Problemata arithmetica

Nicomachus of Gerasa

Nicomachus of Gerasa. Introductio Arithmetica. Hoche, Richard, editor. Leipzig: Teubner, 1866.

α. ΤΟΤ ΚΥΝΟΣ.

Δοθέντων ἀπὸ μονάδος ὁποσωνοῦν ἀριθμῶν ἐφεξῆς εὑρεῖν, ὅσος ἐστὶν ὁ σύμπας.

Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς α ἐφεξῆς οἱ

β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι·

ἢ δὴ ἄρτιόν ἐστι τὸ πλῆθος αὐτῶν ἢ περιττόν· ἔστω πρῶτον περιττόν· φανερὸν δή, ὅτι οἱ μὲν α ι διπλάσιοί εἰσι τοῦ ε, οἱ δὲ β θ τοῦ ε καὶ ἐφεξῆς ὅσον ἄρα ἐστὶ τὸ πλῆθος πάντων, τοσαυταπλασίων ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθεὶς τοῦ ε· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ι πρὸς τὴν μονάδα, ὁ σύμπας πρὸς τὸν ε· ὁ ἄρα ὑπὸ τοῦ ι καὶ ε ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς μονάδος καὶ συμπάντων, τουτέστι τῷ σύμπαντι ἀριθμῷ. εἰλήφθω δὴ ὁ ἐφεξῆς τῷ ι, ὁ κ· φανερὸν δὴ ὅτι ὁ κ διπλάσιός ἐστι τοῦ ε, ἴσος γάρ ἐστι τοῖς ι α· ἐπεὶ οὖν ὁ ι τὸν ε πολλαπλασιάσας ποιεῖ τὸν σύμπαντα, ἐὰν ἄρα τὸν κ πολλαπλασιάσας ποιήσῃ τινά, ὁ γενόμενος ἔσται τοῦ σύμπαντος διπλασίων. ὅταν ἄρα ἀπὸ [*](1. ΠΡΟΒΛ. ΑΡ.] addidi inscript. — 7. hac in serie numeroru ζ ═ 6, η ═ 7, θ 8, ι ═ 9 ponitur; κ (16) ═ 10.)

149

μονάδος πλήθους ἀριθμῶν ἐφεξῆς τεθέντος ἐρωτηθῶμεν, πόσος ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθείς, ἐὰν ὦσι περιττοὶ τὸ πλῆθος, πολλαπλασιάσομεν τὸν μέγιστον ἐπὶ τὸν ἐφεξῆς αὐτοῦ μείζονα καὶ τούτου γενομένου τὸ ἥμισυ λαβόντες ἕξομεν τὸν σύμπαντα· ὁμοίως δὴ ποιήσομεν, καὶ ἐὰν ἄρτιον τὸ πλῆθος· ἡ γὰρ αὐτὴ ἀπόδειξις·

α β γ δ ε ζ η θ ι — κ

α| β| γ| δ| ε| ϛ| ζ| η| θ|— ι|.

β. Πῶς ἂν ἐκ μεθόδου προχειρότατα γινώσκοι τις ἀκριβῶς τὴν τῶν συντιθεμένων ἀπὸ μονάδος καὶ ἐφεξῆς ἀριθμῶν γινομένου ποσότητα, μέχρις οὗ δηλονότι ἡ ζήτησις γίνεται.

Ποιείτω οὕτω· πολλαπλασιαζέτω ἐφ᾿ ἑαυτὸν τὸν ἀριθμόν, μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται, καὶ ἀπὸ τοῦ γινομένου λαμβανέτω τὸ ἥμισυ· τούτῳ προςτιθέτω καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ πολλαπλασιασθέντος ἀριθμοῦ καὶ τὸν γινόμενον γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν ἀπὸ μονάδος, μέχρις οὐ ἡ ζήτησις γίνεται. οἷον ἔστω· γενέσθαι τὴν ζήτησιν ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε, πόση ἐστὶν ἡ τῶν ἀριθμῶν κατὰ τὸ συνεχὲς σύνθεσις· τὸν ιε ἐφʼ ἑαυτόν, γίνονται σκε· τούτου τὸ ἥμισυ, ριβ??· πρόςθες τὸ ἥμισυ τῶν ιε ἤτοι ζ??, γίνονται ὁμοῦ ρκ· τοσούτων ἡ ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε τῶν κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμῶν σύνθεσις. ΙΣΑΑΚ.

[*](27. ΙΣΑΑΚ] Thom. Reinesius codicis margini adscripsit: „Isaac monachus, cuius extant scholia in Euclidis elementorum geometriaee libros VI priores; lat. vert. Conr. Dasyp.“[odius]. — de Isaaco conf. Fabric. bibl. gr. X, p. 176. — altera ma-)

150

Ἤ καὶ οὕτω· λαμβανέτω τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται καὶ προςτιθέτω τούτῳ μονάδος ἥμισυ καὶ τὸν γινόμενον πολλαπλασιαζέτω μετὰ τοῦ ἀριθμοῦ, οὗτινος εἰλήφει τὸ ἥμισυ· καὶ τὸν γινόμενον αὖθις γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν. οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ προυποδειχθέντος ἀριθμοῦ τοῦ ιε, τούτου τὸ ἥμισυ ζ??· πρόςθες μονάδος ἥμισυ, γίνονται η· ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ιε, γίνονται ρκ. καὶ ἔστι καὶ οὕτως ἡ εὕρεσις ἀσφαλεστάτη, ὡς καὶ ἐπὶ τῆς προτέρας μεθόδου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ.

γ. Ἀριθμῶν ὅσων δήποτε ἐκκειμένων ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τὸν συγκεφαλαιούμενον ἐκ τῆς συνθέσεως αὐτῶν λαμβάνειν.

Ποίοι οὕτω· λάμβανε τούς ἄκρους τῶν ἐκκειμένων καὶ τούτων τὰ ἡμίση συντιθεὶς καὶ πολλαπλασιάζων ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ἕξεις τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν ὅλων. οἷον ἔστωσαν

β, δ, Ϛ, η, ι, ιβ·

τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ζ· ταῦτα πολλαπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν, εἰσὶ δὲ Ϛ, ποιοῦσι μβ. πάλιν ἔστωσαν

α, δ, ζ, ι, ιγ, ιϚ, ιθ·

[*](nus hoc addidit scholion: Ἐὰν ὦσιν ἀριθμοί, ὅσοι δηποτοῦν ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, δὲ τὸ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον, ὁ ἥμισυς τοῦ ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν δύο μέσων ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐκκειμένων πολλαπλασιαζόμενος τὸν συγκείμενον ἐξ ὅλων ποιεῖ· ἐὰν δὲ τὸ πλῆθος ᾖ περιττόν, ὁ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους πάλιν ἐπὶ τὸν μέσον τῶν ἐκκειμένων πολλαπλασιαζόμενος τὸν συγκείμενον ἐξ ὅλων ποιεῖ.)

151

τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ι καὶ τὸ πλῆθος ζ· δεκάκις οὖν τὰ ζ ποιοῦσιν ο· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ.

δ. α, α, α, γ, γ, ε, ε, ε, ζ, θ·

Ταῦτα τὸ δέκα στοιχεῖα συντιθέμενα ποιοῦσι μονάδαςμ· φασὶν οὖν τὸν βασιλέα Λέοντα ταῦτα ἐκθεῖναι· καὶ ζητεῖν, ὡς ἂν μερισθῶσι δίχα ἤτοι εἰς πέντε καὶ πέντε στοιχεῖα καὶ ἑκατέρας μερίδος ἴσον εἶναι τὸν ἀριθμόν.

Ἀγνοοῦντες οὖν οἱ ἐξ ἐκείνου μέχρι τοῦ νῦν πάντες τὸν σκοπὸν ἐκείνου καὶ ζητοῦντες, ὥςτε καὶ ἑκατέραν μερίδα μονάδων κ εἶναι ἤτοι τῆς ἡμισείας τῶν ὅλων ποσότητος, ἀνηνύτοις ἐδόκουν ἐπιχειρεῖν, ἀλλ᾿ ἡμεῖς μὴ ἀγνοοῦντες τὸν ἐκείνου σκοπόν, ὅτι οὐκ ἀδύνατα προέθετο ζητεῖν, ἀλλὰ δυνατὰ μέν, πλὴν οὐ τοῖς πᾶσι πρόχειρα, μόνοις δὲ τοῖς τῶν ἀριθμητικῶν μαθημάτων ἐμπείροις, διείλομεν αὐτὰ δίχα οὕτως· ὥςτε ἑκατέρας μερίδος ἀνὰ ε στοιχεῖα ἐχούσης τὸ μὲν πρῶτον εἶναι πολλαπλασιάζον, τὰ δὲ λοιπὰ πολλαπλασιαζόμενα ὑπ᾿ αὐτοῦ, ὡς συνἀγειν ἑκατέραν μερίδα μονάδας ξ· καὶ ἔχουσιν οὕτω·

—ις —ις

ε , α, α, γ, ζ· — γ , α, ε, ε, θ·

ἔστιν οὖν τῆς μιᾶς μερίδος ἡ ποσότης μονάδων ιβ, δηλαδὴ τῶν δ στοιχείων συντιθεμένων πλὴν τοῦ [*](7. Λέοντα] Reinesius in marg.: Leo Philosophus Aug. cf. Fabric. bibl. gr. VI, p. 363. — 20. ἐχούσης] sic in mrg.; in tertu οὔσης.)

152

πρώτου, καὶ πενταπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ· ὁμοίως καὶ τῆς ἑτέρας μερίδος κ καὶ τριπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ.

ε. Μέθοδος, διʼ ἧς ἀστείως εὑρήσεις, οἷον ἀριθμὸν ἔχει τις ἐπὶ νοῦν.

Ἀριθμὸν ὁντιναοῦν τῶν ἀπὸ τοῦ ζ μέχρι τοῦ ρε ὑπό τινος ἐν διανοίᾳ εἰλημμένον ζητῶν εὑρεῖν ὁπόσος ἐστί, λήψῃ αὐτὸν μεθόδῳ τοιᾷδε· ἐπίταξον τῷ κατὰ διάνοιαν ἔχοντι τὸν ἀριθμὸν κρυφίως παρ᾿ αὐτῷ ἐκβαλεῖν ἀπʼ αὐτοῦ τὸν γ, ὁσάκις ἐγχωρεῖ, / καὶ τὰ καταλειφθέντα κάτωθεν τοῦ γ, εἰ καταλειφθείη δηλονότι, ἐκφωνήσαντα εἰπεῖν πρὸς σέ· οὐ καὶ εἰπόντος σύ ἀνθʼ ἑκάστης μονάδος τῶν καταλειφθεισῶν λάμβανε τῇ σῇ χειρὶ τὸν ο ἀριθμόν· οἷον εἰ μὲν μονὰς καταλειφθείη, τὸν ο μόνον, εἰ δὲ δυάς, αὐτὸν τὸν ο δὶς ἤτοι τὸν ρμ, εἰ δʼ οὐδεμία μὲν καταλειφθείη, πάντως οὐδὲ σὺ λήψῃ τι· τοῦτο δὲ φυλάξαι σε δεῖ καὶ ἐν ταῖς γενησομέναις λοιπαῖς ἀφαιρέσεσιν, ἐν αἷς δηλονότι μηδεμία μονὰς καταλειφθήσοιτο· εἶτα ἐπίταξον ἐκβαλεῖν ὁμοίως ἐξ αὐτοῦ καὶ τὸν ε, ὁσάκις ἐγχωρεῖ, καὶ τὰ κάτωθεν τούτου καταλειφθέντα εἰπεῖν, ὧν καὶ ἀνθʼ ἑκάστης μονάδος λάμβανε τὸν κα, ἑνῶν καὶ τὸν ἀπὸ τούτου συναγόμενον τῷ προειλημμένῳ, εἰ τύχοι, τῇ σῇ χειρί· εἶτ᾿ ἐπίταξον ὁμοίως ἐκβαλόντι καὶ τὸν ζ εἰπεῖν τὰ κάτωθεν τούτου καταλειπόμενα· ὧν καὶ ἑκάστης ἕνεκα μονάδος τὸν ιε λαβών καὶ οὓς ἔχεις πάντας συνθεὶς ἐκ τῆς ἐπισυναγωγῆς ἄφες, ὁσάκις δύνῃ, τὸν ρε, εἰ ἐγχωρεῖ δηλονότι, καὶ τὸν κάτωθεν τούτου καταλειφθέντα [*](19. ἐν αἷς δηλ.] scripsi pro ἐν ᾗ δηλ. cod.)

153

γίνωσκε τὸν ἀριθμὸν εἶναι, ὃν ζητεῖς, δηλαδὴ τὸν ἐν τῷ λογισμῷ τοῦ ζητήσαντος εὑρεῖν σε τοῦτον εἰλημμένον· ἰστέον μέντοι γε, ὡς εἰ μηδὲν ἐν μηδεμιᾷ ἀφαιρέσει καταλειφθείη, ὅτε οὐδὲ σὺ λήψῃ πάντως τινὰ τῶν προῤῥηθέντων ἀριθμῶν, ὁ ρε ἐστὶν ὁ ὑπ᾿ ἐκείνου ληφθείς.

Γενέσθω δὲ τὰ λεγόμενα καὶ δι᾿ ὑποδείγματος σαφέστερα, καὶ ἔστω ὑφʼ ἡμῶν ἐπὶ νοῦν εἰλημμένος ὁ κη· ὄν ἐπειδὴ βούλεταί τις εὑρεῖν τῇ ῥηθείσῃ μεθόδῳ χρώμενος, ἐπιτάττει τὸν γ ἐκβαλεῖν ἐξ αὐτοῦ ὁσάκις ἐγχωρεῖ· οὐ καὶ ἐννάκις ἐκβαλλομένου παῤ ἡμῶν ἐκφωνούντων πρὸς αὐτὸν καὶ τὴν λειπομένην μονάδα, οὗτος ἀντʼ αὐτῆς τὸν ο τῇ χειρὶ λαμβάνει· εἶτα καὶ τοῦ ε ὁμοίως ἐκβαλλομένου πεντάκις ἀνθʼ ἑκάστης τῶν καταλειπομένων τριῶν μονάδων τὸν κα λαμβάνων τὸν γινόμενον ξγ συντίθησι τῷ πρότερον εἰλημμένῳ τῷ ο· ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦ ζ κατὰ τὴν μέθοδον ἐκβαλλομένου τετράκις οὐδὲν λείπεται, οὐδʼ οὗτος ἀντὶ τούτου λαβών τινα, ἀλλ᾿ ἀπὸ τοῦ ἐκ τῆς συνθέσεως μόνων ἐκείνων τοῦ τε δηλονότι ο καὶ τοῦ ξγ ἤτοι ἀπὸ τοῦ ρλγ ἐκβαλών τὸν ρε τὸν λειπόμενον κη λέγει πρὸς ἡμᾶς ἀναμφιβόλως εἶναι τὸν ἀριθμόν, ὅν ἡμεῖς ἐπὶ νοῦν κεκρατήκαμεν· ὑπὲρ οὐ καὶ ἐκπληττόμενοι τὸν λόγον ζητοῦμεν, ὅτου χάριν τόδε τοιαύτῃ μεθόδῳ εὑρίσκεται.

ϛ. Τῷ ἀποθνήσκοντι ἐωὶ τοῖς Ϛ παιδίοις, ὧν τὰ γ ἦσαν ἄῤῥενα καὶ τὰ γ θήλεα, καὶ διαταξαμένῳ περὶ τῶν ἐν τῷ κιβωτίῳ αὐτοῦ χρυσίνων, τὸν πρωτυν τῶν παίδων αὐτῷ τῶν ἀῤῥένων θεῖναι τοσούτους χρυσίνους ἐν τῷ κιβωτίῳ, ὅσοι εἰσὶν ἐν αὐτῷ, εἶτα λαβεῖν διακοσίους πεντήκοντα, τὸν δὲ μετʼ ἐκεῖνον

154

θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν σν, καὶ τὸν τρίτον ὁμοίως θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν σν, τὴν δὲ πρώτην τῶν θυγατέρων θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν ρκε, τὴν δὲ μετʼ ἐκείνην θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν ρκε, καὶ τὴν τρίτην ὁμοίως θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν ρκε, ὡς μηδένα οὕτω χρύσινον ὑπολειφθῆναι, σλβ ἦσαν χρύσινοι καὶ τρίτον χρυσίνου καὶ δωδέκατον καὶ ἑκατοστοενενηκοστοδεύτερον ἕν.