυνάμεως πῶς δὲ καὶ ὠφεληθήσονται ἀπ’ αὐτῶν, καὶ τίνα μὲν ἀρχομένοις τίνα δὲ προκόπτουσι παραδοτέον, καὶ τίνα μὲν ἐσωτερικὰ τίνα δὲ ἐξωτερικὰ μαθήματα, καὶ ποῖα μὲν ῥητὰ ποῖα δὲ ἄρρητα, καὶ τίσι μὲν μετ’ ἐπιστήμης τῶν πραγμάτων παραδιδόμενα τίσι δὲ αὐτὸ τοῦτο μόνον μαθηματικῶς. ἡ γὰρ διὰ πάντων τούτων ἀκρίβεια οὐκ ἀργῶς παρ’ αὐτοῖς ἐπετηδεύετο, ἀλλ’ ἕνεκα τοῦ τὴν μαθηματικὴν πραγματείαν ἑνὸς ἔχεσθαι, τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ, καὶ πρὸς ἓν συντετάχθαι, τὴν τοῦ ὄντος ἐπιστήμην καὶ τὴν πρὸς τἀγαθὸν ὁμοίωσιν. καίτοι οὕτως οὐ μόνον γνῶσις ψιλὴ τῶν μαθημάτων παρεδίδοτο, ἀλλὰ καὶ ζωὴ προσήκουσα αὐτοῖς συνετάττετο, καὶ ἄνοδος ἐπὶ τὰ τιμιώτατα δι’ αὐτῶν καθίστατο δεόντως. διόπερ δὴ τὴν Πυθαγορικὴν ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβήν, ὡς ἐξαίρετον οὖσαν καὶ προκεκριμένην πασῶν τῶν μαθηματικῶν τεχνῶν, οὕτως ἐπιτηδεύειν ἄξιον.

Ἐπεὶ δὲ δεῖ μὴ τὸ ὅλον αὐτῆς ἀγαθὸν μόνως ἐπισκοπεῖν, ἀλλὰ καὶ τὰ γένη καὶ εἴδη πόσα ποτέ ἐστιν αὐτῆς καὶ ὁποῖα δεῖ ἑλέσθαι, κοινὴν ποιησώμεθα περὶ αὐτῶν τὴν διδασκαλίαν δυναμένην ἐφ’ ὅλα τε καὶ ἐφ’ ἕκαστον τῶν μαθημάτων ὡσαύτως διατείνεσθαι.

Μαθηματικοῦ δὴ παντὸς καὶ τοῦ ἰδίου καθ’ ἕκαστον, ὁποῖόν ποτ’ ἂν ᾖ, θεώρημα πρῶτόν ἐστι τὸ θεολογικόν, τῇ τῶν θεῶν οὐσίᾳ καὶ δυνάμει, τάξει τε καὶ ἐνεργείαις συναρμοζόμενον κατά τινα πρόσφορον ἀπεικασίαν, ὃ δὴ καὶ μάλιστα σπουδῆς ἀξιοῦται παρὰ τοῖς ἀνδράσιν, οἷον ἐπὶ ἀριθμῶν ποῖοί τινες ἀριθμοὶ ποίοις θεοῖς συγγενεῖς εἰσι καὶ ὁμοφυεῖς, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ μαθημάτων τὸ αὐτὸ νοεῖν σύνηθες αὐτοῖς ἐστι. μετὰ δὴ τοῦτο περὶ τὸ νοερὸν ὄντως ὄν ἐνεργεῖν

ἐπιχειρεῖ τὰ μαθήματα παρ’ αὐτοῖς, κύκλον τε νοερὸν καὶ ἀριθμὸν εἰδητικόν, καὶ ἄλλα πολλὰ τοιαῦτα μαθήματα συμφώνως τῇ καθαρωτάτῃ οὐσίᾳ θεωροῦνται. ἔπειτα περὶ τὴν αὐτοκίνητον οὐσίαν καὶ τοὺς ἀιδίους λόγους συγκεφαλαιοῦσι τὴν τῶν μαθημάτων πραγματείαν, τὸν αὐτὸν αὐτοκίνητον ἀριθμὸν ἀφοριζόμενοι καὶ μέτρα τινὰ τῶν λόγων κατά τινας συμμετρίας μαθηματικὰς ἀνευρίσκοντες. πολλὴ δὲ καὶ περὶ τὸν οὐρανὸν καὶ πάσας τὰς ἐν οὐρανῷ περιφοράς, τάς τε ἀπλανεῖς καὶ τὰς τῶν πλανωμένων, θεωρεῖται μαθηματικὴ ἐπιστήμη, οὐ μόνον τὰς ποικίλας κινήσεις τῶν σφαιρῶν, ἀλλὰ καὶ τὰς μονοειδεῖς αὐτῶν συνεξετάζουσα. ἤδη δὲ καὶ τοὺς ἐνύλους λόγους καὶ τὰ ἔνυλα εἴδη, πῶς τε ὑφέστηκε καὶ πῶς ἐξ ἀρχῆς παρήχθη, διαπραγματεύεται· τοιοῦτον γάρ ἐστι τῆς μαθηματικῆς τὸ χωρίζον ταῖς ἐπινοίαις τὴν μορφὴν καὶ τὰ σχήματα ἀπὸ τῶν σωμάτων. καὶ ἄλλως δὲ φυσιολογεῖν ἐπιχειρεῖ τὰ ἐν γενέσει, τὰ στοιχεῖα τὰ ἁπλᾶ καὶ τοὺς περὶ τοῖς σώμασι λόγους θεωροῦσα.

Τούτοις οὖν πᾶσι τοῖς μορίοις τῆς μεθόδου | καθ’ ἕκαστα καὶ ἐπὶ πάντα τὰ μαθήματα χρῆται ἡ Πυθαγόρειος ἀγωγή, τάξιν τε δι’ αὐτῶν καὶ ἀποκάθαρσιν ποιεῖται. ὥσπερ γὰρ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς γιγνώσκεται τὰ δεύτερα ἀπὸ τῶν προτέρων, οὕτως ἐπὶ τῶν τῆς ψυχῆς δυνάμεων πρὸς τὰς τελειοτέρας ζωὰς καὶ ἐνεργείας γίγνεται δι’ αὐτῶν ἄνοδος. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ἀμελοῦσί τινος οὐδὲ παραλείπουσί τι τῶν μέσων ὅσα συμπληροῖ τὴν τοιαύτην ἐπιστήμην, ἀλλ’ οὐδὲ τὰ ἄκρα ἀφιᾶσιν ἀδιερεύνητα. διεξέρχονται δὲ δι’ ὅλων

ἀνενδεῶς, καὶ οὕτω τὴν διαίρεσιν, ἣν ἡ διαιρετικὴ ἐπιστήμη κατέδειξεν, ἐπὶ τῶν κυριωτάτων καὶ πρωτίστων γενῶν ἡ ἐπιστήμη αὕτη παραδίδωσιν. ἀπὸ δὲ ταύτης ἔνεστι καὶ τὰς μεριστὰς τομὰς ἀνευρίσκειν τῶν μαθημάτων, ὧν καὶ προϊόντες μνημονεύσομεν ἐν τῷ ἰδίῳ περὶ αὐτῆς λόγῳ.