Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν

ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτῃται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος, λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους, μειζόνων ἐφάπτῃται, ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο· ἀνομοίας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, καὶ μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον ὁποτερουοῦν τῶν πόλων τῆς ποῤῥώτερον.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔΞ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΒΕΓ, λοξὸς ὤν πρὸς τοὺς παραλλήλους, μειζόνων ἐφαπτέσθω, ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεται· λέγω, ὅτι ἀνομοίας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν· καὶ μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον ὁποτερουοῦν τῶν πόλων τῆς ποῤῥώτερον.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΒΓ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ε, Κ καὶ τῶν Ε, Κ σημείων τῷ ΑΔΞ κύκλοι παράλληλοι γεγράφθωσαν οἱ ΖΕΗ, ΘΜΑ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἡ δὲ ΘΚ περιφέρεια τῆς ΖΕ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία.

Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Ε, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΕΜ, ΞΝΚ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΔΞ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ μὲν ἀπὸ τοῦ Δ ἡμικύκλιον, ὡς ἐπὶ τὰ Μ μέρη, τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυλίῳ, ὡς ἐπὶ τὰ Θ μέρη, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἡμικύκλιον, ὡς ἐπὶ τὰ Κ μέρη, τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ, ὡς ἐπὶ τὰ Λ μέρη.

Ἐπεὶ οὖν ἀσύμπτωτά ἐστι τὰ ΑΛ, ΞΚ ἡμικύκλια, καὶ μεταξὺ αὐτῶν κύκλων παραλλήλων περιφέρειαί εἰσιν αἱ ΝΗ, ΚΛ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΗ περιφέρεια τῇ ΚΛ περιφερείᾳ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΘΜ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΝΗ περιφέρεια τῇ ΚΛ περιφερείᾳ, ἡ ἄρα ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΖΕ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.