Si mutuo se tangant duo circuli, ut duo circuli AEB, CED in E, fuerintque eorum diametri parallelae, ut sunt duae diametri AB, CD, et iungantur duo puncta B, D et contactus E rectis DE, BD, erit linea BE recta.
Sint duo centra G, F, et iungatur GF, et producam ad E, et educamus DH parallelam ipsi GF.
135
Et quia HF aequali est ipsi GD, suntque GD, EG aequales, ergo ex aequa ibus FB, FE remanebunt GF, nempe DH et HB, quae erunt aequal es, atque duo anguli HDB, HBD aequa es. Et quia duo anguli EGD. EFB sunt recti, atque duo anguli EGD, DHB sunt aequales, remanebunt duo anguli GEU, GDE, qui inter se et duobus angulis HDB, HBD aequales erunt ; ergo angulus EDG aequalis est angulo DBF Et comprehensus angulus GDB est communis ; ergo erunt duo anguli GDB, FBD, (qui sunt pares duobus rectis), aequales duobus angulis GDB, GDE. Igitur ipsi quoque sunt aequales duobus rectis ; ergo linea EDB est recta. Et hoc est quod noluimus.
Sit CBA semicirculus, quem DC, DB tangant, et
136
BE perpendicularis super AC, et iungamus AD ; erit BF aequalis ipsi FE.
Demonstratio. lungamus AB eamque producamus us in directum et educamus CD quousque illi occurrat in G, et iungamus CB. Et quia angulus CBA est in semicirculo, erit rectus ; remanet CBG rectus, et DBEC est parallelogrammum rectangulum. Ergo in triangulo GBC rectangulo educitur perpendicularis BD ex B erecta super basim, et BD, DC erunt aequales eo quod tangunt circulum ; ergo CD est etiam aequalis
137
ipsi DG, quemadmodum ostendimus in propositionibus, quas confecimus de rectangulis. Et quia in triangulo GAC linea BE educta est parall ela basi, et iam educta est ex D semipartitione basis linea DA secans parallelam in F, erit BF aequalis ipsi FE. Et hoc est quod noluimus.
Sit CA segmentum circuli et B punctum super illud ubicunque et BD perpendicularis super AC et segmentum DE aequale DA et arcus BF aequalis arcui BA ; utique iuncta CF erit aequalis ipsi CE.
Demonstratio. lungamus lineas AB, BF, FE,
138
EB. Et quia arcus ΒA aequalis est arcui BF, erit AΒ aequa is BF. Et quia AD aequalis est ED, et duo anguli D sunt recti, et DB communis, ergo AB aequalis est BE, et propterea BF, BE sunt aequales, et duo anguli BFE, BEF sunt aequales. Et quia quadrilaterum CFBA est in circulo, erit angulus CFB cum angulo CAB ipsi opposito, immo cum angulo BEA, aequalis duobus rectis. Sed angulus CEB cum angulo BEA aequales sunt duobus rectis ; ergo duo anguli CFB, CEB sunt aequales. Et remanent CFE, CEF aequales ; ergo CE aequalis est CF. Et hoc est quod noluimus.
139
Sit AHC semicirculus, et fiant super A diametrum duo semicirculi, quorum unus AD, alter uero DC, et DB perpendicularis; utique figura proueniens, quam uocat Archimedes Arbelon (est figura comprehensa ab arcu semicircul i maioris et duabus circumferentiis semicirculorum minorum) est aequalis circulo, cuius di amet er est perpendicularis DB.
Demonstratio. Quia linea OB media proportionalis
140
est inter duas lineas DA, DC, erit planum AD i n DC aequale quadrato DB. Et ponamus AD in DC cum duobus quadratis AD, DC communiter ; fiet planum AD in DC bis cum duobus quadratis AD, DC, nempe quadratum AC, aequale duplo quadrati DB cum duobus quadratis AD, DC. Et proportio circulorum eadem est ac proportio quadratorum ; ergo circulus, cuius diameter est AC, aequalis est duplo circuli, cuius diameter est DB, cum duobus circulis, quorum diametri sunt AD, DC, et semicirculus AC aequalis est circulo, cuius diameter est DB, cum duobus semicirculis AD, DC. Et auferamus
141
duos semicirculos AD, DC communiter ; remanet figura, quam continent semicirculi AC, AD, DC et est figura quam uocavit Archimedes Arbelos) aequalis circulo, cuius diameter est DB. Et hoc est quod uoluimus.
Si fuerit semicirculus AB, et signatum fuerit in eius diametro punctum C ubicunque, et fiant super diametrum duo semicirculi AC, CB, et educatur ex C perpendicularis CD super AB, et describantur ad utrasque partes duo circuli tangentes illam et tangentes semicirculos, utique illi duo circuli sun aequales.
142
Demonstratio. Sit alter circulorum tangens DC in E et semicirculum AB in F et semicirculum AC in G, et educamus diametrum HE ; erit parallela diametro AB, eo quod duo anguli HEC, ACE sunt recti. Et iungamus FH, HA ; ergo linea AF est recta, uti dictum est in propositione I. Et occurrent AF, CE in D, eo quod egrediuntur ab angulis A, C, minoribus duobus rectis.
Et iungamus etiam FE, EB ; ergo EFB est etiam recta, ut diximus, et perpendicularis super AD, eo quod angulus AFB est rectus, quia cadit in semicirculum AB. Et iungamus HG, GC ; erit HC etiam recta. Et iungamus EG, GA erit EA recta ; et producam us eam ad l et iungam us BI, quae erit etiam perpendicularis super AI, et iungamus
143
DI. Et quia AD, AB sunt duae rectae et educta ex D ad ineam AB perpendicularis DC et ex B ad DA perpendicularis BF, quae se mutuo secant in E, et educta AE ad l est perpendicularis super Bl, erunt BID rectae, quemadmodum ostendimus in propositionibus, quas confecimus nexpositione tractatus de triangulis rectangulis. Et quia duo anguli AGC, AlB sunt recti, utique BD, CG sunt parallelae, et proportio AD ad DΗ, quae est ut AC ad HE, est ut proportio AB ad BC ; ergo rectangulum AC in CB aequale est rectangulo AB in HE. Et similiter demonstratur in circuio LMN quod rectangulum AC in CB aequale sit rectangulo AB in suam, diametrum, et demonstratur inde etiam quod duae diametri circulorum EFG, LMN sint aequales ; ergo illi duo circuli sunt aequales. Et hoc est quod uoluimus.
144
Si fuerit semicirculus ABC, et in eius diametro sumatur punctum D, et fuerit AD ipsius DC sesquia, et describantur super AD, DC duo semicirculi, et ponatur circulus EF inter tres semicirculos tangens eos, et educatur diameter EF in illo parallela diametro AC, reperiri debet proportio diametri AC ad diametrum EF.
lungam us enim duas lineas AE, EB et duas lineas CF, FB ; erunt CB, AB rectae, ut dictum est in prima propositione. Describamus etiam duas
145
lineas FGA, EHC, ostendeturque esse quoque rectas ; similiter duas ineas DE, DF, et iungamus DΙ, DL et EM, FN et producamus eas ad O, Ρ. Et quia in triangulo AED AG est perpendicularis ad ED, et DI est quoque perpendicularis ad AE, et iam se mutuo secuerunt in M, ergo EMO erit etiam perpendicularis, quemadmodum ostendimus in expositione, quam confecimus de proprietatibus triangu orum, et cuius demonstratio iam quidem praecessit in superiori propositione ; similiter quoque erit FΡ perpendicularis super CA. Et quia duo anguli, qui sunt apud L et B, sunt recti, erit DL parallela ipsi AB, et pariter DΙ ipsi CB ; igitur proportio AD ad
146
DC est, ut proportio AM ad FM, immo ut proportio AO ad OP, et proportio CD ad DA, ut proportio ΟΡ, CN ad NE, immo ut proportio CΡ ad ΡΟ. Et erat AD sesquialtera D C ; er go AO est sesquialtera OP et OΡ sesquialtera CΡ. Ergotres lineae AO, OΡ, ΡC sunt proportionales, et in eadem mensura, in qua est PC quattuor, erit OΡ sex et AO nonem et CA nouendecim. Et quia ΡO aequalis est EF, erit propotio AC ad EF ut nouendecim ad sex. lgitur reperimus dictam proportionem. Etiam si fuerit AD ad DC qualiscunque, ut sesquitertia aut sesquiquarta aut alia, erit iudicium et ratio uti dictum est. Et hoc est quod uoluimus.
147
Si circul us circa quadratum descriptus fuerit, et alius intra illum, utique erit circumscriptus duplus inscripti.
Sit itaque circulus comprehendens quadratum AB circulus AB et inscriptus CD, et sit diameter quadrati AB, et est diameter circuli circumscripti, et educamus CD diametrum circuli inscripti parallelam ipsi AE, quae est ei aequalis. Et quia quadratum AB duplum est quadrati AE siue DC, et proportio quadratorum ex diametris circulorum est
148
eadem proportioni circuli ad circulum, igitur circulus AB duplus est circuli CD. Et hoc est quod uoluimus.
Si egrediatur in circulo linea AB ubicunque et producatur in directum, et ponatur BC aequalis semidiametro circuli, et iungatur ex C ad centrum circuli, quod est D, et producatur ad E, erit arcus AE triplus arcus BF.
Educamus igitur EG parallelam ipsi AB, et iungamus DB, DG, et quia duo anguli DEG, DGE sunt aequales, erit angulus GDC duplus anguli DEG. Et quia angulus
149
BDC aequa is est angulo BCD, et angulus CEG aequalis est angulo ACE, erit angulus GDC duplus anguli CDB et totus angu us BDG triplus anguli BDC. et arc us BG aequalis arcui AE triplus est arcus BF. Et hoc est quod noluimus.
Si mutuo se secuerint in circulo duae lineae AB, CD (sed non in centro) ad angulos rectos, utique duo arcus AD, CB sunt aequales duobus arcubus AC, DB.
Educamus diametrum EF parallelam ipsi AB, quae secet CD bifariam in G ; erit EC aequalis ipsi ED. Et quia tam
150
arcus EDF quam ECF est semicirculus, et arcus ED aequa is arcui EA cum arcu AD, erit arcus CF cum duobus arcubus EA, AD aequalis semicirculo. Et arcus EA aequalis arcui BF ; ergo arcus CB cum arcu AD aequalis est semicirculo. Et remanent duo arcus EC, EA, nempe arcus AC, cum arcu DB aequales illi. Et hoc est quod uoluimus.
Si fuerit circulus AΒC et DA tangens illum et DB secans illum et DC etiam tangens, et educta fueri CE parallela ipsi DB, et iuncta fuerit EA secans DB in F, et educta fuerit ex F perpendicularis
151
FG super CE, utique bifariam secabit illam in G.
lungamus AC. Et quia DA est tangens et AC secans circulum, erit angulus DAC aequalis angulo cadenti in alterno segmento AC, nempe angulo AEC. Et est aequalis angul o AFD, eo quod CE, BD sunt parall elae; ergo anguli DAC, AFD sunt aequales. Et in duobus triangulis DAF, AHD sunt duo anguli AFD, HAD aequales, et angulus D com m unis; propterea erit rectangulum FD in DH aequale quadrato DA, immo quadrato DC. Et quia proportio FD ad DC est eadem proportioni CD ad DH, et angulus D
152
comnunis, erunt triangula DFC, DCA similia, et angulus DFC aequalis DCΗ, qui aequalis est angulo DAH. Et hic est aequalis angulo AFD; ergo duo anguli AFD, CFD sunt aequales. Et DFC aequalis angulo FCE ; et erat DFA aequalis angulo AEC; ergo in triangulo FEC sunt duo anguli C, E aequales et duo anguli G recti et latus GE commune; propterea erit CG aequalis ipsi GE. Ergo CE bifariam secatur in G. Et hoc est quod noluimus.
Si mutuo se secuerint in circulo duae lineae AB, CD ad angulos rectos in Ε, quod non sit in centro, utique omnia quadrata AE, BE, EC, ED aequalia sunt quadrato diametri.
Educamus diametrum AF, et iungamus lineas
153
AC, AD, CF, DB. Et quia angul us AED est rectus, erit aequalis angulo ACF. Et angulus ADC aequalis AFC, eo quod sunt super arcum AC ; et remanent induobus triangulis ADE, AFC duo anguli CAF, DAE aequales ; erunt pariter duo arcus CF, DB aequales, immo et duae chordeae eorum aequales. Et duo quadrata DE, EB aequantur quadrato BD, nempe CF, et duo quadrata AE, EC aequantur quadrato CA,
154
et duo quadrata CF, CA aequantur quadrato FA, nempe diametri ; igitur quadrata AE, EB, CE, ED omnia sunt aequalia quadrato diametri. Et hoc est quod uoluimus.
Si fuerit semicirculus super diametrum AB, et eductaefuerint ex C duae lineae tangentes illum in duobus punctis D, E, et iunctae fuerint EA, DB se mutuo secantes in F, et iuncta fuerit CF et producatur ad G, erit CG perpendicularis ad AB.
155
lungamus DA, EB. Et quia angulus BDA est rectus, erunt duo anguli DAB, DBA reliqui in triangula o DAB aequales uni recto. Et angulus AEB rectus ; igitur sunt aequales ei. Et ponamus angulum FBE communem; ambo anguli DAB, ABE sunt aequales FBE, FEB, immo angulo DFE externo in FBE. Et quia CD est tangens circulum et DB secans illum, angulus CDB aequatur angulo DAB, et pariter angulus CEF aequatur angulo EBA ; ergo duo anguli CEF, CDF simul aequales sunt angulo DFE. Et iam quidem planum fit ex nostro tractatu de figuris quadrilateris quod, si educantur inter duas lineas aequales sibi occurrentes in aliquo
156
puncto, uti sunt duae lineae CD, CE, duae lineae se mutuo secantes, uti sunt duae lineae DF, EF, et fuerit angulus ab illis contentus, ut est angulus F, aequalis duobus angulis, qui occurrunt duabus lineis se inuicem secantibus, uti sunt duo angu i E, D, simul, erit linea egrediens a puncto concursus ad punctum sectionis, uti est linea CF, aequalis cuilibet linearum sibi occurrentium, ut CD uel CE ; propterea erit CF aequalis ipsi CD; ergo angulus CFD est aequalis angulo CDF, nempe angulo DAG, Sed angulus CFD cum angulo DFG est aequalis duobus rectis ergo angulus DAG cum angulo DFG aequalis
157
est duobus rectis ; et remanent in quadrilatero ADFG duo anguli ADF, AGF aequales duobus rectis. Set angulus ADB rectus est ergo angulus AGC est rectus et CG perpendicu aris ad AB. Et hoc est quod uol nimus.
Si mutuo se secent duae lineae AB, CD in circulo, et fuerit AB diameter illius, at non CD, et educantur ex duobus punctis A, B duae perpendiculares ad CD, quae sint AE, BF, utique abscindent ex illa CF, DE aequales.
lungamus EB et educamus ex l, quod est centrum, perpendicularem IG super CD et pr oducamus eam ad H in EB. Et quia lG est
158
perpendicularis ex centro ad CD, illam bifariam diuidet in G ; et quia ΙG, AE sunt duae perpendiculares super illam, erunt parallelae. Et quia BI aequalis est IA, erit BΗ aequalis ipsi ΗE ; et propter earum aequalitatem, et quia BF est parallela ipsi HG, erit FG aequalis ipsi GE, et ex GC, GD aequalibus remanent FC, ED aequales. Et hoc est quod noluimus.
159
Si fuerit AB semicirculus, et ex eius diametro AB dissectae sint AC, BD aequales, et efficiantur super lineas AC, CD, DB semicircul i, et sit centrum duorum semicirculorum AB, CD punctum E, et sit EF perpendicularis super AB et producatur ad G, utique circulus, cuius diameter est FG, aequalis est superficiei contentae a semicirculo maiori et a duobus semicirclis, qui sunt intra i lum, et a semicirculo medio, qui est extra illum. Et est figura, quam uocat Archimedes Salinon.
Quia DC bifariam secatur in E, et addita est iili CA, erunt duo quadrata DA, CA dupla duorum quadratorum DE, EA. Sed FG aequalis est ipsi DA ; ergo duo quadrata FG, AC dupla
160
sunt duorum quadratorum DE, EA. Et quia AB dupla est AE, et CD dupla quoque ED, erunt duo quadrata AB, DC quadrupla duorum quadratorum DE, EA, immo dupla duorum quadratorum GF, AC. Simi iter etiam duo circuli, quorum diametri sunt AB, DC, dupli sunt eorum, quorum diametri sunt GF, AC, et dimidii eorum, quorum diametri sunt AB, CD, aequales duobus
161
circulis, quorum diametri sunt GF, AC. Sed circulus, cuius diameter AC, est aequalis duobus semicirculis AC, BD ; ergo, si auferamus ex illis duos semicirculos AC, BD, qui sunt communes, remanet figura contenta a quattuor semicirculis AB, CD, DB, AC, (quae ea est, quam uocat Archimedes Salinon) aequalis circulo, cuius diameter est FG. Et hoc est quod uoluimus.
Si fuerit AB semicirculus et AC chorda pentagoni, et semissis arcus AC sit AD, iungatur gatur CD et producatur, ut cadat super E, et
162
iungatur DB, quae secet CA in F, et ducatur ex F perpendicularis FG super AB, erit linea EG aequalis semidiametro circuli.
lungamus itaque lineam CB, et sit centrum H, et iungamus HD, DG et AD. Et quia ango us AHC, cuius basis est latus pentagoni, est duae quintae partes recti, quilibet duorum angulorum CBD, DHA est quinta pars recti. Et angulus DHA duplus est anguli DBH ; ergo angulus DHA est duae
163
quintae partes recti. Et quia in duobus triangulis CBF, GBF duo anguli B sunt aequales et G, C recti et latus FB commune, erit BC aequale ipsi BG. Et quia in duobus triangulis CBD, GBD duo latera CB, BG sunt aequalia et similiter duo anguli ad B, et latus BD commune, erunt duo anguli BCD, BGD aequales. Et quilibet eorum est sex quintae partes recti, et est aequalis ang ulo DAE externo quadrilateri BADC, quod est in circulo; ergo remanet angulus DAB aequalis angulo DGA, et erit DA aequalis ipsi DG. Et quia angulus DHG est duae quintae partes recti et angulus DGΗ sex quintae partes recti, remanet angulus HDG duae quintae partes recti, et erit DG aequalis GH. Et quia ADE externus quadrilateri
164
ADCB, quod est in circulo, est aequalis angul CBA, et est duae quintae partes recti et aequalis angulo GDH. Et quia in duobus triangulis EDA, HDG sunt duo anguli EDA, HDG aequales et pariter duo anguli DGH, DAE et duo latera DA, DG, erit EA aequale HG. Et ponamus AG commune; erit EG aequale AH. Et hoc est quod uoluimus.
Et hinc patet quod linea DE aequalis sit semidiametro circuli; quia angulus A aequalis est angulo DGH, ideo erit linea DH aequalis lineae DE.
Et dico quod EC diuiditur media et extrema proportione in D, et maius segmentum est DE ; et hoc, quia ED est chorda hexagoni et DC decagoni, et hoc iam demonstratum est in libro Elementorum. Et hoc est quod noluimus.