De utilitate mathematicae

ἀρκείτω δʼ ἡμῖν ἐν τῷ παρόντι διὰ τοῦ μήκους τῶν χορδῶν δηλῶσαι ἐπὶ τοῦ λεγομένου κανόνος. τῆς γὰρ ἐν τούτῳ μιᾶς χορδῆς καταμετρηθείσης εἰς τέσσαρα ἴσα ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος τῷ μὲν ἀπὸ τῶν τριῶν [*](1 τῷ Z] τῶν ut vid. eras. A γὰρ post ἐξετάσας A2 ut vid. 5 κοιλιῶν: οι corr. ex ω A 9 〈ἴσων〉: cf. p. 59, 12. 60, 19. 65, 13. 12 excidit fort. τοῦτο)

μερῶν ἐν λόγῳ γενόμενος ἐπιτρίτῳ συμφωνήσει διὰ τεσσάρων, τῷ δὲ ἀπὸ τῶν δύο, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς β΄ γ΄ Ϛ΄ η΄ διὰ ε΄ διὰ πασῶν διὰ δ΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ ε΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ δ΄ δὶς διὰ πασῶν ἡμισείας, ἐν λόγῳ γενόμενος διπλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν, τῷ δὲ ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ συμφωνήσει δὶς διὰ πασῶν. ὁ δὲ ἀπὸ τῶν τριῶν μερῶν φθόγγος πρὸς τὸν ἀπὸ τῶν δύο γενόμενος ἐν ἡμιολίῳ συμφωνήσει διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τρι- πλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. ἐὰν δὲ εἰς ἐννέα διαμετρηθῇ ἡ χορδή, ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος προς τὸν ἀπὸ τῶν ὀκτὼ μερῶν ἐν λόγῳ ἐπογδόῳ τὸ τονιαῖον περιέξει διάστημα.

πάσας δὲ τὰς συμφωνίας περιέχει ἡ τετρακτύς. συνέστησε μὲν γὰρ αὐτὴν α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμ- [*](1 μερῶν Bull.] μέτρων A 11 excidit fort. γενόμενος) [*](13 cf. p. 93, 19 14 συνέστησαν Bull. 15 ἣ διὰ δ ὡς ἔχει ὁ δ πρὸς τὰ γ· η διὰ ε ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ἢ διὰ πασῶν ὡς β πρὸς ᾱ· διὰ πασῶν καὶ διὰ ε ὡς γ πρὸς ᾱ· δὶς δία πασῶν ὡς δ πρὸς ᾱ· τὴν δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ δ οὐκ ἔστιν εὑρεῖν ἐν τῇ τετρακτύι· ἔστι γὰρ ὡς η πρὸς γ mg. A 5 μηκῶν Bull.)

φωνία καὶ ἡ διὰ πέντε καὶ ἡ διὰ πασῶν, καὶ ὁ ἐπίτρι- τος λόγος καὶ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος καὶ τριπλάσιος καὶ τετραπλάσιος.