[*](p. 184)δ. Ἐν δὲ τῇ ἄνω ἐπιφανείᾳ τοῦ κανόνος σωλὴν ἐγκέκοπται ἤτοι στρογγύλος ἢ τετράγωνος, τῷ μήκει τηλικοῦτος, ὥστε δέξασθαι σωλῆνα χαλκοῦν μῆκος ἔχοντα ἔλασσον τοῦ κανόνος ὡς δακτύλους δώδεκα. τῷ δὲ χαλκῷ σωλῆνι πρόσκεινται ἕτεροι σωλῆνες ὀρθοὶ ἐκ τῶν ἄκρων, ὥστε δοκεῖν ἀνακεκάμφθαι τὸν σωλῆνα· τῆς δʼ ἀνακαμπῆς τὸ ὕψος οὐ πλεῖον γίνεται δακτύλων δύο. εἶτα μετὰ τοῦτο ἐπιπωμάζεται ὁ χαλκοῦς [*](p. 186) σωλὴν κανόνι ἐπιμήκει ἁρμόζοντι εἰς τὸν σωλῆνα, ὥστε συνέχειν τόν τε χαλκοῦν σωλῆνα καὶ εὐπρεπεστέραν τὴν ὄψιν παρέχειν. ἐν δὲ ταῖς εἰρημέναις ἀνακαμπαῖς τοῦ σωλῆνος ἐναρμόζεται ἐν ἑκατέρᾳ ὑάλινον κυλίνδριον πάχος μὲν ἔχον ἁρμοστὸν τῷ σωλῆνι, ὕψος δὲ ὡς δακτύλων δώδεκα· εἶτα περιστεγνοῦται εἰς τὰς ἀνακαμπὰς τὰ ὑάλινα κυλίνδρια κηρῷ ἢ ἄλλῳ τινὶ στεγνώματι, πρὸς τὸ ὕδατος ἐμβληθέντος διʼ ἑνὸς τῶν κυλινδρίων μηδαμόθεν διαρρεῖν.
Περίκειται δὲ τῷ πλαγίῳ κανόνι πηγμάτια δύο κατὰ τοὺς τόπους, ἐν οἷς ἐστιν τὰ ὑάλινα κυλίνδρια, ὥστε διʼ αὐτῶν διελθόντα τὰ ὑάλινα συνέχεσθαι. ἐν [*](2 post στη hiat disputatio, desunt 4 folia, cf. proleg p. XIV; f. στη〈μάτια συμφυῆ γίνεται τῇ πλίνθῳ . . . . . .〉 3 μακροὶ καὶ οἱ ὄντες: f. καὶ οι (i. e. παράλληλοι) ὄντες (sc. κανόνες) 7 δια-)
198
200
δὲ τοῖς εἰρημένοις πηγματίοις λεπίδια χαλκᾶ ἐναρμόζεται, διατρέχειν μὲν δυνάμενα ἐν σωλῆσι διὰ τῶν τοίχων τῶν πηγματίων ψαύοντα τῶν ὑαλίνων κυλινδρίων, μέσας ἔχοντα ἀνατομὰς, διʼ ὧν δυνατὸν ἔσται διοπτεύειν. τοῖς δὲ εἰρημένοις λεπιδίοις συμφυῆ γίνεται ἐκ τῶν κάτω μερῶν χοινικίδια, ὕψος ἔχοντα ὡς ἡμιδακτυλίου, καὶ τούτοις ἁρμοστὰ γίνεται ἀξόνια χαλκᾶ, μῆκος μὲν ἔχοντα ὅσον ἐστὶν τὸ ὕψος τοῦ πήγματος τοῦ πρὸς ἑνὶ τῶν ὑαλίνων κυλινδρίων, ἃ διὰ τρήματος ἀνέρχεται ἐν τῷ κανόνι τῷ τὸν σωλῆνα
[*](fol. 63v) ἔχοντι. ἐν δὲ τοῖς ἀξονίοις ἕλικες ἐντέμνονται, | εἰς ἃς τυλάρια ἁρμοστὰ γίνεται συμφυῆ ὄντα τῷ κανόνι. ἐὰν ἄρα τὰς τῶν ἀξονίων ὑπεροχὰς τὰς εἰς τὸ κάτω μέρος ἐπιστρέφῃ τις, κινήσει τὰ λεπίδια τὰ τὰς ἀνατομὰς ἔχοντα ἔκ τε τοῦ ἄνω καὶ κάτω μέρους· ἕξει γὰρ τὸ πρὸς τῇ λεπίδι ἄκρον τοῦ ἀξονίου τυλάριον ἐμβαῖνον εἰς σωλῆνα ἐνόντα ἐν τῷ χοινικιδίῳ.
[*](p. 188)ε. Καὶ ἡ μὲν τῆς διόπτρας κατασκευὴ εἴρηται, τὴν δὲ τῶν παρατιθεμένων αὐτῇ κανόνων καὶ ἀσπίδων νῦν ἐροῦμεν. δύο γίνονται κανόνες μῆκος μὲν ὡς πηχῶν ι, πλάτος δὲ ὡς δακτύλων ε, πάχος δὲ ὡς δακτύλων τριῶν. ἐν δὲ τῷ μέσῳ πλάτει ἑκατέρων αὐτῶν πελεκῖνος γίνεται θῆλυς τὰ στενὰ εἰς τὸ ἔξω μέρος ἔχων, ἰσομήκης τῷ κανόνι. τούτῳ δὲ ἁρμοστὸν γίνεται χελωνάριον εὐλύτως διατρέχειν εἰς αὐτὸν δυνάμενον καὶ μὴ ἐκπίπτειν. τούτῳ δὲ τῷ χελωναρίῳ προσηλοῦται ἀσπιδίσκη τὴν διάμετρον ἔχουσα ὡς δακτύλων δέκα ἢ δώδεκα· καὶ διὰ τοῦ κύκλου εὐθείας βληθείσης πρὸς [*](4f. 〈δ᾿〉ἔχοντα 7 ἡμιδακτύλου: correxi ἀξώνια 9 τῶ πρὸς; correxi γαληνων: correxi 9—10 ὃ διὰ: corr. Vi 11 ἀξωνιοις ἐντεμονται 13 ἀξώνων 16 ἀξωνίου 18—19 εἴρηται. τῶν)
202
204
καταφέρεσθαι· πρὸς ὃ ἐὰν τὴν σπάρτον ἀνιῶμεν, κατασταθήσεται καὶ ἡ ἀσπιδίσκη καθ᾿ ὃν ἂν βουλώμεθα τοῦ κανόνος τόπον χαλωμένης
---.
Διῃρήσθω δὲ καὶ ὁ κανὼν ἀπὸ τῆς κάτω κουρᾶς ἀκριβῶς εἰς πήχεις καὶ παλαιστὰς καὶ δακτύλους, ὅσους [*](fol. 64r) ἐὰν ἐπιδέχηται | τὸ μῆκος· καὶ κατὰ τὰς διαιρέσεις αἱ γραμμαὶ ἐγκεχαράχθωσαν τῶν τοῦ κανόνος μερῶν τῶν ἐπὶ τὰ δεξιὰ τῆς ἀσπιδίσκης· ἕξει δὲ καὶ ἡ ἀσπιδίσκη ἐκ τῶν ὄπισθεν μερῶν γνωμόνιον ἀπὸ τῆς εἰρημένης ἐν αὐτῇ διαμέτρου παραπῖπτον παρὰ τὰς εἰρημένας ἐν τῷ πλαγίῳ μέρει τοῦ κανόνος γραμμάς. [*](p. 190) Οἱ δὲ κανόνες ὀρθοὶ σταθήσονται ἐπὶ τοῦ ἐδάφους ἀκριβῶς οὕτως· ἐκ πλαγίων τῶν κανόνων, ὅπου οὔκ εἰσιν αἱ τῶν μερῶν γραμμαὶ, τύλος ἐμπήγνυται μῆκος ἔχων ὡς δακτύλους τρεῖς, οὗ παρὰ τὴν κουρὰν τρῆμα γίνεται ἀπὸ τῶν ἄνω μερῶν εἰς τὸ κάτω, δυνάμενον σπάρτον δέξασθαι βάρος ἔχουσαν κρεμάμενον. ὡς δὲ τὸ κάτω μέρος στύλος ἐγκείμενος γίνεται τοσοῦτος, ὅσον καὶ τὸ εἰρημένον τρύπημα ἀφέστηκεν ἀπὸ τοῦ εἰρημένου κανόνος. ἐν δὲ τῇ εἰρημένῃ κουρᾷ τῇ κάτω τοῦ τύλου μέση καὶ ὀρθὴ γραμμὴ γίνεται, ᾗ ἐφαρμόσασα ἡ εἰρημένη σπάρτος τὸν κανόνα ὀρθὸν καταστήσει.
Τῆς οὖν κατασκευῆς πάσης εἰρημένης νῦν καὶ τὴν χρῆσιν ἐκθησόμεθα, ὡς δυνατὸν ἔσται.
