Opticorum recensio Theonis

Τὸ δοθὲν βάθος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν.

ἔστω γὰρ τὸ βάθος, ὅ δεῖ ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν, τὸ ΚΒ, καὶ κείσθω ὄμμα τὸ ∠, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ∠ΛΚ εἰς τὸ βάθος, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ παρὰ τὴν ΒΚ ἡ ∠Ζ. Δ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ∠Ζ, καὶ ἐμπέπτωκεν ἡ ∠Κ, τὰς ἐναλλὰξ Β Λ γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚ Λ, Λ∠Ζ ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αἱ πρὸς τῷ Λ ἴσαι ἀλλήλαις· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα γωνία τῇ λοιπῇ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚ Λ τρίγωνον τῷ Λ∠ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΛΖ πρὸς Ζ∠, ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ. δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΛΖ πρὸς Ζ∠ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΛΒ πρὸς ΒΚ λόγος. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ∠Β δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΚ.

Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω γάρ, ὃ δεῖ μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν, τὸ ΒΓ. κείσθω δὴ ὄμμα τὸ ∠, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν σαν ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ ΖΚ. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς Κ∠, ἡ ΒΓ πρὸς Γ∠. γνώριμος δὲ ὁ τῆς Ζ Κ πρὸς Κ∠ λόγος· γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς Γ∠ λόγος. καὶ γνώριμος ἡ Γ∠ γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΓΒ.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ τὸ ὄμμα, κύκλου περιφέρεια τεθῇ, εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια φανεῖται.

ἔστω γὰρ περιφέρεια ἡ ΒΓ. ὄμμα δὲ τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄν τῇ ΒΓ περιφερείᾳ, ἀφʼ οὐ προσπιπτέτωσαν  ὅψεις αἱ ∠Β, Ζ∠, ∠Γ. οὐκοῦν, ἐπεὶ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ἅμα ὁρᾶται, οὐκ ἂν φαίνοιτο ἡ ΖΒ περιφέρεια, τὰ δὲ Ζ, Β πέρατα. δόξει ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια εὐθεῖα εἶναι. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΖΓ. ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα δόξει εἶναι.

Σφαίρας ὁπωσοῦν ὁρωμένης ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον αἰεὶ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται, αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὑπὸ κύκλου περιεχόμενον φαίνεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚ∠, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΒΚ, ΓΚ∠ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. ποιείτω δὴ τὸν Γ∠ ΛΝ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ [διάμετρον] κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ Ζ, ΖΒ, ΒΛ, ΛΚ, ΛΖ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ ὑπὸ [*](4. φανεῖται] cor. ex φαίνεται m. 1 V. 5. τό] τῷ v. 6. ὄν] in ras. m. 1 V. 9. ἐπεί ] ἐπί v, V, sed corr. 12. τὰ δέ] mut. in ἀλλὰ μόνα τά m. rec. V. 17. ἀεί p. 19. ἔστω (alt.)] del. m. rec. V. 21. τό] im ras. V. 22. ΓΚ∠] cor. ex ∠ m. rec. V. 23. ποιείτο v. τόν] τό v. Γ∠ΛΝ] Ν mut. in Ζ m. rec. V, Ζ add. m. 2 p. διάμετρον] m. rec. V( 25. ΒΛ] corr. ex Β∠ V.)

Τοῦ ὄμματος προσιόντος ἔγγιον τῆς σφαίρας ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ὄμματος ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ∠Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ∠Κ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Ν, ΝΚ, ∠Λ, ΛΚ. οὐκοῦν ὀρθαὶ ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς Λ, Ν γωνίαι διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται [*](5. Θ] e corr. m 1 v. 8. εἰς τό] εἰς v. 9 φέ-] in ras. V. Post ἕν add. σημεῖον p m. rec. V. 13. ὅ γε] mut. in καί m. rec V. ἐστιν] mut. in ἔσται m. rec. V. τό — 15. ἡμισφαιρίου ] mut. in ἡ γὰρ ΖΛ διάμετρος οὖσα τοῦ κύκλου τοῦ διαιροῦντος τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἐλάττων ἐστὶ τῆς ∠Γ διαμέτρου οὔσης τῆς σφαίρας m. rec. V. 13 ΖΛ] ΖΝ V, Ν supra scr. m. 2 p. 14. ἐστι p. περιεχόμενον] ὁρώμενον v et supra add. m. 1 p. 17. ἔγγειον V 22. ∠Ν])

Σφαίρας διὰ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένης, ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση τῇ εὐθείᾳ τῇ διεστώσῃ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων, ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ, ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ Ζ Λ, καὶ κείσθω ἓν ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ Λ, ἀπὸ δὲ τοῦ ∠ κέντρου ἤχθω παρὰ τὴν ΒΖ ἡ ∠Κ. οὐκοῦν ἐὰν μενούσης τῆς ∠Κ τὸ ΒΚ παραλληλόγραμμον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς Β∠ σχῆμα κύκλος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας. ὥστε [*](4. ΡΚ] p, ΚΡ 8. ὁρ-] in ras. m. 1 V. 9. τὸ. ΝΖΛ (pr)) τὸν Ζ Λ v; τὸ ΝΖ, add. ΣΛ m. 2, p. τὸ ΝΖΛ (alt.)] τὸν ΖΛ v; τὸ ΝΖ Λ, supra add Σ m. 2, p. 10 ἐστιν (pr.)] ἐστι p. μεῖζον v. P] e corr p. 13 ΝΖΛ])

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, ἡμισφαιρίου μεῖζον τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ μεῖζον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ∠ ∠Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες καθʼ ἓν ἁπτόμεναι αἱ Β∠ ΓΖ. οὐκοῦν ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις, ἐπειδὴ ἡ ΒΓ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου μείζων ἐστί. συμπιπτέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Θ σημεῖον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου αἰ ΘΖ, Θ∠ καθʼ ἓν ἐφαπτόμεναι προσπεπτώκασιν, ἔλασσον ἂν εἴη τὸ ΖΝ∠ ἡμικυκλίου· αἱ γὰρ ΘΖΚ, Θ∠Κ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. τὸ ἄρα λοιπὸν τῆς σφαίρας μεῖζον ἡμισφαιρίου ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΖ.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλασσον ἡ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἔλασσον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ ἔλαττον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ΖΗΝ. [*](5. ἡμισφαίριον v, p, sed corr. 10 ποιείτο v. 11 ἀκτῖνος v, sed corr. ἕν] ὃν σημεῖον v, σημεῖον add. m. rec. V.)

Κυλίνδρου ὁπωσοῦν ὁρωμένου ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον ἡμικυλίνδρου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ Κ ἡ ΝΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΖ, ΖΚ, Ν∠, ∠Κ. οὐκοῦν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ζ, ∠· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΖΝ, Ν∠, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος φερόμεναι ἀκτῖνες κατὰ τὰς Ν Ζ, Ν∠ πεσοῦνται· ὥστε τὸ Ζ Λ∠ μόνον ὀφθήσεται. ἀλλὰ τὸ ΖΛ∠ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΛΒ ἡμικυκλίου· τὸ ἄρα ΖΛ∠ ἔλασσον ἡμικυκλίου ὀφθήσεται, τουτέστιν ὁ κύλινδρος· [*](4. ἐπειδήπερ — 6. διάμετρος] mut. m. rec. in ἐπειδὴ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ BΓ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας V. 19. τοῦ] corr)

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος τοῦ κυλίνδρου ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ὄψεων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ Κ κέντρον ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, διὰ δὲ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ Γ∠, καὶ περὶ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΝ, ΝΚ, ΒΛ, ΛΚ. διὰ δὴ τὰ πρότερον τὸ ΛΖΝ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου, καὶ ὁμοίως τῇ βάσει ὅλου τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον ἢ τὸ ἥμισυ ὁραθήσεται. προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Φ, καὶ περὶ τὴν ΦΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΦΡ, ΡΚ, ΚΣ, ΣΦ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Φ ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΦΡ, ΦΣ πεσοῦνται, αἱ δέ γε ἀπὸ τοῦ Β κατὰ τὰς Β Λ, ΒΝ μεῖζον ἄρα τὸ ΝΖ Λ τοῦ PΖΣ δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι τὸ PΖΣ τοῦ ΝΖ Λ· μείζων γὰρ ἡ γωνία τῆς Β γωνίας. ὥστε καὶ τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέρος ὀφθήσεται, δοκεῖ δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλασσον ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΒ ἡ ΝΛ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΚ, Β∠, ∠Κ. οὐκοῦν ὀρθαί εἰσιν αἰ πρὸς τοῖς Ζ, ∠ γωνίαι· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ Β∠, ΒΖ, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς Β∠, ΒΖ πεσοῦνται. ἔσται δὴ ὁρώμενον τὸ ΖΡ∠ ἔλασσον ὄν τοῦ ΝΡΛ. ἀλλὰ τὸ ΝΡΛ ἡμικύκλιόν ἐστιν· τὸ ἄρα ΖΡ∠ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἔλασσόν ἐστιν ἡμικωνίου· ὁμοίως γὰρ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν κύκλων τῶν ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ δείξομεν.

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον μετατεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων περιλαμβανόμενον μέρος, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚΒ, γεγράφθω δὲ περὶ τὴν ΑΚ κύκλος, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΚ, Α∠, ∠Κ. μετακείσθω δὴ [*](8. ∠] ∠ ὡς ἡμικύκλου v. 9. ΒΖ] corr. ex ∠Ζ m. 1 V. 10. Post τοῦ ins. Β m. rec. V. 11. ΖΡ∠] Ζ∠ v. 12. ΝΡΛ (alt.)] Ν postea ins. V. ἐστι V p. 13. ἡμικυκλίου pr. κ in ras. V. 15. ἐν τῇ] in ras. m. 1 V. 18. δέ| del. m. rec. V. ἔγγειον V, sed corr. m. rec. 22. ἐπί] in ras. m. 1 V. 23. ἐπιζεύχθω V, sed corr. 24. ΓΚΒ] ΚΓΒ V)

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν, ἐὰν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων εὐθεῖαι διαχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ, διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἴσον διὰ παντὸς ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης.

ἔστω γὰρ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ Γ∠ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Κ ∠, ΚΓ ἁπτόμεναι κατὰ τὰ Γ, ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠, Γ σημείων ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου αἱ ∠Β, ΓΒ, καὶ διὰ μὲν τῶν [*](5. καὶ αἱ] corr. ex καί m. 2 V 7 ΖΦ∠] Ζ ΦΛ pv e corr. V. 8. μεῖζον v. 9. τῷ] τό pv. 11. κόνου V, sed corr. 14. ἐπιφανίας v. 15 ἀχθεισῶν] -ει- e corr. V. 16 Ante ἐπίπεδα ras. 2 litt V 19 παραλλήλου] comp. pv, omnibus litteris scriptum add. m. rec. V 24 ∠, Γ] Γ, ∠ p. 25. αἱ ] im ras. V.)

κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὸ Ζ ὄμμα, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρὰ μὲν τὴν Κ∠ ἡ ΖΝ, παρὰ δὲ τὴν ΓΚ ἡ ΖΣ οὐκοῦν αἱ ΖΝ, ΖΣ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας κατὰ τὰ Ν, Σ ἐφάπτονται· τὰ γὰρ ἐν τῇ Β Γ∠ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ τῶν παραλλήλων κύκλων τμήματα ὅμοιά ἐστιν. τὰ ἄρα ἐν τῇ Β∠Γ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ διαστήματα ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστίν, ἢν περιέχουσιν αἱ ΖΣ ΖΝ, γωνία τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν Κ∠, ΚΓ, ἴσον ἂν φαίνοιτο τὸ ΣΝ διάστημα τοῦ κώνου τῷ ∠Γ διαστήματι. ὥσθʼ ὅπου ἄν τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ τῆς ΚΒ εὐθείας, ἴσον ἀεὶ φανεῖται τὸ ὁρώμενον.

Ἴσον δὲ ἀεὶ τοῦ ὄμματος ἀπὸ τοῦ κώνου ἀπέχοντος μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔλασσον φαίνεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ταπεινοτέρου δὲ μεῖζον.

ἔστω γὰρ κώνου κορυφὴ μὲν πρὸς τῷ ∠ σημείῳ, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ ἤχθω ἡ ΚΘ παρὰ τὴν Β∠, [*](1. ἐκεβλήσθω, supra scr. Β, V. 3. τὰ ἐπίπεδα] supra scr V, renou. m rec. 5 ἄν] δʼ ἄν V vp. 8 Ζ] postea ins. m. 1 V. 9. Supra παρά (pr.) add ἤτοι παράλληλος m rec. V. Supra παρά (alt.) add. παράλληλος m. rec. V. 10 ΓΚ] in. ras. V. 13 ἐστι p 16. ΚΓ] ΚΝ p 17 τῷ] corr. ex τό m. 1 18 ἄν] corr ex α m 2 V. 25. ὁ] ὁ περὶ τήν V.)

Ἐν κύκλῳ ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθάς τις ἀχθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσαι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου φαίνονται.

ἔστω γὰρ κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου ἡ ΚΒ, τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β, καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ ΓΑ, ∠ Ζ. φημὶ δὴ τὴν ΑΓ τῇ ∠Ζ ἴσην φαίνεσθαι. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΖ, ΒΓ, Β∠. οὐκοῦν δύο αἱ ΒΚ, Κ δυσὶ ταῖς ΒΚ, ΚΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα [*](2. ὀφθήσεται p, ὠφθήσεται v. ὡρώμενον v, sed corr 3. Σ] om. v. 5. Λ] corr. ex ∠ m. 2 V. 9. τῷ (sec.)] τό v. τῷ (tert.)] τό pv, V, corr m. rec. 10 τῷ Λ τῷ] τὸ Λ τό v. τῷ (tert.)] τό pv 11. τῷ] τό v σημείου v, V, sed. corr. ὄντως v. 12. ἐλάσσων V, sed corr. 15. ἀπὸ τοῦ κέντρου] in ras. m. 1 V. 19 τῷ] τό v. 20. τοῦ] om. p 23. Ante B Κ (alt.) eras. Γ V. ΚΓ] corr. ex Κ∠ m. rec. V.)

Καὶ ἐὰν ἡ ὑπὸ τοῦ κέντρου ἀναχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ, ἴση δὲ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἴσαι αἱ διάμετροι φανήσονται.

ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΚΒ, ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Β σημείου αἱ αὐταὶ ταῖς πρότερον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ ∠Κ, ΚΒ, ΚΖ, ὀρθὴ ἄν εἴη ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΖΒ ∠. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθὴ ἄν εἴη· ἴσαι ἄρα ἔσονται ἀλλήλαις. τὰ δέ γε ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ ∠ Ζ τῇ ΑΓ φαίνεται.

Ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ∠ΑΖ, ΖΑΓ καὶ ΕΑΖ, ΖΑΒ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Α τῇ ΑΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ∠Ζ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ∠ΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ ἐστιν ἴση. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ ἐστιν ἴση. ὥστε αἰ διάμετροι ἴσαι φανήσονται.

Ἐάν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον προσπίπτουσα τοῦ κύκλου μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἢ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται.

ἔστω γὰρ κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΑ καὶ ἔστω μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ἄνισοι φανήσονται.

ἤχθω γὰρ ἡ μὲν ΓΖ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ∠Κ ἀνίσους ποιοῦσα γωνίας πρὸς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, Β∠, ΒΖ, ΒΚ, ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ μείζων. οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΓΒΖ τῆς περιεχομένης ὑπὸ τῶν ΚΒ∠, ὡς ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἀποδείκνυται. τὰ δέ γε ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΓΖ τῆς ∠Κ φαίνεται. ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ ἐλάσσων ᾖ, μείζων φαίνεται ἡ ∠Κ τῆς ΓΖ.

Ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α, ἀλλʼ ἐκτός, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α ἡ ΓΑ, ἔτι δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΒΑ. λέγω, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΒΑ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ. διήχθω γὰρ εὐθεῖα ἡ ∠ΑΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ· καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ, ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ὀρθῆς· μείζων ἄρα ἡ ΑΓ πλευρὰ τῆς ΑΖ. ἡ ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΑΓ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖΑ εἰσιν ὀρθαί, καί εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΖ ἄνισοι· καὶ λοιπὴ [*](4. μείζων (pr.)] μεῖζον v. μείζων (alt.)] μεῖζον v, μεί- in ras. V. 6. Post τοῖς add. προτέροις m. rec. V. ἀποδείκνυται] mut. in ἀποδέδεικται m. rec. V. 7. μείζωνος v, sed corr. 11. λζ΄ V p v. κέντρον] m. rec. V, comp. m. 1.) [*](12. ἀγωμένη V, sed corr. 16. ποιουσῶν] - σῶν e corr. m. rec. V. Post τῇ ras. 1 litt. V. 17. τῶν] del. m. rec V, seq. ras. 2 litt. v. 18. τήν] τό v. 22 μεῖζον v. ΑΓ])

Ὅτι ἡ ΖΒ τῇ ∠Ε ἐστι πρὸς ὀρθάς, δείξομεν οὕτως.

ἐπεὶ ἡ ΒΓ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΓ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΓ ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων ἐστὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον· καὶ τὸ ΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν δύο ἐπίπεδα τό τε τοῦ Ε∠ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου τέμνουσιν ἄλληλα, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ Γ Ζ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ Ζ∠ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ· κάθετος γὰρ ἦκται ἡ ΓΖ ἐπὶ τὴν Ε∠ καὶ ἡ Ζ∠ ἄρα τῷ τοῦ ΒΓ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΓΖΒ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ∠Ζ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς. ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΕΖ ∠ διαμέτρῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς.

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ΒΖΑ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Γ, γωνίας, καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΖA μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ζ ΑΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ γωνίας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΖΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ, καὶ ἀνάπαλιν ἄρα ἡ Ζ Α πρὸς τὴν ΑΒ [*](1. τῶν (utrumque)] del. m. rec. V. ἐστιν V v. 3 Post τῇ ras. 1 litt. V. 4. τῶν] del. m. rec. V 5. λη΄ V p v, del. in v. Post ὅτι ins. δέ m. rec. V. ἐστιν V v. 6. ἐστίν V v. 8. τῶν] corr. ex. τῶ m. 2 V. 9 ἐκβαλλόμενον)

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΓΒ∠, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη ἡ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς μὲν ἔστω τῇ Γ∠, πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιεχέτω, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου μείζων. ἐπεὶ οὖν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ ἐστι πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς Γ∠ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ἤχθω οὗν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος· ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πίπτει τῶν ἐπιπέδων τὴν ΑΒ. πιπτέτω οὖν καὶ ἔστω ἡ ΕΚ, καὶ διήχθω διάμετρος ἡ ΗΘ, καὶ κείσθω τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἴση ἡ Λ Μ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν. [*](3. πεποιείσθω v. 5. Α ∠] corr. ex Α Β m. 1 V. 6 ἐστίν V v. 7. ΒΓΑ] Α corr. ex ∠ m. rec. V. 9. μεῖζον 10. Ζ ΑΒ] Β e corr. m. rec V 11 μ΄ V p v, del. v. Ant. δύο eras. αἱ V. 17. ἐστιν V v. 20. Post σημείου add. in media linea — V v. 23. ΗΘ] corr. ex. ΕΘ V. 24 Pos ΛΜ del. πρὸς ὀρθάς p.)

Μὴ ἔστω δὴ μείζων ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἀλλὰ ἐλάσσων· ἔσται δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον· ἡ γὰρ τότε μείζων τῶν διαμέτρων νῦν ἐλάσσων φανήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων μείζων. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ∠, ἑτέρα δέ τις διήχθω ἡ ΗΘ, ὄμμα δὲ τὸ Ε ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΕΖ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ Γ∠ ἔστω ἡ ΕΖ, καὶ κείσθω τῇ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν πρὸς ὀρθὰς ἡ ΝΞ ἴση τῇ ΕΖ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ξ σημεῖον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΞΜ ἔσται δὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΕ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση τῇ πρὸς τῷ, Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕ∠. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΟ, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΟ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ο σημεῖον τὸ ΛΟΜ τμῆμα. ἡ δὴ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΑΟΜ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΠ, καὶ, [*](1. μεῖζον v. 2. μεῖζον v. 3. εὐθείας] γωνίας V, εὐθείας γωνίας p v. 4. μ΄ V v, μαʹ p. 7. μεῖζον v. 11. ἐπιζευχθῆσα v. 18. ἐστίν V v. 19. τῷ] τό v. 22. ἡ] om. v.) [*](24. τμῆμα] τμῆμα κύκλου p. 25. ἡ] supra scr. m. rec. ἐστίν V v.)

Τῶν ἀρμάτων οἱ τροχοὶ ὁτὲ μὲν κυκλοειδεῖς, ὁτὲ δὲ παρεσπασμένοι φανοῦνται.

ἔστω γὰρ τροχός, οὗ διάμετροι αἱ ∠Ζ, ΒΓ οὐκοῦν ὅταν μὲν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος εἰς τὸ κέντρον νεύουσα πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ἢ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἴσαι αἱ διάμετροι φανοῦνται, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι ἀπεδείχθη· ὥστε ὁ τροχὸς ὁ τοῦ ἅρματος κυκλοειδὴς φαίνεται τούτων ὑπαρχόντων. παραφερομένου δὲ τοῦ ἄρματος καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὄμματος νευούσης εἰς τὸ κέντρον ἀκτῖνος μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ τοῦ τροχοῦ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης τῇ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται ὁμοίως διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ δειχθέν· ὥστε παρεσπασμένος ἂν φαίνοιτο ὁ τροχός.

Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ μετέωρον, τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου, καὶ μεθιστῆται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφεφείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.

ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ μετεωρότερον τοῦ ἐπιπέδου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ Γ Β κύκλος γεγράφθω ὁ Β∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται τὸ ΑΒ, ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ἀεὶ ὀφθήσεται. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ἐστιν ὀρθὴ καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν ΒΓ ὀρθὴν γωνίαν, πᾶσαι ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Γ πρὸς τὸ ΑΒ μέγεθος προσπίπτουσαι ἀλλήλαις ἴσας γωνίας ποιοῦσιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται. ὁμοίως δὲ κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου μετέωρος ἀχθῇ εὐθεῖα, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ παραλλήλου ὂν τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει, καὶ μετακινῆται τὸ μέγεθος, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται.