De utilitate mathematicae

ἑνδεκάτη δὲ ἡλικιῶν, νηπίου μειρακίου ἀνδρὸς γέ- ροντος.

ὥστε τετρακτύες ἕνδεκα· πρώτη ἡ κατὰ σύνθεσιν ἀριθμῶν, δευτέρα δὲ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἀριθμῶν, τρίτη κατὰ μέγεθος, τετάρτη τῶν ἁπλῶν σωμάτων, πέμ- πτη τῶν σχημάτων, ἕκτη τῶν φυομένων, ἑβδόμη τῶν κοινωνιῶν, ὀγδόη κριτική, ἐνάτη τῶν μερῶν τοῦ ζῴου, δεκάτη τῶν ὡρῶν, ἑνδεκάτη ἡλικιῶν. ἔχουσι δὲ πᾶσαι ἀναλογίαν· ὃ γὰρ ἐν τῇ πρώτῃ καὶ δευτέρᾳ μονάς, τοῦτο ἐν τῇ τρίτῃ στιγμή, ἐν δὲ τῇ τετάρτῃ πῦρ, ἐν δὲ τῇ πέμπτῃ πυραμίς, ἐν δὲ τῇ ἕκτῃ σπέρμα, 〈καὶ〉 ἐν τῇ ἑβδόμῃ ἄνθρωπος, καὶ ἐν τῇ ὀγδόῃ νοῦς, καὶ τὰ λοιπὰ ἀνάλογον· οἷον πρώτη μονὰς δυὰς τριὰς τετράς, δευ- [*](4 ἐπιστήμην ut vid. A ἐστὶ om. apogr. 5 κοινὴ A1, cf. Theol. arithm. p. 20 καὶ ἐν τοῖς ζῴοις δὲ αἰσθήσεις τέσσα- ρες ὡρισμέναι καταλαμβάνονται τῆς ἁρῆς ὑποβεβλημένης ἁπά- σμις 8 θ mg. A ἐξ ἧς apogr.] ἑξῆς A. 11 ῑ mg. A) [*](13 ια mg. A. 16 in. ἀριθμοί A δύο ante δευτέρα del. A λαπλασιασμῶν A 21 μονάς Bull.] ἀριθμὸς A. 23 〈καὶ〉 ἐν τῇ] ἐν δὲ τῇ apogr.)

ἡ μὲν γὰρ μονας ἀρχὴ πάντων καὶ κυριωτάτη πα- [*](1 τετραγωνον corr. ex τετραγώνων A. 6 θυμηκὸν A1) [*](7 μετ᾿ ὅπορον A 8 ante ἐκ una lit. er. A 10 δύνα- μιν A. 13 τῶ supra vs. add A 14 χρῆσθαι post ἐλέγοντο probabiliter add. A2, sed exciderunt plura cf. Chalcid. 35. Sext. Emp. adv. math. IV 3. VII 94. Ζeller l p. 317, 2 17 inscr. περὶ δεκά δος A 18 δεκάδα corr. ex δεκάδος A. 24 inscr. περὶ μονάδος A, ᾱ in mg.)

πρώτη δὲ αὔξη καὶ μεταβολὴ ἐκ μονάδος εἰς δυάδα κατὰ διπλασιασμὸν τῆς μονάδος, καθʼ ἣν ὕλη καὶ πᾶν τὸ αἰσθητὸν καὶ ἡ γένεσις καὶ ἡ κίνησις καὶ ἡ αὔξησις καὶ ἡ σύνθεσις καὶ κοινωνία καὶ τὸ πρός τι.

ἡ δὲ δυὰς συνελθοῦσα τῇ μονάδι γίνεται τριάς, ἥτις πρώτη ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ τελευτὴν ἔχει. διὸ καὶ πρώτη λέγεται πάντα εἶναι· ἐπὶ γὰρ ἐλαττόνων αὐτῆς οὐ λέγεται πάντα εἶναι, ἀλλὰ ἓν καὶ ἀμφότερα, ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν πάντα. καὶ τρεῖς σπονδὰς ποιούμεθα δη- λοῦντες ὅτι πάντα ἀγαθὰ αἰτούμεθα, καὶ τοὺς κατὰ πάντα ἀθλίους τρισαθλίους καλοῦμεν καὶ τοὺς κατὰ πάντα μακαρίους τρισμακαρίους. πρώτη δὲ καὶ ἡ τοῦ ἐπιπέδου φύσις ἐκ τούτου. ἡ γὰρ τριὰς οἷον εἰκὼν ἐπι- πέδου, καὶ πρώτη αὐτοῦ ὑπόστασις ἐν τριγώνῳ, καὶ διὰ τοῦτο τρία αὐτῶν γένη, ἰσόπλευρον ἰ σκα- [*](3 τῆς supra vs. add. A. 5 ἰδεῶν; ε ante ἰ er. A. 7 τὸ om. apogr 8 inscr. περὶ δυάδος A, β in mg. 13 περὶ τριάδος A, γ in mg. cf. Chalcid. 38 14 μέσον? μεσότητα Roether ad lo. Lyd. de mens. p. 52 15 ἐπὶ corr. ex ἐπεὶ A 16 ἀμφότερα corr. ex δἰ ἀμφοτέρας A ἐπὶ corr. ex ἐπεὶ A. 17 τρεῖς] τὰς A. 21 εἰκὼν ἐπνπέδου] ἡ κατεπιπέδου, ο post τ er. et supra ε ras. A: cf. p. 101, 11 22 πρώτη apogr.] πρώτου A ⧅ (signum quadrati) supra ∇ω (i. e. τριγώνῳ) er. A.)

ἡ δὲ τετρὰς στερεοῦ ἐστιν εἰκὼν πρῶτός τε ἀριθμὸς [καὶ] τετράγωνός ἐστιν ἐν ἀρτίοις· καὶ αἱ συμφωνίαι δὲ πᾶσαι κατʼ αὐτὸν συμπληροῦνται, ὡς ἐδείχθη.

ἡ δὲ πεντὰς μέση ἐστι τῆς δεκάδος. ἐὰν γὰρ καθʼ ὁποιανοῦν σύνθεσιν ἐκ δύο ἀριθμῶν τὸν ι΄ συνθῇς, μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλο- γίαν· οἷον θ΄ καὶ α΄, καὶ η΄ καὶ β΄, καὶ ζ΄ καὶ γ΄, καὶ ϛ΄ καὶ δ΄· αἰεί τε ι΄ ποιήσεις καὶ μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν, ὡς δηλοῖ τὸ διά- γραμμα, κατὰ πᾶσαν σύνθεσιν τῶν συμπληρούντων τὰ ι΄ δυεῖν ἀριθμῶν [μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν] τῷ ἴσῳ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχων τε καὶ ὑπερεχόμενος.

πρῶτον δὲ καὶ περιέλαβε τὸ τοῦ παντὸς ἀριθμοῦ εἶδος ὁ ε΄, τὸν ἄρτιόν τε καὶ περιττόν, λέγω τὴν δυάδα τε καὶ τριάδα· ἡ γὰρ μονὰς οὐκ ἦν ἀριθμός.

ὁ δὲ Ϛ΄ τέλειος, ἐπειδὴ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσίν ἐστιν ἴσος, ὡς δέδεικται· διὸ καὶ γάμον αὐτὸν ἐκάλουν, ἐπεὶ γάμου ἔργον ὅμοια ποιεῖ τὰ ἔκγονα τοῖς γονεῦσι. καὶ κατὰ τοῦτον δὲ πρῶτον συνέστη ἡ ἁρμονικὴ μεσότης ληφθέντος [μὲν] τοῦ Ϛ΄ ἐπιτρίτου 〈μὲν〉 λόγου τῶν η΄, διπλασίου δὲ τῶν ιβ΄· ϛ΄ η΄ ιβ΄· τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει ὁ η΄ τῶν ἄκρων ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται, ϛ΄ η΄ ιβ΄, τουτέστι τῷ τρίτῳ· καὶ ἀριθμητικὴ δὲ μεσότης ληφθέντος τοῦ ϛ΄ ἡμιολίου μὲν λόγου τῶν θ΄, διπλασίου δὲ τῶν ιβ΄· τῷ γὰρ αὐτῷ ἀριθμῷ τὰ θ΄ ὑπερέχει τῶν ἄκρων καὶ ὑπερ- ἐχεται· ποιεῖ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν μέσος λη- φθείς· ἂν γὰρ ἥμισυ αὐτοῦ λάβωμεν τὸν γ΄ καὶ διπλά- σιον τὸν ιβ΄, ἔσται ἡμῖν ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία γ΄ Ϛ΄ ιβ΄· τῷ γὰρ αὐτῷ λόγῳ τὰ ϛ΄ τῶν ἄκρων ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται, γ΄ ϛ΄ ιβ΄, τουτέστι τῷ διπλασίῳ.

καὶ ἡ ἑβδομὰς δὲ τῆς δεκάδος οὖσα θαυμαστὴν ἔχει δύναμιν. μόνος γὰρ τῶν ἐντὸς τῆς δεκάδος οὔτε γεννᾷ ἕτερον οὔτε γεννᾶται ὑφʼ ἑτέρου· διὸ καὶ Ἀθηνᾶ ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν ἐκαλεῖτο, οὔτε μητρός τινος οὖσα οὔτε μήτηρ. οὔτε γὰρ γίνεται ἐκ συνδυασμρῦ οὔτε συνδυάζεταί τινι. τῶν γὰρ ἀριθμῶν τῶν ἐν τῇ δεκάδι οἱ μὲν γεννῶσί τε καὶ γεννῶνται, ὡς ὁ δ΄ γεννᾷ μὲν μετὰ δυάδος τὸν η΄, γεννᾶται δὲ ὑπὸ δυάδος· οἱ δὲ. γεννῶνται μέν, οὐ γεννῶσι δέ, ὡς ὁ Ϛ΄ γεννᾶται μὲν ὑπὸ β΄ καὶ γ΄, οὐ γεννᾷ δὲ οὐδένα τῶν ἐν τῇ δεκάδι· οἱ δὲ γεννῶσι μέν, οὐ γεννῶνται δέ, ὡς ὁ γ΄ καὶ ὁ ε΄ γεννῶνται μὲν ἐξ οὐδενὸς ἀριθμοῦ] συνδυασμοῦ, γεν- νῶσι δὲ ὁ μὲν γ΄ τὸν θ΄ καὶ τὸν Ϛ΄ μετὰ δυάδος, ὁ δὲ ε΄ γεννᾷ μετὰ δυάδος αὐτὸν τὸν ι΄. μόνος δὲ ὁ ζ΄ οὔτε συνδυασθείς τινι γεννᾷ τινα τῶν ἐν τῇ δεκάδι οὔτε ἐκ συνδυασμοῦ γεννᾶται. ἑπόμενος δὲ τῇ φύσει καὶ ὁ Πλάτων ἐξ ἑπτὰ ἀριθμῶν συνίστησι τὴν ψυχὴν ἐν τῷ Τιμαίῳ. ἡμέρα μὲν γὰρ καὶ νύξ, ὥς φησι Ποσειδώνιος, ἀρτίου καὶ περιττοῦ φύσιν ἔχουσι· μὴν δὲ καθʼ ἑβδο- μάδας τέσσαρας συμπληροῦται, τῇ μὲν πρώτῃ ἑβδομάδι διχοτόμου τῆς σελήνης ὁρωμένης, τῇ δὲ δευτέρᾳ πλη- σισελήνου, τῇ δὲ τρίτῃ διχοτόμον, πάλιν δὲ τῇ τετάρτῃ σύνοδον ποιουμένης πρὸς ἥλιον καὶ ἀρχὴν ἑτέρου μη- [*](1 inscr. περὶ ἑβδομάδος A, ζ in mg. cf. Chalcid. 36 〈κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα μέση τῆς τετράδος καὶ〉 τῆς δεκάδος? cf. Theol. arithm. p. 44, 10. an verba τῆς δεκάδος οὖσα pro dittographia eorum quae sequuntur τῆς δεκάδος οὔτε habenda sunt? 2 μόνος γὰρ 〈ὁ ζ〉? 7 γεννῶσι; post ω una vel duae litt. er. A. 10. 15 δεκάδι apogr.] ῑ A. 12 cf. vs. 5. 15 17 ἐν τῷ Τιμαίῳ: p. 35 B 18 καὶ add. A πωσιδόνιος A1, ποσιδώνιος A2, em. apogr. cf. Beke Posid. reliq. p. 240 23 ποιουμένη A)

ἡ δὲ ὀγδοάς, ἥτις ἐστὶ πρῶτος κύβος, συντίθεται. ἔκ τε μονάδος 〈καὶ ἑπτάδος〉. ἔνιοι δέ φασιν ὀκτὼ τούς [*](1 sqq. cf. Chalcid. 37 2 Ἐμπεδοκλῆς: cf. Karsten Em- ped. reliq. p. 475 3 αἰνίττεται: αἰ in ras. A 4 γίνεται A 5 γεννώμενα A 6 cf. Bergk Poetae lyr. Gr. p. 431) [*](7 ἐν τρίτῃ] τὶ τρίτη A1, τῆ τρίτη A 8 ἐν ᾗ ante καὶ excidisse videtur, cf. Macr. in Somn. Scip. l 6, 72 post te septenos annos genas flore vestit iuventa, idemque annus finem in longum crescendi facit 9 εὐδομάδι A, em. apogr. 11 ἑβρό- μην] ἑπτὰ A, ζ supra scr. A ἁπαντᾶ A2, ἅπαντα A1 13 πλανομένων A 14 ἡσημερίαν A 15 γλῶσσα del. A, cf. Chalc. et Macrob. 16 ηρόφιλος; η in ras. A. cf. Haeser Lehrbuch der Gesch. der Medicin l p. 236 18 ἑπτάκι A1) [*](21 καὶ ἑπτάδος add. Bull.)

ὁ δὲ τῶν ἐννέα πρῶτός ἐστι τετράγωνος ἐν περιτ- τοῖς. πρῶτοι γάρ εἰσιν ἀριθμοὶ δυὰς καὶ τριάς, ἡ μὲν ἀρτίων, ἡ δὲ περιττῶν· διὸ καὶ πρώτους τετραγώνους ποιοῦσιν, ὁ μὲν δ΄, ὁ δὲ θ΄.

ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμόν, ἐμ- περιέχουσα πᾶσαν φύσιν ἐντὸς αὑτῆς, ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ κινουμένου τε καὶ ἀκινήτου ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ· περὶ ἧς καὶ Ἀρχύτας ἐν τῷ περὶ τῆς δεκάδος καὶ Φιλόλαος ἐν τῷ περὶ φύσιος πολλὰ διεξίασιν.

ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὸν τῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτή- των λόγον. μεσότητές εἰσι πλείονες, γεωμετρικὴ ἀριθ- μητικὴ ἁρμονικὴ ὑπεναντία πέμπτη ἕκτη. λέγονται δὲ καὶ ἄλλαι πάλιν ἓξ ταύταις ὑπεναντίαι. τούτων δέ φη- σιν ὁ Ἄδραστος μίαν τὴν γεωμετρικὴν κυρίως λέγεσθαι καὶ ἀναλογίαν καὶ πρώτην· ταύτης μὲν γὰρ αἱ ἄλλαι προσδέονται, αὐτὴ δʼ ἐκείνων οὐχί, ὡς ὑποδείκνυσιν ἐν τοῖς ἐφεξῆς. κοινότερον δέ φησι καὶ τὰς ἄλλας μεσότη- τας ὑπʼ ἐνίων καλεῖσθαι ἀναλογίας. τῶν δὲ κυρίως λεγομένων ἀναλογιῶν, τουτέστι τῶν γεωμετρικῶν, αἱ μέν εἰσιν ἐν ῥητοῖς ὅροις τε καὶ λόγοις, ὡς ιβ΄ ϛ΄ γ΄, [*](1 σφαίρεσι A1, σφαίραισι A2, em. apogr. ἰόντα; ν supra vs. A. 2 ἐννέα τῶν περὶ γαῖαν A quae verba del. A2, ταῦτʼ ἐνάτην περὶ γαῖαν Bergk, Ztschr. f. d. AW. 1850 p. 177. cf Theol. arithm. p. 56 σὺν οκτὼ δὴ σφαίρῃσι κυλίνδεται ὁ κυ- κλώων ἐνάτην περιγαίην, Ἐρατοσθένης φησίν 3 θ mg. A.) [*](7 ῑ mg. A ἐνπεριέχουσα A, em. apogr. 11 Φιλόλαος: fr. 13 Mullach. cf. Boeckh Philolaos Lehren p. 27. 146. Schaar- schmidt die angebliche Schriftstellerei des Philolaos p. Zeller l p. 368, 1 φύσεως A 17 ἀνάλογον ut vid. A1. cf. Procl. in Tim. p. 145 C)

ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησὶν ὅτι πᾶς μὲν λόγος ἢ κατὰ διάστημα ἢ κατὰ τοὺς ὅρους αὔξεται· τῇ δὲ ἰσότητι συμ- βέβηκε διαστήματος μὴ μετέχειν· εὔδηλον δὲ ὅτι κατὰ τοὺς ὅρους μόνους αὐξηθήσεται. λαβόντες δὴ τρία με- γέθη καὶ τὴν ἐν τούτοις ἀναλογίαν κινήσομεν τοὺς ὅρους. καὶ δείξομεν ὅτι πάντα τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἐξ ἀναλογίας ποσῶν τινων σύγκειται καὶ ἔστιν αὐτῶν ἀρχὴ καὶ στοιχεῖον ἡ τῆς ἀναλογίας φύσις.

τὰς δὲ ἀποδείξεις ὁ μὲν Ἐρατοσθένης φησὶ παρα- λείψειν. ὁ δὲ Ἄδραστος γνωριμώτερον δείκνυσιν, ὅτι τριῶν ἐκτεθέντων ὅρων ἐν ᾗ δήποτε ἀναλογίᾳ, ἐὰν [*](2 pr. ἐν supra vs. A, fort. A ἀρήτοις A 4 διπλα- σίοις — ἐπιμορίοις del. Bull. 5 ἔφαμεν; p. 85, 11 10 inscr. περὶ ἰσότητος ὅτι ἀρχὴ ἀναλογιῶν καὶ πῶς γίνεται πολλαπλασία A 15 Ἐρατοσθένης: cf. Philol. XXX p. 66. Bernhardy p. 170 22 ἀναλογίας] ἰσότητος? 25 ἡδήποτε A1, οἱαδήποτε A2)

α α α α β δ α γ θ α δ ις α ε κε α ς λς α ζ μθ α η ξδ α θ πα α ι ρ

ἐκ δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀνάπαλιν τεθέντων [α΄ α΄ α΄] καὶ ὁμοίως πλαττομένων οἱ ἐπιμόριοι λόγοι 〈καὶ αἱ〉 ἐν τούτοις συστήσονται ἀναλογίαι, ἐκ μὲν τῶν διπλασίων ἡμιόλιοι, ἐκ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι, ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι, καὶ ἀεὶ ἑξῆς οὕτως. οἷον ἔστω ἀναλογία κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον ἐν τρισὶν ὅροις, τοῦ μείζονος κειμένου πρώτου, καὶ πεπλάσθωσαν ἕτεροι τρεῖς ἐκ τούτων τὸν εἰρημένον τρόπον· δ΄ β΄ α΄ οἱ δὲ ἐξ αὐτῶν γενήσονται δʹ Ϛʹ θ΄· γίνεται ἀνάλογον ἐν ἡμιολίοις. πάλιν ἔστωσαν τρεῖς ὅροι ἀνάλογον ἐν τριπλασίοις θ΄ γ΄ α΄· συστήσονται τὸν αὐτὸν τρόπεον ἐκ τούτων ὅροι τρεῖς ἀνάλογον ἐν ἐπιτρίτοις θ΄ ιβ΄ ιϛ΄. ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων συστήσονται ἐν ἐπιτετάρτοις ιϚ΄ κ΄ κε΄, καὶ οὕτως ἀεὶ ἐκ τῶν ἐχομένων οἱ ἑξῆς ὁμώνυμοι.