[*](p. 194)ϛ. Δύο σημείων δοθέντων ἐν ἀποστήματι τυχόντι ἐπισκέψασθαι, ὁπότερον αὐτῶν μετεωρότερόν ἐστιν ἢ ταπεινότερον, καὶ πόσῳ, ἢ καὶ ἀμφότερα ἐξ ἴσου κεῖται, τουτέστιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι. [*](3 χαλωμένης: χαλωμένη Vi; hiatum indicavi 6—7 καὶ κατὰσ διαιρέσεις: corr. Vi 8 [τῶν] transposui; ἐκ τοῦ καν. Vi 9 ὄπισθε 13 πλαγίων τε: correxi 16 f. τὰ κάτω)
206
οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ τοὺς δοθέντας τόπους ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν σημείων ἐπισκεψώμεθα, πῶς ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς δοθέντα σημεῖα. ἔστωσαν οἱ δοθέντες τόποι, τουτέστι τὰ σημεῖα, τὰ Α, Β. δεῖ δὲ ἐπισκέψασθαι, ὁπότερον αὐτῶν μετεωρότερόν ἐστιν ἢ ταπεινότερον· καὶ τὸ μὲν Β σημεῖον ἔστω τόπος, ἐν αὐτᾧ τὸ ὕδωρ ἐστὶν, τὸ δὲ Α, εἰς ὃν μέλλει φέρεσθαι. ἕνα οὖν τῶν εἰρημένων κανόνων ἵστημι πρὸς τῷ Α, καὶ ἔστω ὁ Α εἶτα ἀποστήσας τὴν διόπτραν ἀπὸ τοῦ Α τοσοῦτον, ἐφʼ ὅσον δυνάμεθα ὁρᾶν τὸν ΑΓ κανόνα, ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῷ Β, ἐπιστρέφω τὸν ἐπ᾿ ἄκρῳ τῷ στυλίσκῳ, ἐν ᾧ ἐστὶ τὰ ὑάλινα κυλίνδρια, ἄχρις ἂν ἐπʼ εὐθείας γένηται ὁ πλάγιος κανὼν τῷ ΑΓ. εἶτα ἐπιστρέψας τὰ κοχλίδια ἐν τῷ κανόνι |
[*](fol. 64v) ἀνάγω τὰς λεπίδας, ἄχρις ἂν αἱ ἐν αὐταῖς ἀνατομαὶ γένωνται κατὰ τὰς ἐν τοῖς ὑαλίνοις γραμμάς, ἃς ποιεῖ ἡ τοῦ ὕδατος ἐν αὐτοῖς ἐπιφάνεια· καὶ κατασταθέντων οὕτως τῶν λεπιδίων διὰ τῶν ἐν αὐτοῖς ἀνατομῶν διοπτεύω θεωρῶν τὸν ΑΓ κανόνα, τῆς ἀσπιδίσκης
[*](p. 196) μετεωριζομένης ἢ ταπεινουμένης, ἄχρις ἂν φανῇ ἡ μέση τοῦ λευκοῦ καὶ μέλανος χρώματος γραμμή. καὶ μενούσης τῆς διόπτρας ἀκινήτου μεταβὰς ἐκ τοῦ ἑτέρου μέρους διοπτεύω διὰ τῶν ἀνατομῶν, ἀποστήσας ἀπὸ τῆς διόπτρας τὸν ἕτερον κανόνα τοσοῦτον ὥστε βλέπεσθαι· καὶ πάλιν χαλωμένης τῆς ἑτέρας ἀσπιδίσκης θεωρῶ τὴν ἐν αὐτῇ μέσην τῶν χρωμάτων γραμμήν. ἔστω οὖν ὁ δεύτερος κανὼν ὁ ∠Ε, διόπτρα δὲ ἡ Ζ,
[*](6 〈τόπος〉 R. Schoene dubitanter 6—7 ἐν αὐτῷ: corr. Vi) [*](7 εἰς ὃν: εἰς ὃ Vi 11 τοῦ Β: correxi 11—12 τὸν ἐπʼ ἄκρῳ τῷ στυλίσκῳ: sc. κανόνα 12 ὑέλινα: correxi, cf. adn. p. 196, 21 18 αὐταῖς: correxi 27 ἡ Ζ τὰ δὲ (sic): correxi) 208
τὰ δὲ εἰλημμένα σημεῖα διὰ τῆς διόπτρας τὰ Γ, Ε· καθ᾿ ὃ δὲ ἐπίκειται ὁ ∠Ε κανὼν τῷ ἐδάφει, ἔστω τὸ ∠. ἐμέτρησα οὖν ἑκατέραν τῶν ΑΓ, ∠Ε· καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ ηὑρημένη πηχῶν ϛ, ἡ δὲ ∠Ε πηχῶν β. ἀπεγραψάμην οὖν δύο στίχους, ἐν μὲν τῷ ἑνὶ ἐπιγράψας καταβάσεως, ἐν δὲ τῷ ἑτέρῳ ἀναβάσεως, ὡς ὑπογέγραπται· καὶ τοὺς μὲν ἓξ πήχεις ἐν τῷ τῆς καταβάσεως στίχῳ σημειοῦμαι, τοὺς δὲ δύο ἐν τῷ τῆς ἀναβάσεως. καὶ μένοντος τοῦ ∠Κ κανόνος μετατίθημι τὴν διόπτραν· καὶ ἔστω πρὸς τῷ Κ· καὶ ἐπιστρέφω τὸν ∠Ε κανόνα, ἄχρις ἂν πάλιν ἴδω διὰ τοῦ πλαγίου κανόνος τὸν ∠Ε κανόνα. καὶ καταστήσας τά τε λεπίδια τίθημι τὸν ΑΓ κανόνα ἔμπροσθεν τῆς διόπτρας, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ∠Ε κανόνος. καὶ πάλιν ἀκινήτου τῆς διόπτρας οὔσης καθίστημι τὴν ἀσπιδίσκην ἐπ᾿ εὐθείας ταῖς ἀνατομαῖς, καὶ ἔστω τὰ πρὸς ταῖς ἀσπιδίσκαις σημεῖα ἐπὶ τῶν κανόνων τὰ Η, Θ. πάλιν οὖν τὸ μὲν ἀπὸ τοῦ Η διάστημα ἄχρι τοῦ ἐδάφους σημειοῦμαι εἰς τὸν τῆς καταβάσεως στίχον, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ Θ εἰς τὸν τῆς ἀναβάσεως· καὶ ἔστωσαν μὲν καταβάσεως πήχεις τέσσαρες, ἀναβάσεως δὲ πήχεις δύο. καὶ πάλιν μένοντος τοῦ πρὸς τῷ Θ κανόνος μετατίθημι τὴν διόπτραν καὶ τὸν ἕτερον κανόνα
[*](p. 198) καὶ καταστήσας, ὡς προείρηται, ἐπʼ εὐθείας τάς τε ἀσπιδίσκας καὶ τὰς ἀνατομὰς λαμβάνω καὶ ἐπὶ
[*](fol. 65r) τῶν κανόνων σημεῖα τὰ Λ, Μ. | καὶ πάλιν τὸ μὲν
[*](4 ηυραμένη: corr. Vi 5 ἀπεγραψαμην: ἀπ . . . ex ἐπ . . . fec. videtur man. 1 6 supplevit Vi 8 σημειουται: corr. Vi) [*](9 μένοντας: corr. Vi 10 πρὸς τὸ: correxi 11 [∠Ε] delevi ἴδω καὶ τοῦ: correxi 12 [τε] delevi 15 οὔσης: f. μενούσης 22 πρὸς τὸ: correxi 24 〈καὶ〉 addidi ἐπευθείασι (sic) 25 [καὶ] delevi) 210
πρὸς τῷ Λ μέτρον καταβάσεως ἔσται, τὸ δὲ πρὸς τῷ Μ ἀναβάσεως· ἔστω οὖν καταβάσεως πῆχυς εἷς, ἀναβάσεως δὲ πήχεις τρεῖς. πάλιν οὖν μένοντος τοῦ πρὸς τῷ Μ κανόνος μετακείσθω ἥ τε διόπτρα καὶ ὁ ἕτερος κανών. ἡ δὲ διὰ τῆς διόπτρας ἔστω εὐθεῖα ἡ ΞΟ, καὶ πρὸς μὲν τῷ Ξ καταβάσεως ἔστωσαν πήχεις τέσσαρες, πρὸς δὲ τῷ Ο ἀναβάσεως πήχεις δύο. εἶθ ἑξῆς τὰ αὐτὰ γινέσθω, ἄχρις ἂν ἐπὶ τὸ Β παραγενώμεθα· καὶ ἔστω διόπτρα μὲν ἡ Τ, ἡ δὲ διὰ τῶν ἀνατομῶν εὐθεῖα ἡ ΡΣ· καὶ καταβάσεως μὲν πήχεις ε, ἀναβάσεως δὲ πήχεις τρεῖς. εἶτα διόπτρα μὲν ἡ Χ, εὐθεῖα δὲ ἡ ΥΦ· καὶ καταβάσεως πῆχυς εἷς, ἀναβάσεως δὲ πήχεις τρεῖς. εἶτα διόπτρα μὲν ἡ ϛ, εὐθεῖα δὲ ἡ ΨΩ· καὶ καταβάσεως πήχεις δύο, ἀναβάσεως δὲ πήχεις τρεῖς. πάλιν διόπτρα μὲν ἡ Α, εὐθεῖα δὲ ἡ 𝔮Ϡ· καὶ καταβάσεως μὲν πήχεις ε, ἀναβάσεως δὲ πήχεις γ. εἶτα διόπτρα μὲν ἔστω ἡ ∠, εὐθεῖα δὲ ἡ καταβάσεως ϛ δ α δ ε α β ε β γ λγ ἀναβάσεως β β γ β γ γ γ γ α α κγ
212
,Β ,Γ. καὶ καταβάσεως μὲν πήχεις β,. ἀναβάσεως δὲ πῆχυς εἷς. καὶ πάλιν διόπτρα μὲν ἡ Ζ, εὐθεῖα δὲ ἡ ΕΒ· καὶ καταβάσεως μὲν πήχεις τρεῖς, ἀναβάσεως δὲ πῆχυς α. ὁ δὲ τελευταῖος κανὼν κείσθω πρὸς αὐτῇ τῇ τοῦ ὕδατος ἐπιφανείᾳ.
