Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ a πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, δίχα αὐτ ὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω· λέγω, ὅτι δίχα αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ ἡ ΒΔ, καὶ εἰλήφθω κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον· τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας· καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἡ ΗΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα.

Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς ἄλληλα, τό τε τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΕΒΖΔ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΘΑ, ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων οὖσα τῷ ΑΒΓΔ ἡ ΑΓ ἄρα καὶ τῷ ΕΒΖΔ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ, καὶ συμπίπτει τῷ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Θ σημεῖον· τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ, ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΓΔ κύκλον δίχα τέμνει.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ, καὶ ἐκβέβληται

ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ ἐὰν δὲ ἡ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ, καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου· τὰ Α, Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ, ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει· ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ δίχα· ὁ ΑΒΓΔ. ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει.