Fragmenta

Euclid

Euclid. Euclidis Opera Omnia, Volume 8. Menge, Heinrich, editor. Leipzig: Teubner, 1916.

ιεʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, Ε∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΗΚ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠.

Ἐπεζεύχθω ἡ ∠Μ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ.

ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἐκτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς [*](11. ΒΖ, ΓΗ] ΒΓ, ΖΗ cod.; ΖΒ ΓΗ Hultsch cum Commandino. 12. ἐστὶν] del. Haltsch. 18. τουτέστιν ἡ] coniecit Hultsch, τουτέστιν ὡς ἡ cod., πρὸς τὴν ΗΖ τουτέστιν ὡς ἡ Hultsch. 29. ἐκτὸς] del. Hultsch cum Simsono, sed u. lemma XI extr.)

257
τοῦ Β σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠ Ε, γίνεται, ὡς ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ Κ, ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε α ΕΓ, Ε∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΓ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠ ἐστιν εὐθεῖα.

ιϚ΄. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ δύο διήχθωσαν αἱ ∠Β, ∠Ε, καὶ ἐπʼ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η, Θ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.

ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΚΛ.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ, ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ συνῆπται [*](5."ἐπεὶ εἰς] εἰς cod., εἰς γὰρ Hultsch cum Commandino. 8. Ante διὰ add. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν ΗΜΚ cod. (etiam p. 256, 27 pro Α, Μ, ∠ hab. Η, Μ, Κ), καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν 6, Μ, ∠ Hultsch praeeunte Commandino. 9 προγεγραμμένον] lemma XIV. ἄρα] ἄρα καὶ cod., Hultsch.)

258
λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς Ε∠, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς Β∠, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς Β∠ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Γ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς Κ ἄρα πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς Β∠ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠· ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς Θ Β πρὸς Β∠ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΚΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ. καί εἴσιν αἱ ΚΛ, ΒΓ παράλληλοι· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων.

ιζ΄. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν.

ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ∠Ε, ∠Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ∠Ζ, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ Ε∠, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ· πάλιν [*](14. ΘΒ] ΒΘ Hultsch.)

259
γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, Ε∠· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Θ, ∠· καὶ ἡ διὰ τῶν Α, Μ, Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν.

ιη΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ Α∠, καὶ διήχθωσαν αἱ ∠Ε, ΖΗ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ· ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ Β∠, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ.

ἐπεί ἔστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒH πρὸς ΗΓ, κοινὸς ἄρα προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΒΓ· δι᾿ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ, ὅς ἔστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ· ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ [*](4. προγεγραμμένον] lemma XVI, 13. ἄρα] uncis incl. Hultsch.)

260
ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΕΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων.

ιθ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ, Α∠ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε δύο διήχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΒ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ ὅτι γίνεται καί, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.

ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΖ [*](4. προγεγραμμένον] lemma Χl (perperam usurpatum) 5. ∠Ε, ΖΘ] ∠Ζ ΘΕ Hultsch cum Simsono ∠Ζ,  ΘΕ] ∠Ε ΖΘ Hultsch cum Simsono. 7 ∠Ε, ΖΘ] ∠Ζ ΘΕ Hultsch cum Simsono. ∠Ζ, ΘΕ] ∠Ε ΖΘ] Hultsch cum Simsono. 8. τοῦτο] u. lemma XVI, quod ut lemma X ἀναστρόφιον est lemmatis III.)

261
πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν ΗΛ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.

τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως.

κ΄. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Α, ∠ γωνίας· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Ε∠ τρίγωνον.

ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ, ΕΘ.

ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ ∠, ἡ δὲ Η τῇ Θ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ· καὶ ἐναλλάξ. ἀλλ᾿ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον· ἐκατέρα γὰρ τῶν ΒΗ, ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν εἰρημένων τριγώνων· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ [*](13. Ε∠Ζ] ∠ΕΖ Hultsch.)

262
ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.

κα΄. Ἔστωσαν δὴ αἱ Α, ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅτι πάλιν γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.

ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ.

ἐπεὶ οὖν αἱ Α, Δ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ ∠. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.

κβ΄. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ, ∠, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α ∠Β τετραγώνοις.

ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γγώνοις. ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ Β∠Γ λοιπὸν ἄρα τὸ δὲς ὑπὸ Α∠Γ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β τετραγώνοις. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον· λοιπὸν [*](9. ὀρθαῖς] ὀρθαῖς ἴσαι suspicatur Hultsch.)

263
ἄρα τὸ θὶς ὑπὸ ΑΓ∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Β τετραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ∠Β τετραγώνοις.