Τῶν οὖν ἀριθμῶν σεσημειωμένων ἐν τοῖς εἰρημένοις στίχοις συντίθημι πάντας τοὺς τῆς καταβάσεως ἀριθμούς· εἰσὶ δὲ λγ· ὁμοίως καὶ τοὺς τῆς ἀναβάσεως· εἰσὶ δὲ κγ· ὥστε ὑπεροχὴ πήχεις ι. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς [*](p. 200) καταβάσεως ἀριθμός, τουτέστιν ὁ ἐπὶ τὰ μέρη τοῦ τόπου, εἰς ὃν θέλομεν ἄγειν τὸ ὕδωρ, μείζων ἐστὶν, κατενεχθήσεται τὸ ὑγρόν· καὶ ἔσται μετεωρότερον τοῦ πρὸς τῷ Α πήχεις δέκα. εἰ δʼ ἴσοι γεγόνασιν ἀριθμοί, ἰσοϋψῆ ὑπῆρχε τὰ Α, Β σημεῖα, τουτέστιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι· καὶ οὕτως δὲ δυνατὸν κατάγεσθαι τὸ ὕδωρ. εἰ δʼ ἐλάττων ἦν ὁ τῆς καταβάσεως ἀριθμός, ἀδύνατον αὐτοματίσαι τὸ ὕδωρ· ἀντλήματος ἄρα προσδεόμεθα. ἡ δʼ ἄντλησις γίνεται, εἰ μὲν πολὺ ταπεινότερος ἦν ὁ τόπος, διὰ πολυκαδίας ἢ τῆς καλουμένης ἁλύσεως· εἰ δʼ ὀλίγον, ἤτοι διὰ κοχλιῶν ἢ διὰ τῶν παραλλήλων τυμπανίων. [*](fol. 65v) καὶ τοὺς μέσους δὲ τόπους, διʼ ὧν | ἀνεκρίναμεν ἄγειν τὸ ὕδωρ, ἐπισκεψόμεθα, πῶς πρὸς ἀλλήλους τε καὶ τοὺς ἐξ ἀρχῆς τόπους ἔχουσι διὰ τῆς αὐτῆς μεθόδου, ὑπολαβόντες τοὺς εἰρημένους μέσους τόπους εἶναι τοὺς ἐξ ἀρχῆς δοθέντας· κατʼ οὐδὲν γὰρ διοίσει. δεῖ δὲ καὶ ἐκλογισάμενον πᾶν τὸ μῆκος ἐπισκέψασθαι ἐν τῷ σταδίῳ, πόσον κλίμα γενήσεται τοῦ παντὸς κλίματος· καὶ οὕτως εἰς τοὺς μέσους τόπους σημεῖα καὶ ὅρους [*](3 ἡ εϛ (sic): correxi 10—11 τοῦ πόθου ἐν ᾧ: τοῦ τόπου εἰς ὃν Vi 11 θέλωμεν μειζον 14 ϊσουψη (sic) τὸ ΑΒ)
214
καὶ ἐπιγραφὰς ἔχοντας συγχωννύειν ἢ προσανοικοδομεῖν πρὸς τὸ τοὺς ἐργαζομένους ἐν μηδενὶ πλανᾶσθαι. ἀχθήσεται δὲ τὸ ὑγρὸν οὐ διὰ τῆς αὐτῆς ὁδοῦ, δι᾿ ἧς καὶ τὸ κλίμα ἐπέγνωμεν, ἀλλὰ δι᾿ ἑτέρας εὐθετούσης πρὸς τὸ ὑδραγώγιον. πολλάκις γὰρ ἐμποδὼν ἵσταταί τι, ἢ ὄρος σκληρότερον ἢ μετεωρότερον ἢ χαῦνοι τόποι ἢ θειώδεις ἢ τοιοῦτοί τινες τόποι βλάπτοντες τὸ ὕδωρ.
[*](p. 202) τοιούτοις ὅταν περιτύχωμεν, ἐκνεύσομεν, ὥστε κατὰ μηδὲν βλάπτεσθαι τὴν τοῦ ὕδατος ἀγωγήν. ἕνεκα δὲ καὶ τοῦ μὴ μακροτέραν ὁδὸν φερόμενον τὸ ὕδωρ εἰς μείζονα δαπάνην ἐκπίπτειν δείξομεν ἑξῆς, ὡς δυνατὸν ἔσται τὴν ἐπὶ τὰ δύο σημεῖα ἐπιζευγνυμένην εὐθεῖαν εὑρίσκειν· αὕτη γὰρ ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν (Archimed. de sph. et cyl. l post. 1 t. I p. 8, 23 Heib.). εἶτα ὅταν ἐν ταύτῃ τῇ ὁρισθείσῃ ἐμπέσῃ τι τῶν εἰρημένων ἀτόπων, τότε ἐκεῖνο ἐκνεύσομεν.
ζ. Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου ἐπὶ τὸ δοθὲν σημεῖον, [*](p. 204) ἀθεώρητον ὑπάρχον, εὐθεῖαν ἐπιζεῦξαι διὰ διόπτρας, ἡλίκον ἂν τὸ μεταξὺ τῶν σημείων διάστημα. ἔστω γὰρ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α, Β, καὶ κατεσκευάσθω ἡ διόπτρα ἡ δυναμένη ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις διοπτεύειν, καὶ κείσθω πρὸς τῷ Α· καὶ εἰλήφθω διὰ τῆς διόπτρας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἡλίκην ἂν βουλώμεθα τῷ μεγέθει. καὶ μετακείσθω ἡ διόπτρα πρὸς τῷ Γ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ Γ∠, ἡλίκη ἂν ᾖ τῷ μεγέθει. καὶ ὁμοίως μετακείσθω ἡ διόπτρα [*](fol. 66r) πρὸς τῷ ∠, καὶ τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς | ἡ ∠Ε, ἡλίκη ἂν τῷ μεγέθει. καὶ πάλιν μετακείσθω ἡ [*](1 [καὶ] del. Vi 3 αὐτῆς οὐδὲ δι᾿ ἧς: corr. Vi 7 θειοειδεις: corr. Vi τόποι f. delendum 8 τοιούτους; correxi εκνεύ-)
216
διόπτρα πρὸς τῷ Ε, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ· καὶ ὁμοίως τυχὸν εἰλήφθω τὸ Ζ. καὶ τῇ ΖΕ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ, καὶ τυχὸν τὸ Η· καὶ τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΘ, καὶ τυχὸν τὸ Θ καὶ τῇ ΗΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚ, καὶ τυχὸν τὸ Κ· καὶ τῇ ΘΚ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΛ· καὶ τοῦτο γινέσθω, ἄχρις ἂν ὀφθῇ τὸ Β σημεῖον. γεγονέτω, καὶ παραγέγενήσθω ἡ διόπτρα ἐπὶ τῆς ΚΛ, ἕως οὗ διὰ τῆς ἑτέρας ἐν αὐτῇ εὐθείας φανῇ τὸ Β. πεφηνέτω οὔσης τῆς διόπτρας κατὰ τὸ Λ. ἅμα δὴ διοπτεύοντες γράψομεν ἐν χάρτῃ ἢ δέλτῳ τό τε σχῆμα τοῦ διοπτρισμοῦ, τουτέστιν τὰς κλάσεις τῶν εὐθειῶν, καὶ ἔτι τὰ μεγέθη ἑκάστης αὐτῶν ἐπιγράψομεν. ἔστω οὖν ἡ μὲν ΑΓ πηχῶν εὑρημένη λόγου χάριν κ· ἡ δὲ Γ∠ πηχῶν κβ ἡ δὲ ∠Ε πηχῶν ιϛ· ἡ δὲ ΕΖ πηχῶν λ· ἡ δὲ ΖΗ πηχῶν ιδ ἡ δὲ ΗΘ πηχῶν ιβ· ἡ δὲ ΘΚ πηχῶν ξ· ἡ δὲ ΚΛ πηχῶν η· ἡ δὲ ΛΒ πηχῶν ν. τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων νενοήσθω τῇ ΑΓ πρὸς
[*](p. 206) ὀρθὰς ἠγμένη ἡ ΑΜ καὶ ἐκβεβλημέναι αἱ ΛΒ, ΚΘ, ΖΗ, Ε∠ ἐπὶ τὰ Μ, Ν, Ξ, Ο· αἱ δὲ ΕΖ, ΗΘ, Γ∠ ἐπὶ τὰ Π, Ρ, Σ. ἔσται ἄρα διὰ τοὺς ἐπικειμένους ἀριθμοὺς ἡ μὲν ΑΟ πηχῶν κβ, ἐπεὶ καὶ ἡ Γ∠ ἡ δὲ ΟΞ λ, ἐκεὶ καὶ ἡ ΕΖ ἡ δὲ ΞΝ ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΘ· ἡ δὲ ΜΝ η, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΛ· ὥστε ὅλη ἡ ΑΜ ἔσται πηχῶν οβ. πάλιν δὲ ἔσται ἡ μὲν ΜΣ πηχῶν κ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ· ἡ δὲ ΠΣ πηχῶν ιϛ, ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Ε ἡ δὲ ΠΡ πηχῶν ιδ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΖΗ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΡΣ ἔσται πηχῶν β· ὅλη ἄρα ἡ ΡΜ ἔσται πηχῶν κβ. πάλιν δὲ ἔσται ἡ ΡΛ πηχῶν ξ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΘ ὧν
[*](7 παραγεγενήσθω: correxi 8 ἑτέρας ἑαυτῆ: correxi) [*](16 ἡ δὲ ΛΕ: corr. Vi 22 ante πάλιν verba ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΘ delevit m. 1) 218
ἡ ΠΡ πηχῶν ιδ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΠ πηχῶν μϛ· ὅλη δὲ ἡ ΛΒ πηχῶν ν· λοιπὴ οὗν ἡ ΠΒ πηχῶν δ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΡ πηχῶν ι. ἀλλὰ ἡ ΡΜ πηχῶν κβ· ὅλη ἄρα ἡ ΜΒ ἔσται πηχῶν λβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΜ πηχῶν οβ· λόγος ἄρα τῆς ΑΜ πρὸς τὴν ΜΒ, ὃν ἔχει τὰ οβ πρὸς λβ. τούτου δὲ εὑρεθέντος ἀπειλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΜ ἡ ΑΤ πηχῶν, εἰ τύχοι, θ, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΤΥ· καὶ πεποιήσθω ὡς τὰ οβ πρὸς λβ, ἡ ΑΤ, τουτέστιν οἱ θ πήχεις, πρὸς ἄλλον τινά· γίνεται δὲ πηχῶν δ ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΤΥ πηχῶν δ. ἔσται οὖν τὸ Υ ἐπὶ τῆς ζευγνυούσης τὰ Α, Β σημεῖα. πάλιν δὲ τῇ ΥΤ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΥΦ, καὶ ἀπειλήφθω, εἰ τύχοι, πηχῶν ιη· καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΦΧ· καὶ πεποιήσθω |
[*](fol. 66v) ὡς τὰ οβ πρὸς λβ, οὕτως οἱ ιη πήχεις πρὸς ἄλλον τινὰ· καὶ γίνεται δὲ πρὸς η. ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΦΧ πηχῶν η· καὶ ἔσται τὸ Χ ἐπὶ τῆς ζευγνυούσης τὰ Α, Β σημεῖα. ὡσαύτως οὖν διὰ τῆς διόπτρας πρὸς ὀρθὰς ἄγοντες καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ποιοῦντες ἕξομεν συνεχῆ σημεῖα ἐπὶ τῆς ζητουμένης εὐθείας τῆς ΑΒ.
[*](p. 208)η. Δύο σημείων δοθέντων, οὗ μὲν πρὸς ἡμᾶς, οὗ δὲ πόρρω, τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα λαβεῖν τὸ πρὸς διαβήτην, μὴ προσεγγίσαντα τῷ πόρρω σημείῳ. ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α, Β· καὶ τὸ μὲν Α πρὸς ἡμᾶς, τὸ δὲ Β πόρρω κείσθω· ἡ δὲ διόπτρα ἡ τὸ ἡμικύκλιον ἔχουσα πρὸς τῷ Α· καὶ ἐπεστράφθω ὁ κανὼν ὁ ἐπὶ τῷ τυμπάνῳ, ἄχρις ἄν φανῇ τὸ Β. εἶτα ἀντιπεριστὰς ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος τοῦ κανόνος ἀνανεύω τὸ ἡμικύκλιον, [*](5 et 6 suppl. Vi 6—7 supplevi 7 η τύχοι 10 add. R. Schoene 13 πήχεις ιη: correxi 14 προς ἀλλον ταν ϛ καὶ: τινά Vi, καὶ delevi 17 supplevi 21 πρὸς διαβήτην: cf. Buecheler Litteraturzeitung 1874, 609; Hero Spiritalia p. 146, 4 Schmidt 26 τυμπανῳ: τυμπανίῳ Vi perperam)
220
τῶν ἄλλων ἀκινήτων μενόντων, καὶ λαμβάνω σημεῖον ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσι τὸ Γ ἐπ᾿ εὐθείας τοῖς Α, Β κείμενον. εἶτα τῇ ΒΓ ἀπὸ τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἄγω διὰ τῆς διόπτρας τὴν Α∠, καὶ ἑτέραν ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΓΕ, καὶ ἔλαβον ἐπ᾿ αὐτῆς τυχὸν τὸ Ε· καὶ μεταθεὶς τὴν διόπτραν πρὸς τὸ Ε κατέστησα τὸν κανόνα, ὥστε δι᾿ αὐτοῦ φανῆναι τὸ Β σημεῖον, καὶ ἕτερον ἐπὶ τῆς Α∠ τὸ ∠ ἐπ᾿ εὐθείας τοῖς Β, Ε. γίνεται δὴ τρίγωνον τὸ ΒΓΕ παράλληλον ἔχον τὴν Α∠ τῇ ΓΕ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς Α∠, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ ἐχέτω δὲ τὸν τῆς ΓΕ πρὸς Α∠ λόγον ἐπιγνῶναι ἑκατέραν αὐτῶν μετρήσας πρὸς διαβήτην, ὡς προδέδεικται. ἔστω οὖν, εἰ τύχοι, εὑρημένη πενταπλῆ ἡ ΓΕ τῆς Α∠· ἔσται ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΒΑ πενταπλῆ· ἡ ἄρα ΓΑ τῆς ΑΒ τετραπλῆ. ἔχω δὲ μετρῆσαι τὴν ΑΓ πρὸς διαβήτην· ὥστε δυνατὸν εὑρεθῆναι καὶ τὴν ΑΒ πρὸς διαβήτην, ἡλίκη ἐστίν.
[*](p. 210)θ. Ποταμοῦ πλάτος τὸ ἐλάχιστον λαβεῖν, πρὸς τῇ μιᾷ ὄχθῃ ὄντας. ἔστωσαν αἱ τοῦ ποταμοῦ ὄχθαι αἱ [*](2 τῆς ΑΒ: correxi 6 πρὸς τῷ: correxi 11 ἐχέτω: correxi 13—14 εἰ τύχηι ευραμενη: corr. Vi 18 τι (ex τη rasura factum) ἐλάχιστον λαβεῖν καὶ τη: correxi; πλάτος τῇ διόπτρᾳ λαβεῖν Vi compendio deceptus 19 οντος: corr. Vi)
222
[*](fol. 67r) ΑΒ, Γ∠. στήσας οὖν τὴν διόπτραν πρὸς | τῇ Γ∠ ὄχθῃ, ὡς ἐπὶ τὸ Ε, ἐπέστρεψα τὸν κανόνα, ἄχρις ἂν φανῇ δι᾿ αὐτοῦ σημεῖον ἐπὶ τῆς Γ∠ ὄχθης τὸ ∠. καὶ τῇ Ε∠ διὰ τῆς διόπτρας πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΕΖ ἐπιστρέψας τὸν κανόνα. εἶτα ἐγκλίνω τὸ ἡμικύκλιον, ἄχρις ἄν ἐπὶ τῆς ΑΒ ὄχθης φανῇ τι σημεῖον διὰ τοῦ κανόνος. πεφηνέτω τὸ Ζ· ἔσται δὴ τὸ ἐλάχιστον πλάτος τοῦ ποταμοῦ τὸ ΕΖ· ἡ γὰρ Ε ὡσανεὶ κάθετός
[*](p. 212) ἐστιν ἐπ᾿ ἀμφοτέρας τὰς ὄχθας, εἴπερ παραλλήλους αὐτὰς ἐννοοίμεθα. ὡς οὖν ἐμάθομεν ἐπάνω, εἰλήφθω τὸ ἀπὸ τοῦ Ε διάστημα ἐπὶ τὸ τὸ πρὸς διαβήτην, ὃ καὶ ἀποφανούμεθα ἐλάχιστον εἶναι τοῦ ποταμοῦ πλάτος.
[*](p. 214)ι. Δύο δοθέντων σημείων πόρρω ὁρωμένων εὑρεῖν τὸ μεταξὺ διάστημα αὐτῶν τὸ πρὸς διαβήτην καὶ ἔτι τὴν θέσιν. ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α, Β· καὶ καθεστάσθω ἡ διόπτρα ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν [*](p. 216) πρὸς τῷ Γ καὶ ἐπεστράφθω ὁ κανὼν, ἄχρις ἂν δι᾿ αὐτοῦ φανῇ τὸ Α σημεῖον· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τοῦ κανόνος ἡ ΑΓ. ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον διὰ τῆς διόπτρας τὴν Γ∠, καὶ παράγω ἐπ᾿ αὐτῆς τὴν διόπτραν, ἄχρις ἂν διὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς θέσεως τοῦ κανόνος φανῇ τὸ Β σημεῖον. τετυχέτω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς [*](2 ἐπὶ τὸ: f. ἐπὶ τοῦ 4 τῆς Ε∠: corr. Vi 8 τὸ σημεῖον: correxi 15 f. ἐννοούμεθα 17 ἐλάχιστον: ζητούμενον Vi) [*](23 τὸ Γ: correxi 27 hiatum explevi)
224
τὸ Ε ἡ ἄρα ΒΚ τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ. μετρῶ οὖν τὸ ἀπὸ τοῦ Γ διάστημα ἐπὶ τὸ Α, ὡς ἐμάθομεν ἐπάνω, καὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Β. καὶ εἰ μὲν ἴσον ἐστὶν τὸ ΓΑ διάστημα τῷ ΒΕ, ἀποφανοῦμαι καὶ τὸ ΓΕ διάστημα ἴσον τῷ ΑΒ· δυνάμεθα δὲ τὸ ΓΕ μετρῆσαι, ἐν γὰρ τοῖς πρὸς ἡμᾶς ἐστι μέρεσι. μὴ ἔστω δὲ ἴσον, ἀλλ᾿ ἔστω ἔλασσον τὸ ΒΕ διάστημα τοῦ ΓΑ, εἰ τύχοι, πήχεσι κ· ἀπέλαβον οὖν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τῆς ΒΕ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς πήχεις κ τὴν ΕΖ. ἔσται δὴ ἴση ἡ ΑΓ τῇ ΒΖ τῷ μεγέθει· ἔστιν δὲ καὶ πάραλληλος αὐτῇ· ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΖ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος. δυνάμεθα δὲ μετρῆσαι τὴν ΓΖ, ὥστε καὶ τὴν ΑΒ· καὶ φανερόν, ὅτι καὶ τὴν θέσιν, τὴν γὰρ παράλληλον αὐτῆς, εὕραμεν.
Δυνατὸν δέ ἐστι καὶ ἄλλως λαβεῖν τὸ μεταξὺ τῶν Α, Β διάστημα. ἔστησα τὴν διόπτραν ἐφ᾿ οὗ βούλομαι σημείου· ἔστω δὴ τοῦ Γ. καὶ ἔλαβον διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΓΑ, καὶ ὁμοίως ἑτέραν τὴν ΓΒ, καὶ ἐμέτρησα ἑκατέραν τῶν ΓΑ, ΓΒ καὶ ἔλαβον ἀπὸ τοῦ Γ μέρος [*](fol. 67v) τι τῆς ΓΑ, οἱονεὶ | δέκατον, τὴν ∠Γ, καὶ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΓΒ, τὴν ΓΕ ἔσται δὴ καὶ· ἡ τὰ ∠, Ε ἐπιζευγνύουσα μέρος δέκατον τῆς ΑΒ καὶ παράλληλος αὐτῇ. δύναμαι δὲ μετρῆσαι τὴν ∠Ε ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν οὖσαν· ἔχω ἄρα καὶ τῆς ΑΒ καὶ τὴν θέσιν καὶ τὸ μέγεθος.
