Adversus Mathematicos

ὅμως δʼ οὖν ἐπισυνάπτωμεν καὶ τὰ περὶ τῆς δυάδος. ἄπορος γάρ πως καὶ αὕτη συνίσταται κατὰ τὴν τῶν μονάδων σύνοδον, ὥσπερ καὶ ὁ Πλάτων διὰ τοῦ Περὶ ψυχῆς (Phaed. 97 A) πρότερον ἠπόρηκεν. [*](§ 18 ∼ M X 293 || 19–20 ∼ M X 294–298 || 21–22 cf. M X 302—309) [*](2 τις supplevi || 9.10 ἤτοι—ἀμερής supplevi || 11 ἄλφα G || 12 βῆτα ELA: β BV || 16–21 restituit Heintz cl. p.535, 20—24: εἰ δὲ πλείους εἰσὶν ἰδέαι τοῦ ἑνός, ἕκαστον τῶν καθʼ ἓν τασσομένων ἀριθμητῶν ἤτοι τοῦ ἑνὸς ἢ τοῦ δύο καθ’ ἓν ἑκάτερον μετέχει (-χη AB) τινὸς κοινῆς ἰδέας ἢ οὐ μετέχει. G || 23 συναχθήσεται ζ edd. 26 ὁ om. ζ || 27 ἀπόρως Bury | αὐτὴ G edd. || 28 ὁ om. L ζ )

ἀλλʼ εἰ μὲν οὔτε προσγίνεταί τι οὔτε ἀπογίνεται, οὐκ ἔσται κατὰ παράθεσιν τῆς ἑτέρας μονάδος τῇ ἑτέρα ἡ δυάς. εἰ δὲ ἀπογίνεταί τι κατὰ τὴν παράθεσιν, ἐλάττωσις ἔσται τοῦ ἑνὸς καὶ ἑνός, καὶ δυὰς οὐ γενήσεται. εἰ δὲ προσγίνεταί τι, τὰ δύο οὐ γενήσεται δύο ἀλλὰ τέσσαρα· δυὰς γὰρ ἡ ἐπιγινομένη καὶ μονὰς καὶ ἑτέρα μονὰς τὸν τῶν τεσσάρων ἀριθμὸν συνίστησιν. οὐδὲν ἄρα ἔσται δυάς. ἡ δὲ αὐτὴ γένοιτʼ ἂν ἀπορία καὶ ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ, ὥστε μηδὲν εἶναι κατὰ τοῦτο ἀριθμόν.

Οὐ μὴν ἀλλʼ ἐπεὶ κατὰ πρόσθεσιν μονάδος καὶ κατὰ ἀφαίρεσιν ὁ ἀριθμὸς νοεῖται, δῆλον ὡς ἐὰν τούτων ἑκά- τερον παραστήσωμεν ἀδύνατον, οἰχήσεται καὶ ἡ τῶν ἀριθ- μῶν ὑπόστασις. λέγωμεν δὲ πρῶτον εὐθὺς περὶ ἀφαιρέ- σεως, ὑποδειγματικῇ χρώμενοι τῇ διδασκαλία.

ἡ τοίνυν ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης δεκάδος ἀφαιρουμένη μονὰς ἤτοι ἀπὸ ὅλης τῆς δεκάδος ἢ ἀπὸ τῆς περιλειπομένης ἐννεάδος ἀφαιρεῖται· οὔτε δὲ ἀφʼ ὅλης, ὡς παραστήσομεν, οὔτε ἀπὸ τῆς ἐννεάδος, ὡς διδάξομεν οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖταί τι ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης δεκάδος. εἰ γὰρ ἀφʼ ὅλης ταύτης ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἤτοι ἡ δεκάς ἐστιν ἑτέρα τῶν κατὰ μέρος μονάδων ἢ ὁ ἀθροισμὸς τούτων δεκὰς προσαγο- ρεύεται.

ἀλλʼ ἑτέρα μὲν τῶν κατὰ μέρος μονάδων οὐκ ἔστιν ἡ δεκάς· καὶ γὰρ ἀναιρεθεισῶν ἐκείνων οὐδʼ ἔστι δεκάς, καὶ τῆς δεκάδος ἀναιρεθείσης ὁμοίως αἱ μονάδες οὐκέτι ὑπάρχουσιν. εἰ δὲ ἡ αὐτὴ ταῖς μονάσιν ἐστὶν ἡ δεκάς, τουτέστιν εἰ αἱ κατὰ μέρος μονάδες εἰσὶ δεκάς, δῆλον ὡς εἴπερ ἀπὸ τῆς δεκάδος ἡ τῆς μονάδος ἀφαίρε- σις γίνεται, ἀφʼ ἑκάστης μονάδος ἀφαιρεθήσεται (αἱ γὰρ κατὰ μέρος μονάδες ἦσαν ἡ δεκάς), καὶ οὕτως οὐκέτι ἔσται μονάδος ἆρσις ἀλλὰ δεκάδος. ὥστε οὐκ ἀπὸ ὅλης [*](§ 24 —M IX 312—313 || 25 ~Μ IX 313—314) [*](2 οὔτε —5 ἡ δυάς om. Herv. || 10 ἔστι Ες || 16 τῇ om. Ϛ 20 οὐκ ἄρα — 21 δεκάδος om. Herv. || 25 καὶ γὰρ — 26 δεκάς om. E || 28 εἰσὶ δεκάδες G. corr. Fabr. || 32 ἄρσις G ubique )

καὶ μὴν οὐδʼ ἀπὸ τῆς ὑπολειπομένης ἐννεάδος ἡ ἆρσις αὐτῆς γίνεται· πῶς γὰρ ἔτι μετὰ τὴν ἆρσιν αὐτῆς σῶός ἐστιν ἡ ὑποκειμένη ἐν- νεάς; ἀλλʼ εἰ μήτε ἀφʼ ὅλης τῆς δεκάδος αἴρεται ἡ μονὰς μήτε ἀπὸ τῆς ὑπολειπομένης ἐννεάδος, οὐδεὶς ἀριθμὸς κατὰ ἀφαίρεσιν συνίσταται.

ἄλλως τε, εἰ ἀπὸ τῆς ἐννεά- δος αἴρεται ἡ μονάς, ἤτοι ἀπὸ ὅλης αἴρεται ἢ ἀπὸ τῆς τελευταίας αὐτῆς μονάδος. καὶ εἰ μὲν ἀπὸ ὅλης τῆς ἐν- νεάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἔσται ἆρσις τῆς ἐννεάδος τὸ γὰρ ἀφαιρούμενον ἀφʼ ἑκάστης μονάδος, τῶν κατὰ μέρος μονάδων ἐννέα οὐσῶν, τὸν τῆς ἐννεάδος ἀριθμὸν συντί- θησιν.

εἰ δὲ ἀπὸ τῆς τελευταίας μονάδος γίνεται τὰ τῆς ἀφαιρέσεως, πρῶτον μὲν καὶ ἡ τελευταία μονάς, ἀμερὴς οὖσα, δειχθήσεται μεριστὴ τυγχάνειν, ὅπερ ἄτοπον εἶτα εἰ ἀπὸ τῆς τελευταίας μονάδος αἴρεται ἡ μονάς, οὐ δυ- νήσεται ἔτι ὁλόκληρος μένειν ἡ ἐννεάς.

καὶ ἄλλως, εἴπερ ἀπὸ τῆς δεκάδος γίνεται ἡ τῆς μονάδος ἆρσις, ἤτοι ἀπὸ οὔσης γίνεται τῆς δεκάδος ἆρσις ἢ ἀπὸ μὴ οὔσης οὔτε δὲ ἀπὸ τῆς οὕσης γένοιτʼ ἄν (ἐφʼ ὅσον γὰρ μένει χρόνον δεκάς, οὐδὲν ἀπʼ αὐτῆς ἀφαιρεθῆναι δύναται ὡς δεκάδος,

ἐπεὶ οὐκέτι ἔσται δεκάς) οὔτε ἀπὸ μὴ οὔσης ἀπὸ γὰρ τοῦ μὴ ὄντος οὐδὲ ἀρθῆναί τι πέφυκεν. καὶ 〈μὴν〉 παρὰ τὸ εἶναι ἢ μὴ εἶναι οὐδὲν ἔστι νοῆσαι· οὐκ ἄρα αἴρεταί τι ἀπὸ τῆς δεκάδος.

Ἀλλʼ ὅτι μὲν ἀμήχανόν ἐστι κατ᾿ ἀφαίρεσιν ἀριθμόν τινα νοεῖν,

ἐκ τούτων δέδεικται· ὅτι δὲ οὐδὲ κατὰ πρόσ- θεσιν, ῥᾴδιον δεῖξαι τῶν ἀναλόγων ἐχομένους ἀποριῶν. πάλιν γὰρ μονάδος προστιθεμένης δεκάδι ἤτοι τῇ ὅλῃ δεκάδι ῥητέον γίνεσθαι τὴν πρόσθεσιν ἢ τῷ τελευταίῳ μέρει τῆς δεκάδος. ἀλλʼ εἰ μὲν ὅλῃ τῇ δεκάδι προστίθε- [*](§ 26 ~M ΙX 315,317 || 27 ~M IX 316 || 28 ~M IX 317 || 29—30 ~M IX 318—319. 321) [*](7 αἵρεται E ubique || 9.10.25 ὑφαιρ. G: corr. Bekk. || 19 χρόνον μένει δεκὰς numeris suprscr. corr. V : χρόνον μένειν C || 21 οὐδὲ G: corr. Bekk. ||22 μὴν suppl. Bekk. sec. Herv. || 27 ἀλόγων L )

ὅπερ ἄτοπον ἀκολουθήσει γὰρ τῇ τῆς μονά- δος προσθέσει τὴν δεκάδα εἰκοσάδα γίνεσθαι, ὃ τῶν ἀμη- χάνων ὑπῆρχεν. οὐ τοίνυν ὅλῃ τῇ δεκάδι τὴν μονάδα προστίθεσθαι ῥητέον. καὶ μὴν οὐδὲ τῷ τελευταίῳ μέρει τῆς δεκάδος, ἐπεὶ οὐκ αὐξηθήσεται ἡ δεκὰς διὰ τὸ μὴ τὴν τοῦ ἑνὸς μέρους αὔξησιν εὐθὺς καὶ τῆς ὅλης δεκάδος αὔξησιν εἶναι.

[καὶ] καθόλου τε ἐπὶ πᾶσιν, ἢ μενούσῃ τῇ δεκάδι προστίθεται ἡ μονὰς ἢ μὴ μενούσῃ. οὔτε δὲ με- νούσῃ προστεθείη ποτʼ ἄν, ἐπεὶ οὐκέτι μένει δεκάς, οὔτε μὴ μενούσῃ· τὴν γὰρ ἀρχὴν μὴ μενούσῃ οὐδὲ πρόσθεσις δύναται γενέσθαι.

Ἀλλʼ εἴπερ ὁ ἀριθμὸς κατὰ πρόσθεσιν, ὡς ἔφην, καὶ κατ᾿ ἀφαίρεσιν ὑφιστάμενος νοεῖται, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς ὅτι οὐθέτερόν ἐστι τούτων, ῥητέον μηδὲν εἶναι ἀριθμόν. ὅθεν τοσαῦτα καὶ πρὸς τοὺς γεωμέτρας καὶ ἀριθμητικοὺς ἀπορητικῶς διεξελθόντες ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς καὶ τὴν πρὸς τοὺς μαθηματικοὺς ἀντίρρησιν ποιησόμεθα.