Sphaerica

Ἐν σφαίρᾳ οἱ παράλληλοι κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν.

Ἔστωσαν γὰρ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν. Εἰλήφθωσαν γὰρ τοῦ ΑΒΓ κύκλου οἱ πόλοι, καὶ ἔστωσαν οἱ Η, Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ.

Καὶ ἐπεὶ, ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐστίν· ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. Καί ἐστιν ὁ ΑΒΓ κύκλος παράλληλος τῷ ΔΕΖ κύκλῳ· καὶ ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΔΕΖ. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΔΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ, καὶ ἐκβέβληται ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα· ἐὰν δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ, καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου· τὰ Η, Θ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ

ΔΕΖ κύκλου. Οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἄρα κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν. a