Δυνατὸν δέ ἐστιν καὶ ἄλλως τὸ ΑΒ διάστημα λαβεῖν. [*](9 τοῖς ΒΕ: corr. Vi 10 f. ἡμᾶς 〈μέρεσι〉 13 τη Γ∠: corr. Vi 14 f. θέσιν 〈ἔχομεν〉 14 f. αὐτῇ 15 εὕραμεν: εὕρομεν Vi 18 δι᾿ ἀν: sed ν del. m. 1 22 τῆς ΓΕ την ΓΕ: corr. Vi suppl. Vi 23 supplevi 24 supplevi)
226
[*](p. 218) ἔστησα τὴν διόπτραν πρὸς τῷ Γ καὶ ἔλαβον τῆς ΑΓ μέρος τι, τὴν δὴ Γ∠, ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ καὶ ὁμοίως τῆς ΒΓ τὸ αὐτὸ μέρος τὴν ΓΕ, ἐπʼ εὐθείας τῇ ΒΓ. ἔσται δὴ καὶ ἡ Ε∠ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς Α Β καὶ παράλληλος αὐτῇ. δυνατὸν δὲ μετρῆσαι τὴν ∠Ε ὥστε εὕρηται τῆς ΑΒ ἡ θέσις καὶ τὸ μέγεθος.
ια. Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν ἀπὸ τοῦ πέρατος αὐτῆς, μὴ προσεγγίσαντα μήτε τῇ εὐθείᾳ μήτε τῷ πέρατι. ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ἐπὶ τὰ Α, Β σημεῖα ἐπιζευγνυμένη· ἀφʼ οὗ δὲ δεῖ τὴν πρὸς ὀρθὰς [*](p. 220) ἀγομένην εὑρεῖν, ἔστω τὸ Α. εὑρήσθω ἡ θέσις τῆς ΑΒ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς τόποις, ὡς ἐμάθομεν· καὶ ἔστω ἡ Γ∠ εὐθεῖα. παράγω οὖν τὴν διόπτραν ἐπὶ τῆς Γ∠ εὐθείας διατηρῶν τὸν κανόνα ἀεὶ ἀποβλέποντα σημείῳ τινὶ τῶν ἐπὶ τῆς Γ∠, ἄχρις ἂν ἐπιστραφεὶς ἐπὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς θέσιν ἴδῃ τὸ Α σημεῖον. τετυχέτω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς τὸ Ε σημεῖον· ἔσται δὴ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τὴν ΑΕ.
ιβ. Σημείου ὁρωμένου εὑρεῖν τὴν ἀπʼ αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον [*](1 post μέρος spatium 2 litterarum 1—2 τὴν δὲ Γ∠ ἐπʼ εὐθείας: correxi 7 f. 〈ἄλλην〉 πρὸς 13 ἡ ΓΑ: corr Vi) [*](13—14 τὴν Γ∠ εὐθεῖαν; correxi 16 ειδη: corr. Vi 17 προς τω: corr. Vi)
228
παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὁρωμένῳ σημείῳ. ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον μετέωρον τὸ A, τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον διὰ τοῦ Β. κείσθω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς τῷ Β· καὶ στυλίσκος μὲν νοείσθω ὁ ΒΓ, ὁ δὲ κινούμενος κανὼν διʼ οὗ διοπτεύομεν ὁ ∠ΓΕ. καὶ κινείσθω, ἄχρις ἂν φανῇ διʼ αὐτοῦ τὸ Α· καὶ μένοντος αὐτοῦ ἀκινήτου, μεταξὺ τῆς διόπτρας καὶ τοῦ Α σημείου ἕτεροι δύο κανόνες ἐγκείσθωσαν οἱ ΖΗ, ΘΚ ὀρθοὶ, ἀνισοϋψεῖς, ὧν ὁ μὲν μείζων ἔστω ἐπὶ τὰ πρὸς τὸ Α μέρη. τὸ δὲ ἔδαφος νοείσθω κατὰ τῆς ΒΖΘΛ γραμμῆς ὡς ἔτυχεν ὑπάρχον· τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι νοείσθω τὸ κατὰ τῆς ΒΛ εὐθείας. παραγέσθωσαν οὖν
[*](fol. 68r) οἱ ΖΗ, ΘΚ κανόνες, ἄχρις ἂν ἐ|πʼ εὐθείας φανῶσι
[*](p. 222) τῷ Α σημείφ, μένοντος ἀκινήτου τοῦ ∠ΓΕ κανόνος. τεθεωρήσθω οὖν ἐπὶ μὲν τοῦ ΖΗ κανόνος τὸ σημεῖον, ἐπὶ δὲ τοῦ ΘΚ τὸ Κ. καὶ νενοήσθωσαν ἐκβεβλημέναι αἱ ΖΗ, ΘΚ ἐπὶ τὰ Μ, Ν· καὶ τῷ ΒΛ παράλληλοι ἠγμέναι αἱ ΗΞ, ΚΟ. δυνατὸν δέ ἐστιν ἐπισκέψασθαι τίνι ἐστὶ μετεωρότερον τὸ Ζ τοῦ Β χωροβατήσαντα· ἑκάτερον γὰρ τῶν Β, Ζ σημείων πρὸς ἡμᾶς· ὥστε δυνατὸν εὑρεῖν τὴν ΖΜ· ὁμοίως καὶ τὴν ΝΘ. ἔχω δὲ καὶ ἑκατέραν τῶν ΗΖ, ΚΘ, ὥστε φανερόν ἐστιν τῶν ΗΜ, ΚΝ, ἡλίκη ἐστὶν ἑκατέρα, ὥστε καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἡ ΚΞ ἡλίκη ἐστίν. ἐπιστάμεθα δὲ καὶ ἡλίκη ἐστὶν ἡ ΗΞ τὸ γάρ μεταξὺ τῶν
[*](8 f. ἐκκείσθωσαν R. Schoene 10 πρὸς τῷ: correxi 11 ΒΖΟΛ: corr. Vi ὑπάρχων; corr. Vi 15 σημεῖον: corr. Vi 16 τεθεωρείσθω: corr Vi 17 νενοησθωσαῖ (sic): correxi 18—19 καὶ τὸ Λ παράλληλον: correxi 19 αἱ ΝΞ ΚΘ: corr. Vi 20 μετεωρον: corr. Vi 21 χωροβατησαν: corr. Vi 22 τῆ ΖΜ: corr. Vi) [*](23 τῆ ΝΘ: corr. Vi 24 supplevi 26 ἡ ΝΞ: corr. Vi) 230
Ζ, Θ διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην· ὥστε ἕξω τίνα λόγον ἔχει ἡ ΗΞ πρὸς τὴν ΞΚ. ἔστω οὖν εἰ τύχοι εὑρημένη ἡ ΗΞ τῆς ΞΚ πενταπλῆ. καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον, τουτέστιν ἐπὶ τὴν ΒΛ, κάθετος ἤχθω ἡ ΑΟΡΠ· ὥστʼ ἔσται καὶ ἡ ΚΟ πενταπλῆ τῆς ΟΑ. καὶ ἐπεὶ ἴσμεν ἡλίκη ἐστὶν ἡ ΚΟ — τὸ γὰρ μεταξὺ τῶν Θ, Ρ, διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην —, ἕξω ἄρα καὶ τὴν ΑΟ ἡλίκη ἐστίν. ἔχω δὲ καὶ τὴν ΟΠ, ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΝ ὥστε καὶ ὅλην τὴν Α Π, κάθετον οὖσαν ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον, ἕξω ἡλίκη ἐστίν.
[*](p. 224)ιγ. Δύο σημείων ὁρωμένων εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι μὴ προσεγγίσαντα τοῖς εἰρημένοις δύο σημείοις τοῖς Α, Β.
Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν, ὡς ἐπάνω δέδεικται, ἐπιγνῶναι τὴν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· νοείσθω κατὰ τῆς ΓΑ. ὁμοίως δὴ πεπορίσθω καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· καὶ ἔστω ἡ Β∠. καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος νοείσθω ἡ ΑΕ, καὶ τεμνέτω τὴν Β∠ κατὰ τὸ Ε ἡ ἄρα ζητουμένη κάθετός ἐστιν ἡ ΒΕ. καὶ ἔστιν φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο ὁρωμένων σημείων τὴν ἐπιζευγνύουσαν [*](fol. 68v) αὐτὰ εὐθεῖαν | ἡλίκη ἐστίν, ἐπειδήπερ δοθεῖσά ἐστιν [*](2 ἡ ΝΞ: corr. Vi 3 ΝΞ 14 ἐκβαλλομένην: corr. Vi 16 〈ἐπιγνῶναι〉 inserui; 〈γνῶναι〉 Vi 19 τῆς Γ∠: corr. Vi)
232
ἥ τε ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἔτι τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τὸ πρὸς διαβήτην δοθέν ἐστι, τὰ δʼ εἰρημένα διαστήματα πρὸς
[*](p. 226) ὀρθάς ἐστιν ἀλλήλοις· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν, ἥτις ἐπὶ τὰ δοθέντα σημεῖα ἐπιζευγνυμένη, δοθεῖσά ἐστιν.
Δύο δοθέντων σημείων εὑρεῖν τὴν θέσιν τῆς ἐπιζευγνυούσης αὐτὰ εὐθείας, μὴ προσεγγίσαντα τοῖς σημείοις.
ἔστω τὰ δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τὴν τοῦ διὰ τῶν Α, Β ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρίζοντα τὴν θέσιν εὑρεῖν, ὡς ἐμάθομεν ἐν τοῖς ἔμπροσθεν· τουτέστιν καθέτου ἀχθείσης ἀφʼ ἑκατέρου τῶν σημείων Α, Β ἐπὶ τὸ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπίπεδον, δοθεισῶν τῶν ΑΓ, Β ∠, τὴν θέσιν τῆς Γ∠ εὑρεῖν. ηὑρήσθω καὶ ἔστω ἡ ΗΖ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ ἔστω, ἣ καὶ τῇ ΗΖ παράλληλός ἐστι, καὶ δοθεῖσα ἔσται λοιπὴ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΕ, ὡς προδέδεικται. εἰλήφθω δὴ ἐπὶ τῆς ΗΖ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνεστάτω τις ὀρθὴ πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἡ ΖΘ κανόνος παρατεθέντος ἢ ἑτέρου τινός. παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ∠Β· καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ παράλληλος ἔσται τῇ ΑΒ· τοῦτο γὰρ φανερὸν διά τε τὰς παραλλήλους [*](1 υ ετέρου litterae paene evanidae 2 παραλληλω: corr. Vi) [*](5 supplevi 5—6 τὴν ἀρχὴν ὀρθὴν, sed ἀρχὴν del. m. 1) [*](12 [τὴν] delevi 15 addidi 16 τῶν ΑΓ Γ∠ 17 ηυρείσθω: correxi; κυρείσθω Vi 18 τῆ Α ἔστω 18—19 καὶ τῆ ΕΖ: correxi et supplevi 20 ΗB ὡς 21 τῆς ΕΖ) [*](21—22 τὰ ΕΖ καὶ ἀτοῦ (sic) 24 ἄρα ἐπι: correxi τῆ ΑΒ)
234
καὶ τὰς ἀναλογίας· πεπόρισται ἄρα ἡ θέσις τῆς ΑΒ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν.
Ἐκ δὴ τῶν προδεδιδαγμένων φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστιν, ὄρους ὑπάρχοντος, εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὄρει, καὶ τὴν ἀφʼ οἱουδηποτοῦν σημείου κειμένου ἐν τῷ ὄρει καὶ ὁρωμένου τὴν ἀγομένην κάθετον εὑρεῖν· ἐπειδήπερ ἐμάθομεν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου κάθετον πορίσασθαι, καὶ ὁμοίως δυνατὸν ἦν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου ἐν τῷ ὄρει κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου σημείου ἐν τῷ [*](p. 228) ὄρει κειμένου καὶ ὁρωμένου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι. ἁπλῶς γὰρ δύο σημείων δοθέντων οἱωνδηποτοῦν τὰ αὐτὰ ἐμάθομεν πορίσασθαι, [*](fol. 69r) τουτέστιν τάς τε ἀγομένας ἀπʼ αὐτῶν καθέτους | καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τό γε πρὸς διαβήτην, καὶ ὡς ἔχει θέσεως, μὴ προσιόντα τοῖς σημείοις.
ιδ. Ὀρύγματος δοθέντος τὸ βάθος λαβεῖν· τουτέστι τὸ μέγεθος τῆς ἀπὸ τοῦ ἐν τῷ βάθει σημείου καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, ἢ καὶ ἔτι ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου ημείου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι.
ἔστω τὸ δοθὲν ὄρυγμα τὸ ΑΒ Γ∠ τὸ δʼ ἐν τῷ βάθει αὐτοῦ σημεῖον τὸ Β. κείσθω δὴ ἡ διόπτρα πρὸς τῷ ∠, ἢ πρὸς ἄλλῳ τινὶ σημείῳ· ἔστω δὴ πρὸς τῷ Ε, καὶ ἔστω ΕΖ ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανών, διʼ οὗ διοπτεύομεν, ὁ ΗΘ ἐγκλινέσθω οὖν, ἕως οὗ φανῇ διʼ αὐτοῦ [*](3 ἐκ δεῖ corr. Vi προδεδιδαγμένων: f. προδεδειγμένων 5 ἐπὶ τῷ: corr. Vi 8 [τὴν] delevi 11 〈τὴν〉 addidi σημείου add. Vi post ὄρει Vi inserebat 〈εὑρεῖν〉 f. recte)
236
τὸ Β σημεῖον. ἡ δὲ τοῦ ἐδάφους ἐπιφάνεια νοείσθω κατὰ τῆς ∠ΕΚ ΛΜ γραμμῆς· τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον ἐκπῖπτον νοείσθω κατὰ τῆς Α∠ ΣΟ εὐθείας. ἐπὶ δὲ τοῦ ἐδάφους ἐφεστάτωσαν δύο κανόνες, οἱ ΚΝ, ΜΞ
[*](p. 230) ὀρθοί, ἐπʼ εὐθείας τῷ ΗΘ κανόνι· καὶ τεθεωρήσθω ἐπὶ μὲν τοῦ ΚΝ κανόνος σημεῖον τὸ Ν, ἐπὶ δὲ τοῦ ΞΜ τὸ Ξ. καὶ δέον ἔστω τὴν ἀπὸ τοῦ Β κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ∠ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι πορίσασθαι, τουτέστιν τὴν ἐπὶ τὴν Α∠Ο γραμμὴν ἀγομένην κάθετον· ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἡ ΒΑ ἐστίν, ἣν δεῖ πορίσασθαι. νενοήσθω οὖν καὶ τὸ διὰ τοῦ Β ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι τὸ κατὰ τὸ ΒΠ γινόμενον καὶ νενοήσθω ἐκβεβλημένος ὁ ΞΜ κανὼν ἐπὶ τὸ Π, καὶ ὁ ΝΚ ἐπὶ τὸ Σ, παὶ διὰ τοῦ Ν τῇ ∠Ο παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΡ. ἡ ἄρα ΝΡ τὸ μεταξὺ τῶν Κ, Μ σημείων ἐστὶ διάστημα τὸ πρὸς διαβήτην· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν αὐτὸ πορίσασθαι, ἐπεὶ καὶ τὰς ΚΣ, ΜΟ. ἡ δὲ ΞΡ ὑπεροχή ἐστι τῶν ΞΡΟ, ΝΣ δυνατὸν ἄρα καὶ ταύτην πορίσασθαι, ἐπεὶ τὰς ΚΣ, ΜΟ δυνατόν ἐστι πορίσασθαι, ὥσπερ ἐποιήσαμεν ὅτε τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου κάθετον ἀγομένην διὰ τῶν δύο κανόνων ἐπορισάμεθα. ἔστω οὖν εὑρημένη, εἰ τύχοι, τετραπλῆ ἡ ΝΡ τῆς Ρ ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΒΠ τετραπλῆ τῆς ΞΠ. δυνατὸν δέ ἐστι πορίσασθαι τὴν ΒΠ, τουτέστι τὴν ΑΟ· τὸ γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἐπὶ τὸ Α διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην τὸ ΑΟ, τουτέστιν τὸ ΒΠ· ὥστε δυνατόν ἐστι πορίσασθαι καὶ τὴν ΞΠ ἔστιν γὰρ τέταρτον μέρος τῆς
[*](1 〈τοῦ〉 addidi 4 ἐφέστωσαν: correxi οἱ ΚΗ ΜΖ 5 τεθεωρεισθω 6 μὲν τοῦ ΚΗ 8 ἐπὶ τοῦ διὰ 9 et 10 addidi 19 τῶν ΝΣ 23 εἰ τυχη 27 τὸ ΑΟ: f. τῶν Α, Μ R. Schoene) 238
ΒΠ. ἔχομεν δὲ καὶ τὴν ΞΟ ἡλίκη ἐστίν· ὥστε καὶ τὴν ΟΠ ἕξομεν, τουτέστιν τὴν ΑΒ κάθετον.
[*](fol. 69v)| ιε. Ὄρος διορύξαι ἐπʼ εὐθείας τῶν στομάτων τοῦ [*](p. 232) ὀρύγματος ἐν τῷ ὄρει δοθέντων. νενοήσθω τοῦ ὄρους ἕδρα ἡ ΑΒΓ∠ γραμμὴ, τὰ δὲ στόματα, διʼ ὧν δεῖ ὀρύξαι, τὰ Β, ∠. ἤγαγον εὐθεῖαν ἀπὸ τοῦ Β ἐν τῷ ἐδάφει τὴν ΒΕ, ὡς ἔτυχεν· καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ε τῇ ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΕΖ διὰ τῆς διόπτρας· καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ τυχόντος διὰ τῆς διόπτρας πρὸς. ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΖΗ. καὶ πάλιν ἀπὸ τυχόντος τοῦ Η, τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Θ, τῇ ΘΗ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΚ, καὶ τῇ ΘΚ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΚΛ. καὶ παραφέρω τὴν διόπτραν ἐπὶ τῆς ΚΛ εὐθείας διατηρῶν τὸν κανόνα οβλέποντα σημείῳ τινὶ τῶν ἐπὶ τῆς ΚΛ, ἄχρις
240
ἂν διὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς θέσεως τοῦ κανόνος φανῇ τὸ ∠ σημεῖον. πεφηνέτω οὔσης τῆς διόπτρας κατὰ τὸ Μ ἔσται δὴ ἡ Μ∠ καὶ ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος. καὶ νενοήσθω ἐκβεβλημένη ἡ ΕΒ ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ∠Ν. δυνατὸν δή ἐστιν ἐκ τῶν ΕΖ, ΗΘ, ΚΛ ἐπιλογίσασθαι ἡλίκη ἐστὶν ἡ ∠Ν, ὥσπερ ἐποιοῦμεν,
[*](p. 234) ὅτε τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ ἕτερον ἀθεώρητον ἐπεζευγνύομεν εὐθεῖαν· ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΒΝ ἐκ τῶν ΒΕ, ΖH, ΘΚ, Λ∠. εὑρήσθω οὖν, εἰ τύχοι, πενταπλῆ ἡ ΒΝ τῆς ∠Ν καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Β∠ νενοήσθω ἐκβεβλημένη ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΟ ὁμοίως δὲ καὶ ἡ Β∠ νενοήσθω ἐκβεβλημένη ἐπὶ τὸ Π, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Μ ἡ ΠΡ ἔσται δὴ ὁμοίως πενταπλῆ ἡ μὲν ΒΟ τῆς ΟΞ, ἡ δὲ ∠Ρ τῆς ΡΠ. λαβόντες οὖν ἐπὶ τῆς Β Ε σημεῖον τυχὸν τὸ Ο, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τὴν ΟΞ τῇ ΒΟ, πέμπτον μέρος θήσομεν τὴν ΟΞ τῆς ΒΟ. καὶ ἔσται ἡ ΒΞ νεύουσα ἐπὶ τὸ Β ὁμοίως δὴ πάλιν τῆς ∠Ρ πέμπτον μέρος θέντες τὴν ΠΡ, ἕξομεν τὴν ∠Π νεύουσαν ἐπὶ τὸ ∠. διορύξομεν οὖν ἀπὸ μὲν τοῦ Β ποιοῦντες τὸ ὄρυγμα ἐπʼ εὐθείας τῆς ΒΞ, ἀπὸ δὲ τοῦ ∠ ἐπʼ εὐθείας τῆς ∠Π. γίνεται δὲ λοιπὸν τὸ ὄρυγμα κανόνος παρατιθεμένου ἐπὶ τῆς εὑρημένης εὐθείας τῆς ΞΒ, ἤτοι ἐπὶ τῆς Π∠, ἢ καὶ ἐπʼ ἀμφότερα τὰ μέρη. γινομένου τοῦ ὀρύγματος οὕτως ὑπαντήσουσιν ἀλλήλοις οἱ ἐργαζόμενοι.
[*](fol. 70r)ις. Φρεατίας ὑπονόμῳ εἰς ὄρος διορύξαι | κατὰ [*](p. 236) κάθετον οὔσας τῷ ὑπονόμῳ. ἔστω τὰ ὑπονόμου πέρατα τὰ Α, Β· καὶ εἰλήφθωσαν, ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΒ, αἱ ΓΑ, Β∠, ὡς ἐμάθομεν. ἔστησα οὖν δύο κανόνας ὀρθοὺς πρὸς τοῖς Α, Γ τοὺς ΓΕ, ΑΖ καὶ τὴν διόπτραν
242
πρὸς τῷ ὄρει ἀποστήσας σύμμετρον διάστημα, ὥστε διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος ἅμα φανῆναι τοὺς ΓΕ, ΑΖ κανόνας. ἔστω οὖν ἡ μὲν διόπτρα ἡ ΗΘ, ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανὼν ὁ ΚΛ· καὶ μένοντος τοῦ ΚΛ κανόνος ἀκινήτου μετατίθημι ἕνα τῶν ΓΕ, ΑΖ κανόνων, ὡς ἐπὶ τὸ M σημεῖον, ἔμπροσθεν τῆς διόπτρας, ὡς τὸν ΜΝ, περιφέρων αὐτὸν ὀρθόν, ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ΚΛ κανόνος φανῇ ὁ ΜΝ κανών. καὶ ἔσται τὸ Μ σημεῖον κατὰ κάθετον κείμενον τῷ ὑπονόμῳ. πάλιν δὴ μετατεθείσης τῆς διόπτρας ἔμπροσθεν τοῦ ΜΝ κανόνος ἐπὶ τὸ Ξ περιφέρω, ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος ἅμα φανῶσιν οἱ ΑΖ, ΜΝ κανόνες· καὶ πάλιν μένοντος τοῦ ἐν τῇ διόπτρῳ κανόνος ἀκινήτου μεταφέρω τὸν Α κανόνα ἔμπροσθεν τῆς διόπτρας ὀρθὸν ὡς ἐπὶ τὸ Ο σημεῖον περιφέρων αὐτὸν, ἕως οὗ διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος φανῇ ὁ ΟΠ
[*](p. 238) κανών· καὶ ἔσται ὁμοίως τὸ Ο κατὰ κάθετον τῷ ὑπονόμῳ. ὡσαύτως δὲ καὶ ἕτερα πλείονα λαμβάνων σημεῖα γράψω ἐν τῷ ὄρει γραμμήν, ἥτις πᾶσα κατὰ κάθετον ἔσται τῷ ὑπονόμῳ. κἂν βουλώμεθα δὲ καὶ ἐκ τῶν Β, ∠ μερῶν τὰ αὐτὰ ποιεῖν, οὐδὲν διοίσει. ἐπὶ τῆς ληφθείσης οὖν ἐν τῷ ὄρει γραμμῆς διαστήματα λαμβάνοντες, ἡλίκα ἄν βουλώμεθα, καὶ κατὰ κάθετον ὀρύσσοντες τὰς φρεατίας ἐπιτευξόμεθα τοῦ ὑπονόμου. χρὴ δὲ νοεῖν καὶ ταύτην τὴν δεῖξιν, ὡς τοῦ ὑπονόμου ἐπὶ μιᾶς εὐθειας ὄντος.
| ιζ. Λιμένα περιγράψαι πρὸς τὸ δοθὲν κύκλου τμῆμα, τῶν περάτων αὐτοῦ δοθέντων. [*](5 τῶν ΓΑ ΑΖ 6 τὸ σημεῖον 12 οἱ ΑΖ ΜΗ 16—17 ὁ ΘΠ κανὼν 18 λαμβάνω 21—22 λειφθησης 23 ἡνίκα: correxi 28 τμῆμα ex σχῆμα fec. m. 1)
246
βανομένων σημείων ἡ περιγραφομένη γραμμὴ ἡ ἐν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι. ὅτι δὲ ἡ ΒΘΑ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστι καὶ ὁμοία τῇ Γ∠Ε, φανερόν· κῶνος γὰρ γίνεται, οὗ βάσις μὲν ὁ Γ∠Ε κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ αἱ ἀπὸ τοῦ σημείου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν Γ∠Ε περιφέρειαν. καὶ τέμνεται ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῷ ἐν ᾧ ἐστι τὰ Α, σημεῖα, καὶ πλευραὶ αὐτοῦ εἰσὶν αἱ ΖΓΒ, ΖΕΑ ἡ ἄρα ΒΘΑ γραμμὴ κύκλου γίνεται περιφέρεια καὶ ὁμοία τῇ Γ∠Ε. ὁμοίως δέ ἐὰν βουλώμεθα τὴν περιγραφομένην μὴ εἶναι κύκλου περιφέρειαν, ἀλλὰ ἐλλείψεως, ἢ καὶ ὅλην ἔλλειψιν ἢ καὶ παραβολὴν ἢ ὑπερβολὴν ἢ ἄλλην τινὰ γραμμήν, ποιήσομεν ὁμοίαν αὐτῇ ἐκ σανίδος· καὶ ἐφαρμόσαντες ἐπὶ τὸ Γ∠ τύμπανον, ὥστε συμφυὲς αὐτῷ γενέσθαι, ὑπερέχειν δὲ εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ τυμπάνου τὴν ἐκ τῆς σανίδος περιτμηθεῖσαν γραμμὴν, τὰ αὐτὰ ποιήσομεν τοῖς ἐπὶ τῆς Γ∠Ε περιφερείας εἰρημένοις. οὕτως οὖν πάσῃ τῇ δοθείσῃ γραμμῇ ὁμοίαν περιγράψομεν. ἐὰν δὲ βουλώμεθα τὴν περιγραφομένην γραμμὴν μὴ ἐν τῷ ἐδάφει γράφεσθαι παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι, ἀλλʼ ἐν
[*](p. 246) ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ, καταστήσομεν τὸ τύμπανον παράλληλον τῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ μέλλει γράφεσθαι ἡ γραμμή, καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσομεν· πάλιν γὰρ γίνεται κῶνος ἐπιπέδῳ τεμνόμενος τῷ ἐν ᾧ ἐστὶν ἡ γραμμὴ παράλληλος τῇ βάσει. ὁμοίως καὶ γέφυραν περιγράψομεν. τὸ δὲ τύμπανον τὸ Γ∠Ζ καταστήσομεν καὶ παράλληλον τῷ
[*](1 [ἡ] delevi 2 παράλληλος: correxi 8 τῆ ἐν ῶ 9—10 γραμμὴ ὃ γίνεται 14 ποιήσω μεν ἐφαρμώσαντες 17 ποιήωμεν 20 βουλομεθα 22 καταστησωμιεν 24 ποιησωμεν 25 f. παραλλήλῳ 26 περι γραφομεν) 248
δοθέντι ἐπιπέδῳ οὕτως. ἔστω γὰρ τὸ δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ΚΛΜΝ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΚΛ, ΜΝ καὶ εὑρήσθω ἡ θέσις τῆς ΚΛ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν, καὶ ἔστω ἡ ΞΟ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ θέσις τῆς ΛΜ εὑρήσθω, καὶ ἔστω ἡ ΟΠ. τὸ ἄρα ΚΛΜΝ ἐπίπεδον
[*](fol. 71r) παράλληλόν ἐστιν τῷ διὰ τῶν ΞΟ, ΟΠ. | ἐγκλίνας οὖν τὸ τύμπανον, ὥστε ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ γενέσθαι τὰς ΞΟ, ΟΠ, ἕξω καθεσταμένον παράλληλον τῷ ΚΛΜΝ ἐπιπέδῳ.
[*](p. 248)ιη. Ἕδαφος κυρτῶσαι, ὥστε σφαιρικὴν ἔχειν ἐπιφάνειαν πρὸς τὸ δοθὲν τμῆμα. ἔστω ὁ δοθεὶς τόπος ὁ ΑΒΓ∠ μέσον δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ε. διὰ δὲ τοῦ Ε σημείου διήχθωσαν εὐθεῖαι διὰ τῆς διόπτρας οὖσαι ἐν τῷ ἐδάφει, ὁσαιδηποτοῦν, αἱ ΑΓ Β∠, ΖΗ, ΚΘ, ἐφʼ ὧν πάσσαλοι ἐγκεκρούσθωσαν ὀρθοί. ὡς δʼ ἂν ἐπὶ μιᾶς ὑποδείξομεν, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν νοείσθω εὐθειῶν. πεπασσαλοκοπήσθω οὖν ἡ Β∠ τοῖς ΛΜ, [*](5 ΚΜΛΝ 6 ἐστιν τῶ διατῶι διατων (sic) 9 τὸ ΚΛΜΝ) [*](14 ΖΗ, ΗΘ 15 δʼ ἂν corruptum videtur 16 ἐπι μιᾶς επι|μιᾶς)
250
ΝΞ, ΟΠ, PΣ, ΤΥ πασσάλοις· τὸ δὲ τῆς διόπτρας τύμπανον ἔστω τὸ ΦΧΨ, ὅμοιον τῷ τῆς κυρτώσεως τμήματι· καὶ πάλιν καθεστάτω ὀρθῶς πρὸς τὸν ὁρίζοντα, ὥστε κανόνος ὁμοίως παρατεθέντος τοῦ Ωϛ, τὰς ἀπὸ τοῦ Ω ἐπὶ τὰ Φ, Ψ ἐπιζευγνυμένας ἀκτῖνας καὶ ἐκβαλλομένας νεύειν ἐπὶ Β, ∠ σημεῖα. εἶτα διὰ τοῦ Ω πάλιν καὶ τῆς ΦΧΨ περιφερείας τεθεωρήσθω ἐπὶ τῶν πασσάλων σημεῖα τὰ Μ, Ξ, Π, Σ, Υ· ταῦτα δὲ ἔσται ἐπὶ τοῦ τμήματος τῆς κυρτώσεως. καὶ ἐπὶ τῶν
[*](p. 250) λοιπῶν δὲ εὐθειῶν ἡ αὐτὴ πασσαλοκοπία καὶ διοπτρεία γεγενήσθω, καὶ ληφθέντων ἐν τοῖς πασσάλοις σημείων ἐγχωννύσθω ὁ τόπος ἄχρι τῶν ληφθέντων σημείων καὶ ἔσται ἡ κύρτωσις τοῦ τόπου σφαιρικὴ ὁμοία τῷ εἰρημένῳ τμήματι.
ιθ. Ἔδαφος ἐγκλῖναι ἐν δοθείσῃ γωνίᾳ, ὥστε τὸ κλίμα αὐτοῦ ἐφʼ ἓν νεύειν σημεῖον δοθέντος ἀκλινοῦς τόπου ἐν παραλληλογράμμῳ ἰσοπλεύρῳ.
Ἔστω παραλληλόγραμμον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ∠, ἡ δὲ γωνία, ἐν ᾗ βουλόμεθα ἐγκλῖναι τὸ ἔδαφος, ἡ ὑπὸ ΕΖΗ. ἀπὸ δὲ τῶν Α, Β, ∠ σημείων τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν αἱ ΑΘ, ΒΚ, ∠Λ· τὸ δὲ Γ σημεῖον ἔστω, ὅπου βουλόμεθα τὴν κλίσιν νεύειν. καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, τῇ δὲ [*](3 ὀρθῶ 4 ΩΤ 5 ἀπὸ τοῦ β (ω sic, non ∞) ἐπὶ τὰ φχψ, sed χ del. m. 1 7 τεθεωρείσθω 10 δὲ 10—11 καὶ διόπτρα: correxi 12 εγχωνύσθω 19 βουλωμεθα 27 ΑΛ f. ὅποι)
252
ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ· τῇ δὲ ΕΗ ἴση κείσθω ἡ ΑΘ· καὶ τῇ ΑΓ προσευρήσθω ἡ ΑΘ, ἐν τῷ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΕ λόγῳ καθέτου οὔσης τῆς ΕΗ. ἐὰν δὴ
[*](fol. 71v) νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην | τὴν ΘΓ, ἔσται ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία κλίσις. ἔστω δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΜ· καὶ τῇ ΓΜ ἴση κείσθω ἡ ΖΝ, τῇ δὲ ΗΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ, τῇ δὲ ΝΞ ἴση κείσθω ἑκατέρα
[*](p. 252) τῶν ΒΚ, ∠Λ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ, ΛΘ. ἔσται δὴ τὸ ΘΚΓΛ ἐπίπεδον κεκλιμένον πρὸς τὸ ΑΒΓ∠ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΓΑ γωνίᾳ, τουτέστι τῇ ὑπὸ ΕΖΗ. ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τῇ ΑΘ παράλληλον γινομένην τὴν ΜΟ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΟΚ πίπτουσαν ἐπὶ τὸ Λ, ἡ μὲν ΜΟ ἴση ἔσται τῇ ΝΞ. ἡ δὲ ΚΟ ἴση καὶ παράλληλος τῇ ΒΜ, πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ ΘΓ· ὥστε κέκλιται, ὡς εἴρηται, τὸ ἐπίπεδον. ἐὰν δὲ ὁ τόπος ὁ δοθεὶς ἐν τυχόντι ᾖ τετραπλεύρῳ, ὥστε τὰς διαγωνίους αὐτοῦ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις εἶναι, τῆς ΒΜ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῇ ΑΓ, ἴσην θήσομεν τὴν ΞΝ, τῇ δὲ ΞΝ τὴν ΒΚ, ὡς εἴρηται, ἀπὸ τοῦ Β κάθετον ἀγαγόντες ἐπὶ τὴν ΑΓ. καὶ ταὐτὰ ποιήσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ΒΜ, ποριούμεθα τὸ μέγεθος τῆς ∠Λ. ἐγχωσθήσεται οὖν ὁ τόπος ἄχρι τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΛ, ΛΘ εὐθειῶν· καὶ τὸ ἐπίπεδον ἀπεργασθὲν ἕξει τὴν εἰρημένην ἔγκλισιν.
[*](fol. 71v)| κ. Ὑπονόμου ὄντος, εὑρεῖν ἐν τῷ ὑπερκειμένῳ ἐδάφει τόπον, τουτέστι σημεῖον, ἀφʼ οὗ φρεατίας γενηθείσης ἐπὶ τὸν δοθέντα ὑπόνομον καταντήσομεν [*](4 ΟΓ 8 επεξέυθωσαν (sic) 9 Γ∠ 12 ϊσον γινομένην ἐ|πιζευξομεν 13 ΜΟ ιση ιση τῆ 18 〈εἶναι〉 addidi τῆ ΒΜ οὔση 20 ταῦτα: correxi 25 ὑποένω: correxi)
254
τόπον, ὥστε εἰ τύχοι πτώματος ἐν τῷ ὑπονόμῳ γενηθέντος
[*](p. 240) διὰ τῆς φρεατίας ἀναφέρεσθαι τὴν ὕλην τὴν πρὸς τὴν κάθαρσιν τοῦ ὑπονόμου καὶ τὴν πρὸς τὴν ἐπισκευήν. ἔστω ὁ δοθεὶς ὑπόνομος ὁ ΑΒΓ∠Ε· φρεατίαι δὲ φέρουσαι εἰς αὐτὸν αἱ ΗΘ, ΚΛ· τὸ δὲ σημεῖον τὸ δοθὲν ἐν τῷ ὑπονόμῳ, ἐφʼ ὃ δεῖ τὴν φρεατίαν ἐλθεῖν, τὸ Μ. κεχαλάσθωσαν σπάρτοι διὰ τῶν ΗΘ, ΚΛ φρεατιῶν βάρη ἔχουσαι, αἱ ΝΞ, ΟΠ· καὶ κατασταθεισῶν αὐτῶν ἀκινήτων διὰ μὲν τῶν Ο, Ν σημείων εὐθεῖά τις εἰλήφθω ἐν τῷ ἐπάνω ἐδάφει ἡ ΟΝΡ· διὰ δὲ τῶν Π, Ξ, ἐν τῷ ὑπονόμω, ἡ ΠΞΣ, προσπίπτουσα ἑνὶ τῶν τοῦ ὑπονόμου τοίχων κατὰ τὸ Σ· καὶ τῇ ΠΣ ἴση κείσθω ἡ ΟΡ. καὶ λαβὼν σχοινίον εὖ ἐκτεταμένον καὶ προβεβασανισμένον, ὥστε μηκέτι ἐπεκτείνεσθαι ἢ συστέλλεσθαι, τὴν μὲν ἀρχὴν αὐτοῦ |
[*](fol. 72r) τίθημι πρὸς τῷ Σ. λαβὼν δέ τι σημεῖον ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ τοίχου τὸ Τ, ἐπεκτείνω τί σχοινίον ἐπὶ τὸ Τ, καὶ ὁμοίως ἐπὶ τὸ Π, καὶ σημειωσάμενος τὰ μήκη τῶν ΤΣ, ΤΠ ἐφαρμόζω αὐτὰ ἐν τῷ ἐπάνω ἐδάφει, ὥστε γενέσθαι τρίγωνον τὸ ΡΥΟ, τὴν μὲν ΡΥ ἴσην ἔχον τῇ ΤΣ, τὴν δὲ ΥΟ τῇ ΤΠ. εἶτα πάλιν λαβὼν ἕτερον σημεῖον τὸ ἐπεξέτεινα τὸ σχοινίον, ὥστε ποιῆσαι τὸ ΤΣΧ τρίγωνον· καὶ πάλιν τοῦτο ἐν τῷ ἐπάνω ἐδάφει ἐφαρμόζω, ὥστε γενέσθαι τὸ ΡΥΦ, τὴν μὲν ΡΦ ἴσην ἔχον τῇ ΧΣ, τὴν δὲ ΥΦ τῇ ΤΧ. εἶτα πάλιν ἐπὶ τῆς ΣΧ ἔτερον τρίγωνον συστησάμενος τὸ αὐτὸ συνίσταμαι καὶ ἐπὶ τῆς ΦΡ, ἄχρις ἂν συνεγγίσω τῷ Μ σημείῳ. καὶ ἵνα μὴ ποικιλογραφῶμεν, ἐπιχθεῖσα τῷ
[*](4 ὑπο νόμον 4—5 φρεατία δε φέρουσα εἰς αὐτὸν ἡ 8 φρεατίας 13 supplevi 16 τῶ Ο 17 τί: f. τὸ 18—19 τῶν ΠΣ 21 τῆ ΠΣ 23 τὸ ΤΡΧ 28 ἐπιχθεισα: f. ἐπιδειχθεῖσα) 256
σχοινίῳ ἡ ΣΜ ἐπὶ τὸ ϛ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ϛΧ· καὶ ἐπὶ τῆς ΦΡ τρίγωνον ἔστω ΦΨΡ, ἴσην ἔχον τὴν μὲν ΡΨ τῇ Σϛ, τὴν δὲ ΦΨ τῇ ϛΧ· καὶ τῇ ΜΣ ἴση κείσθω ἡ ΡΩ· ἔσται δὴ τὸ Ω σημεῖον κατὰ κάθετον κείμενον τῷ Μ σημείῳ. φρεατίας ἄρα ὀρυχθείσης
[*](242) ἀπὸ τοῦ Ω, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὀρυγὴ πίπτουσα ἐπὶ τὸ Μ· τοῦτο δὴ φανερὸν διὰ τὸ τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῷ ὑπονόμῳ καὶ τὰ ἐν τῷ ἐδάφει ἴσα τε καὶ ὅμοια εἶναι, καὶ ὁμοίως κείμενα. πειρᾶσθαι δὲ δεῖ τὰ τρίγωνα ἀκλινῆ καθιστᾶν, ὅπως αἱ ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς γωνίας ἐπιζευγνύμεναι κάθετοι ὦσιν ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα.