Catoptrica (recensio Theonis?)

Euclid

Euclides, Catoptrica, Heiberg, Teubner, 1895

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά, καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον ἔχει.

ἔστω ἔνοπτρον κυρτὸν τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεῖς δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ [*](2. ὁρώμενον — 3. Ε∠] om. m. 4. κάθετος V, corr. m. 2. 5. ΒΓ, ΒΑ] ΕΖ, ΒΓ, Β M. 6. ταῖς] τοῖς M, ταῖς ∠Λ, ΕΚ m. 10. τῶν ΚΓΖ] ΓΚΖ m. τῶν (alt.)] om. m.) [*](ΖΓΕ| corr. ex ΞΓΕ v; ΒΑΕ, supra scr. ΓΖ, M. 11. τῷ] τό v. ἴση] ἴση ἄρα M v m. ἂν εἴη] ἔσται m. 12. καί] δὴ καί m. ΘΛ] corr. ex ΘΑ m. 2 V, corr. ex ∠Λ M. 13. ὅ (alt.)] ᾧ v m supra scr. m. rec. V. 14. τό (quart.)] τῷ M, V, sed corr. 15. εἰδώλῳ] ὁρωμένῳ M. 16. ∠Θ] Θ∠ m.) [*](18. κʹ] κζ΄ V. 20. ἀπό — 21. ἔχει] ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλοι ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου, ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀποστήματος, οὗ ἀπέχει τί.)

318
ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε, ὁρώμενον δὲ τὸ ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου ἤχθωσαν ἐπὶ τὰ ∠, Ε αἱ Θ∠, ΘΕ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθω τὸ ΖΗ εἴδωλον. οὐκοῦν τὸ μὲν ∠ φαίνεται ἐπὶ τοῦ Η, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Ζ. τὰ ἄρα δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιά. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΡΑΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσας ποιοῦσι γωνίας διὰ τὴν ἀνάκλασιν, ἐφάπτεται δὲ ἡ ΚΑΡ δίχα ἂν εἴη τετμημένη ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΖ γωνία. καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ Κ γωνία· μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ πολλῷ μᾶλλον ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἔλασσον ἄρα ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ ΖΗ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου, μεῖζον δὲ τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠.

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὸ εἴδωλον ἔλασσόν ἐστι τῶν ὁρωμένων.

ἔστω γὰρ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΟΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ, ΒΓ ἐπὶ τὰ ∠, Ε. οὐκοῦν [*](1. τά] m, τό V Mv. ὁρώμενον — ∠Ε] om. m. 2. Θ∠] Θ e corr. M m. 3. αἱ] αἱ ΒΓ, Β Α m. Ζ, Η] Η, Ζ m. 4. τοῦ] τό M. 5. τοῦ] τό V? 6. ὅτι] δὴ ὅτι m. μεῖζον v.) [*](7. Α] corr. ex m. ἐφαπτομένου M. περιφερείας] σφαίρας m. 8. Α Ε] Ε V. τὴν περιφέρειαν] τῇ περιφερείᾳ m.) [*](9. ποιοῦσιν V v. γωνίας ποιοῦσι m. 10 τεταγμένη v.) [*](τῶν] om. m. 11. ΕΑΖ] ΑΕΖ M. καί] ὑπὸ τῆς Κ εὐθείας m. ἐστιν — γωνία] δὲ ἡ ὑπὸ ΕΚΑ, ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΑΚΖ m. μεῖζον v. 12. μᾶλλον] ἄρα μείζων m. ΕΛ] corr. ex Ε∠ V. 13. ἔλαττον M. ΖΗ] ΖΝ v. 14. μεῖζον — Ε ∠] ἤπερ τὸ Ε∠ ὁρώμενον m. Post Ε∠ add ὡς ἐξῆς τοῦτο δείκνυται M v. 15. καʹ] κη΄ V v. 16. ἐν — 17. ὁρωμένων] καὶ ὁμοίως δειχθήσεται, ὅτι καὶ τὸ ∠ Ε ὁρώμενον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΗΖ εἰδώλου m. 16. ἐστιν Vv. 19. ΒΑ, ΒΓ] ΒΓ, ΒΑ m.)

320
ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου θεωρεῖται τὸ Ε∠ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. παρακείσθω δὴ ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ ἁπτόμενον τῶν ὄψεων κατὰ τὰ Α, Γ. οὐκοῦν ἡ ὄψις ἡ μέλλουσα ἰδεῖν τὸ Ε ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου οὐκ ἔστιν ἡ ΒΑΕ· οὐ γὰρ ποιεῖ γωνίας ἴσας πρὸς τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ. οὐδὲ μὴν κλασθήσεται μεταξὺ τῶν Α, Γ. κεκλάσθω γάρ, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω ἡ ΒΖΕ ὄψις. ἴση ἄρα ἡ Η γωνία τῇ Θ διὰ τὴν ἀνάκλασιν. ἡ δὲ Θ μείζων τῆς ΝΙ, ἡ δὲ Μ τῆς Η· ὥστε καὶ ἡ Μ τῆς ΝΙ μείζων ἐστίν· ὅπερ ἀδύνατον. αὐτὴ γὰρ ἡ Ι μείζων τῆς Μ ἐστιν· ἴση γάρ ἐστιν ὅλῃ τῇ πρὸς τῇ περιφερείᾳ. ἐκτὸς ἄρα ἀνακλασθήσεται τοῦ Α. κεκλάσθω καὶ ἔστω ἡ ΒΚΕ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΒΛ∠ πεσεῖται ἐκτός. τὸ ἄρα Ε∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας θεωρεῖται ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου τῆς περιεχομένης ὑπὸ ΚΒΛ ἤπερ ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ. ἴσον δὲ ἐδείχθη φαινόμενον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ. φανερὸν οὖν, ὅτι ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον φαίνεται τοῦ ὁρωμένου.

[*](1. ἐνόπτρου] ἐνόπτρου τοῦ ΑΟΓ m. 2. ΑΕΓ] Α in ras. V. 3. τά] τὸ M. 4. ἡ (alt.)] om. V M v m. μέλλουσα] lacum. M. Ε] mut. in Ε∠ m. 2 V. 5. ἔστιν ἡ] ἔσται ἧ αὐτὴ τῇ m. 7. κεκλίσθω M m. 8. ἄρα] ἄρα ἐστίν m. Η] ὑπὸ ΒΖΓ m. Θ] ὑπὸ ΒΖΑ γωνίᾳ m. 9. Θ] ὑπὸ ΒΖΓ, postea add. γωνία, m. μεῖζον v, μείζων ἐστί m. ΝΙ] V v, ὑπὸ ΒΑΖ m, Ν M. ἡ δέ — 12. περιφερείᾳ] καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΑ ἄρα (supra scr. m. 1) γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον m. 10. Η] Ν M v. ΝΙ] Ν V? M. μεῖζον v. 11. Ι] Ν M. μεῖζον v. τῆς] τοῦ M. 12. ἐκτός] ἐντός M. 14 ὁμοίως] μ V. δέ] om. M. ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ Γ m. 16. τῆς — ΚΒΛ] om. m. 17. ἴσον — 18. ἐνόπτρῳ] μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΒΛ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ καί m.)
322

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἀπὸ τῶν ἐλασσόνων ἐνόπτρων ἐλάσσονα φαίνεται τὰ εἴδωλα.

ἔστω σφαῖρα μείζων μὲν ἡ ΑΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΛ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΑΘ, καὶ ἀπὸ τῆς σφαίρας ἀνακεκλάσθω ὄψις ἡ ΒΓ∠. λέγω, ὅτι ἡ ἀνακλασθησομένη ὄψις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὸ ∠ οὔτε διὰ τοῦ Γ πεσεῖται οὔτε ἐκτὸς τοῦ πιπτέτω γὰρ πρότερον, εἰ δυνατόν, διὰ τοῦ Γ καὶ ἀνακεκλάσθω ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὸ ∠ καὶ ἔστω ἡ ΒΕ∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ. δίχα δὴ τεμεῖ ἡ ΘΓΚ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓ∠ γωνίαν διὰ τὸ τὴν ΒΓ∠ ἴσας ποιεῖν γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὴν ἀνάκλασιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζευγνυμένη καὶ ἐκβληθεῖσα δίχα τεμεῖ τὴν ὑπὸ ΒΕ∠. τεμνέτω καὶ ἔστω ἡ ΘΕΖ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ ΒΕ∠, καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΚ τῆς ὑπὸ ΒΕΖ. ἔστι δὲ καὶ ἐλάσσων· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἥξει διὰ τοῦ Γ ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας.

[*](1. κβʹ] κθ΄ V v. 4. μείζων v. 6. Β ΑΘ] B e corr. m, ΒΘ M. τῆς] τῆς Α m. 8. τῆς] om. M. ἐλάττονος M, λε m. 9. γάρ] supra scr. m. 10. ἐλάσσονος] ελ m. 11 ἐπεζεύχθω — 12. Γ] ἐπιζευχθεῖσα (-α e corr.) ἡ ΒΓ m. 12 καί] om. m. 13. τῶν] om. M m. 14. τό] supra scr. m.)[*](ΒΓ∠ ὄψιν m. 15 δέ] δή M. 16. καί] εὐθεῖα καί m.)[*](ἐκβληθεῖσα] ἐκβαλλομέμη m. 17. ἐπεί] καὶ ἐπεί m. μεῖζον v. 18. περιεχομένη] om. m. τῶν] om. m. ΒΓ∠ γωνία m. 19. ἡ ὑπὸ ΒΓΚ τῆς ἡμισείας τῆς ὑπὸ ΒΕΖ m. ἡ (alt.) — 20. ΒΕΖ] om. m. 20. ἔστιν V v. ἐλάττων M.)
324

ὑποκείσθω δὲ πάλιν τὰ αὐτά, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΕ∠ ἐκτὸς πιπτέτω τοῦ Γ, καὶ τεμνέτω ἡ ΒΕ τὴν μείζονα σφαῖραν κατὰ τὸ Ζ. ἡ δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΖΚ οὐ συμπεσεῖται τῇ Γ∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται. τῇ ἄρα Ε∠ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ. ἡ ἄρα ΒΖΚ ὄψις ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ μείζονος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ Κ, καὶ ἡ αὐτὴ ἡ ΒΕΚ ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ αὐτὸ Κ· τοῦτο δὲ ἐπάνω ἐδείχθηἀδύνατον. μεταξὺ ἄρα πεσεῖται τῶν Γ Α ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἐπὶ τὸ ∠. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου μέρους τὸ αὐτὸ ποιοῦσα. ὑπὸ ἐλάσσονος ἄρα γωνίας θεωρεῖται τῆς πρὸς τῷ Β γιγνονένης ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἤπερ ἀπὸ τοῦ μείζονος. ἔλασσον ἄρα φαίνεται τὸ εἴδωλον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου.

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ εἴδωλα κυρτὰ φαόνεται.

[*](1. δέ] δή m. ἐλάττονος M, ελ m. 3. μείζονα] ΑΓ m.)[*](4. Ζ (utrumque)] Ν m. 5. ΒΖΚ| ΒΖΕ M, ΒΝΞ m. 8 Ε∠] corr. ex ΕΛ m. 2 V, Ε∠ συμπεσεῖται ἡ ΝΞ m. 9. Κ])
326

ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ε, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΕΑ, ΕΓ ἐπὶ τὰ ∠, Β, ἡ δὲ ΖΕ ἀνακλωμένη διʼ ἑαυτῆς ἐπὶ τὸ Ε. οὐκοῦν τῶν ὄψεων μέγισται μέν εἰσι τῷ μήκει αἱ πορρωτάτω, ἐλάχισται δὲ αἱ κατὰ μέσον, ὥσπερ ἡ ΕΖ. φαίνεται ἄρα τοῦ ἐνόπτρου ἔγγιον μᾶλλον τὸ Ε, πορρωτάτω δὲ τὸ Β καὶ τὸ ∠. ὥστε ὅλον κυρτὸν φαίνεται.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τοῦ κέντρου τὸ ὄμμα τεθῇ, αὐτὸ μόνον φαίνεται τὸ ὄμμα. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ ∠, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠. οὐκοῦν ἴση ἡ Ε γωνία τῇ Ζ. ἥξει ἄρα ἀνακλωμένη ἡ ΒΓ ὄψις ἐπὶ τὸ Β. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ λοιπαί. αὐτὸ μόνον ἄρα ὁρᾶται τὸ Β.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα ἢ ἔξω τῆς περιφερείας, οὐ φαίνεται τὸ ὄμμα.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, καὶ τὸ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τὸ Β, ὄψεις δὲ προσπιπτέτωσαν αἱ ΒΑ, ΒΓ καὶ ἀνακεκλάσθωσαν. οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΜΘ γωνία τῆς Κ, ἡ δὲ ΕΛ τῆς Ζ. [*](2. ΕΑ] ΕΛ M. 3. ἑαυτῆς] αὐτῆς M. 4. εἰσιν V v. αἱ] corr. ex ε v. πορρωτάτω τοῦ μέσου m. 5. κατά] κατὰ τό m.) [*](ἡ ΕΖ] corr. ex ἡ ΕΞ v, ἐνταῦθα μέγισται μέν εἰσιν αἱ ∠Α, ΒΓ ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΖ m. 8. κδʹ] λα΄ V v. 9. τοῦ κέντρου] τὸ κέντρον M. 12. ἴση] ἴση ἐστίν m. 14 λοιπαί] Β Α καὶ B∠ ὄψεις ἐπὶ τὸ B ἥξουσιν m. 16. κεʹ] λβ΄ V v. 18 θῇς])

328
ὥστε οὐκ ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ ὄψεις ἐπὶ τὸ Β ὄμμα. εἰς τὸ ὄμμα δὲ εἰ ἀνεκλῶντο, ἴσαι ἂν αἱ γωνίαι πρὸς τοῖς Α, Γ ἐγίγνοντο. δειχθήσεται δέ, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας γένηται τὸ ὄμμα, τὰ αὐτὰ συμβαίνοντα, τουτέστι τὸ μὴ ὁρᾶσθαι τὸ ὄμμα διὰ τὸ τὰς ἀνακλάσεις μὴ γενέσθαι ἐπʼ αὐτό.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐκβαλὼν διάμετρον τῆς σφαίρας ἐκ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀναγάγῃς καὶ εἰς τὸ ἕτερον μέρος θῇς τὸ ὄμμα, οὐδὲν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ μέρει, ἐν τὸ ὄμμα ἐστίν, ὀφθήσεται, τουτέστιν οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, διάμετρος δὲ ἔστω τῆς σφαίρας ἡ Α∠, καὶ τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ ἡ ΖΓ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ὄψις δὲ ἡ ΒΕ. οὐκοῦν ἡ ΒΕ ἀνακλωμένη οὐχ ἥξει οὔτε ἐπὶ τὸ Β οὔτε ἐπὶ τὸ Ζ· ἐν γὰρ ἴσαις γωνίαις ἀνακλᾶται. ἥξει ἄρα ὡς ἡ ΕΘ. ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν ἐντὸς ἐμπέσῃ τὸ ὄμμα, ὅπου τὸ Θ, ἢ ἐπὶ τῆς διαμέτρου, ὅπου τὸ Μ, ἀνακλώμεναι αἱ ὄψεις αἱ ΘΚ, ΜΝ ἥξουσιν ὡς αἱ ΚΛ, ΝΞ. οὐκ ἄρα ὁρᾶται οὐδὲν τῶν ἐν [*](1. ὄψεις] om. m. 2. εἰς — εἰ] εἰ γὰρ εἰς τὸ ὄμμα m.) [*](δέ] scr. γάρ. ἄν] om. V M v. αἱ] om. M. αἱ — 3. ἐγίγνοντο] ἐγίγνοντο αἱ πρὸς τοῖς Α, Γ σημείοις γωνίαι· οὐκ εἰσὶ δὲ ἴσαι. οὐδʼ ἄρα αἱ ΒΑ, BΓ ὄψεις ἐπὶ τὸ Β ὄμμα ἀνακλῶνται m. 4. γένηται] τεθῇ m. 5. τουτέστιν V v. διά — 6. αὐτό] ὑπὸ πασῶν τῶν ἀνακλωμένων ὄψεων εἰ μὴ ὑπὸ μόνης τῆς διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένης m. 6. γίνεσθαι M. 7. κϚʹ] λγ΄ V v. 10. εἰς] mut. in ἐπί M. 12. οὔτε (pr.)] οὔτε τι m.) [*](διαμέτρου] o ÷ ο M, ut saepe. 15. καί] κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ m. 16. ἀπό — Ζ] om. m. 17. ὄψεις V, V, sed corr. m. 2. 20. ἐμπέσει v, τεθῇ m.)

330
τῷ αὐτῷ μέρει, ὅπου ἐστὶ τὸ ὄμμα, οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου, οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων ὀφθήσεται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, διάμετρος δὲ ἡ Α∠, κέντρον δὲ τὸ Ζ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἡ ΖΓ, ὄμματα δὲ τὰ Β, Ε ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου, ὄψις δὲ ἡ ΒΓ. οὐκοῦν ἀνακλωμένη ἥξει ἐπὶ τὸ Ε· ἐν ἴσαις γὰρ γωνίαις ἀνακλᾶται. ἄλλη δὲ οὐδεμία ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε. εἰ γὰρ ἥξει ὡς ἡ ΒΘ, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΘΖ· δίχα ἄρα τμηθήσεται ἡ ὑπὸ ΒΘΕ ὑπὸ τῆς ΖΘ, καὶ ἀνάλογον ἔσται ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ· ὅπερ ἀδύνατον· ἡ μὲν γὰρ ΒΘ μείζων ἐστὶ τῆς ΘΕ, ἡ δὲ ΒΖ ἴση τῇ ΖΕ. οὐδεμία ἄρα ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε. μία ἄρα ὄψις μόνον ἀνακλασθήσεται ἐφʼ ἑκατέρου τῶν Β, Ε ὀμμάτων, καὶ οὐκ ὀφθήσεται τὸ Ε· οὐ γὰρ συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ἐκβαλλομένη τῇ Β∠ ἐπὶ τὰ Γ, ∠ μέρη, ἐφαίνετο δὲ ἕκαστον κατὰ τὴν συμβολὴν μόνον τῶν ὁρωμένων· οὐδὲ ἡ ΕΓ οὐ μὴ συμπέσῃ τῇ ΕΑ ἐπὶ τὰ Γ, Α μέρη· ἐν γὰρ τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.

[*](1. ἐστίν V. v. οὔτε] οὔτε τι m. 3. κζ΄] λδ΄ V v. 5. τὰ ὄμματα] τὸ ὄμμα M. 9. τὰ Β] e corr. M. τοῦ] τοῦ Z m.)[*](11. ἀνακλωμένη — 12. ἥξει] om. M v m. 12. ἡ] postea add. m. 14. BΘΕ] ΒΘΕ γωνία m. ΖΘ] ΖΘ εὐθείας m.)[*](ἔσται] ἐστιν M. 15. ΘΕ] τὴν ΘΕ M m. ΖΕ] τὴν ΖΕ M m. 16. ἐστίν V. ΖΕ] ΕΖ M. 18. μόνον] om. Mm.)
332

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν τὴν ἐκ τοῦ κέντρου δίχα τεμὼν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν θῇς τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, θῇς δὲ ἢ ἀνὰ μέσον τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἢ ἐπʼ αὐτῆς τῆς πρὸς ὀρθάς, οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων φαίνεται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, διάμετρος δὲ ἡ Α∠, κέντρον δὲ τὸ Κ, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΓ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Π, πρὸς ὀρθὰς δὲ αὐτῇ ἔστω ἡ ΕΠΖ, καὶ ὄμματα τὰ Β, Θ μεταξὺ κείμενα τῆς τε διαμέτρου τῆς Α∠ καὶ τῆς ΕΖ ἐν παραλλήλοις ταῖς ΕΖ, ΒΘ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ΚΓ, ὄψις δὲ ἔστω ἡ ΒΓ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Θ ἴσας γὰρ ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΖΕ τῇ ΒΘ καὶ ἴσην τὴν ΒΝ τῇ ΝΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΒ, ΚΘ ἐκβεβλήσθωσαν, ἐκβεβλήσθω δὲ καὶ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Φ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Β Κ, μείζων ἐστὶν ἡ Ρ γωνία τῆς Ι. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΘ μείζων τῆς ὑπὸ ΘΒΚ, τουτέστι τῆς ὑπὸ ΒΘΚ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ τῇ ΚΘ. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται τὸ Θ κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν φαίνεται τῶν ΒΓ, ΚΘ.

ἔστω πάλιν τὰ αὐτὰ τῇ ἐπάνω, τὰ δὲ Β, Θ ὄμματα ἔστωσαν ἐπὶ τῆς δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμνούσης τὴν [*](1. κηʹ] λε΄ Vv. 3. δίχα] πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ διαμέτρῳ δίχα m. ἀγαγών] ἀγαγὼν εὐθεῖαν m. τά]  corr. ex τό m. 1 M. 4. ἴσον] μεταξὺ τῆς τε διαχθείσης καὶ τοῦ κέντρου ἴσον m. θῇς — 5. ὀρθάς] om. m. 6. πρὸς ὀρθάς] διαχθείσης m. φαίνεται] φανεῖται m. 8. ἡ (pr.)] om. m. ἡ ΚΓ δίχα] τῇ Α∠ ἡ ΚΓ καί m. 9. κατά] ἡ ΚΓ δίχα κατά m.) [*](πρός — ἔστω] καὶ διὰ τοῦ Π διήχθω τῇ ΚΓ πρὸς ὀρθάς m.) [*](αὐτῇ] αὐτῆς M v. 10. κείμενα] κείσθω m, ἠγμένα M. διαμέτρου — 11. ΕΖ (pr.)] ΕΖ καὶ τοῦ Κ κέντρου m. 13. ἴσας] corr. ex ἴας m. 2 V. 14. εἶναι] om. M. 15. ΒΝ] BΗ m.)

334
ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τῆς Α∠. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΓΘ τῇ Ζ Θ, παράλληλος ἂν εἴη ἡ ΒΓ τῇ ΖΘ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ὄψις τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ ὁρώμενον, τουτέστι τῇ ΖΘ, ἐπὶ τὰ Θ, μέρη. ὥστε οὐ φαίνεται τὸ Θ ὄμμα· κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν ἐφαίνετο τῶν ΒΓ, ΖΘ.

ἔστω πάλιν τὰ αὐτά, τῆς δὲ διχοτομίας ἀνωτέρω κείσθω τὰ ὄμματα τὰ Β, Γ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς Ζ Α. φημὶ δὴ φαίνεσθαι τὰ Β, Γ καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον μεῖζον τοῦ προσώπου καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἔχον μεῖζον τὸ εἴδωλον. ἔστω γὰρ ἡ ΒΑ ὄψις ἀνακλωμένη, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Β, Γ αἱ ΖΒ, ΖΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ. ἐπεὶ οὖν διχοτομία ἐστὶ τὸ Ν, μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΒΑ καὶ ἡ Κ γωνία τῆς Ε. ἴση δὲ ἡ Κ τῇ ∠· μείζων ἄρα καὶ ἡ ∠ τῆς Ε. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΖΒ, ΓΑ ἐκβληθεῖσαι. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΒΑ, ΖΓ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Θ. ὀφθήσεται ἄρα τὸ μὲν Γ ἐπὶ τοῦ Θ, τὸ δὲ Β ἐπὶ τοῦ Π, καὶ φαίνεται τὰ μὲν δεξιὰ ἀριστερά, τὰ δὲ ἀριστερὰ δεξιά. ἀλλὰ μὴν καὶ μείζων ἡ ΘΠ τῆς ΒΙ παράλληλοι γάρ [*](1. ἐπί] om. m. τῆς] τά M. ἴση] ἴση ἐστίν m. 2. τῇ (utr.)] τῆς M. Post δέ del. τό v. ΖΘ] ΓΖ m. 4. τουτέστιν V, comp. v ΖΘ] ΖΘΕ M. 6 τῶν] corr. ex τω m. 1 V. 7. κθ΄ m, λζ΄ V v. 11 ἀπό] ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλον m. 12. ἔχον] corr. ex ἔχων v, om. m. τὸ εἴδωλον] τοῦ ἀποστήματος, οὗ ἀπέχει τὸ πρόσωπον m. 15. ἐστί]  ἐστίν V v.) [*](Ν] M v m. μεῖζον v. ΒΖ]  ΖΒ M m. 16. Κ (pr.)] ὑπὸ Β Α Ζ m. Ε] ὑπὸ ΒΖ m. ἡ Κ (alt.) — 17. Ε] τῇ μὲν ὑπὸ Β ΑΖ ἡ ὑπὸ ΓΑΖ, τῇ δὲ ὑπὸ ΒΖΑ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ Β ΑΓ ὅλης τῆς ὑπὸ ΒΖΓ μείζων ἐστί m. 16. τῇ] corr.)

336
εἰσιν. τὸ ἄρα εἴδωλον φαίνεται μεῖζον καὶ μεῖζον ἀπέχον τοῦ ἐνόπτρου· μείζων γὰρ ἡ ΜΑ τῆς ΑΛ.

ἐὰν δὲ ἔξω τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα, τὰ δεξιὰ φαίνεται δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ προσώπου καὶ ἐν τῷ ἀνὰ μέσον τοῦ προσώπου καὶ τοῦ ἐνόπτρου.

ἔστω γὰρ ὄμματα τὰ Β, Γ, κέντρον δὲ τὸ Ζ τοῦ ἐνόπτρου, καὶ τῇ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω ἡ Α Ζ ∠, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΓ, καὶ ἴση τῇ ΒΑ ἔστω ἡ ΑΓ. καὶ ὄψις ἡ Β∠ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Γ καὶ διὰ τοῦ κέντρου αἱ ΒΖΚ, ΓΖΕ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Κ ἡ ΚΕ ἐπεζεύχθω. οὐκοῦν τὸ μὲν Β ἐπὶ τοῦ Κ φαίνεται, τὸ δὲ Γ ἐπὶ τοῦ Ε. τὰ ἄρα δεξιὰ δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὸ ΕΚ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ ΒΓ προσώπου· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ τῇ ΒΓ· καὶ ἀνὰ μέσον τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ προσώπου φαίνεται τὸ εἴδωλον.

ἀναγομένου δὲ τοῦ προσώπου ἔτι ἔλασσον φαίνεται τὸ εἴδωλον. ἔστω γὰρ τὸ ΜΝ πρόσωπον τὸ αὐτὸ τῷ ΒΓ ἀφεστηκὸς ἀπὸ τοῦ ΒΓ κείμενον ὁμοίως. οὐκοῦν [*](1. εἰσι M m. 2. μεῖζον v. 3. λ΄ m, λη΄ V v. 4 δεξιὰ φαίνεται m. 5. ἔλαττον M. μέσον μέσῳ V v.) [*](7. τοῦ ἐνόπτρου τὸ Ζ m. 8. Α Ζ ∠] Α∠ V, sed corr. m. 1. 9. τῇ Β ἴση m. 11. BΖΚ] ΒΖΕ M. ἀπό — ΚΕ] om. m. ἐπεζεύχθω ἡ ΕΚ m. 12. Β] Γ m.) [*](τοῦ] corr. ex τό M. Κ] Ε 15. 13. Γ] Β m. καί] φαίνεται καί m. 14. φαίνεται] om. m. 18. ἔλαττον M. 20. BΓ (alt.)] ΒΓ καί m. οὐκοῦν] ὀκοῦν V, corr.)

338
ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ἀνώτερον πεσεῖται τοῦ Κ ὡς τὸ Λ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ζ ἀνώτερον τοῦ Ε ὡς τὸ Θ. φαίνεται ἄρα τὸ ΜΝ ὡς τὸ ΘΛ. καί ἐστιν ἔλασσον τὸ ΘΛ τοῦ ΕΚ καὶ ἔγγιον τοῦ ἐνόπτρου.

Δυνατόν ἐστιν ἔνοπτρον κατασκευασθῆναι ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ φαίνεσθαι πλείω πρόσωπα, τὰ μὲν μείζονα, τὰ δὲ ἐλάσσονα, καὶ τὰ μὲν ἔγγιον, τὰ δὲ πορρώτερον, καὶ τῶν μὲν τὰ δεξιὰ δεξιά, τὰ δὲ ἀριστερὰ ἀριστερά, τῶν δὲ τὰ ἀριστερὰ δεξιά, τὰ δὲ δεξιὰ ἀριστερά. ἔστω γὰρ ἐπίπεδον τὸ ΑΜ. οὐκοῦν ἐν τούτῳ γένοιτʼ ἂν κυρτὰ μὲν ἔνοπτρα οἷα τὰ ΑΟΓ, ΘΡΚ, κοῖλα δὲ οἷα τὰ Γ∠Ε, ΖΗΘ, ἐπίπεδα δὲ οἷα τὰ ΕΖ, ΛΜ. τεθέντος οὖν τοῦ προσώπου, ὅπου τὸ Ν, φαίνεται ἀπὸ μὲν τῶν ἐπιπέδων ἴσα τὰ εἴδωλα καὶ ἴσον ἀπέχοντα, ἀπὸ δὲ τῶν κυρτῶν ἐλάσσονα καὶ ἔλασσον ἀπέχοντα, ἀπὸ δὲ τῶν κοίλων παντοδαπῶς, καθάπερ δέδεικται.

[*](2. ὡς τό] ἕως τοῦ m. Λ] om. M lac. rel. 3. Ν] E Μ. ὡς] ἕως V M v m. τὸ (alt.)] V. v seq. ras.;)
340

Ἐκ τῶν κοίλων ἐνόπτρων πρὸς τὸν ἥλιον τεθέντων πῦρ ἐξάπτεται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ, ἥλιος δὲ ὁ ΕΖ, κέντρον δὲ τοῦ κατόπτρου τὸ Θ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ ∠ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἐπὶ τὸ Θ κέντρον ἡ ∠Θ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, προσπεπτωκέτω δὲ ἡ ∠Γ ἀκτὶς καὶ ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ Κ. ἀνακλασθήσεται δὴ ἐπάνω τοῦ Θ κέντρου· ἡ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῇ περιφερείᾳ ἡ Π ἐλάσσων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΒΓ∠. καὶ ἔστω ἡ Α Β περιφέρεια ἴση τῇ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἄλλη τις ἀκτὶς προσπιπτέτω ἡ ∠Α. φανερὸν οὖν, ὅτι ἀνακλωμένη ἡ Α ∠ ἀκτὶς πεσεῖται ἐπὶ τὸ Κ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ περιφέρειαν τῇ ΒΓ. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, ὅτι πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ ∠ προσπίπτουσαι πρὸς τὸ ἔνοπτρον καὶ ἴσας ἀπολαμβάνουσαι εἰς τὸ αὐτὸ συμπεσοῦνται τῇ Θ ἀνώτερον τοῦ Θ.

ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ, ἥλιος δὲ ὁ ∠ΕΖ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε διὰ τοῦ Θ κέντρου ἔστω ἡ ΕΘΒ, καὶ ἀπʼ ἄλλων [διὰ] τῶν ∠, Ζ αἱ ∠ΘΓ ΖΘΑ. οὐκοῦν προδεδείχαμεν, ὅτι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε ἀκτῖνες συμπεσοῦνται εἰς ἑαυτὰς διὰ τὰς Π, Ρ γωνίας ἴσας οὔσας· διάμετροι γάρ εἰσιν· αἰ δὲ ἀπὸ τοῦ Ζ διὰ τὰς [*](1. λ΄] μ΄ V v, λβʹ m. 7. προσπεπτωκέτο v. ∠Γ] ∠ΓΚ V. 8. δή] δέ M. 10. ἐλάττων M. ἐστίν V v.) [*](τῆς (pr.)] τῇ V. τῆς λοιπῆς τῆς V. 13. Α∠] ∠Α m. πεσεῖται] προσπεσεῖται M. 15. ὁμοίως] Μ V. 16. πρός ἀκτῖνες πρός m. ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνουσαι ἑκατέρωθεν τοῦ Β m. 17. αὐτό] om. M lac rel. 19. μα΄ V v.)

342
Κ, Λ γωνίας, αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὴν ∠Γ διὰ τὰς Ν, γωνίας ἴσας οὔσας. ὅτι δὲ πᾶσαι αὐταὶ εἰς ἑαυτὰς ἀνακλῶνται, δῆλον· ἐκ τοῦ γὰρ κέντρου οὖσαι ἡμικύκλια ποιοῦσιν, αἱ δὲ τῶν ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι εἰσίν· διʼ ἴσων ἄρα γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίγνονται· εἰς ἑαυτὰς οὖν ἀνακλῶνται. πᾶσαι ἄρα συμπεσοῦνται ἀπὸ πάντων τῶν σημείων ἐπὶ τὰς διὰ τοῦ κέντρου καὶ ἐν τῷ κέντρῳ [ἀκτῖνας]. τούτων οὖν τῶν ἀκτίνων ἐκθερμαινομένων περὶ τὸ κέντρον πῦρ ἀθροίζεται. ὥστε ἐνταῦθα στύππιον τεθὲν ἐξαφθήσεται.

[*](1. Κ, Λ] πρὸς τῶ Α m. γωνίας] γωνίας ἴσας οὔσας ὁμιοίως ἀλλήλαις m. ἐπὶ τὴν ∠Γ] om. m. 2. Ν, Ξ] πρὸς τῷ Γ m.)[*](ἴσας οὔσας] οὔσας ἴσας M, διάμετροι γάρ εἰσι πᾶσαι m. 3. ἐκ τοῦ γάρ] ἐκ γὰρ τοῦ M, διὰ γὰρ τοῦ m. οὖσαι] ἰοῦσαι m.)[*](4. ἡμικύκλια] ἡμικύκλιον M. ποιοῦσι M. τῶν ἡμικυκλίων] τῷ ἡμικυκλίῳ M. γωνίαι] γωνίαι αἱ γινόμεναι πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων καὶ περιεχόμεναι ὑπʼ αὐτῶν τε τῶν διαμέτρων καὶ τῶν περιφερειῶν m. 5. εἰσί M m. γίνονται M, γίνονται καὶ διὰ τοῦτο m. 6. οὖν] om. m. 8. ἀκτῖνας] deleo. 10. στύππιον] καὶ υππιον M, supra scr. m. 2: ςύπιον.)[*](ln fine: Εὐκλείδου κατοπτρικά V, τέλος m.)