Fragmenta

α΄. Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΚ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.

ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΖΛ.

ἐπεὶ οὖν ἔστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΖ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ παράλληλος [*](1. ἥδε ἤτοι] Hultsch in indice s. v. παράθεσις, ηδεντοι cod., ἥδε ἤτοι ἐν Halley.)

Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως· ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Α. συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. ἀλλʼ ὁ μὲν τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ δὲ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἔκ τε τοῦ τῆς Α Β πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ αὐτός ἔστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος· λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.

β΄. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ∠Β, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Ζ.

ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ∠Ε ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ.

ἐπεῖ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ [*](2. ἡ ΕΘ — 3. παραλλήλῳ] addidi, om cod., ἡ ΕΚ πρὸς τὴν Κ καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ καὶ ὡς ἄρα κτλ. Hultsch cum Commandino 12. Α Β — 14. τοῦ τῆς] addidi; om cod., Haltsch.)

γ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΑ, ∠Α διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ. Θ∠· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ∠Γ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.

ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ αἱ ∠Α, ΑΒ συμπιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ∠Α παράλληλος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέ τω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ, ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ καὶ γὰρ ἡ Θ Κ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ· διίσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΗ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡςἡ ΛΘπρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ Κ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ, Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.

Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως· ἐπεὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ Θ∠ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς [*](ἔδει δεῖξαι] ο cod., ὅπερ: ~ Hultsch cum aliis. p. 245, 18 ἡ ΛΜ καὶ] „fortasse διαχθεῖσα ἡ ΛΜ Hultsch. 3. ἐν παραλλήλῳ] h. e. quia inter duas parallelas sunt, u. Haltsch in ind. s. u. παράλληλος. 26. ὁ] om. cod, Hultsch.)

δ΄. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ σημείων.

ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ. ἀλλ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε συνῆπται λόγος, ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ∠Ε, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ· λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ. εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ.

ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Θ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Θ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβαλλόμενος εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον, καὶ ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Ξ Ζ· τοῦτο γὰρ φανερόν· ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ εὐθεῖά ἐστιν.

ε΄. Ἐὰν καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, γίνεται, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΓ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.

ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Α∠ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν ΛΜ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, τουτέστιν ὡς ἡ Α∠ [*](2. ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ] ἐπιζευχθείσης τῆς ΘΗ cod., quod fortasse retineri potest. 5. μεταβάλλεται Hultsch cum Com- mandino.)