Sphaerica

Ἐὰν ἐν ἴσοις κύκλοις ἐπὶ διαμέτρων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐπισταθῇ, ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι πρὸς τοῖς πέρασι τῶν τμημάτων, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, καὶ ἀπὸ τῶν γενομένων σημείων πρὸς τὰς τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι προσβληθῶσιν· ἴσας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων.

Ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ΑΓ, ΔΖ ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφεστάτω τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν πρὸς τοῖς πέρασι τοῖς Α, Δ σημείοις, αἱ ΑΗ, ΔΘ, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τῶν ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων πρὸς τὰς τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι προβεβλήσβωσαν αἱ ΗΒ, ΘΕ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ.

Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι· πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς, τοῦτ’ ἔστιν, ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΖ. Πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν αἱ ΗΚ, ΘΛ, καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Μ, Ν σημεῖα· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ, ΒΜ, ΛΕ, ΕΝ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΚΒ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΚΒ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΘΛΕ γωνία ὀρθή ἐστι. Καὶ ἐπεὶ δύο τμήματα τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ ἴσα ἐστὶ, καὶ ἀπειλημμέναι ἴσαι εἰσὶ περιφέρειαι αἱ ΑΗ, ΔΘ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΗΚ, ΘΛ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἠ μὲν ΑΚ τῇ ΔΛ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΘΕ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ· ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΒ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΛ, ΛΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΛ, ΛΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΛ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ ἴσον ἐστὶν, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ

ΛΕ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΔΝ, ὧν ἡ ΑΚ τῇ ΔΛ ἴση ἐστί λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΜ λοιπῇ τῇ a ΛΝ ἐστιν ἴση· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΝΕ, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΒ δυσὶ ταῖς ΛΝ, ΝΕ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΛΕ ἐστιν ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΜΒ τῇ ὑπὸ ΛΝΕ ἐστιν ἴση. Ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι, ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις, ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ.