Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνωσι, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ· ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ κύκλοι.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΑΓΕ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τεμνέτωσαν τὸ Γ, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ· λέγω, ὅτι ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλοι.

Ἔστωσαν γὰρ αὐτῶν κοιναὶ τομαὶ, τοῦ μὲν ΑΓΕ καὶ τοῦ ΑΒΓ ἡ ΑΓ, τοῦ δὲ ΑΓΕ καὶ τοῦ ΓΔΕ ἡ ΓΕ, τοῦ δὲ ΑΒΓ καὶ τοῦ ΓΔΕ ἡ ΗΓΖ. b

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΓΕ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΕ διάμετρός ἐστι τοῦ ΓΔΕ κύκλου. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΓΕ ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων, καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομή ἐστιν ἄρα ὀρθὴ πρὸς τὸν ΑΓΕ

κύκλον. Κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΖΓΗ, καὶ ἡ ΖΓΗ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον· ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΓΕ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν. Ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΕ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΕ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΖΗ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς κατερᾶν τῶν ΑΓ, ΓΕ. Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἀπ’ ἄκρας τῇ διαμέτρῳ τῇ a ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΖΗ, ἡ ΖΗ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τό Γ σημεῖον. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου ἐφάπτεται ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Γ σημεῖον. Ἐν δὲ σφαίρᾳ κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται, ὅταν ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφάπτηται· ἐφάπτεται b δὲ ἡ ΖΗ ἀμφοτέρων τῶν κύκλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον· καὶ οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἄρα κύκλοι ἐφάψονται ἀλλήλων.