Fragmenta

7. Pappus Συναγ. VII 3 p. 636, 23 (inter opera ad τόπον ἀναλυόμενον pertinentia loco undecimo, cfr. fr. 5): Κὐκλείδου Τόπων πρὸς 1) ἐπιφανείᾳ δύο. cfr. Studien über Euklid p. 79 sqq., Zeuthen Die Lehre von den Κegelschnitten in Altertum p. 423 sqq.

α΄. Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ παρὰ θέσει ἡ Γ∠, καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ Α∠Β πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ, τὸ Γ ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως, καὶ τὰ Α, Β στερηθῇ τοῦ δοθέντα εἶναι, γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθείαις ταῖς ΑΕ, [*](1) πρὸς] τῶν πρὸς Hultsch.) [*](1. εἰς (alt.)] ἡ ΕΖ εἰς Hultsch cum Commandino. 5. ΖΓΗ] ΖΓ Γ∠ Hultsch cum Commandino. 6. τὸ] τὸ ὑπὸ cod., Hultsch. 7. τοῦ] τοῦ ὑπὸ cod., Hultsch. 19. α΄] hoc lemma explicauit Tannery Bulletin des sciences mathém. 2° série VI p. 149, figuram dedit Ζeuthen Kegelsch. p. 424. 25. δοθέντα] δοθέντος cod., Hultsch. εὐθείαις] Tannery, εὐθεῖα cod., Hultsch.)

β΄. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ∠Γ, καὶ παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ᾖ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε, τὸ ∠ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς· δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς· δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τόπου τοῦδε·

Δύο δοθέντων τῶν Α, Β καὶ ὀρθῆς τῆς Γ∠ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἄπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα.

ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Α∠ τοῖς ἀπὸ Γ∠, ∠Β, κείσθω τῇ Β∠ ἴση ἡ ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ∠Γ. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠. καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ.

συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως·

ἔστω τὰ δοθέντα Α, Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς [*](1. ἐπιφανείᾳ] Hultsch in indice, ἐπιφανείας cod. 5. παρὰ θέσει] πρὸς ὀρθὰς Hultsch. 7. δείκνυται] δεικτέον susp. Hultsch. γραμμῆς] γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν τόπον Gerhardt, Hultsch. 8. τόπου] „immo τοῦ λήμματος Hultsch. 10. γ΄ praeposuit Hultsch cum aliis 21. ἔσται] ἔστιν Hultsch cum Commandino. 27. δ΄ add Hultsch, alii.)

ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς Β∠, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς Ζ∠· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ∠Γ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον ὄν τῷ ἀπὸ ∠Β· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β. ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.

Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β καὶ εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ [*](17. ε΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή] ἐφάπτεται ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή cod., κατήχθω ὀρθὴ ἡ ∠Γ Hultsch cum Commandino.)

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Β∠, ∠Γ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β∠ τῆς ∠Ε, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ Β  τῆς ∠Ε. κείσθω οὖν τῇ Ε∠ ἴση ἡ ∠Ζ. ἐπεῖ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, καὶ λοιπὸς [*](2. ἐλάσσων πρὸς μείζονα] μείζων πρὸς ἐλάσσονα Hultsch cum Commandino. μείζων πρὸς ἐλάσσονα] ἐλάσσων πρὸς μείζονα Hultsch cum Commandino. 7. Β∠] Ε∠ Hultsch cum Commandino. 8. ∠Ε] ∠Β Hultsch cum Commandino. 10. οὖν] ὅτι cod., om Hultsch cum Commandino. 12 Permutanda erant ΕΔ et ΔΒ; sed hic error, quoniam cum ulla probabilitate corrigi non potest, Pappo ipsi trbuendus est totam demonstrationem pessumdat.)

συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως·

ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων [*](2. καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β] om. Hultsch cum Commandino. 6. καὶ τῆς — 7. δοθείς] cod., nisi quod δοθέντα habet (sicut etiam post ∠Β lin. 6); om Hultsch cum Commandino. 7. ΑΒ] ΑΘ Hultsch cum Commandino. 9 δοθὲν ἄρα τὸ Θ] uncis inclusit Hultsch. λοιπὸς] λοιπὸς ἄρα Hultsch. 15. Post ὑπερβολῆς add. μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἐλάσσων πρὸς μείζονα cod. 16. Ϛ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ] τοῦ ἀπὸ PΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ Bultsch cum Commandino. 19. μείζων πρὸς ἐλάσσονα et ἐλάσσων πρὸς μείζονα Hultsch cum Commandino.)

ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Β ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ ὁ δὲ τῆς Θ∠ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη· ὥστε τοῦ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ [*](11. καὶ ἤχθω] κατήχθω cod., Hultsch. 18. ἐστιν] del. Hultsch. 19 τὸ αὐτὸ] τοῦτο susp. Hultsch.)

Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.

ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ∠Γ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ἔστω τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε. λέγω, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως,\ ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς.

ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε. δεῖξαι, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται παραβολῆς.

ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ θέσει ἄρα ἐστί· τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον τῷ ἀπὸ [*](4. καὶ ἔτι] καὶ ἔστιν cod., καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος καὶ ἔστιν Hultsch cum Commandino. Post ΤΣ add. ἐλάσσων πρὸς μείζονα cod. 10. ΖΑΕ] Θ cod. 13. Γ∠, ∠Β ΒΗ cod. 17. ζ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 19 καὶ (alt.)] om. cod., Hultsch. 24. ἔστω] ἔστω τῶν cod., ἔστω γὰρ Hultsch.)

συντεθήσεται δὴ οὕτως·

ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων των τῶν Ζ, Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ ∠, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ∠Η, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. λέγω, ὅτι ἡ ∠Θ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι, οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ Γ∠ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε.

ἤχθω κάθετος ἡ ∠Η· διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ Ε∠, τοῖς δὲ ἀπὸ ∠Η, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ∠Γ· τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Ε. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε· ἡ ἄρα ∠Θ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.

9. Pappus Συναγ. VII 30 p. 672, 18 sqq.:

Τὰ Εὐκλείδου βιβλία δ Κωνικῶν Ἀπολλώνιος ἀναπλώσας καὶ προσθεὶς ἕτερα δ παρέδωκεν η Κωνικῶν τεύχη.

Scholiasta Pappi III p. 1187 ad hunc locum: ὅτι καὶ ὁ Κὐκλείδης κωνικῶν δ βιβλία γέγραφεν.

Cfr. Studien über Euklid p. 83 sqq.

10. Apollonius Pergaeus Conic. I p. 4, 10 sqq.:

Τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παράδοξα θεωρήματα χρήσιμα πρός τε τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς, ὧν τὰ πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα, ἃ καὶ κατανοήσαντες συνείδομεν μὴ συντιθέμενον ὑπὸ Εὐκλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμμὰς τόπον, ἀλλὰ μόριον τὸ τυχὸν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς· οὐ γὰρ ἦν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρημένων ἡμῖν τελειωθῆναι τὴν σύνθεσιν.

Cfr. Pappus VII 32 p. 676, 3 sqq.

Pappus VII 33 p. 676, 19 sqq.: Ἀπολλώνιος μὲν ταῦτα· ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ τόπον ἐπὶ γ καὶ δ γραμμὰς μὴ τελειωθῆναι ὑπὸ Εὐκλείδου, οὐδ᾿ ἂν αὐτὸς ἠδυνήθη οὐδ᾿ ἄλλος οὐδεὶς ἀλλ᾿ οὐδὲ μικρόν τι προσθεῖναι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσιν διά γε μόνων τῶν προδεδειγμένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν κατ᾿ Εὐκλείδην, ὡς καὶ αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον εἶναι τελειωθῆναι, χωρὶς ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγκάσθη. ὁ δὲ Εὐκλείδης ἀποδεχόμενος τὸν Ἀρισταῖον ἄξιον ὄντα, ἐφ᾿ οἷς ἤδη παραδεδώκει κωνικοῖς, καὶ μὴ φθάσας ἢ μὴ θελήσας ἐπικαταβάλλεσθαι τούτων τὴν αὐτὴν πραγματείαν ---, [*](3. ἀναπλώσας] cod., ἀναπληρώσας Hultsch cum aliis. 22. ἀλλ᾿ — 23. γραφεῖσιν] del. Hultsch. 26. ὁ δὲ sqq. del. Hultsch.)

De loco ad tres uel quattuor lineas u. Zeuthen Die Lehre von den Kegelschn. p. 126 sq.

11. Archimedes Quadrat. parabol. prop. 1—3 (II p. 266 sqq.; cfr. ib. II p 350, 8; 436, 3):

Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἐφ᾿ ἇς ἁ ΑΒΓ ἁ δὲ Β∠ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, ἁ δὲ ΑΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς, ἴσα ἐσσεῖται ἁ Α∠ τᾷ ∠Γ. κἂν ἴσα ᾖ ἁ Α∠ τᾷ ∠Γ, παραλλήλοι ἐσσοῦνται ἅ τε ΑΓ καὶ ἁ κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς.

Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ, ᾖ δὲ ἁ μὲν Β∠ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, ἁ δὲ ΑμετρονΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς, ἁ δὲ ΕΓ τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ Γ ἐσσοῦνται αἱ Β∠, ΒΕ ἴσαι.

Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ, ἁ δὲ Β∠ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, καὶ ἀχθέωντί τινες αἱ Α∠, ΚΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς, ἐσσεῖται, ὡς ἁ Β∠ ποτὶ τὰν ΒΖ, δυνάμει ἁ Α∠ ποτὶ τὰν ΕΖ.

ἀποδέδεικται δὲ ταῦτα ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις.

12. Archimedes Περὶ κωνοειδ. καὶ σφαιροειδ. prop.3 (I p. 27Ο, 15 sqq.):

Εἰ κα κώνου τομᾶς ὁποιασοῦν εὐθεῖαι ἐπιψαύωντι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σαμείου ἀγμέναι, ἔωντι δὲ καὶ ἄλλαι εὐθεῖαι ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ παρὰ τὰς ἐπιψαυούσας ἀγμέναι καὶ τέμνουσαι ἀλλάλας, τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτ᾿ ἄλλαλα, ὃν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἐπιψαυουσᾶν· ὁμόλογον δὲ ἐσσεῖται τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τᾶς ἑτέρας γραμμᾶς τμαμάτων τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τᾶς παραλλήλου αὐτᾷ.

ἀποδέδεικται δὲ τοῦτο ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις.

13. Archimedes Περὶ κωνοειδ. prop. 3 (I p. 272, 23 sqq.):

Ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΚ, τοῦτον ἐχέτω ἁ Ν ποτὶ τὰν Μ. αἱ δὴ ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν ∠Ζ ἀγόμεναι παρὰ τὰν ΑΕ δύνανται τὰ παρὰ τὰν ἴσαν τᾷ Ν παραπίπτοντα πλάτος ἔχοντα, ἃς αὐταὶ ἀπολαμβάνοντι ἀπὸ τᾶς ∠ ποτὶ τὸ ∠ πέρας. δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς.