De utilitate mathematicae

Theon Smyrnaeus

Theon Smyrnaeus. Theonis Smyrnaei philosophi platonici Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium. Hiller, Eduard, editor. Leipzig: Teubner, 1878.

τῶν δὲ λόγων οἱ μέν εἰσι μείζονες, οἱ δὲ ἐλάττονες, οἱ δʼ ἔσσι. ὁ μὲν οὖν ἴσος εἶς καὶ ὁ αὐτὸς λόγος καὶ προηγεῖται πάντων τῶν λόγων καὶ ἔστι στοιχειώδης. ἴσοι δέ εἰσιν οἱ κατὰ τὴν αὐτὴν ποσότητα ἐξεαζόμενοι πρὸς ἀλλήλους, οἷον ἕν πρὸς ἕν καὶ βʹ πρὸς βʹ καὶ ιʹ πρὸς ιʹ καὶ ρʹ πρὸς ρ. τῶν δὲ μειζόνων οἱ μὲν πολλα- πλάσιοι, οἱ δὲ ἐπιμόριοι, οἱ δὲ οὐδέτεροι. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, οἱ δὲ ὑπε- πιμόριοι, οἱ δʼ οὐδέτεροι. τούτων δὲ οἱ μὲν ἐν συμ- φωνίᾳ εἰσίν, οἱ δʼ οὔ. αἰ μὲν οὑν συμφωνίαι τῶν [*](4 καὶ χρόνον; ον corr. ex ου A. 7 πῶς A. 8 inscr. τί ἐστιν ὅρος A, ιζ in mg., praeterea quaedam in ng. er.) [*](ὁμοειδῆ corr. ex ὁμοιοειδῆ A. 12 inscr. περὶ ἀναλογίας A, ιη in mg. 15 inscr. περὶ ἰσότητος A, ιθ in mg. ἐλλάττονες A, em. apogr. 18 ποσότητα] ἰσότητα A. 22 ὑπεπιμόριοι corr. ex ὑποέπιμόριοι A. 24 αἱ συμφ. negle- genter dictum (cf. p. 75, 11): nisi scr. ἐν μὲν οὖν συμφωνίᾳ)

πολλαπλασίων ὅ τε διπλάσιος καὶ ὁ τριπλάσιος καὶ ὁ τετραπλάσιος, ἐν δὲ ἐπιμορίοις ἡμιόλιος ἐπίτριτος, ἐν οὐδετέρῳ δὲ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ΄, καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑπο- τριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος καὶ ὁ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ ὑπεπόγδοος καὶ ὁ τῶν σμγʹ πρὸς σνς. καὶ ὁ μὲν διπλάσιος ἐν τῇ διὰ πασῶν εὑρίσκεται συμφωνίᾳ, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται, ὁ δὲ τρίπλασιος ἐν τῇ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, ὁ δὲ τετραπλάσιος ἐν τῇ δὶς διὰ πασῶν, ὁ δʼ ἡμιόλιος ἐν τῇ διὰ πέντε, ὁ δʼ ἐπίτριτος ἐν τῇ διὰτεσσάρων, ὁ δʼ ἐπόγδοος τόνος ἐστίν, ὁ δὲ τῶν σνςʹ πρὸς σμγʹ ἐν λείμματι. ὁμοίως δὲ καὶ οἱ τούτων ὑπεναντίοι. ἐν οὐδετέρῳ δέ εἰσι λόγῳ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ, ὅτι οὕτε ἐν συμι- φωνίαις εἰσὶν οὕτε ἔξω συμφωνίας· ὁ γὰρ τόνος καὶ τὸ λεῖμμα ἀρχαὶ μέν εἰσι συμφωνίας καὶ συμπληρωτικαὶ συμφωνίας, οὔπω δὲ συμφωνίαι. λέγονται δέ τινες ἐν ἀριθμητικῇ λόγοι ἀριθμῶν οὐ μόνον πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι, ἀλλὰ καὶ ἐπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἔτι πλείους, περὶ ὧν ἐφεξῆς σαφέστερον παραδώσο- μεν. συνέστηκε δὲ τὸ μὲν διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν τόνων καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πέντε ἐκ τριῶν τόνων καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων. ἐκ δὲ τούτων εἰσὶν αἱ προηγούμεναι τῶν ἀναλογιῶν.

[*](3 οὐδετέροις apogr. 6 ὑποεπίτριτος A. ὑπὸγδοος A)[*](7 ἐκ πόσων τόνων ἢ τε διὰ δ καὶ αἱ λοιπαὶ συνεστήκασιν ῶg. A 8 ἐπάνω; p. 56, 12. 62, 6 11 τόνος: immo ἐν τόνῳ 13 ἐν οὐδετέρῳ κτλ. — 25: haec plane supervacanea sunt, quaedam etian inepta 15 sqq. cf. p. 49, 4)[*](18 πολαπλάσιοι A, em. apogr. 20 ἔτι] ἐπὶ A. ἐφεξῆς: p. 78, 6 sqq 21 συνέστηκε corr. ex συνέστικε A.)

πάλιν δὲ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν παράδοσιν λέγον- ται 〈λόγοι〉 τῶν ἀριθμῶν, ὡς καὶ ὁ Ἄδραστος παρα- δίδωσιν, οἴ μὲν πολλαπλάσιοι, σἱ δὲ ἐπιμόριοι, οἱ δʼ ἐπιμερεῖς, οἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι, οἱ δὲ πολλαπλα- σιεπιμερεῖς, οἱ δʼ οὐδέτεροι, τῶν δὲ ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, οἱ δʼ ὑπεπιμόριοι, καὶ οἱ λοιποὶ ἀντι- στρέφοντες τοῖς μείζοσι.

πολλαπλάσιος μὲν οὖν ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα, τουτέστιν ὅταν ὁ μείζων ὅρος καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος ἀπαρτι- ζόντως, ὡς μηδὲν ἔτι λείπεσθαι ἀπʼ αὐτοῦ, καὶ κατʼ εἶδος τοσαυταπλασίων ἕκαστος πολλαπλάσιος δʼ] ὁ μείζων ὅρος λέγεται τοῦ ἐλάττονος, ὁσάκις ἂν καταμε- τρῆται ὑπʼ αὐτοῦ· οἷον ἂν μὲν δίς, διπλάσιος, ἂν δὲ τρίς, τριπλάσιος, ἂν δὲ τετράκις, τετραπλάσιος, καὶ κατὰ τὸ ἐξῆς οὕτως. ἀνάπαλιν δὲ ὁ ἐλάττων τοῦ μείζονος μέρος ὁμώύνυμον τῷ λόγῳ, κατὰ μὲν τὸν διπλάσιον ἥμισυ, κατὰ δὲ τὸν τριπλάσιον τριτημόριον, καὶ λόγος ὁ μὲν ἥμισυς, ὁ δὲ τριτημόριος· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως.

ἐπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ μόριον ἕν τι τοῦ ἐλάττονος, τουτ- [*](3 sqq. οἵδʼ ἐπιμερεῖς, οἱ δὲ πολλαπλάσιεπιμερεῖς (corr. ex πολλαπλάσιοι ἐπιμερεῖς), οἱ δὲ πολλαπλάσιεππιμόριοι (corr. ex πολλαπλάσιοι ἐπιμόριοι), signicato literis β et α vero ordine, A 5 οὐδέτεροι hoc loco inepte dictum, cf. p. 80, 8) [*](6 ὑπομόριοι A, ema. apogr. 8 inscr. τί ἐστιν ὁ πολλα- πλάσιος λόγος A, in mg. 9 ἔχη corr. ex ἔχει A. 10 ἀπαρτιζόντως corr. ex ἀπαρτίζοντος A. 11 κατʼ εἶδος; cf. p. 80, 15 13 μεῖζον (ον in ras.) A, em. apogr. 17 ὁμώνυ- μον corr. ex ὁμονυμον A 21 inscr. τί ἐστιν ἐπιμεόριος λόγος A, χα in mg. μεῖζον A, em. apogr. 22 ἔχη corr. ex ἔχει A.)

έστιν ὅταν ὁ μείζων τοῦ ἐλάττονος ταύτην ἔχῃ τὴν ὑπεροχήν, ἥτις τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ μέρος ἐστίν. ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος· ὑπερέχει γὰρ αὐτῆς μονάδι, ἥτις ἐδτὶ τῆς τριάδος τὸ τρίτον· καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος ὑπερέχει δυεῖν, ἅτινα τῶν τεσσάρων ἦμισύ ἐστι. διὸ καὶ ἀπὸ τῆς τῶν μερῶν ὀνομασίας ἕκαστος τῶν ἐπιμο- ρίων ἰδίας ἔτυχε προσηγορίας. ὁ μὲν γὰρ τῷ ἡμίσει τοῦ ἐλάττονος μέρει ὑπερέχων ἡμιόλιος ὠνόμασται, ὡς ἡ τριὰς τῆς δυάδος καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος. αὐτήν τε γὰρ ὅλην ἔχει τὴν ἐλάττονα καὶ τὸ μισυ αὐτῆς· ἐν μὲν γὰρ τῇ τριάδι ἔνεστιν ἡ δυὰς καὶ τὸ μισν αὐτῆς ἡ μονάς, ἐν δὲ τῇ ἑξάδι ἡ τετρὰς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς ἡ δυάς. πάλιν οἱ τῷ τρίτῳ μέρει τοὺ ἐλάττονος ὑπερ- εχοντες ἐπίτριτοι καλοῦνται, ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος, οἱ δὲ τῷ τετάρτῳ ὑπερέχοντες ἐπιτέταρτοι, ὡς ὁ εʹ τῶν δʹ καὶ ὁ ιʹτῶν ηʹ, καὶ ὁμοίως προκόπτοντες ἐπίπεμπτοί τε καὶ ἔφεκτοι καὶ ἐφέβδομοι ἐκλήθησαν πάντες οὐτοι ἔπιμόριοι ὄντες. διὸ καὶ οἱ ἀντικείμενοι τούτοις οἱ ἐλάττονες τῶν μειζόνων ὑπεπιμόριοι ἐκλήθησαν· ὡς γὰρ ἡ τριὰς 〈τῆς〉 δυάδος ἐλέγετο ἡμιόλιος, οὕτως καὶ ἡ δυὰς τῆς τριάδος κατὰ τὸ ἀνάλογον ὑφημιόλιος λε- χθήσεται, καὶ ὁμοίως ἡ τριὰς τῆς τετράδος ὑπεπίτριτος.

ἔστι δὲ τῶν πολλαπλασίων λόγων πρῶτος καὶ ἐλάχιστος ὁ διπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τριπλάσιος, εἶτα ὁ τετραπλάσιος, καὶ οὕτως οἱ ἑξῆς ἐπʼ ἄπειρον αἰεὶ [*](1 μείζων corr. ex μεῖζον A. 7 τῶ A2] τὸ A 8 ἐφʼ ante ἡμιόλιος A1. cf. Votter additam. ad Steph. Thes. p, 13) [*](13 οἱ A] ἡ A 16 δέκα corr. ex δεκὰς A. 19 ὑπεπι- μόριοι corr. ex ὑποέπιμόριοι A. 20 τῆς add. in ed. Bull.) [*](22 ὑποεπίτριτος A. 23 ἐν post τῶν, et πολλαπλασίων mut. in πολλαπλασίονι A)

οἱ μείζονες. τῶν δʼ ἐπιμορίων λόγων πρῶτος καὶ μέ- γιστος ὁ ἡμιόλιος, ὅτι δὴ καὶ τὸ ἥμισυ μέρος πρῶτον καὶ μέγιστον καὶ ἐγγυτάτω τῷ ὅλῳ, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ ἐπίτριτος, καὶ ὁ ἐπιτέταρτος, καὶ οὕτω πάλιν ἐπʼ ἄπει- ρον ἡ πρόοδος ἀεὶ ἐπʼ ἐλάττονος.

ἐπιμερὴς δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι πλείω μέρη αὐτοῦ τοῦ ἐλάτ- τονος], εἴπε ταὐτὰ καὶ ὅμοια εἴτε ἕτερα καὶ διάφορα· ταὐτὰ μὲν οἷον δύο τρίτα ἢ δύο πέμπτα καὶ εἴ τινα ἄλλα οὕτως· ὁ μὲν γὰρ τῶν εʹ ἀριθμὸς τοῦ τῶν γʹ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ζ τοῦ τῶν εʹ δὶς ἐπίπεμπτος, ὁ δὲ τῶν ηʹ τοῦ τῶν εʹ τρὶς ἐπίπεμπτος, καὶ οἱ ἑξῆς ὁμοίως· ἕτερα δὲ καὶ διάφορα οἷον ὅταν ὁ μείζων αὐτόν τε ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι ἢμισυ αὐτοῦ καὶ τρίτον, οἷον ἔχει λόγον ὁ τῶν ιαʹ πρὸς τὸν τῶν Ϛʹ, ἢ πάλιν ἥμισυ καὶ τέταρτον, ὅς ἐστι λόγος τῶν ζ πρὸς δʹ, ἢ νὴ Δία τρί- τον καὶ τέταρτον, ὅν ἔχει λόγον τὰ ιθʹ πρὸς τὰ ιβ΄. παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ ἐπιμερεῖς δυσὶν ὑπερέχοντες μέρεσιν ἢτρισὶν ἢπλείοσι, καὶ ὁμοίοις ἢ ἀνομοίοις. ὑπεπιμερὴς δέ ἐστιν [ὁ] ἀνάπαλιν ὁ ἐν τῷ προειρημένῳ λόγῳ ἐλάσσων πρὸς τὸν μείζονα ἐξετα- ζόμενος.

πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἢ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρος [*](1 οἱ μείζονες] ἐπὶ μείζονος? cf. v. 5 4 Ϛδ(?) ante ὁ A, ἑξῆς apogr. 6 inser. περὶ ἐπιμεροῦς λόγου A, κῆ in mg. μείζων; ω ex ο A. 7 ἔχη ex ἔχει A μέρει A, em. apogr. cf. vs. 24. p. 79, 17 13 δὲ primo om. tum add. A ἔχη corr. ex ἔχει A 16 νὴ δία A2] ἡ διἀ A 20 άνομίοις A ὑπομερὴς A 21 τὸ μεῖζον A. 23 inscr. περὶ πολλᾳyλασιε ῷιμορίων A. μείζων corr. ex μεῖζον A 24 ἔχη corr. ex ἔχει A.)

αὐτοῦ, ὡς ὁ μὲν τῶν ζʹ δὶς ἔχει τὸν γʹ καὶ ἔτι τρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται αὐτοῦ διπλασιεπίτριτος, ὁ δὲ τῶν θʹ δὶς ἔχει 〈τὸν〉 τῶν δʹ καὶ ἔτι τὸ τέταρτον· αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ δὲ τῶν ιʹ τρὶς ἔχει τὸν τῶν γʹκαὶτὸτρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται τριπλασιεπίτριτος. παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ πολλα- πλασιεπιμόριοι. τοῦτο δὲ συμβαίνει, ὅταν δυεῖν προ- τεθέντων ἀριθμῶν ὁ ἐλάττων καταμετρῶν τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ὅλον καταμετρῆσαι, ἀλλʼ ἀπολείπῃ μέρος τοῦ μείζονος, ὅ ἐστιν αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος μέρος· οἷον ὁ τῶν κϚʹ τοῦ τῶνηʹ πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται, ἐπειδή- περ 〈ὁ〉 ηʹτρὶς καταμετρήσας τὸν κςʹ οὐχ ὅλον ἀπήρτι- σεν, ἀλλὰ μέχρι τῶν κδʹ ἐλῦών δύο ἐκ τῶν κςʹ ἀπέλι- πεν, ὅ ἐστι τῶν ηʹ τέταρτον.

πολλαπλασιεπιμερὴς 〈δέ〉 ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἤ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ δύο ἢ πλείω τινὰ μέρη αὐτοῦ εἴτε ὅμοια εἴτε διάφορα· οἷον ὁ μὲν τῶν ηʹ δὶς ἔχει τὸν τῶν γʹ καὶ δύο τρίτα αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν γʹτριπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν δʹ διπλάσιός τε καὶ ἡμιόλιος καὶ ἐπιτέταρτος ἢ διπλά- σιός τε καὶ τρὶς ἐπιτέταρτος. καὶ τοὺς ἄλλους δὲ πολλα- πλασιεπιμερεῖς πολλοὺς καὶ ποικίλους ὄντας προχειρί- ζεσθαι ῥᾴιον. τοῦτο δὲ γίνεται, ὅταν ὁ ἐλάττων ἀρ θμὸς καταμετρήσας τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ἀπαρτί- σαι, ἀλλʼ ἀπολείπῃ ἀριθμόν τινα, ἅ ἐστι μέρη αὐτοῦ, [*](3 〈τὸν〉 τῶν] τὸν apogr. 9 καταταμετρῆσαι A, em. apogr. 12 το κϚ A, em. in ed. Bull. 13 ἀπέλειπεν A, em. apogr. 15 inscr. περὶ πολλαπλασιεπιμερῶν A. 16 ἔχῃ apogr.] ἔχει A 18 ἔχων A. 24 ἐλάττων: ων corr. ex ον A. 26 ἅ] ὅ A.)

ὡς ὁ τῶν ιδʹ τοῦ τῶν γʹ· ἡ γὰρ τριὰς καταμετρήσασα τὸν τῶν ιδʹ οὐκ ἴσχυσεν ἀπαρτίσαι, ἀλλὰ προκόψασα τετράκις μέχρι τῶν ιβʹ τὴν λοιπτὴν ἀπὸ τῶν ιδʹ ἀπέλιπε δυάδα, ἥτις ἐστὶ τῶν γʹ δίμοιρον, ἂ δὴ λέγεται δύο τρίτα. ἀντίκειται δὲ καὶ τῷ πολλαπλασιεπιμερεῖ ὁ ὑπο- πολλαπλασιεπιμερής.

ἀριθμοῦ δὲ πρὸς ἀριθμὸν λόγος ἐστίν, ὅταν ὁ μεί- ζων πρὸς τὸν ἐλάττονα ἐν μηδενὶ τῶν προειρημένων λόγων, κάθὰ δειχθήσεται καὶ ὁ τὸ λεῖμμα περιέχων [φθόγγος] λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἔχων τοὺς ὅρους ἐν ἐλαχίστοις ὡς ὁ σνςʹ πρὸς σμγ. φανεροὶ δὲ καὶ οἱ τῶν ἐλαττόνων ὅρων πρὸς τοὺς μείζονας λόγοι ἀντεστραμμένως ὑπʼ ἐκείνων προσαγορευόμενοι, καθὰ ἐδείχθη.

πάντων δὲ τῶν κατʼ εἶδος εἰρημένων λόγων οἱ ἐν ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοῖς ὄντες καθʼ ἕκαστον πρῶτοι λέγονται τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων καὶ πυθμένες τῶν ὁμοειδῶν. οἷον διπλασίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν βʹ πρὸς ἔν· μετὰ γὰρ τοῦτον ἐν μείζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς λόγοι εἰσὶ διπλάσιοι ὁ τῶν δʹ πρὸς τὰ βʹ καὶ τῶν ϛʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ ὁμοίως ἐπʼ ἄπειρον. τριπλασίων δὲ λόγων πρῶ- τος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γʹ πρὸς τὸ ἕν· οἱ δὲ αἰεὶ ἐν μεί- ζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς ἐπʼ ἄπειρον προάγουσιν. ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ὁμοίως δὲ [*](3 ἀπέλειπε A, em. apogr. 7 inscr. τί ἐ στι λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμόν (corr. ex ἀριθμῶν) A, κδ in mg. μείζων corr. ex μεῖζον A. 8 ᾖ] εἶη A 9 δειχθήσεται; p. 86, 15 13 ἀντεστραμμένως] ἀντεστραμμένοι (ἀπεστραμμέ- νοι A1) ὡς A 14 ἐδεέχθη: p. 74 sq. 15 inser. περὶ πυθμένων λόγων A. 18 διπλάσιον A)

καὶ ἐν τοῖς ἐπιμορίοις. ἡμιολίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γʹ πρὸς τὰ β, ἐπιτρίτων δὲ ὁ τῶν δʼ πρὸς γ΄, καὶ ἐπιτετάρτων ὁ τῶν εʹ πρὸς δʹ· οἱ δὲ ἐν μείζοσιν ὅροις καὶ συνθέτοις πάλιν ἄπειροι τὸ πλῆθος. τὸ δʼ αὐτὸ θεωρεῖται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.

διαφέρει δὲ διάστημα καὶ λόγος, ἐπειδὴ διάστημα μέν ἐστι τὸ μεταξὺ τῶν ὁμογενῶν τε καὶ ἀνίσων ὅρων, λόγος δὲ ἀπλῶς ἡ τῶν ὁμογενῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις. διὸ καὶ τῶν ἴσων ὅρων διάστημα μὲν οὐδέν ἐστι μεταξύ, λόγος δὲ πρὸς ἀλλήλους εἶς καὶ ὁ αὐτὸς ὁ τῆς ἰσότητος· τῶν δὲ ἀνίσων διάστημα μὲν ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ἀφʼ ἑκατέρου 〈πρὸς〉 ἑκάτερον, λόγος δὲ Κίερος καὶ ἐναντίος ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον· οἷον ἀπὸ τῶν βʹ πρὸς τὸ ἕν καὶ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ διάστημα ἕν καὶ τὸ αὐτό, λόγος δὲ ἕτερος, τῶν μὲν δύο πρὸς τὸ ἕν διπλάσιος, τοῦ δὲ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ ἥμισυς.

Ἐρατοσθένης δὲ ἐν τῷ Πλατωνικῷ φησι, μὴ ταὐ- τὸν εἶναι διάστημα καὶ λόγον, ἐπειδὴ λόγος μέν ἐστι δύο μεγεθῶν ἡ πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις· γίνεται δʼ αὕτη καὶ ἐν διαφόροις 〈καὶ ἐν ἀδιαφόροις〉. οἷον ἐν φ λόγῳ ἐστὶ τὸ αἰσθητὸν πρὸς τὸ νοητόν, ἐν τούτῳ δόξα πρὸς ἐπιστήμην, καὶ διαφέρει καὶ τὸ νοητὸν τοῦ ἐπιστητοῦ ᾧ καὶ ἡ δόξα τοῦ αἰσθητοῦ. διάστημα δὲ [*](6 inscr. τίνι διαφέρει διάστημα καὶ λό γος A. 12 ἀφʼ apogr.] ἐφʼ A. πρὸς add. apogr. 17 cf. Philol. XXX p. 60 sqq. Bernhardy Eratosth. p. 168 19 μεγεθῶν A) [*](προσάλληλα A. 20 αὐτὴ A: cf. Philol. XXX p. 72 Porph. ad Ptol. Herm. p. 268 ὅτι μὲν τοίνυν ὁ λόγος ἐν δια- φόροις γίνεται ὅροις, ὁμογενέσι δὲ πάντως, καὶ ἐν άδια- φύροις, ὡς Eύκλείδει δοκεῖ, δειχθήσεται· διάστημα δʹ 〈ὅτι〉 ἐν τοῖς διαφέρουσι μεόνον, φανερόν 21 τὸ αἰσθητὸν πρὸς τὸ νοητόν apogr.] τὸ νοητὸν πρὸς τὸ αἰσθητόν A.)

ἐν διαφέρουσι μόνον, ἢ κατὰ τὸ μέγεθος ἢ κατὰ ποιό- τητα ἢ κατὰ θέσιν ἢ ἄλλως ὁπωσοῦν. δῆλον δὲ καὶ ἐντεῦθεν, ὅτι λόγος διαστήματος ἕτερον· τὸ γὰρ ἢμισυ πρὸς τὸ διπλάσιον 〈καὶ τὸ διπλάσιον πρὸς τὸ ἢμισυ〉 λόγον μὲν οὐ τὸν αὐτὸν ἔχει, διάστημα δὲ τὸ αὐτό.

ἀναλογία δʼ ἐστὶ πλειόνων λόγων ὁμοιότης ἢ ταὐτό- της, τουτέστιν ἐν πλείοσιν ὅροις λόγων ὁμοιότης, ὅταν ὃν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, τοῦτον ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον ἢ ἄλλος τις πρὸς ἄλλον. λέγεται δὲ ἡ μὲν συνεχὴς ἀναλογία, ἡ δὲ διῃρημένη, συνεχὴς μὲν ἡ ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις, διῃρημένη δὲ ἡ ἐν ἐλαχίστοις τέσσαρσιν. οἷον μετὰ τὴν ἐν ἴσοις ὅροις ἀναλογίαν συνεχὴς ἐν ἐλαχίστοις ὅροις κατὰ μὲν τὸ διαπλάσιον δʹ βʹ αʹ ἔστι γὰρ ὡς δʹ πρὸς β, οὕτως βʹ πρὸς ἕν. διρρημένη δὲ ϛʹ γ δʹ βʹ ἔστι γὰρ ὡς Ϛʹ πρὸς τὰ γ΄, οὕτως δʹ πρὸς τὰ β΄. τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ἔστι δὲ τρόπον τινὰ καὶ ἡ συνεχὴς ἐν τέτταρσιν ὅροις, δὶς λαμβανομένου τοῦ μέσου. καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων δὲ ὁ αὐτὸς λόγος· συν- εχὴς μὲν ἀναλογία ἐν λόγῳ ἡμιολίῳ θʹ Ϛʹ δʹ, διῃρημένη δὲ θʹ Ϛʹ ιέ ί. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγος.

ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησίν, ὅτι τῆς ἀναλογίας [φύσις] ἀρχὴ λόγος ἐστὶ καὶ. . . . . . . . . . . . . πρώτη [*](1 ἐν corr. ex ἕν A 6 inscr. περὶ ἀναλογίας καὶ ἰσότητος ὁ, κζ in mg. δʼ ἔστι corr. ex δὲ ἐστὶ A. 15 ου συνάπτονται γαρ ἐνὶ μέσῳ ὅρῳ κοινῷ οὐ (scr. οἱ) δύο λόγοι, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δ β ᾶ ὁ β μέσος ὅρος ἐστὶ καὶ κοινός· ὡς γὰρ δ πρὸς β οὕτω β πρὸς ᾶ mg. A 18 οἷον ὡς δ πρὸς β, οὕτω β πρὸς ᾱ· ὁ γὰρ μέσος ὁ β θὲς εἴληπται, μετὰ τοῦ δ ὡς ὑποδιπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦ ἄ ὡς διπλάσιος mg. A. 22 τρα- τοσθένης A 23 καὶ ante ἀρχὴ add. A2. in iis quae ex- ciderunt aequalitatis commemoratmio fuisse videtur; cf. p. 107, 10 sqq. 111, 12 1 ἀρχή post πρώτη add. A2, πρώτη τῆς γενέ- σεως αἰτία Bull. καὶ ante πᾶσι add. A 4 post καὶ una lit. er. A. 11 μικτοῦ corr. ex μικτὸν A τί ἑκάστου γένους στοιχεῖον καὶ ἀρχὴ καὶ πῶς ἐκ τούτων τοῖς ἐξ αὐτῶν ἡ γένεσις mg. A. 20 ὁ ἐστιν ἕν ante κατὰ del. A)

καὶ τῆς γενέσεως αἰτία πᾶσι τοῖς μὴ ἀτάκτως γινομέ- νοις. ἀναλογία μὲν γὰρ πᾶσα ἐκ λόγων, λόγου δὲ ἀρχὴ τὸ ἴσον. δῆλον δὲ οὕτως. ἐν ἑκάστῳ τῶν γενῶν ἴδιόν ἐστί τι στοιχεῖον καὶ ἀρχή], εἰς ὅ τὰ ἄλλα ἀναλύεται, αὐτὸ δὲ εἰς μηδὲν ἐκείνων. ἀνάγκη δὴ τοῦτο ἀδιαίρε- τον εἶναι καὶ ἄτομον· τὸ γὰρ διαίρεσιν καὶ τομὴν ἐπι- δεχόμενον συλλαβὴ λέγεται καὶ οὐ στοιχεῖον. τὰ μὲν οὖν τῆς οὐσίας στοιχεῖα κατὰ οὐσίαν ἀδιαίρετά ἐστι, τὰ δὲ τοῦ ποιοῦ κατὰ τὸ ποιόν, τὰ δὲ τοῦ ποδοῦ κατὰ τὸ ποσόν. ὅλως δʼ ἕκαστον κατὰ τοῦτο ἄτομον καὶ ἕν, καθὸ στοιχεῖόν ἐστι συνθέτου τινὸς ἢ μικτοῦ. τοῦ μὲν οὖν ποσοῦ στοιχεῖον ἡ μονάς, τοῦ δὲ πηλίκου στιγμή, λόγου δὲ καὶ ἀναλογίας ἰσότης. οὕτε γὰρ μονάδα ἔτι διελεῖν ἔστιν εἰς τὸ ποσόν, οὕτε στιγμὴν εἰς τὸ πηλί- κον, οὕτε ἰσότητα εἰς πλείους λόγους. γίνεται δὲ ἀριθ- μὸς μὲν ἐκ μονάδος, γραμμὴ δὲ ἐκ στιγμῆς, λόγος δὲ καὶ ἀναλογία ἐξ ἰσότητος, τρόπον δὲ οὐ τὸν αὐτὸν ἕκα- στον τούτων· ἀλλὰ μονὰς μὲν πολλαπλασιαζομένη ὑφʼ ἑαυτῆς οὐδὲν γεννᾶ ὡς οἱ ἄλλοι ἀριθμοί, τὸ γὰρ ἅπαξ Xν ἓν· κατὰ σύνθεσιν δὲ αὔξεται μέχρις εἰς ἄπειρον· στιγμὴ δὲ οὔτε κατὰ πολλαπλασιασμὸν οὔτε κατὰ σύν- θεσιν· ἀλλὰ κατὰ συνέχειαν ῥυεῖσά τε καὶ ἐνεχθεῖσα γραμμμὴν ἀποτελεῖ, γραμμὴ δὲ ἐπιφάνειαν, ἐπιφάνεια δὲ σῶμα. καὶ μὴν ὁ τῶν ἴσων λόγος οὐκ αὔξεται συν- τιθέμενος· πλειόνων γὰρ ἴσων ἐξῆς τιθεμένων ὁ τῆς

περιοχῆς λόγος ἐν ἰσότητι διαμένει. διὸ καὶ συμβαίνει, τὴν στιγμὴν μὴ εἶναι μέρος γραμμς μηδὲ τὴν ἰσότητα λόγου, τὴν μέντοι μονάδα ἀριθμοῦ· μόνη γὰρ αὕτη συντιθεμένη λαμβάνει τινὰ αὔξησιν. αἴτιον δὲ τού λεχθέντος, ὅτι διαστήματος ἄμοιρος ἰσότης, καθάπερ καὶ ἡ στιγμὴ μεγέθους.

ἔοικε δὲ ὁ Πλάτων μίαν οἴεσθαι συνοχὴν εἶναι μαθημάτων τὴν ἐκ τῆς ἀναλογίας. ἔν τε γὰρ τῷ Ἐπι- νομίῳ φησίν· ἅπαν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἂπεασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περι- φορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἀπάντων ἀναφανὴναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι· φανήσεται δέ, ἂν ἃ λέγομεν ὀρθῶς τις ἐμβλέπων μανθάνῃ· δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς ἀπάντων εἶς ἀναφανήσεται.

διαφέρει δὲ ἀναλογίας μεσότης, ἐπειδὴ εἰ μέν τι ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, εἰ δέ τι μεσότης, οὐκ εὐ- θὺς ἀναλογία. ἐγχωρεῖ γάρ τι κατὰ τάξιν μέσον ὅν μὴ ἔχειν ἀναλόγως πρὸς τὰ ἄκρα· ὡς τὰ δύο μέσα ἐστὶ τῇ τάξει 〈τοῦ ἑνὸς καὶ〉 τῶν γʹ, καὶ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈τῶν ιʹ〉 τὰ γʹ καὶ τὰ δʹ καὶ τὰ εʹ· ἀπὸ γὰρ τοῦ ἑνὸς οὐχ οἷόν [*](3 αὕτη corr. ex αὐτὴ ut vid. A 8 ἔν τε γὰρ τῷ] ἐν τετάρτῳ A, ἐν τῷ γὰρ Hul., cf. p. 2, 15 9 Paeudο Plat. Fpin. p. 991 E ἅπαν praeter Theonem Nicom, introd. arithm. l 3, 5] πᾶν Plato, τα post ἅπαν del. A 11 ἀναλογίαν etiam Nicomachi codices mdliores et lamblichus in Villois. anecd. Gr. lI p. 193] ὁμολογίαν Plato et Nicom. codices deteriores) [*](12 φανήσεται etmiam Nicom. lamtbl. Platonis codor Vatica- nus 5 pr. mn. (aec. Bekk.)] ἀναφανήσεται ceteri ut videtur codices Platonis ᾶ] ὅ Plato 13 ἐμβλέπων etiam lambl.] εἰς ἓν βλέπων Plato 14 ἀπάντων etiam Nicomm.]πάντων Plato) [*](τούτων ante εἴς Plato, sed om. pr. 5 ἀναφανήσεται] διανοουμένοις add. Plato, om. etnam icon. 15 incr. δια- φέρει δὲ ἀναλογία καὶ μιεσότης A. cf.Nessslmann p. 210 sq.) [*](19 τῶν ιʹ add. in ed. Bull.)

τε ἐλθεῖν ἐπὶ τὰ ι΄ μὴ πρότερον ἐλθόντα ἐπὶ τὰ β΄ καὶ τὰ γ΄ καὶ τὰ δ. ἀλλʼ οὐδὲν τούτων ἀναλόγως ἔχει πρὸς τὰ ἄκρα. τὸ γὰρ ἓν οὐκ ἐν τούτῳ ἐστὶ τῷ λόγῳ πρὸς τὰ β, ἐν ᾧ τὰ β΄ πρὸς τὰ γ΄· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄. τὰ δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντα καὶ μέσα ἂν εἴη, οἷον ἔν β΄ δ΄. ἀναλογία τε γάρ ἐστιν ἡ τοῦ δι- πλασίου, καὶ τά β΄ μέσα τοῦ ἑνὸς καὶ τῶν δ΄.

ἀναλογίας δὲ ὁ μὲν Θράσυλλός φησιν εἶναι προ- ηγουμένας τρεῖς, ἀριθμιητικὴν γεωμετρικὴν ἁρμονικήν· ἀριθμητικὴν μὲν τὴν ταὐτῷ ἀριθμῷ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, 〈οἷον . . . . . . . . . . .· γεωμετρικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην,〉 οἷον δι- πλασίῳ ἢ τριπλασίῳ, ὡς γ΄ ς΄ ιβ΄· ἁρμονικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, οἷον τρίτῳ ἢ τετάρτῳ, οἷον ϛ΄ η΄ ιβ΄. . . . . . . . . . . .

τούτων δʼ Κκαστον ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἄλλως οὕτως ὁρᾶται· τῶν Ϛ΄ διπλάσιος ὁ ιβ΄, τριπλάσιος δὲ ὁ ιη΄, τε- τρακλάσιος δὲ ὁ κδ΄, ἡμιόλιος δὲ ὁ θ΄, ἐπίτριτος δὲ ὁ η΄· τὰ δὲ θ΄ τῶν η΄ ἐπόγδοα· τὰ δὲ ιβ΄ πρὸς μὲν θ΄ ἐπίτριτα, πρὸς δὲ η΄ ἡμιόλια, πρὸς δὲ Ϛ΄ διπλάσια· τὰ δὲ ιη΄ τῶν θ΄ διπλάσια· τούτων δὲ τὰ κζ΄ ἡμιόλια. καὶ γίνεται μὲν η΄ ἐν τῷ διὰ τεσσάρων πρὸς ϛ΄, τὰ δὲ θ΄ ἐν τῷ διὰ πέντε, τὰ δὲ ιβ΄ ἐν τῷ διὰ πασῶν, τὰ δὲ ιη΄ ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε· τῶν μὲν γὰρ Ϛ΄ διπλά- σια τὰ ιβ΄ ἐστιν ἐν τῷ διὰ πασῶν, τῶν δὲ ιβ΄ τὰ ιη΄ [*](4 καὶ ἐπὶ τῶν β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄] καὶ δ΄ καὶ ἐπὶ τῶν β΄ καὶ γ΄ A 7 μέσα apogr.] μετὰ A 8 inscr. περὶ ἀναλογιῶν A, κθ in mg. θρασύλλος A, em. apogr. 11 οἷον α΄ γ΄ ε΄ ζ΄ θ΄· γεωμετρικὴν δὲ κτλ. suppl. Bull., ζ mg. A, ζη λει γάρ add. A2 14 τουτῶ μέρει A2] ταυτομερεῖ A1 καὶ ὑπερεχο- μένην — ιβ΄ in mg. A 16 sqq. cf. p. 62.)

ἡμιόλιά ἐστιν ἐν τῷ διὰ πέντε, ϛʹ ιβʹ ιη΄· τὰ δὲ κδʹ πρὸς ςʹ ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν. τὰ δὲ θʹ τῶν ηʹ ἐν τόνῳ. τὰ δὲ ιβ΄ τῶν θʹ διὰ τεσσάρων. τὰ δὲ ιβʹ τῶν ηʹ ἐν τῷ διὰ πέντε. τὰ δὲ ιηʹ τῶν θʹ διὰ πασῶν. τὰ δὲ κζʹ τῶν ειηʹ διὰ πέντε. συνέστηκε δὲ τὸ διὰ πασῶν ιβʹ πρὸς Ϛʹ ἐκ τοῦ ἡμιολίου θʹ πρὸς ϛʹ καὶ ἐπιτρίτου ιβʹ πρὸς θʼ καὶ πάλιν ἡμιολίου ιβʹ πρὸς ηʹ καὶ ἐπιτρίτουηʹ πρὸς ϛʹ, καὶ τὰ ιηʹ πρὸς θʹ ἐκ τοῦ ιηʹ πρὸς ιβʹ ἡμιολίου καὶ ιβʹ πρὸς θʹ ἐπιτρίτου, καὶ τὰ κδʹ πρὸς ιβʹ διὰ πασῶν συν- έστηκεν ἐκ τοῦ κδʹ πρὸς ιηʹ ἐπιτρίτου καὶ τοῦ ιηʹ πρὸς ιβʹ ἡμιολίου· τὰ δὲ θʹ πρὸς ϛʹ διὰ πέντε ἐκ τοῦ θʹ πρὸς ηʹ ἐπογδόου καὶ τοῦ ηʹ πρὸς ςʹ ἐπιτρίτου, καὶ τὰ ιβʹ πρὸς ηʹ ἡμιόλιον ἐκ τοῦ ιβʹ πρὸς θʹ ἐπιτρίτου καὶ θʼ πρἐς ηʹ ἐπογδόου.