Mechanicorum fragmenta

Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα πῶς ἔστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. ἐκθησόμεθα

συμφυὲς αὐτῷ. διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΧΨ στραφήσεται· καὶ τὸ συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΥΦ καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΣΤ καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΠΡ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΞΟ καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΗΘ, ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ, περὶ ὃν ἐπειλοῦντες τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσομεν τὸ βάρος. ὅτι γὰρ κινήσεται, δῆλον ἐκ τοῦ προστεθεῖσθαι ἑτέραν δύναμιν τὴν τῆς χειρολάβης, ἥτις περιγράφει κύκλον τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα· ἀπεδείχθη γὰρ ἐν τῷ Περὶ ζυγῶν Ἀρχιμήδους καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος Μηχανικοῖς, ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι κατακρατοῦσιν τῶν ἐλασσόνων κύκλων, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἡ κύλισις αὐτῶν γίνηται.

Ὡς Ἥρων

ἐν Μηχανικαῖς εἰσαγωγαῖς καὶ ἐν τοῖς Βελοποιικοῖς.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν

δέ, φησίν, τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.

Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ, ∠Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β, ΓΑ, καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ [*](64) καὶ κινείσθω | τέμνον τὰς ΓΕ, ΑΖ, ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖσα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ, ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ, ΗΖ. λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ, ΓΕ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ, ΒΓ.

περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β∠ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, Β∠. φανερὸν δή, ὅτι ἴσαι οὖσαι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· ὁ γὰρ περὶ μίαν αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν περάτων τῆς ἑτέρας διὰ τὸ ὀρθογώνιον εἶναι τὸ παραλληλόγραμμον. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ, ∠Α ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β. καὶ κινείσθω, ἕως ἀποτοῦ τέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε, τουτέστι τὰς ΕΗ, ΕΖ. καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων, ὡς εἴρηται, γινομένων τῶν ΕΗ, ΕΖ. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΕΘ. δίχα τέμνει δὴ δηλονότι τὴν Γ∠. ἐπεὶ οὖν δίχα τέμνεται

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ∠Η, ΗΑ, ΗΒ, ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ∠ τῇ ΑΗ καὶ διῆκται ἡ ΗΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ, ΗΖ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ. ὧν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ. λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠ΖΑ. ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ, ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ ὡς δὲ ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ, ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ, ΓΕ.

ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Θ καὶ πρόσκειται ἡ ΓΖ, τὸ ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΖ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ. τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ. καὶ ἔστι τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΕΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ. καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠Α. ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Ζ∠ πρὸς ∠Η, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ Ζ∠ πρὸς ∠Η, οὕτως ἡ Ζ πρὸς ΓΒ, καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ. τριγώνου γὰρ τοῦ Ζ∠Η παρὰ μίαν μὲν τὴν ∠ ἦκται ἡ ΓΒ, παρὰ δὲ τὴν ∠Ζ ἡ ΑΒ. ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ, καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ, ΓΖ. ὅπερ ἔδει εὑρεῖν·