Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω· λέγω, ὅτι τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον· τοῦτ’ ἔστιν, ὅτι ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΕΖ.

Ἔστω γὰρ ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Γ, Δ μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΗΘΓ, ΗΚΔ.

Οἱ ἄρα ΗΘΓ, ΗΚΔ ὁμοίας ἀφαιροῦσι περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν, ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστὶν ὁμοία, ἡ ΑΘΚΒ ἄρα τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΕΖ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, γραφόντων ἡμῶν διὰ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Ε, Ζ μεγίστους κύκλους.

Δύναται δὲ δειχθῆναι, καὶ μὴ γραφόντων ἡμῶν, μόνον δὲ προςαναπληρούντων τοὺς ΗΘΓ, ΗΚΔ, ΕΖ, ὡς ἐν τῷ θεωρήματι a.