Sectio canonis [Sp.]

Euclid

Euclid. Musici scriptores Graeci. Jan, Karl von, editor. Leipzig: Teubner, 1895.

148

Κατατομὴ κανόνος.

Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη· σιωπῆς δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο· εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι, πληγὴν καὶ κίνησιν πρότερον δεῖ γενέσθαι. ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, — τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν, αἱ δὲ ἀραιότεραι, καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φθόγγους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων [*](Variae lectiones. Εἰςαγωγὴ ἁρμονικὴ Εὐκλείδου sub- scriptum Cleonidis introductioni M. Εὐκλείδου κατατομὴ κανό- νος huius libelli titulus in MU. nullus tit. in VW. περὶ φθόγγων NB, repetit foliorum tit. Κλεονείδου εἰςαγωγὴ ἁρ- μονική B.) [*](3 ἡσυχίας οὔσης καὶ ἀκινησίας W. 4 οὐδὲ N. 5 πλη- γὴν ἄρα καὶ W. 6 ὥστε ἐπει] οἵ γε W.) [*](Ad prooemium cf. commentarium Ps. -Porphyri in Ptole- maei harmonica p. 266 et Adrastum apud Theonem de musica c. 6 (p. 50).)

149
καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων. ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχά- νειν τοῦ δέοντος. διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι φατέον, ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ δέοντος. πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους· τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν (p. 24 Meib) ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται, οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους. τούτων δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέ- γονται πρὸς ἀλλήλους.

Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνους μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς δὲ διαφώνους οὔ. τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφώνους φθόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπιμορίους.

[*](1 a κινήσεων ad l. 2 κινήσεων aberravit M1. addit mg. M2. 3 ἀνειμένους W. 4 κινήσεων libb., sed cf. l. 5. 5 προθέσει M1N, item lin. 7. 10 ἐν] ἐπʼ N 12 π. πλασίῳ W, π.πλασίονι MN. 14 λόγοις M2 supra lin. 18 post συμφώνους addit συμφώνου W, simile quid habe- bat M1. 19 κρᾶσιν] πράξιν W. 20 οὔ M2 in ras. 22 ποιοῦντα N.)
150

Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν ποιῇ τι διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται.

Ἔστω διάστημα τὸ βγ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ β τοῦ γ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ. φημὶ δὴ τὸν δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι. ἐπεὶ γὰρ ὁ β τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν β. ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ (p. 25) πρὸς (η) (δ) (β) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, ὥστε μετρεῖ ὁ γ καὶ τὸν δ. πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ.

[*](1 Hinc quae sequuntur ad p. 161, 14. 15 leguntur etiam apud Porphyrium vel potius auctorem commentarii ad Ptolemaei harmonica (Prol. p. 116 ann. 1) p. 272 ss.)[*](Numeros quibus singulae protases distinguantur omit- tunt M1 W, asteriscis et numeris Graecis αβ notant M2V, Arabum numeros 1 2 ascribit N.)[*](Diagrammatum veterum lineis ad horizontem directis neglegenter pictorum (qua alia vides ad prot. 2) exigua exstant vestigia in MW p. 151, 1—3. 152, 7. 11. 153, 5. 154, 7. 158, 7 quae reiecta esse solent ad posteriores protases. — Novas ascripsit figuras marg., quorum lineae ad perpendiculum sunt directae (v. fig. 1. 3 sqq). neglecta tamen M2 vera longitudine lineas omnes exaequaverunt. diligentius veram linearum mensuram observant et Par. 2535, diligentius etiam Barb. II 86, id quod Euclidis sententia intellecta fieri facile potuit. recta haec linearum mensura cum ad volun- tatem Euclidis cognoscendam videretur necessaria, ego in illis delineandis recentiorum codicum rationem amplexus sum; si quid praeter longitudinem in M2 discrepabat. semper notavi. rettulit autem diagrammata in locos iusto superiores, ut fig. 15 inveniatur apud prot. 8. — Exstat hoc diagramma suo loco in M2 mg., V U, (de NPB qui ad duas protases demon- strandas uno utuntur diagrammate vide infra). aliud habent diagramma una linea ad horizontem porrecta numerisque 4 8 16 signata M1W inter verba prot. 2. quo enim quaeque sit revo- canda figura, clare elucet e quattuor lineis diagrammatis 3.)[*](4 π.πλάσιος ὁ Porph. (scil. ἀριθμός), π π.πλάσιον τὸ libri Eucl. 6 πρὸς τὸ β MN. τὸ δ WNU. 8 π.πτλάσιον M μετρεῖ] καὶ add. libri. καὶ τὸν Porph, γ πρὸς τὸν WV, γ///τὸν τὸν M. γ τὸν rel.)
151

Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον. γ β δ σ ιβ κδ

Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον. ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ. ἐμάθομεν δὲ ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει. μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν β, πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ.

[*](1 συντεθὲν τὸ M2, συντεθῆ γ β δ ὅθεν τὸ W M1. ποιεῖ W. 2 ποιῆ πολλα δ η ιϚ πλάσιον M. ean- dem figurae partem W post ὡς ὁ lin. 5. 2 καὶ αὐτὸ ἔσται π. πλάσιον om. W N1, add. καὶ αὐτῶ ἐ. ππ. 3 hanc habent figuram M1W in protasi 3. (exstat enim p. 152, 12 post μέσοι in M, post διαστήματος in W linea tripartita cum litteris γ β δ et leguntur super οὔτε πλείους in W numeri Ϛ ιβ et post πλείους num. κδ, eosdem inserunt numeros post πλείους VU. in M μέσοι in ras., post πλείους rasura. ad illam autem protasin longe alia opus erat figura.) simile dia gramma atque ad prot. 1 M2. numeri tamen ιϚ η δ. hanc figuran cum numeris δ η ιϚ ad prot. 1 rettulerunt NPB, qui ad 2 dant fig. 3. 7 φημὶ δὴ M4. 8 ππ. φημί ἐστιν N1. delet φημί 9 ὁ γ] ὁ β W. ἐμάθομεν W et Porph, ἔμαθον rel. 10 post ἀριθμοὶ add. ἐφεξῆς M5 mg. πρῶτος corr. M, πρὸς V N. 11 μετρῇ B, μετρεῖ rel. μετρεῖ καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει N2 mg.)[*](9 ἐμάθομεν haec quidem verba in Euclidis elementis non inveniuntur (cf. Heiberg, litterargesch. Studien ber Euklid. S. 53). Habes tamen in El. 8, 7 haec: ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ [ἑξῆς] ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει. ex quibus etiam quae hoc loco demon- straturus est Euclides facillime sequuntur.)
152

Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριθμός. (p. 26.)

Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ βγ· ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ. οὗτοι οὖν ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου. ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ. καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ, ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι· μονὰς ἄρα ὁ δη· οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ μέσος οὐδείς. ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ δζ ἐλάττων, τοῦ δὲ θ μείζων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις. [*](1 de diagrammatis 2. partibus huc insertis v. supa. οὐδεὶς μέσος W, μέσος οὐδείς V, post μέσοι add. supra lin. οὐδείς N, sed delet, om. οὐδείς, sed hebet μέσοι οὔτε im ras. M. μέσοι U. (μέσος Wallis, μέσοι codd.) 3 ἐμπεσεῖται W et Porph. ἐμπεσοῦνται rel. ἀριθμοί Porph., ἀριθμός libri Eucl. Appicta est haec figura ad protasin 2 in N. similis (sed in duas partes discerpta) ad prot. 3 in M2, exigua exstant figurae vestigia in M1 W (vide ad lin. 7 et 11). addit autem N lineis δζ θ rationes δ γ et parti δ numerum α, lineas β γ idem signat numeris η Ϛ etiam M habet illas numerorum rationes, nisi quod ponit lin. β : = ιβ : θ, et lineae η dat numerum γ. hi tamen omnes numeri cum prohibeant quominus linearum rationes celeriter perspiciantur, noli litteris Graecis eos signare. 5 β Porph, β τοῦ γ libb. Eucl. ἐν VN Porph.) [*](1 cf. Elem. 8, 8: ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς] μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνά- λογον ἐμπεσοῦνται.)

153
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον μπεσοῦνται. οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται, οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται.

Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεθῇ, τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται, οὔτε ἐπιμόριον.

Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον, τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ (p. 27) πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ. λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν. Ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. οὐκοῦν ἐμάθομεν, ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν. ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος. οὐκ ἦν δέ. ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον. [*](ἐπὶ W, perfossum im M. P. 152, 7 ὑπὸ] ἀπὸ N. ιβ ιγ (reliquiae figurae) post μόνης M1, post μέτρου (lin. 8) WU. 8 τὸν ηζ] τὸν ζ W, τὸν δʼ ηζ V. 9 καὶ ἐπεὶ W, om. rel., λοιπὸν μόνον VN. post τὸν (8) rasura et ηζ καὶ ἐπίλοιπον μον ν i. e. μονάς M3. post ἐστιν addunt ἄρα M2N. 10 ὁ δη] ὁ δ W. 11 post καὶ inserit ιδ ιζ ιθ ex fig. W. 12 ὁ δη] N, ἡ δη M, ἡ δ W. 16 δζ θ] δ θζ W.) [*](1 post ὅσοι δὲ lacuna 7 litt. W. 4 οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται om. W. 5 μὴ supra l. M2. μὴ πολλαπλάσιον om. W. post οὔτε habet πολλαπλα supra lin. M. post δὶς συντεθῇ M1 hanc habet figuram falsis numeris ornatam cui addit M2 in margine figuram veriorem ex aequalibus lineis et ipsam compositam, veris tamen numeris instructam. a W deest digura (tnanslata ad prot. 5). 14 ποιεῖ W. 16 τὸν] τὸ libb.) [*](13. ἐμάθομεν in prot. 2.)

154
ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον. ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει. εἰς δὲ τοὺς δγ ἐμπίπτει ὁ β. ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.

Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον μὴ ποιῇ πολλαπλάσιον, οὐδʼ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.

Ἔστω γὰρ διάστημα τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ μὴ ἔστω ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιος. λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ β τοῦ γ ἔσται πολλαπλάσιος. εἰ γάρ ἔστιν ὁ β τοῦ (p. 28) πολλαπλάσιος, ἔσται ἄρα ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. οὐκ ἔστι θ ϛ δ δέ. οὐκ ἄρα ὁ β τοῦ ἔσται πολλαπλάσιος.

Ϛ. Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συνέστηκεν, ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου.

Ἔστω γὰρ ὁ μὲν β τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ δὲ δζ τοῦ θ ἐπίτριτος. φημὶ τὸν β τοῦ θ διπλάσιον εἶναι. ἀφεῖλον γὰρ ἶσον τῷ θ τὸν ζκ καὶ τῷ δζ τὸν γλ. [*](3 δγ V N. in ras. M. δγθ W. τὸν] ὁ libb. 4 π. πλά- σιος et ἐπιμόριος libb. 6 οὐδʼ] οὐ δι᾿ W. 7 πολλαπλάσιον γ | β | δ M1. πολλα ιγ ιβ ια πλάσιον W (reliquiae figurae 4). repetit fig. 4, N om. 15 δύο om. M1 W. 16 ἔκ τε τοῦ ἐπιτρίτου μορίου καὶ ἡμιολίου W. in figura M2 plures habet litteras (scriptas manu 3), sunt enim in prima linea partes indicatae δ et η (hoc bis scr.), in altera linea inter δ et κ scriptum e (i. e. β). in M1 W nulla figurae vestigia. 20 ζκ M3N2U, ζ M1VN1, β W. WNM3. γ M1V.) [*](2 οὐδεὶς ἀν. ἐμπ. prot. 3.)

155
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ βγ τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ βλ ἄρα β τοῦ βγ τρίτον μέρος ἐστὶν, τοῦ δὲ δζ ἥμισυ. πάλιν ἐπεὶ ὁ δζ τοῦ θ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δκ δ τοῦ μὲν δζ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ θ τριτημόριον. οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ δκ τοῦ δζ ἐστι τεταρτημόριον, ὁ δὲ βλ τοῦ δζ ἥμισυ, τοῦ ἄρα βλ ἥμισυ ἔσται ὁ δκ. ἦν δὲ ὁ βλ τοῦ βγ τρίτον μέρος· ὁ ἄρα δκ τοῦ βγ ἕκτον γ ζ μέρος ἐστίν. ἦν δὲ ὁ δκ τοῦ θ τρίτον μέρος· ιβ η Ϛ ὁ ἄρα β τοῦ θ διπλάσιός ἐστιν.

Ἄλλως. Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ β τοῦ ἐπίτριτος. λέγω ὅτι (p. 29) ὁ α τοῦ γ ἐστι διπλάσιος.

Ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ α τοῦ β, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο β ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς β. πάλιν ἐπεὶ ὁ β τοῦ γ ἐστιν ἐπίτριτος, ὁ β ἄρα ἔχει τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. τρεῖς ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τέτταρσι τοῖς γ. τρεῖς δὲ οἱ ν ἶσοί εἰσι δυσὶ τοῖς α. δύο ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τέτταρσι ιβ η Ϛ τοῖς γ. ἄρα ὁ α ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς γ· διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ.

[*](1 post ἡμιόλιος addunt καὶ (hoc om. W) ἐκ τοῦ τριπλοῦ καὶ ἐπιτρίτου τὸ τετραπλάσιον ὁμοίως δείκνυται καὶ ἐκ τοῦ τε- τραπλοῦ καὶ ἑπιτετάρτου τὸ πενταπλοῦν καὶ ἀεὶ ὁμοίως M1W, perfodit M². om. V N. 3 ἐπεὶ om. N. ἐστιν] ἔσται W ὁ ante δ κ] ὁ δὲ V N. δκ V M³, δ W M1 V. item lin. 8. 4 τε- ταρτημόριόν ἐστι M3. 6 βλ. M4U, β WM1VN. 7 βλ M4N β M1RV, item bis. (τοῦ δζ ἥμισυ —ἦν δὲ ὁ βλ om. U.) 8 γ (ante τρίτον) om. W. κ om. W, item lin. 9. 14 ὁ α (post β) om. M1W. 15 τὸν ἥμισυν M W N. 16 α M2 supra lin. εἴσι τοῖς β τρισὶ W. 17 γ WM2, τρίτου M1. δ VN. 19 β] δύο W. εἰσιν σοι W. 21 in. γ] αγ W. δυσὶ] δύο libb.)
156

Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται.

Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β διπλάσιος, ὁ δὲ β τοῦ γ ἡμιόλιος. λέγω ὅτι ὁ α τοῦ γ ἐστι τριπλάσιος.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστι διπλάσιος, ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς β. πάλιν ἐπεὶ ὁ β ιβ Ϛ δ τοῦ γ ἐστιν ἡμιόλιος, ἄρα ὁ ἔχει τὸν γ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς γ. δύο δὲ οἱ β ἶσοί εἰσι τῷ α. καὶ ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τρισὶ τοῖς γ. τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ (p. 30).

Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον.

Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ γ τοῦ β ἐπίτριτος. λέγω ὅτι ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστὶν ἡμιόλιος, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β. πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ἐστὶν ἐπίτριτος, ὁ γ ἄρα ἔχει θ Ϛ η τὸν β καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. ἐννέα ἄρα [*](4 ὁ ad α om. W. 7 α ἄρα W. α om. M1, ἄρα α M2. β] δύο W. 9 τὸν ἥμισυν 10 δύο δὲ — τοῖς γ om. W. α post ὁ ad. M2. 14 ἐπόγδοον M2. τὸ ὄγδοον W. ad figuram M2N habent ascriptos hos numeros: θ Ϛ η η ιβ θ οβ οβ οβ.) [*](1 Hic aliam protasin insert Commentarius ad Ptol. p. 274, 13, qua demonstratur praeter duplicem rationem ex superparticularibus componi multiplicem nullam.)

157
οἱ γ ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β. δώδεκα δὲ οἱ β ἶσοί εἰσιν ὀκτὼ τοῖς α· ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσιν ἐννέα τοῖς γ. ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τῷ γ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ, ἄρα ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.

Τὰ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι διαστήματος ἑνὸς διπλασίου.

Ἐστω γὰρ εἶς ἀριθμὸς ὁ α. καὶ τοῦ μὲν α ἐπόγδοος ἔστω ὁ β, τοῦ δὲ β (p. 31) ἐπόγδοος ὁ γ, τοῦ δὲ ἐπόγδοος ὁ δ, τοῦ δὲ δ ἐπόγδοος ὁ ε, τοῦ ε ἐπόγδοος ὁ ζ, τοῦ ζ ἐπόγδοος ὁ η. λέγω, ὅτι ὁ η τοῦ α μείζων ἐστὶν ἢ διπλάσιος.

Ἐπεὶ ἐμάθομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριθμοὺς ἐπογδόους ἀλλήλων, εὑρήσθωσαν οἱ α β γ δ ε ζ η, καὶ γίνεται ὁ μὲν α κϚ μύρια βρμδ,

[*]((θ ϛ η medias ad lineas, η ιβ θ imum ad finem positos). N2 rubro colore addit ἢ γὰρ ὀκτάκις θ οβ, καὶ δωδεκάκις τὰ ἓξ οβ, καὶ ἐννάκις τὰ η οβ, P. 156, 15 ὁ δὲ γ — 18 ἐστιν ἡμιόλιος om. W. 16 γ M2, τρίτος M1. β M2 in ras. 18 ὁ ἄρα α M1. 20 α] δ W. τοῖς β M2 ras. δωδεκάτοις β W.)[*](1 οἱ γ M2 supra. δώδεκα τοῖς — τοῖς α om. W. δὲ M2. 2 α] δ M1. 3 γ M2 ras., β W. ὁ ἄρα α V N, (α M2 supra). 4 ὁ α ἄρα W N. ἐπόγδοός ἐστιν W. 5 ἐστι] εἰσὶ W. 8 τοῦ δὲ γ om. N1. 9 τοῦ δὲ ε N. 10 τοῦ δὲ (om. ζ) ἐπογδ. V, τοῦ δὲ ζ ἐ. N. 12 ἀριθμοὺς ἐφεξῆς ἐπ. M3. 14 M br, item im seqq. (κϚ M2).)[*](12 Heiberg Littergesch. Studien comparat El. 8, 2: ἀριθ- μοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ τις, ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. Numeri sunt: α 262 144 β 294 912 ε 419 904 γ 331 776 ζ 472 392 δ 373 248 n 531 441.)
158

ὁ δὲ β κθ μύρια δϠιβ,

ὁ δὲ γ λγ μύρια αψοϚ

ὁ δὲ δ λζ μύρια γϲμη,

ὁ δὲ ε μα μύρια θϠδ,

ὁ δὲ ζ μζ μύρια βτ Ϟβ,

ὁ δὲ η νγ μύρια αυμα καὶ ἔστιν ὁ η τοῦ α μείζων ἢ διπλάσιος.

Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον.

Ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων (p. 32) ὁ α, μέση γ δὲ ὁ β, προσλαμβανόμενος δὲ ὁ γ. τὸ ἄρα α γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὂν ἐστὶ σύμφωνον. ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν, ἢ πολλαπλασιον. ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν· ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει. πολλαπλάσιον ἄρα ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο ἶσα διαστήματα τὰ αβ βγ συντεθέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον, καὶ τὸ αβ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.

Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν.

[*](1 Ϡ] ↑ M, τ WVN. item im seqq. 2 λγ et α M2. 3 numeri M2. 4 μα M2. Ϡ] ψ W. 6 αυ M2. 7 M1 hebet reliquias figurae | α | β | γ | δ | ε | ζ | η. post διπλά- σιος add. W: ια ιβ ιγ ιδ ιε ιζ ιη. om. fig. M2N. 8 διὰ M2. Hannc figuram habet N, om. numeros M2. 11 ὂν M4. ὢν M1N. 12 ἢ] ἡ M. 16 ἶσα Meibom. 18 ἐστι πολλαπλάσιον et q. seq. — prot. 18 incl. om. W. alia manus ad mg. scribit λείπει ὧδε. 19 ια V, ιβ M2, om. N. nec iam sequuntur protaseon numeri in codd. Figura vera in apud prot. 6, M2 om.)[*](14 οὐδεὶς ἀν. ἐμπ. prot. 3. 17 συντεθέντα ποιεῖ ππλαο. prot. 2.)
159

Ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὁ α, μέση δὲ ὁ β, ὑπάτη δὲ μέσων ὁ γ. τὸ ἄρα α διάστημα δὶς διὰ τεσσάρων ὂν ἐστὶ διάφωνον· οὐκ ἄρα γ ἐστὶ πολλαπλάσιον. ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα β ἶσα τὰ αβ β γ συντεθέντα τὸ ὅλον μὴ α ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ αβ ἐστὶ πολλαπλάσιον. καὶ ἔστι σύμφωνον· ἐπιμόριον ἄρα. ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ ισ ιβ θ τοῦ διὰ πέντε. (p. 33.)

Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι διπλάσιον.

Ἐδείξαμεν γὰρ αὐτὸ πολλαπλάσιον. οὐκοῦν ἤτοι διπλάσιόν ἐστιν — ἢ μεῖζον ἢ διπλάσιον. ἀλλʼ ἐπεὶ ἐδείξαμεν τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συγκείμενον, ὥστε εἰ ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖζον διπλασίου, οὐ συγκείσεται ἐκ δύο μόνων ἐπι- μορίων, ἀλλʼ ἐκ πλειόνων, — σύγκειται δὲ ἐκ δύο συμφώνων διαστημάτων, ἐκ τε τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων· οὐκ ἄρα ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖζον διπλασίου. διπλάσιον ἄρα.

Ἀλλʼ ἐπειδὴ τὸ διὰ πασῶν ἐστι διπλάσιον, τὸ δὲ διπλάσιον ἐκ τῶν μεγίστων ἐπιμορίων δύο συνέστηκε, καὶ τὸ διὰ πασῶν ἄρα ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου σννέστηκε, ταῦτα γὰρ μέγιστα. συνέστηκε δὲ ἐκ τοῦ [*](2 δὶς M2 supra. 3 ὂν M2 ex ὢν. 10 12. Libri om et numeros et partium signa, pergunt in linea. 11 αὐτὸ] αὐτῶ M. 22 καὶ τὸ διὰ π. — 23 γὰρ μέγιστα om. Porph. 23 δὲ Porph., γὰρ libri Eucl. post δὲ ἐκ insert τε M4.) [*](3 οὐκ ἄρα ππλασ. p. 149, 21. 5 μὴ ποιεῖ ππλάσ. prot. 5. 11 ἐδείξαμεν prot. 10. 13 ἐδείξαμεν prot. 6, ac- cedit Comm. in Ptol. p. 274, 13. 16 πλειόνων prot. 7. 21 συνέ- στηκε prot. 6.)

160
διὰ πέντε καὶ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων, ὄντων ἐπιμορίων· τὸ μὲν ἄρα διὰ πέντε, ἐπειδὴ μεῖζόν ἐστιν, ἡμιόλιον ἂν εἴη, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον.

Φανερὸν δὴ, ὅτι καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ διὰ πασῶν τριπλάσιόν ἐστιν. ἐδείξαμεν γὰρ, ὅτι ἐκ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται, ὥστε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ διὰ πέντε τριπλάσιον.

Τὸ δὲ δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιόν ἐστιν.

Ἀποδέδεικται ἄρα τῶν συμφώνων ἕκαστον, ἐν τίσι λόγοις (p. 34) ἔχει τοὺς περιέχοντας φθόγγους πρὸς ἀλλήλους.

Λοιπὸν δὴ περὶ τοῦ τονιαίου διαστήματος διελθεῖν, ὅτι ἐστὶν ἐπόγδοον.

Ἐμάθομεν γὰρ, ὅτι ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον. ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε τὸ διὰ τεσσάρων ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν τονιαῖόν ἐστι διάστημα· τὸ ἄρα τονιαῖον διάστημά ἐστιν ἐπόγδοον.

Τὸ διὰ πασῶν ἔλαττον ἢ ἓξ τόνων.

Δέδεικται γὰρ τὸ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιον, ὁ δὲ [*](3 ἐπὶ τρίτον N. (4 δὴ cf. Eucl. El. VII 36 med. lI 262, 24 Hb.], δὲ Porpb). 10 post ἄρα add. ὅτι M2. ἕκαστον] ασ corr. M2. 11 λόνοις M, λόγοις V. 13 δὴ ego cum B et Porph., δὲ NU, δεῖ M, cf. mira illa δὴ in Eucl. Elem. 7, 2 et 36 (p 192 et 262 H) 8, 4 (282). 10, 3 (282). 14 ἐπόγδοον] δ ras. M. 15 ἐὰν μὲν N (M ras.), ἐάν ἐστιν V, om. μὲν Porph. 20 ἔλαττόν ἐστιν ἢ NM3.) [*](1 ἐπιμορίων prot. 11. 5 ἐδείξαμεν prot. 7. 15 ἐμά- θομεν prot. 8. 21 δέδεικται prot. 12 et 13.)

161
τόνος ἐπόγδοος· τὰ δὲ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονα διαστήματός ἐστι διπλασίου. τὸ ἄρα διὰ πασῶν ἔλαττόν ἐστιν ἓξ τόνων.

Τὸ διὰ τεσσάρων ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου, καὶ τὸ διὰ πέντε ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου.

Ἔστω γὰρ νήτη μὲν διεζευγμένων ὁ β, παραμέση δὲ ὁ γ, μέση δὲ ὁ δ, (p. 35) ὑπάτη δὲ μέσων ὁ ζ. οὐκοῦν τὸ μὲν γδ δ διάστημα τόνος ἐστὶ, τὸ δὲ βζ, διὰ πασῶν ὂν, ἔλαττον ἓξ τόνων. τὰ λοιπὰ ἄρα, τό τε β καὶ τὸ δ ἶσα ὄντα ἐλάττονά ἐστι πέντε τόνων. ὥστε τὸ ἐν τῷ βγ ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ τεσσάρων, τὸ δὲ βδ ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ πέντε.

Ὁ τόνος οὐ διαιρεθήσεται εἰς δύο ἶσα οὔτε εἰς πλείω.

Ἐδείχθη γὰρ ὢν ἐπιμόριος· ἐπιμορίου δὲ διαστήματος μέσοι οὔτε πλείους οὔτε εἷς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν. οὔκ ἄρα διαιρεθήσεται ὁ τόνος εἰς ἶσα.

[*](7 Hanc figuram habet N ad § 6, rubro ibi colore additur in marg. διὰ πασῶν ὁ βζ. recto loco habent M2V quattuor lineas aequales signatas ζ δ γ β sine numeris. 11 ad ἔλατ- τον add. ἐστὶν M⁴ supra. 14 ὃ M1V N, ὂν M4. item lin. 16. 18 ἶσα Jan, ἴσους libb. (cf. 162, 14.) πλείω Porph., πλείους libb. Eucl. 19 ὢν M4, ὂν M1, ἂν N. 20 μέσοι N, μέσος V, om. Porph. et M.)[*](1 μείζονα prot. 9. 12 ἶσα, nam β : γ = 3 : 4 = δ: ζ. 19 ἐδείχθη § 15. ἐμπίπτουσι prot. 3.)
162

Αἱ παρανῆται αἱ καὶ λιχανοὶ ληφθήσονται διὰ συμφωνίας οὕτως. Ἔστω γὰρ μέση ὁ β. ἐπιτετάσθω (p. 36) διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ γ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἀνείσθω διὰ πέντε ἐπὶ τὸ δ. τόνος ἄρα ὁ βδ. πάλιν δὲ ἀπὸ τοῦ δ διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσθω ἐπὶ τὸ ε, καὶ ἀπὸ τοῦ ε ἀνείσθω ἐπὶ τὸ διὰ πέντε. τόνος ἄρα τὸ ζδ. δίτονος ἄρα τὸ ζβ. τόν τόν. λιχανὸς ἄρα τὸ ζ. ὁμοίως ἂν καὶ αἱ παρανῆται ληφθήσονται.

Αἱ παρυπάται καὶ αἱ τρίται οὐ διαιροῦσι τὸ πυκνὸν εἰς ἶσα.

[*](1 Exstant in N1 ad prot. 7 hae quinque lineae diversa longitudine pariter inter se distantes, adsunt hi numeri hae- que litterae. sed τόν. ascripsi ego, quod M V (M2 videtur ex colore et marginis loco) haec habent diagrammatis vestigia: ζ τ δ τ β ε γ Addidit etiam N2 rubro colore τόνος super β, eademque mαnus procedens e loco ζ toti figurae inscripsit διὰ πέντε ἀπὸ τοῦ μέχρι τοῦ δ et διὰ τεσσάρων inde ab ε. 6 δ M3N, τέταρτον M1. 10 ζδ M3N, ζ M1. δίτονος NM5. διάτονος M1 VU. Figuram 18 dedi ut erat in N, nisi quod pariter lineae inter se distabant. M2 V hanc habent figuram: ln § 18 hi sunt diagrammatis soni: β mese. a. la. ε γ lichanos meson. g. sol. δ hypate meson. e. mi. ζ lichan. hyp. d. re.)
163

Ἔστω γὰρ μέση μὲν ὁ β, λιχανὸς ζ δ γ ε β δὲ ὁ γ, ὑπάτη δὲ ὁ δ. ἀνείσθω ἀπὸ τοῦ β διὰ πέντε ἐπὶ τὸ ζ. τόνος ἄρα ὁ ζδ. καὶ ἀπὸ τοῦ ζ διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσθω ἐπὶ τὸ ε. τόνος ἐστὶν ἄρα τὸ ζδ διάστημα καὶ τὸ βε. κοινὸν προσκείσθω τὸ δγ. τὸ ἄρα ζε ἶσόν ἐστι τῷ δβ. διὰ τεσσάρων δὲ τὸ ζε· οὐκ ἄρα μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει τις τῶν ζε· ἐπιμόριον γὰρ τὸ διάστημα. ξδ καὶ ἔστιν ἴσος ὁ δβ τῷ ζε· οὐκ ἄρα οβ τοῦ δ μέσος ἐμπεσεῖται, ὅ ἐστιν ἀπὸ ὑπάτης ἐπὶ λιχανόν. οὐκ ἄρα ἡ παρυπάτη διελεῖ τὸ πυκνὸν εἰς ἶσα. ὁμοίως οὐδὲ ἡ τρίτη. (p. 37.)

Τὸν κανόνα καταγράψαι κατὰ τὸ καλούμενον ἀμετάβολον σύστημα.

Ἔστω τοῦ κανόνος μῆκος, ὃ καὶ τῆς χορδῆς τὸ αβ, καὶ διῃρήσθω εἰς τέσσαρα ἶσα κατὰ τὰ γδε. ἔσται ἄρα ὁ βα βαρύτατος ὢν φθόγγος βόμβυξ. οὗτος δὲ ὁ αβ τοῦ γβ ἐπίτριτός ἐστιν, ὥστε ὁ γβ τῷ αβ συμ- [*](6 καὶ M2 supra. βε ego, γε libri. (βε tonus est, quia dia tessaron εζ subtrahitur a diapente βζ.) 7 προσκείσθω Meib., προκείσθω libri. ζε ego, ζγ libri. 8 δβ ego, δε libri. 10 ἐπιμόριον M2N. ἐπιμόριος M1. 11 δβ τῷ ζε ego, δζ τῷ γε libri. 16 in N schol. κανῶν ἀμετάβολος, ὃς καὶ φθόγγος ὢν βαρύτατος βόμβυξ λέγεται. 18 διαιρείσθω W. κατὰ MV N (qui postea expunxit), om. W. 19 ὁ om. N. ὢν M3WN, ὧν M1V.) [*](18 A d α α΄ α γ δ ε β La1 re2 la2 la3 προολ. λιχ. μέση ν.ὑπβ.)

164
φωνήσει διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὴν ὀξύτητα. καὶ ἔστιν ὁ αβ προσλαμβανόμενος· ὁ ἄρα γβ ἔσται ὑπάτων διάτονος. πάλιν ἐπεὶ ὁ αβ τοῦ βδ ἐστὶ διπλοῦς, συμφωνήσει τῇ διὰ πασῶν καὶ ἔσται ὁ βδ μέση. πάλιν ἐπεὶ τετραπλάσιός ἐστιν ὁ αβ τοῦ εβ, ἔσται ὁ εβ νήτη ὑπερβολαίων. ἔτεμον τὸν γβ δίχα κατὰ τὸ ζ. καὶ ἔσται διπλάσιος ὁ γβ τοῦ ζβ, ὥστε συμφωνεῖν τὸν γβ πρὸς τὸν ζβ διὰ πασῶν· ὥστε εἶναι τὸν ζβ νήτην συνημμένων. ἀπέλαβον τοῦ δβ τρίτον μέρος τὸ δη. καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ δβ τοῦ ηβ, ὥστε συμφωνήσει ὁ δβ πρὸς τὸν ηβ ἐν τῷ διὰ πέντε· ὁ ἄρα ηβ νήτη ἔσται διεζευγμένων. ἔθηκα τῷ ηβ ἶσον τὸν ηθ, ὥστε ὁ θβ πρὸς τὸν ηβ συμφωνήσει διὰ πασῶν, ὡς εἶναι τὸν θβ ὑπάτην μέσων. ἔλαβον τοῦ θβ τρίτον μέρος τὸ θκ. καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ θβ τοῦ κβ, ὥστε εἶναι τὸν κβ παράμεσον. (p. 39.) ἀπέλαβον τῷ κβ ἶσον τὸν καὶ γενήσεται ὁ λβ ὑπάτη βαρεῖα. ἐσονται ἄρα [*](1 τῇ διὰ. τ. M5N. 2 γβ] βγ W. ὑπάτων M1V. ὑπα- τῶν M3WN. 3 καὶ πάλιν W διπλοῦς M1 VW. διπλά- σιος M3N. 4 τῇ MN, αὐτῇ W. 6 ad ὑπερβολαίων M3? in mg. νόει τὸ λεγόμενον ἐπὶ τοῦ ἐμμεταβόλου συστήματος, dein multa erasa. ad l. 11 idem νόει τὸ λ. ἐπὶ τοῦ ἀμεταβόλου συστ. et iterum multa erasa. ἔτεμον γὰρ M5N τὸν MN, τὸ corr. ex τοῦ W 11 ὁ ἄρα ὁ MN'. 14 τοῦ θβ W, τὸν θβ M1N. 16 παράμεσον MW, παραμέσην N.) [*](P. 165, 1. ἑστῶτες ego. 3 hoc habet diagrammma M2 mg.. sed παραμέση κ et νήτη συν. ζ perverse mutaverunt locos. bis illud repetit V nominibus non ascriptis, sed omittit bis λ, altero loco etiam η. WN omittunt figuram.) [*](9 αθη Α (La) e(mi2) e'(mi3) β) [*](14 α λ θ χ Α Η(si1) e h(si2) β)
165
εἰλημμένοι ἐν τῷ κανόνι πάντες οἱ ἑστῶτες φθόγγοι τοῦ ἀμεταβόλου συστήματος.

α λ γ δ κ ζ η ε προσλαμβ. ὑπάτη ὑπ. λιχ. ὑπ διάτ. ὑπάτη μέσ. Μέση παραμέση νήτη συν. νήτη διεζ. νήτη ὑπβ.

Λοιπὸν δὴ τοὺς φερομένους λαβεῖν.

Ἔτεμον τὸν ε β εἰς ὀκτὼ καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἶσον ἔθηκα τὸν εμ, ὥστε τὸν μβ τοῦ εβ γενέσθαι ἐπόγδοον. καὶ πάλιν διελὼν τὸν μβ εἰς ὀκτὼ ἑνὶ αὐτῶν ἶσον ἔθηκα τὸν νμ· τόνῳ ἄρα βαρύτερος ἔσται ὁ νβ τοῦ βμ, ὁ δὲ μβ τοῦ βε, ὥστε ἔσται μὲν ὁ νβ τρίτη ὑπερβολαίων, ὁ δὲ μβ ὑπερβολαίων διάτονος. ἔλαβον τοῦ νβ τρίτον μέρος καὶ ἔθηκα τὸν νξ, ὥστε τὸν ξβ τοῦ νβ εἶναι ἐπίτριτον καὶ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν ἐπὶ τὴν βαρύτητα καὶ γενέσθαι τὸν ξβ τρίτην διεζευγμένων. πάλιν τοῦ ξβ λαβὼν ἥμισυ μέρος ἔθηκα τὸν ξο, ὥστε διὰ πέντε συμφωνεῖν τὸν οβ πρὸς τὸν ξβ· ὁ ἄρα οβ ἔσται παρυπάτη μέσων. καὶ τῷ ξο ἶσον ἔθηκα τὸν οπ, ὥστε γενέσθαι τὸν πβ παρυπάτην ὑπάτων. ἔλαβον δὴ τοῦ β τέταρτον μέρος τὸν γρ, ὥστε γενέσθαι τὸν ρβ μέσων διάτονον.

[*](4 δὴ ego, δεῖ libri, cf. p. 34, 4. 5 τὸν W, τὸ ΜΝ 6 τὸν MΝ , τὸ W. 9 inter ὑπερβολαίων et 17 ὑπερβολαίων interposita habet M in mg. 10 τοῦ WM2N, τὸν M1 11"/> καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἶσὸν M3Ν, om. haec, habet ἔθηκα M1V νξ] ξ W. τοῦ νβ M3, τὸν νβ M1V. 12 καὶ om. libri. 14 ἶσον αὐτῷ M3 supra, ἶσον αὐτῶν Ν. 15 ἄρα o cum charta periit in W. item aliae litterae. 16 τῷ Μ2 esc τὸ. 17 τὸν] τὸ W. ὑπατῶν W. δὴ cf. el. VII. 36 (lI p. 262, 24 Η). 18 τὸν W, τὸ MΝ. γο W. 19 μέσον MΝ.)
166

προσλαμβανόμενος α

ὑπάτη ὑπάτων

παρυπ ὑπάτων

λιχανὸς ὑπάτων

ὑπάτη μέσων

παρυπάτη μέσων

λιχανὸς μέσων

Μέση

παραμέση

τρίτη διεζευγμένων

παρανήτη διεζευγμένων

νήτη διεζευγμένων

τρίτη ὑπερβολαίων

παρανήτη ὑπερβολαίων

νήτη ὑπερβολαίων

[*](Descriptum hoc est diagramma manu 2 in imo margine fol. 16v cod. M. litteras π et ζ librarius omisit, reliqua quae uncinis inclusi perierunt cum margine membranae. Alterum est diagramma in summo margine eiusdem folii neglegenter descriptum, litterarum ordo hic: α λ γ θ δ ρ κ κ η ε μ ν ξ ο π β, W nullam habet canonis figuram.)[*](Addit M1 εὐκλείδου καωόνος κατατομή ζώσιμος διώρθου ἐν κωνσταντινουπόλει εὐτυζῶς; eadem U, Lips. Bonon. 2048, Monac. Urbin 77. Schol. N2 rubro colore: Κλεονείδου εἰσαγωγὴ ἁρμο-νικὴ τέλος. φύλλα ιδ. carent titulo subscripto RVBBerol.)