Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, ὁ διὰ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς συναφῆς μέγιστος κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ἑτέρου πόλων.

Ἐν σφαίρᾳ γὰρ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Ζ σημεῖον, τοῦ δὲ ΓΔΕ κύκλου πόλος τὸ Η σημεῖον· λέγω, ὅτι ὁ διὰ τῶν Ζ, Γ σημείων μέγιστος κύκλος γραφόμενος καὶ διὰ τοῦ Η σημείου ἐλεύσεται.

Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἐρχέσθω ὡς ὁ ΖΓΘ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Ζ, Η πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΖΗ· ἥξει δὴ διὰ τοῦ Γ.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ.

Καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΖΓΗ, ΖΓΘ, δίχα ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλους, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΚΓ, ΖΛΓ ἡμικύκλιόν ἐστιν· ἡ ΖΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας, ἐπεὶ καὶ τῶν μεγίστων κύκλων τῶν ΖΓΗ, ΖΓΘ· ἀλλὰ καὶ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ὁ διὰ τῶν Ζ, Γ σημείων μέγιστος κύκλος γραφόμενος οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Η σημείου· διὰ τοῦ Η σημείου ἄρα ἥξει.