Catoptrica (recensio Theonis?)

Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπίπτουσα ὄψις ἀνίσους ποιῇ γωνίας, οὔτε διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος γωνίας.

ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΗΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπιπτέτω μείζονα ποιοῦσα γωνίαν τὴν Ζ τῆς Θ, Λ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη οὔτε αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τὴν Θ, Λ γωνίαν. εἰ μὲν [*](1. β΄] δ΄ Vv. 2 προσπέσοι M. Dein add. ἡ m, m. rec. V. 6. τήν — Θ] τὰς ὑπὸ ΑΚΒ, ΓΚΒ m, m. rec V.) [*](ΒΚ] ΒΕ M. 8. ἡκέτω] ἱκέτω M. ὄψις v, corr. m. 2.) [*](9. Ε] ὑπὸ ΑΚ∠ m, m. rec V. Θ] ὑπὸ ΓΚΒ m, m. rec. V.) [*](10. Ε, Ζ (pr.) — Θ] ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ m, m. rec. V.) [*](Ε, Ζ (alt.)] ὑπὸ ΑΚΒ m, m. rec. V. 11. Ε] ὑπὸ ΑΚ∠ m, m. rec. V. γωνία ἔσται] ἐστιν m, m. rec. V. ἐλάττονι M.) [*](12. ἐστίν] om. M. ΒΚ] ΒΕ M. διʼ αὑτῆς] ὄψις ἐφʼ ἑαυτῆς m, m. rec. V αὑτῆς] mut. in ἑαυτῆς m. 2 v 13. ἁρμόσειεν] ἁρμόσειε καί m, m. rec. V. ἄν] M, om. Vmv.)

γὰρ ἥξει ἐπὶ τὸ Β, ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ, Λ ἴση· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ μείζων. εἰ δὲ διὰ τοῦ ∠, ἴση ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ· ἔστι δὲ μείζων. ἡ ἄρα ΒΚ ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν Ζ· δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφαιρεθῆναι. ἔστι δὲ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ κοίλων.

Αἱ ὄψεις ἐπὶ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν ἀνακλώμεναι οὔτε συμπεσοῦνται ἀλλήλαις οὔτε παράλληλοι ἔσονται.

ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΓ∠, ΒΑΕ. λέγω, ὅτι αἱ Γ∠, ΑΕ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ ∠, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Μ, μείζων δὲ ἡ Ζ τῆς Κ διὸ τὸ ἐκτὸς εἶναι ἐν τῷ ΒΑΓ τριγώνῳ, μείζων ἂν εἴη καὶ ἡ Θ τῆς Μ. οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ ἐστιν, οὐδὲ συμπίπτουσιν ἐπὶ τὰ Ε, ∠.

ἔστω πάλιν κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΖΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖ∠, ΒΗΕ. λέγω, ὅτι αἱ Ζ∠, ΕΗ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμ- [*](1. Β, ἔσται] Β α V m. 1, β ἔσται m, m. rec. V; ΒΕ e corr. M, ΒΚ v. Ζ] ὑπὸ ΑΚΒ m, m. rec. V. Θ, Λ] ὑπὸ ΓΚΒ m, m. rec. V. 2 εἰ δέ — 3. μείζων] om M. 3. ἔστι] ἔστιν Vv. 4. ΒΚ] ΒΕ M. τὴν μείζονα — Ζ] τῆς μείζονος γωνίας τῆς ὑπὸ ΑΚΒ m, m. rec. V. 5 ἴσην] ἴσον v, et V, corr. m. rec. 6 ἔστιν Vv. 8. δ΄] ϛ΄ v et in ras. V.) [*](15. Ζ] μὲν ὑπὸ ΒΓΖ m, m. rec. V. Θ] ὑπὸ ∠ΓΑ m, m. rec. V. Κ] ὑπὸ ΒΙΓ m, m. rec. V. 16 Μ] ὑπὸ ΕΑΗ m, m. rec. V. μείζων] e corr. v. Ζ] ὑπὸ ΒΓΖ m, m. rec. V. Κ] ὑπὸ ΒΑΓ m, m. rec. V. ἐν τῷ] τοῦ m,)

πεσοῦνται ἐπὶ τὰ Ε, ∠. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΖ εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ, Θ τῇ Λ διὰ τὸ ἐν ἴσαις ἀνακλᾶσθαι γωνίαις, εἴη ἂν μείζων ἡ Λ, Μ τῆς Κ. ἡ δὲ Κ τῆς Ν, Ξ ἐστι μείζων, ἡ δὲ Ν, Ξ τῆς Ο, Π μείζων· αὐτὴ γὰρ ἡ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ Ο, Π· μείζων ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο, Π. πολλῷ ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο μείζων ἐστίν. οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται αἱ Ζ∠, ΗΕ εὐθεῖαι οὐδὲ παράλληλοί εἰσιν.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἢ ἐπὶ τὸ κέντρον ἢ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἢ ἐκτὸς τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, τουτέστι μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι συμπεσοῦνται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Β, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεις πρὸς τὴν περιφέρειαν αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠. ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς σημείοις τοῖς Α, ∠, Γ γωνίαι· ἡμικυκλίου γάρ εἰσιν. αἱ ἄρα ὄψεις ἀνακλώμεναι διʼ ἑαυτῶν ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται. ὥστε συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Β.

ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, ὄμμα δὲ τὸ Β, [*](1. ΗΖ] Ζ M. 2. Post ἑκάτερα add. κατὰ τὰ Θ, Κ σημεῖα καί m, m. rec V. Post ἴση ras. 1 litt. V. Κ — 3. Λ] μὲν ὑπὸ ΒΖΘ γωνία (om. V) τῇ ὑπὸ ∠ΖΚ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΚ m, m. rec V. 3. εἴη — 7. ἐστίν] μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΒΖΘ γωνία τῆς ὑπὸ (ΒΖΘ — ὑπό postea add. m) ΒΗΘ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΚ μείζων τῆς ὑπὸ ΕΗΚ m, m. rec V.) [*](4. ἐστιν v. 5. μεῖζον v, corr. m. 2. ἐστίν V v. 6 μείζονα v, corr. m. 2. 8. Ζ ∠] ∠Ζ m. 9 ε΄] η΄ Vv. 10. τὸ κέντρον] τοῦ κέντρου m, m. rec. V. 11 θῇς] θεῖς V,)

κείσθω δὲ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ, ΒΑ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε σημεῖα. ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος, μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς γωνίας. καὶ ἡ ἄρα τῆς Κ μείζων. αἱ ἄρα Ζ, τῶν Θ, Κ μείζους εἰσίν. λοιπὴ ἄρα ἡ Λ τῆς Μ ἐλάσσων· πολλῷ μᾶλλον ἄρα τῆς Ν. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ Γ∠, ΑΕ κατὰ τὸ Ξ ὁμοίως δειχθήσεται, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας πίπτῃ τὸ ὄμμα, ὡς ἐπὶ τοῦ ἑξῆς θεωρήματος.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἀνὰ μέσον τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, ὁτὲ μὲν συμπεσοῦνται αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι, ὁτὲ δὲ οὐ συμπεσοῦνται.

ἔστω ἔνοπτρον κοῖλον τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ ∠, ὄμμα δὲ κείσθω τὸ Β μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Η, Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἕως τοῦ ἐνόπτρου αἱ ΑΘ, ΓΚ. ἡ ΑΘ δὴ τῆς ΓΚΘ ἢ μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ ὄψις τῇ ΓΚ ὄψει, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΓΘ περιφέρεια τῇ ΓΘΚ περιφερείᾳ. ὥστε καὶ ἡ Μ γωνία τῇ Ξ· αἱ γὰρ τῶν ἴσων περιφερειῶν γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις. καὶ αἱ Μ, Λ γωνίαι ἄρα ταῖς Ν, Ξ εἰσιν ἴσαι διὰ τὴν ἀνάκλασιν. [*](1. δέ] om. M 3. Post ἐπεί add. οὖν m, m. rec. V. μείζων v Deinde add. ἐστιν m, m rec. V. ΒΓ τμήματος] κύκλουματος M. 4. Post μείζων add. ἐστίν m. 2 m. καί — 5. μείζων] διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΚΗ (corr. in Κ τῆς Η) μείζων ἐστίν m. 4. Η] mut. in Κ m. rec. supra scr. διὰ τὸ πρῶτον V; Η διὰ τῆς α΄ Mv. 5. ἄρα (pr.)] del. m. rec V.) [*](Κ (pr.)] mut. in m. rec. V. Post μείζων add. ἐστί m. rec. V. Ζ, Η] ΖΕ M, et V, corr m. 1; ΖΚ m, m. rec. V. τῶν] τῆς M. Θ, Κ] mut. in Θ, m. rec. V. 6 εἰσί M.)

καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Ο τῇ Π ἴση ἐστίν. μείζων ἄρα ἡ Ρ τῆς Ο. ἐπεὶ γὰρ ἡ Ρ γωνία τῆς Π μείζων ἐστὶ διὰ τὸ ἐκτὸς εἶναι, ἡ δὲ Π τῇ Ο ἴση, καὶ ἡ Ρ ἄρα τῆς Ο μείζων ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΟΡΖ. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΓΖ, ΑΗ ὡς ἐπὶ τὰ Η, Ζ. τὸ δʼ αὐτὸ ἔσται, κἂν μείζων ἡ ΑΘ ὄψις τῆς ΓΚ· μείζονες γὰρ ἔσονται αἱ Λ, Μ γωνίαι τῶν Ν, Ξ, ἡ δὲ Π τῆς Ο μείζων ἔσται καὶ ἡ Ρ τῆς Ο. ἐὰν δὲ ἡ ΑΘ εὐθεῖα ἐλάσσων τῆς ΓΚ, διὰ τὰ αὐτὰ μείζων ἔσται ἡ Ο γωνία τῆς Π. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς Π μείζων. οὐδὲν ἄρα κωλύει ἴσην εἶναι τὴν Ρ τῇ Ο ἢ ἐλάσσονα τῆς Ο, καὶ μὴ συμπίπτειν τὴν ΑΗ τῇ ΓΖ. φανερὸν δέ, ὅτι, κἄν τε μείζων ᾖ ἡ ΑΘ περιφέρεια τῆς ΓΚ, ἐάν τε ἴση, ἡ σύμπτωσις τῶν ἀνακλάσεων οὔτε ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου οὔτε ἐκτὸς οὐ μὴ γίνηται, ἀλλʼ ἐντὸς μόνον.