Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος πρός τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ λοξὸς ᾖ, ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων μέν ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τῷ προειρημένῳ.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ πρός τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΒΔ λοξὸς ἔστω, τοῦτ’ ἔστι, μὴ ἔστω διὰ τῶν

πόλων· λέγω, ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων μὲν ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τῷ προειρημένῳ τῷ ΒΔ.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒΓ κύκλος λοξός ἐστι πρὸς τὸν ΒΔ, ὁ πόλος τοῦ ΒΔ οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Εἰλήφθω οὖν ὁ πόλος τοῦ ΒΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΓΗ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΑΕ γεγράφθω ὁ ΑΖ.

Παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΖ τῷ ΒΔ, περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσί. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΖ μεγίστου τἰνὸς κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Α, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἀλλήλων· ὁ ἄρα ΑΒΓ κύκλος τοῦ ΑΖ κύκλου ἐφάψεται. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΖ ἐφάπτεται, ἐφάψεται ἄρα καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΑΖ· ἐφαπτέσθω οὖν τοῦ ΓΗ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΖ τῷ ΓΗ ἴσος τέ ἐστι καὶ παράλληλος, ἀλλ’ ὁ ΑΖ τῷ ΒΔ ἐστὶ παράλληλος, καὶ ὁ ΓΗ ἄρα τῷ ΒΔ ἐστὶ παράλληλος· ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων τῶν ΑΖ, ΓΗ, ἴσων μὲν ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τῷ ΒΔ.