Ἁρμονικὰ στοιχεῖα

διάζευξιν. δεῖ δʼ ἕτερον πὅτερον τούτων ὑπάρχειν· τοῖς φθόγγοις, ὥστε καὶ τοῖς ἑξῆς τετράχόρδοις ἀναγκαῖον ἕτερον τῶν εἰρημένων ὑπάρ| χειν.

Ἤδη δέ τις ἠπόρησε τῶν ἀκουόντων περὶ τοῦ ἑξῆς· πρῶτον μὲν καθόλου τί ποτʼ ἐστὶ τὸ ἑξῆς, ἔπειτα πότερον κατὰ ἕνα μόνον γίγνεται τρόπον ἢ κατὰ πλείους, τρί| τον δʼ εἰ ἴσως ἀμφότερα ταῦτʼ ἐστὶν ἑξῆς τά τε συνημμένα καὶ τὰ διεζευγμένα. Πρὸς δὴ ταῦτα τοιοῦτοί τινες ἐλέγοντο λόγοι· καθόλου ταῦτα εἶναι συστήματα συνεχῆ ὧν οἱ ὅροι ἤτοι ἑξῆς [*](2—4 ὅταν . . . ὅταν δύο] erat ὅ τε, τʼ ἂν supra lin. add., τε cerr. in δύο, et τε inscr., reliqua in marg. Mc: om. V B, R (sed ‘postea alieno loco interponuntur᾿  v. Herwerden) 2—5 ὅτε pro ὅταν δύο leg., ἑξῆς . . . σχῆμα om. S 5 πότερον om. H 7 τέταρτοι B: δ rell. συμφώνων ὄντες H 9 δεῖ Meibom : τί codd. 12 τάδε post ἑξῆς add. H 14 μόνον Mc (supra lin.), R Η: ὅμον M B S τρόπον] τρόπ e corr. V κατὰ om. H δʼ εἰ Marquard : δὲ codd. 16 δὴ H : δὲ rell. τοιοῦτόν B 17 συστήματα ex συστήμα Mb)

ἤτοι ἁπλῶς μηδὲν εἶ| ναι ἀνὰ μέσον τετράχορδον ἢ μὴ ἀνόμοιον. τῶν μὲν οὖν ὁμοίων κατʼ εἶδος τετραχόρδων οὐ τίθεται ἀνόμοιον ἀνὰ μέσον τετράχορδον, τῶν δʼ ἀνομοίων μὲν ἑξῆς δʼ οὐδὲν τίθεσθαι δυνατὸν ἀνὰ μέσον τετράχορδον. Ἐκ δὲ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὅτι τὰ ὅμοια κατʼ εἶδος τετράχορδα κατὰ δύο τρόπους τοὺς εἰρημένους ἑξῆς ἀλλήλων τεθήσεται.|

Ἀσύνθετον δʼ ἐστὶ διάστημα τὸ ὑπὸ τῶν ἑξῆς φθόγγων περιεχόμενον. εἰ γὰρ ἑξῆς οἱ περιέχοντες, οὐδεὶς ἐκλιμπάνει, μὴ ἐκλιμπάνων δʼ οὐκ ἐμπεσεῖται, μὴ ἐμπίπτων δʼ οὐ διαιρήσει, ὃ δὲ μὴ διαίρεσιν ἔχει οὐδὲ σύνθεσιν ἕξει· πᾶν γὰρ [*](Ι εἰσὶν in ras. Ma: om. V Β S ἐπαλλάττουσιν ex ἐπελαττοῦσιν Mb (ut vid.) 2 καθʼ . . . ὅρος restituit Meibom 3 ὀξύτερον B 4 ὀξυτέρου om. B 6 τρόπων Marquard : ὁρῶν B : ὅρων rell. κοινωνοῦσιν H 7 ὅμοιά Meibom: ἀνόμοια  codd. ἐστιν om. H ΙΙ ante ὅμοια 2 litt. eras. M τοιαῦτα Marquard : ταῦτα codd. συμβαίνει B 13 ἢ] ἤτοι H 15 ἢ μὴ Meibom: εἰ μὴ εἰ μὴ B: εἰ μὴ rell. 16 ἀνόμοιον Meibom : ὅμοιον codd. 17 τίθεσθαι H ἀνόμοιον Meibom : ὅμοιον codd. 17 τῶν δʼ . . . τετράχορδον om. R 18 τίθεσθαι ex τίθεται Mc: τίθεται rell. 19 δὲ]  δὴ H 22 διαστήματα R 25 διαίρεσιν ex διαίρησιν vel vice versa M ἕξει] ἕξ B)

τοῖς μεγέθεσι τῶν διαστημάτων εἶναι τὸ ἀσύνθετον ἀλλʼ ἐν τοῖς περιέχουσι φθόγγοις.|

Ἐν δὲ ταῖς τῶν γενῶν διαφοραῖς τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη μόνα κινεῖται, τὸ δʼ ἴδιον τῆς διαζεύξεως ἀκίνητόν ἔστιν. πᾶν μὲν γὰρ διῄρητο τὸ ἡρμοσμένον εἰς συναφήν τε καὶ διάζευξευξιν, ὅ γε συνέστηκεν ἐκ πλειόνων ἢ ἑνὸς τετραχόρδου. Ἀλλʼ ἡ μὲν συναφὴ ἐκ τῶν τοῦ διὰ τεσσάρων μερῶν μόνων ἀσυνθέτων σύγκειται, ὥστʼ ἐξ ἀνάγκης ἔν γε ταύτῃ τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μόνα μέρη κινηθήσεται· ἡ δὲ διάζευξις διον ἔχει παρὰ ταῦτα τὸν τόνον. ἐὰν οὖν δειχθῇ τὸ ἴδιον [*](1 post καὶ ras. M 2 ἀδιαίρετον V S δὲ Marquard : δὴ codd. 4 πώποτε H ἀσύνθετ ον Ma, sed ον supra θετ et acc. et spir. add. Me ὅ γʼ conieci: om. V S B : ἂν rell. 5 πῶς post πάλιν ponit H πάλιν] ιν ras. in Mc: πάλαι V S 6 ἐστὶν post δυνατὸν ponit H δὲ Marquard : δὴ S: δὲ δὴ rell. 12 ὁρίζουσι B 13 post σύνθετον in unc. quad. ἀλλʼ ἐν τοῖς περιέχουσι φθόγγοις S 17 τὸ δʼ . . . ἐστιν seclusi 19 dicit Merquard ‘ post una Iitt. eras. quae ν fuisse vid. M᾿  : sed ego quidem γε fuisse suspicor. Quod si legitur, tum certe verborum translatione nulla opus est: neque, si omittitur, ordinem librorum mutare velim verba . . . τετραχόρδου post ἡρμοσμένον ponit Meibom 20 τῶν τοῦ διὰ addidit Westphal 21 μόνον H ἀσυνθέτων seclusi 23 ἔχει Meibom: ἔχοι codd. παρὰ ταῦτα] παρὰ post ταῦτα eras. et supra lin. add. Mc ταῦτα παρὰ V B S τὸ supra lin. add. Mb (?))

Ἐν ἑκάστῳ δὲ γένει τοσαῦτά ἐστιν ἀσύνθετατὰ πλεῖστα ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε. Πᾶν μὲν γὰρ γένος ἤτοι ἐν συναφῇ μελῳδεῖται ἢ ἐν διαζεύξει, καθάπερ ἔμπροσθεν εἴρηται. δέδεικται δʼ ἡ μὲν συναφὴ ἐκ τῶν τοῦ διὰ τεσσάρων μερῶν μόνων συγκειμένη, ἡ δὲ διάζευξις ἓν προστιθεῖσα τὸ ἴδιον διάστημα, τοῦτο δʼ ἐστὶν ὁ τόνος· προστεθέντος δὲ | τοῦ τόνου πρὸς τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη τὸ διὰ πέντε συμπληροῦται. Ὥστ’ εἶναι φανερὸν ὅτι, ἐπειδήπερ οὐδὲν τῶν γενῶν ἐνδέχεται κατὰ μίαν χρόαν λαμβανόμενον ἐκ πλειόνων ἀσυνθέτων συντε| θῆναι τῶν ἐν τῷ διὰ πέντε ὄντων, δῆλον [*](2 τοῖς om. V B S 3 τὸν restituit Marquard 4 τόνων B R 5 περιεχόντων post βαρύτερον ponit H ὁμοίως δʼ et καὶ seclusit, et δʼ addidit Westphal 7 τὸν restituit Marquard βαρύτερος . . . περιεχόντων in marg. Mc:  om. V B : τόνον περιεχόντων τὸ τὸ βαρύτερον ὀξύτερον τῶν ἐν τῇ δ. S 8 περιεχόντων post τὸ ὀξύτερον ponit H ὀξύτερον ex βαρύτερον Mb : βαρύτερον B 10—13 ὥστʼ . . . εἰρημέναις διαφοραῖς om. R 10 ὅτι supra lin. add. Mc: om. V B S 12 λείποιτʼ] εἴκοιτʼ R κινεῖται B 14 τὰ addidi 16 ἔμπροσθεν om., et πρότερον post εἴρηται add. H 18 μόνων Meibom : μόνη codd. ἓν προστιθεῖσα conieci: ἔμπροσθεν τεθεῖσα codd.: προστιθεῖσα Marquard 22 λαμβάνομεν B in marg. 23 ἐν τῶ ex ἐκ τῶν M : ἐκ τῶν V S B δῆλον ὅτι seclusit Marquard)

Ταράττειν δʼ εἴωθεν ἐνίους καὶ ἐν τούτῳ τῷ προβλήματι πῶς τὰ πλεῖστα προστίθεται καὶ διὰ τί οὐχ ἁπλῶς δείκνυται, ὅτι ἐκ τοσούτων ἀσυνθέτων ἕκαστον τῶν γενῶν συνέστηκεν ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ διὰ πέντε. Πρὸς οὓς ταῦτα λέγεται, ὅτι ἐξ ἐλαττόνων ἀσυνθέτων ἔσται ποθʼ ἕκα| στον τῶν γενῶν συγκείμενον ἐκ πλειόνων δʼ οὐδέποτε. Διὰ ταύτην δὲ τὴν αἰτίαν τοῦτο αὐτὸ πρῶτον ἀποδείκνυται, ὅτι οὐκ ἐνδέχεται ἐκ πλειόνων ἀσυνθέτων συντεθῆναι τῶν γε| νῶν ἕκαστον ἢ ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε τυγχάνει ὄντα. ὅτι δὲ καὶ ἐξ ἐλαττόνων ποτὲ συντεθήσεται ἕκαστον αὐτῶν, ἐν τοῖς ἔπειτα δείκνυται.

Πυκνὸν δὲ πρὸς πυκνῷ οὐ μελῳδεῖ|| ται οὔθʼ ὅλον οὔτε

μέρος αὐτοῦ. Συμβήσεται γὰρ μήτε τοὺς τετάρτους τῷ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν μήτε τοὺς πέμπτους τῷ διὰ πέντε· οἱ δὲ οὕτω κείμενοι τῶν φθόγγων ἐκμελεῖς ἦσαν. τῶν δὲ τὸ δίτονον περιεχόντων ὁ μὲν βαρύτερος ὀξύτατός ἐστι πυκνοῦ ὁ δʼ ὀξύτερος βαρύτατος· ἀναγκαῖον γὰρ ἐν τῇ συναφῇ τῶν πυκνῶν διὰ τεσσάρων συμ| φωνούντων ἀνὰ μέσον αὐτῶν κεῖσθαι τὸ δίτονον, ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν διτόνων διὰ τεσσάρων συμφωνούντων ἀναγκαῖον ἐν μέσῳ κεῖσθαι τὸ [*](1 συνβετά R ὅσα ἐν τῷ om. R 3 εἴωθεν] ν postea add. M 4 πῶς in marg. Mb 5 συγκείμενόν ἐστιν ante ἕκαστον add., et συνέστηκεν om. H 7 ἔσται ποθʼ om. R : ἔσται ποθʼ ἕκαστον om, V ἐστὶ post γενῶν add. R, Mc (supra lin.) post γενῶν add. συνεστηκὸς ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ διὰ πέντε. πρὸς οὓς λέγεται ὅτι ἐξ ἐλαττόνων ἀσυνβέτων πῶν γενῶν S B Vb in marg., nisi quod συνεστηκός om. Vb, τῶν γενῶν om. Vb, τῶν om. S 10 ἢ eras. M : om. V S B H 14 τετάρτους Marquard : δʼ in marg. Mc, S : om. Va: τέσσαρας rell. τῷ] πὸ H: post τω litt. ν eras. M : τῶν V B 15 πέμπτους Μarquard : κέντε codd. τῷ add. Mc: om. V S οἱ δὲ] οὐδʼ H 16 post οὕτω litt. σ eras. M ἐκμελεῖς ex ἐμμελεῖς Mc: ἐμμελεῖς V B S 17 βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. ὀξύτατος . . . βαρύτατος om. R 18 βαρύτερος B, sed in marg. βαρύτατος 20 κεῖσθαι om., et εἶναι post δίτονον add. H τὸ] τὸν V S δὲ om. S post καὶ add. ἐν τῇ συναφῇ in marg. Mc, τῇ συναφῇ R τὸ ante διὰ τεσσάρων add. H 21 post τὸ litt. ν eras. M : τὸν V S B)

Δύο δὲ δίτονα ἑξῆς οὐ τεθήσεται. Τιθέ| σθω γάρ· ἀκολουθήσει δὴ τῷ μὲν ὀξυτέρῳ διτόνῳ πυκνὸν ἐπὶ τὸ βαρύ, ὀξύτατος γὰρ ἦν πυκνοῦ ὁ ἐπὶ τὸ βαρὺ ὁρίζων τὸ δίτονον· τῷ δὲ βαρυτέρῳ δι| τόνῳ ἐπὶ τὸ ὀξὺ ἀκολουθήσει πυκνόν, βαρύτατος γὰρ ἦν πυκνοῦ ὁ ἐπὶ τὸ ὀξὺ ὁρίζων τὸ δίτονον. Τούτου δὲ συμβαίνοντος δύο πυκνὰ ἑξῆς τεθήσεται· τούτου δὲ ἐκμελοῦς ὄντος ἐκμελὲς ἔσται καὶ τὰ δύο δίτονα ἑξῆς τίθεσθαι.

Ἐν ἁρμονίᾳ δὲ καὶ χρώματι δύο τονιαῖα ἑξῆς οὐ τεθήσεται. Τιθέσθω γὰρ ἐπὶ τὸ ὀξὺ πρῶτον· ἀναγκαῖον δὴ εἴπερ ἐστὶν [*](1 ἐναλλὰξ] acc. add. et postea 2 litt. eras. Mc: ἐναλλάξαι V B S (sed ἐναλλὰξ in marg. B) 2 βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. 4 τοῦ ἐπὶ τὸ ὀξὺ κειμένου πυκνοῦ in marg. Mc: om. V S B 5 πυκνοῦ om. R βαρύτατος Marquard: βαρύτερος codd. οἱ] ὁ B 7 τοιοῦτον B ἃ Ma, sed ὧν suprascr. Mc: ων R περιέχοντες ex περισχόντες Mc 9 βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. τὸν restituit Marquard τόνων R περιεχόντων om. R 10 τὸ supra lin. add. B : com. S βαρύτερον Marquard : βαρύτατον codd. τῶν τετραχόρδων] τῶν supra lin. add. Mx : om. V S 11 τὸν restituit Marquard (legit H) 12 τῶν τετ.] τῶν supra lin. add. Mx : om. Va S 14 δίτονα] post ι litt. α eras. M : διάτονα V B S 18 διορίζων R 20 ἐκμελέσθαι supra ε acc. eras., τ suprascr. et in marg. ἐκμελὲς ἔσται add. Mc: ἐκμελὲς ἔσται (ἐς ἔστ e corr.) Vb καὶ om. H διάτονα M V S 22 ἐναρμόνια S 23 δὴ] δὲ V S B)

ἁρμονίᾳ καὶ χρώματι οὐ τεθήσεται δύο τονιαῖα ἑξῆς. Ἐν διατόνῳ δὲ τρία τονιαῖα ἑξῆς τεθήσεται, πλείω δʼ οὔ· ὁ γὰρ τὸ τέταρτον τονιαῖον ὁρίζων φθόγγος οὔτε τῷ τετάρτῳ διὰ τεσσάρων οὔτε τῷ πέμπτῳ διὰ πέντε συμφωνήσει.

Ἐν τῷ αὐτῷ δὲ γένει τούτῳ δύο ἡμιτονιαῖα ἑξῆς οὐ τεθήσεται. Τιθέσθω γὰρ πρῶτον ἐπὶ τὸ βαρὺ τοῦ ὑπάρχοντος ἡμιτονίου τὸ προστεθὲν ἡμιτόνιον· συμβαίνει δὴ τὸν ὁρίζοντα φθόγγον τὸ προστεθὲν ἡμιτόνιον μήτε τῷ τετάρτῳ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν μήτε τῷ πέμ| πτῳ διὰ πέντε. οὕτω [*](1 ἐμμελὴς ex ἐκμελὴς Mc: ἐκμελὴς V S, B (sed in marg. ἐμμελὴς) 3 τῶν ante διὰ κέντε add. R μηδʼ ἑτέρω τοῦτο ex μηδʼ ἑτέρω τούτω M : μηδʼ ἑτέρῳ τούτῳ V S B δὲ restituit Marquard αὐτῶν ex αὐτῷ Mc αὐτῷ post συμβαίνοντος ponit H 6 ἐφέξει B (sed ἀφέξει in marg.) 10 ἀΛλ’ ἤτοι ex ἀλλα τοι deinde 2 litt. eras. Μc: ἀλλὰ τοιοῦτο V B S : ἀλλὰ τὸν in marg. B τέταρτον] δʼ S 11 δὲ in marg. Mc : om. V B S 13 ἐπὶ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ ὀξὺ (cum punctis sub ἐπὶ τὸ ὀξὺ altero) B δεύτερον τονιαῖον Ma, sed β supra δεύτερον et α supra τονιαῖον add. Mc 17 τὸ om. H 19 ἡμιτονιαῖα] τονιαῖα V S B et Ma, sed ἡμι supra lin. add Mc τίθεται in marg. B, R 21 ἡμιτονιαίου B δὴ H: δὲ rell. 22 τὸ supra lin. add. Mc: om. V B S 23 συμφωνεῖν post διὰ κέντα ponit H)

Πυκνὸν μὲν οὖν πρὸς διτόνῳ καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ ἐπὶ τὸ ὀξὺ τίθεται. Δέδεικται γὰρ ἐν τῇ συναφῇ ἐναλλὰξ τιθέμενα ταῦτα τὰ διαστήματα, ὥστε δῆλον ὅτι ἑκάτερον ἑκατέρου καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ | ἐπὶ τὸ ὀξὺ τεθήσεται.

Τόνος δὲ πρὸς διτόνῳ ἐπὶ τὸ ὀξὺ μόνον τίθεται. Τιθέσθω γὰρ ἐπὶ τὸ βαρύ· συμβήσεται δὴ πίπτειν ἐπὶ τὴν

αὐτὴν τάσιν ὀξύτα || τάν τε πυκνοῦ καὶ βαρύτατον, ὁ μὲν γὰρ τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ βαρὺ ὁρίζων ὀξύτατος ἦν πυκνοῦ, ὁ δὲ τὸν τόνον ἐπὶ τὸ ὀξὺ βαρύτατος. τούτων δὲ πιπτόντων | ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν ἀναγκαῖον δύο πυκνὰ τίθεσθαι. τούτου δʼ ἐκμελοῦς ὄντος ἀναγκαῖον καὶ τόνον ἐπὶ τὸ βαρὺ διτονιαίου ἐκμελῆ εἶναι.

Τόνος δὲ πρὸς πυκνῷ ἐπὶ τὸ βαρὺ μόνον τίθεται. Τιθέσθω γὰρ ἐπὶ τοὐναντίον· συμβήσεται δὴ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀδύνατον, ἐπὶ γὰρ τὴν αὐτὴν τάσιν ὀξύτατός τε πυκνοῦ πεσεῖται καὶ βαρύτατος, ὥστε δύο πυκνὰ τίθεσθαι ἑξῆς. τού|του δʼ ὄντος ἐκμελοῦς ἀναγκαῖον καὶ τὴν τόνου θέσιν τὴν ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῦ πυκνοῦ ἐκμελῆ εἶναι.

Ἐν διατόνῳ δὲ τόνου ἐφʼ ἑκάτερα ἡμιτόνιον οὐ μελῳδεῖται. Συμβήσεται γὰρ| μήτε τοὺς τετάρτους τῶν ἑξῆς διὰ τεσσάρων συμμφωνεῖν μήτε τοὺς πέμπτους διὰ πέντε. Δύο δὲ τόνων ἢ τριῶν ἡμιτόνιον ἐφʼ ἑκάτερα μελῳδεῖται· συμφωνήσουσι γὰρ ἢ οἱ τέταρτοι διὰ τεσσά| ρων ἢ οἱ πέμπτοι διὰ πέντε.

Ἀπὸ ἡμιτονίου μὲν ἐπὶ τὸ ὀξὺ δύο ὀδοὶ καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ δύο, ἀπὸ δὲ τοῦ διτόνου δύς μὲν ἐπὶ τὸ ὀξύ, μία δʼ ἐπὶ τὸ βαρύ. Δέδεικται γὰρ ἐπὶ μὲν τὸ ὀξὺ πυκνὸν τεθειμένον καὶ τόνος, πλείους δὲ τούτων οὐκ ἔσονται ὁδοὶ ἅπὸ τοῦ εἰρημένου διαστήματος ἐπὶ τὸ ὀξύ· ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ πυκνὸν μόνον, λείπεται μὲν γὰρ τῶν ἀσυνθέτων τὸ δίτονον μόνον· δύο δὲ δίτονα ἑξῆς οὐκέτι τίθεται. ὥστε δῆλον ὅτι δύο μόναι

ὁδοὶ ἔσονται ἀπὸ τοῦ διτόνου ἐπὶ τὸ ὀξύ. ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ μία· δέδεικται γάρ, ὅτι οὔτε δίτονον πρὸς διτόνῳ τεθήσεται οὔτε τόνος ἐκὶ τὸ βαρὺ διτόνου, ὥστε λείπεται τὸ πυκνόν. φανερὸν δὴ ὅτι ἀπὸ διτόνου ἐπὶ μὲν τὸ ὀξὺ δύο ὁδοί, ἡ μὲν ἐπὶ τὸν τόνον ἡ δʼ ἐκὶ τὸ πυκνόν, ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ μία, ἡ ἐπὶ τὸ πυκνόν.

Ἀπὸ πυκνοῦ δʼ ἐναντίως ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ δύο ὁδοί, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ μία. Δέδεικται γὰρ ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ τὸ βαρὺ δίτονον τεθειμένον καὶ τόνος· τρίτη δʼ οὐκ ἔσται ὁδός, λείπεται μὲν γὰρ τῶν ἀσυνθέτων τὸ πυκνόν, δύα δὲ πυκνὰ ἑξῆς οὐ τίθεται, ὥστε δῆλον ὅτι μόναι δύο ὁδοὶ ἔσονται ἀπὸ [*](Ι διατόνου M V B S τόνου Meibom: τόνῳ codd. 2 συμβήσεται Marquard : συμπσεῖται codd. 3 συμφωψνεῖν in marg. add. B τῶν ἑξῆς post πέμπτους add. 5 prius ἢ] ἤτοι H διὰ τεσσάρων ex διὰ τετάρτου Mc: διὰ τετάρτου V S B 6 Ἀπὸ . . . δύο seclusi μὲν] οὐ μὲν S δύο ὁδοὶ ex δύο δ᾿  oἱ Mc: δύο δʼ οἱ V S B καὶ in marg. Mc καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ . . . μία δʼ om, V S B 7 ἀκὸ δὲ τοῦ διτόνου . . , ἐπὶ τὸ βαρύ in marg. Mc 8 διὸ ante δέδεικται add. Vb S B γὰρ add. Mc: om. V S B τεθειμένον] τέθηται R : τιβέμενον H 10 ἐπὶ . . . μόνον supra lin. in marg. superiori add. Mc: om. V B S I I δίτονον (post ι litt. α eras.) M : διάπονον V B S 13 αἱ ante ὁδοὶ add. H 14 ὅτι οὔτε] ὅτι οὐδὲν H : ὅτι οὐδὲ M V B S 15 φανερὸν δή Marquard : εὗρον δὲ codd. 17 μίαν M V B S 19 πυκνοῦ ex ὀξὺ Mc: ὀξὺ V B S 20 τιθέμενον H 22 οὐ τίθεται . . . βαρύ. ἐπὶ om. R δύο post ὁδοὶ ponit S ὁδοὶ post ἔσονται ponit H)

Ἀπὸ δὲ τόνου μία ἐφʼ ἑκάτερα ὁδός, ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ ἐπὶ τὸ δίτονον ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ πυκνόν. Ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ δέδεικται ὅτι οὔτε τόνος τίθεται οὔτε πυκνόν, ὥστε λείπεται τὸ δίτονον· ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ δέδεικται ὅτι οὔτε τόνος τίθεται οὔτε δίτονον, ὥστε λείπεται τὸ πυκνόν. Φανερὸν δὴ ὅτι ἀπὸ τόνου μία ἐφʼ ἑκάτερα ὁδός, ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ

ἐπὶ τὸ δίτονον, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ πυκνόν.

Ὁμοίως δʼ ἕξει καὶ ἐπὶ τῶν χρωμάτων πλὴν τό γε μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα μεταλαμβάνεται ἀντὶ διτόνου τὸ |γιγνόμενον καθʼ ἑκάστην χρόαν κατὰ τὸ τοῦ πυκνοῦ μέγεθος. Ὁμοίως δʼ ἕξει καὶ ἐπὶ τῶν διατόνων· ἀπὸ γὰρ τοῦ κοινοῦ τόνου τῶν γενῶν μία ἔσται ἐφʼ ἑκάτερα ὀδός, ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ ἐπὶ τὸ μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα ὅ τι ἂν ποτε τυγχάνῃ ὂν καθʼ ἑκάστην χρόαν τῶν διατόνων, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ παραμέσης καὶ τρίτης.

Ἤδη δέ τισι καὶ τοῦτο τὸ πρόβλημα παρέσχε πλάνην θαυμάζουσι γὰρ πῶς οὐχὶ τοὐναντίον συμβαίνει· ἄπειροι γάρ τινες αὐτοῖς φαίνονται εἶναι ὁδοὶ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ τόνου, ἐπειδήπερ τοῦ τε μέσης καὶ λιχανοῦ διαστήματος ἄπειρα [*](Ι τὸ ὀξὺ] τοῦ ὀξὺ S ἡ restituit Westphal δὲ ante τὸ δίτονον add. R 2 ὅτε τόνος in marg. B 3 δὴ Marquard : δὲ codd. 4—6 πυκνοῦ . . . ἀπὸ δὲ om. H 4 τὸν restituit Marquard 5 ἡ om. B ἐκὶ δὲ δίτονον R ἐπὶ δὲ . . . δίτονον in marg. add. Mc Vb (nisi quod ἡ om. Mc) ἡ om. R 6 ἀπὸ δὲ τόνου μία add. in marg. Mc Vb: om. V S 7—12 ἐκὶ μὲν . . . πυκνόν om. H 8 πυκνόν] δίτονον R 10 τίθεται om. R post τίθεται 10 litt. eras. M λέλειπται R 11 δὴ] δὲ M V S B 14 διτόνου] δὲ πόνου R 15 κατὰ R : καὶ rell. 18 τὸ supra lin. add. Mc: om. V S B μέσης καὶ om. R καὶ supra lin. add. Mc: om. V B S 19 τυγχάνει B S διτόνων B 20 διάστημα post τρίτης add. H 24 τε om. S)

ἑκάστου γένους ληπτέον ἐστὶ τὰς ὁδούς-δεῖ γὰρ ἕκαστον τῶν ἐν τῇ μουσικῇ καθʼ ὃ πεπέρασται κατὰ τοῦτο τιθέναι τε καὶ τάττειν εἰς τὰς ἐπιστήμας, ᾗ δʼ ἄπειρόν ἐστιω ἐᾶν. κατὰ μὲν οὖν τὰ μεγέθη τῶν διστημάτων καὶ τὰς τῶν φθόγγων τάσεις ἄπειρά πως φαίνεται εἶναι τὰ περὶ μέλος, κατὰ δὲ τὰς δυνάμεις καὶ κατὰ τὰ εἴδη καὶ κατὰ τὰς θέσεις πεπερασμένα τε καὶ τεταγμένα. Εὐθέως οὖν ἀπὸ τοῦ πυκνοῦ αἱ ὁδοὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ τῇ τε δυνάμει καὶ τοῖς εἴδεσιν· ὡρισμέναι τʼ εἰσὶ καὶ δύο μόνον τὸν ἀριθμόν, ἡ μὲν γὰρ κατὰ τόνον εἰς διάζευξιν ἄγει τὸ τοῦ συστήματος εἶδος, ἡ δὲ κατὰ θάτερον διάστημα, ὅ τι δήποτʼ ἔχει μέγεθος, εἰς συναφήν. δῆλον δʼ ἐκ τούτων ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ τόνου μία τʼ ἔσται ἐφʼ ἑκάτερα ὁδὸς καὶ ἑνὸς εἴδους συστήματος αἰτίαι αἱ συναμφότεραι ὁδοί, τῆς διαζεύξεως. Ὅτι δʼ ἄν [*](2 ἐλέχθη] ante χ litt. γ ersa. M : ἐλέγχθη V B 6 δʼ del. Marquard ὡς del. Meibom 7 λαμβάνειν μεγέθει H 8 ταὐτὸ in marg. B, R : αὐτὸ rell. 10 τε Marquard : δὲ codd. 11 τοῦ om. H 12 γίνεται (ινε in ras.) M 13 δεῖ γὰρ ἕκαστον Meibom διὰ γὰρ ἑκάστου codd. 14 ante καθʼ ras. Μ κεπέρασται (πε in ras., fuisse vid. καθάπερ πέρασται) Μ : πεπέραται R : κεπερᾶσβαι H 15 τε Marquard : γε codd. ᾗ conieci : εἰ codd. 20 αἱ ὁδοὶ Μarquard: ὁδοὶ αἱ codd. 21 μόνον Meibom : τόνοι codd. γὰρ om. S 25 τ᾿ ] τις R 26 συναμφότεραι(οι supracr.) Η : συναμφότεροι M VB S)

Ἐν χρώματι δὲ καὶ ἁρμονίᾳ πᾶς | φθόγγος πυκνοῦ μετέχει. Πᾶς μὲν γὰρ φθόγγος ἐν τοῖς εἰρημένοις γένεσιν ἤτοι πυκνοῦ ζμέρος ὁρίζει ἢ τόνον ἤ τι τοιοῦτον οἷον τὸ

μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα. oἱ μὲν οὖν τὰ τοῦ πυκνοῦ μέρη ὁρίζοντες οὐδὲν δέονται λόγου, φανεροὶ γάρ εἰσι πυκνοῦ μετέχοντες· οἱ δὲ τὸν τόνον περιέχοντες ἐδείχθησαν ἔμπροσθεν πυκνοῦ βαρύτατοι ὄντες ἀμφότεροι· τῶν δὲ τὸ λοιπὸν διάστημα περιεχόντων ὁ μὲν βαρύτερος ὀξύτατος ἐδείχθη πυκνοῦ ὁ δʼ ὀξύτερος βαρύτατος. Ὥστ’ ἐπειδὴ τοσαῦτα μέν ἐστι μόνα τὰ ἀσύν| θετα, ἕκαστον δʼ αὐτῶν ὑπὸ τοιούτων φθόγγων περιέχεται ὧν ἑκάτερος πυκνοῦ μετέχει, δῆλον ὅτι πᾶς φθόγγος ἐν ἁρμονίᾳ καὶ χρώματι πυκνοῦ μετέχει. |

Ὅτι δὲ τῶν ἐν πυκνῷ κειμένων φθόγγων τρεῖς εἰσι χῶραι, ῥᾴδιον συνιδεῖν, ἐπειδήπερ πρὸς πυκνῷ οὔτε πυκνὸν τίθεται οὔτε πυκνοῦ μέρος. δῆλον γὰρ ὅτι διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν οὐκ ἔσονται | πλείους τῶν εἰρημένων χῶραι φθόγγων.

Ὅτι δὲ ἀπὸ μόνου τοῦ βαρυτάτου δύο ὁδοί εἰσιν ἐφʼ ἑκάτερα, ἀπὸ δὲ τῶν λοιπῶν μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα, δεικτέον. ἦν δὲ δεδειγμένον ἐν τοῖς ἔμπροσθεν, ὅτι | ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ τὸ βαρὺ δύο ὁδοί εἰσιν, ἡ μὲν ἐπὶ τὸν τόνον ἡ δʼ ἐπὶ τὸ [*](1 ἐπιχειρῇ ex ἐπιχειρεῖ Mc (?) : ἐπιχειρεῖ rell. 7 πυκνοῦ μέρος] πυκνούμενος V S in marg. B ἤ τι] ἤτοι R 9 ὁρίζοντες Marquard: διορίζοντες codd. δέονται post λόγου ponit H 10 τόνον] τόπον R 11 τοῦ ante πυκνοῦ add. R 12 τὸ supra lin. add. Mc: om. V B S λοιπῶν S βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. ὀξύτατος in marg. add. B 13 ὁ δ᾿  add. Mc: om. V B S ὀξύτερος Marquard : ὀξύτατος codd. 14 ἀσύνθετα R : σύνθετα rell. 15 ὧν] πῶν B μετέχεις S, B (sed μετέχει in marg.) 16 δῆλον . . . μετέχει in marg. Mc Vb 20 γὰρ om. H 21 χῶραι post φθόγγων ponit H 24 δὲ supra lin. add. Mc : om. V B S ἀπὸ . . . δὲ τὸ restituit Marquard)

ὁ αὐτὸς τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ ὀξὺ ὁρίζων καὶ ὁ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ βαρὺ βαρύτατος ὢν πυκνοῦ, ἐδέδεικτο γὰρ καὶ τοῦτο. ὥστʼ εἶναι δῆλον, ὅτι ἀπὸ τοῦ εἰρημένου φθόγγου δύο ὁδοὶ ἐφʼ ἑκάτερα ἔσονται.

Ὅτι δʼ ἀπὸ τοῦ ὀξυτάτου μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα, δεικτέον. Ἐδέδεικτο δʼ ὅτι ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ τὸ ὀξὺ μία ὁδός ἐστιν, οὐδὲν δὲ διαφέρει λέγειν ἀπὸ πυκνοῦ μίαν ὁδὸν εἶναι ἐπὶ τὸ ὀξὺ ἢ ἀπὸ τοῦ περαίνοντος αὐτὸ φθόγγου διὰ τὴν εἰρημένην αἰτίαν ἐπὶ τῶν ἔμπροσθεν. δέδεικται δʼ ὅτι καὶ ἀπὸ διτόνου μία ὁδός ἐστιν ἐπὶ τὸ βαρύ, οὐδὲν δὲ διαφέρει λέγειν ἀπὸ διτόνου μίαν ὁδὸν εἶναι ἐπὶ τὸ βαρὺ ἢ ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος αὐτὸ φθόγγου διὰ τὴν προειρημένην αἰτίαν· δῆλον δὲ ὅτι καὶ ὁ αὐτός ἐστι φθόγγος ὅ τε τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ βαρὺ ὁρίζων καὶ ὁ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ ὀξύτατος ὢν πυ| κνοῦ. Ὥστ’ εἶναι φανερὸν ἐκ τούτων, ὅτι μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται ἐπὶ τοῦ εἰρημένου φθόγγου.

Ὅτι δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ μέσου μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται, [*](1 ἐπὶ τὸ Bαρὺ post ὁδοὺς add. H 2 βαρυτάτου τῶν ex βαρὺ πούτων Mc : βαρὺ τούτων V S B 3 ὁ περαίνων (αί in ras., fuisse vid. ε et supra lin. ras.) M : ὅπερ ἑνῶν V S, B (sed αίνων in marg.) 4 ἐδεδείκνειτο B, sed in marg. ἐδέδεικτο δύο post ὁδοὶ ponit B 5 τὸ ἀπὸ R : τὰ ἀπὸ rell. 6 διτόνου Meibom : τόνου codd. τοῦ om. R 7 οὗτος] υτ in ras. Ma 8 ἐπὶ . . . βαρὺ restituit Marquard 10 καὶ supra lin. add. corr. B 15 τοῦ ante πυκνοῦ add. 19 τοῦ ante διτόνου add. R 21 ὁ αὐτός] ὁ om. M V S B τε] τι R 22 ὁ om. M V B R 24 ἐπὶ seclusi: δεικτέον ἐπὶ eras. S: ἀπὸ Marquard ἐπὶ . . . ἔσται om. R)

ὁποτέρως ἂν τεθῇ τὸ δίτονον τῶν τόπων· τόνου δὲ τεθειμένου τὸ αὐτὸ συμβήσεται, βαρύτατος γὰρ πυκνοῦ πεσεῖται ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν μέσῳ πυκνοῦ, ὥστε τρεῖς δι| έσεις ἑξῆς τίθεσθαι. τούτων δʼ ἐκμελῶν ὄντων δῆλον ὅτι μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται ἀπὸ τοῦ εἰρημένου φθόγγου. Ὅτι μὲν οὖν ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου τῶν φθόγγων τῶν ἐν πυκνῷ κειμένων δύο ἐφʼ ἑκά| τερα ἔσονται ὁδοὶ ἀπὸ δὲ τῶν λοιπῶν ἑκατέρου μία ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται ὁδός, φανερόν.

Ὅτι δʼ οὐ τεθήσονται δύο φθόγγοι ἀνόμοιοι κατὰ τὴν τοῦ πυκνοῦ μετοχὴν ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν ἐμμελῶς, δεικτέον. Τιθέσθω γὰρ πρῶτον ὅ τʼ ὀξύτατος καὶ ὁ βαρύτατος ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν· συμβήσεται δὴ τούτου γιγνομένου δύο πυκνὰ ἑξῆς τίθεσθαι. τούτου δʼ ἐκμελοῦς ὄντος ἐκμελὲς τὸ πίπτειν ἐπὶ τὴν αὑτὴν τάσιν τοὺς κατὰ ταύτην τὴν διαφορὰν ἀνομοίους ἐν πυκνῷ φθόγγους. Δῆλον δʼ ὅτι οὐδʼ οἱ κατὰ τὴν λειπομένην διαφορὰν ἀνόμοιοι φθόγγοι [*](2 ἕν] ἔν S πρὸς restituit Meibom 4 αὐτῷ Meibom H : αὐτὸ rell. τόπων conieci : τρόπων codd. εἰρημένων ante τρόπων add. H 5 τόνος διτόνου. οὕτω γὰρ M V S B, nisi quod διατόνου (cum duobus punctis sub a) B 6 τῷ εἰρημένῳ φθόγγῳ Meibom, et μέσῳ Marquard : τῶν εἰρημένων φθόγγων μέσον codd. 8 τῶν τόπων conieci : τῷ τόπῳ codd. δὲ coniecit Meibom ἐπὶ δὲ ante τῷ, et αὐτῷ ante τόπῳ add. Marquard 10 αὐτὴν . . . ὥστε om. R μέσῳ Meibom : μέσον codd. ὥστε Marquard : ὡς codd. 11 ἑξῆς τίθεσθαι] γίνεσθαι ἑξῆς H δʼ Marquard : δὴ codd. 12 μία supra lin. add. corr. B 13 τοῦ βαρυτάτου restituit Meibom 15 ἔσται ante ἐφʼ ἑκάτερα ponit H 18 τιθέσθω . . . τὴν αὐτὴν τάσιν in marg. S ὁ (ante βαρύτατος) H : om. rell. 20 ἐκμελὲς] ἐμμελὲς M V B 21 ἐπὶ τὴν . . . ἀνομοίους addidi 23 δʼ om. B ἀνόμοιοι Marquard : ὅμοιοι codd.)

Ὅτι δὲ τὸ διάτονον σύγκειται ἤτοι ἐκ δυοῖν ἢ τριῶν ἢ τεσσάρων ἀσυν| θέτων, δεικτέον. Ὅτι μὲν οὖν ἐκ τοσούτων πλείστων ἀσυνθέτων ἕκαστον τῶν γενῶν συνεστηκός ἐστιν ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε, δέδεικται πρότερον· ἔστι δὲ ταῦ| τα

τέσσαρα τὸν ἀριθμόν. ἐὰν οὖν τῶν τεσσάρων τὰ μὲν τρία ἴσα γένηται τὸ δὲ τέταρτον ἄνισον—τοῦτο δὲ γίγνεται ἐν τῷ συντονωτάτῳ διατόνῳ —, δύο ἔσται μεγέθη μόνα ἐξ ὧν τὸ διάτονον συνεστηκὸς ἔσται· ἐὰν δὲ τὰ μὲν δύο ἴσα τὰ δὲ δύο ἄνισα τῆς παρυπάτης ἐπὶ τὸ βαρὺ κινηθείσης, τρία ἔσται μεγέθη ἐξ ὧν τὸ διάτονον γένος συνεστηκὸς ἔσται, τό τʼ ἔλαττον ἡμιτο |νίου καὶ τόνος καὶ τὸ μεῖζον τόνου· ἐὰν δὲ πάντα τὰ τοῦ διὰ πέντε μεγέθη ἄνισα γένηται, τέσσαρα ἔσται μεγέθη ἐξ ὧν τὸ εἰρημένον γένος ἔσται συνεστηκός. Ὥστ’ εἶναι φανερὸν ὅτι τὸ διάτονον | ἤτοι ἐκ δυοῖν ἢ τριῶν ἢ τεσσάρων ἀσυνθέτων σύγκειται.

Ὅτι δὲ τὸ χρῶμα καὶ ἡ ἁρμονία ἤτοι ἐκ τριῶν ἢ ἐκ τεσσάρων σύγκειται, δεικτέον. Ὄντων δὲ τῶν μὲν τοῦ διὰ πέντε ἀσυν| θέτων τεσσάρων τὸν ἀριθμὸν ἐὰν μὲν τὰ τοῦ πυκνοῦ μέρη ἴσα ᾖ, τρία ἔσται μεγέθη ἐξ ὧν τὰ εἰρημένα γένη συνεστηκότα ἔσται, τό τε τοῦ πυκνοῦ μέρος ὅ τι ἂν ᾖ καὶ τόνος καὶ τὸ τοιοῦτον οἷον μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα. ἐὰν δὲ τὰ τοῦ πυκνοῦ μέρη ἄνισα ᾖ, τέσσαρα [*](Ι κοινήσουσι B 3 τάσεως in marg. B: στάσεως rell. 4 ἤτοι] ἢ τὸ H δυοῖν ἢ τριῶν Meibom : τριῶν ἢ δυοῖν codd. 5 ἀσύνθετον M V B S 6 ἀσύνθετον H 7 ὅσα restituit Meibom 9 τὸ δὲ τέταρτον ἄνισον —τοῦτο δὲ γίγνεται Marquard : τὸ δὲ ἶσον γένηται codd. (nisi quod γένηται om. H) 10 διατόνῳ om. R 14 ἡμιτόνιον M V B S 16 μεγέθει H ἐξ ὧν restituit Meursius 18 δυοῖν Marquard : δύο codd. 19 τὸ restituit Marquard ἐκ ante τεσσάρων om. V B S 20 δὲ] μὲν oὖν H ταῦ restituit Marquard 21 τὸν corr. ex τω S 22, 23 μέρη . . . πυκνοῦ om. R 22 ᾖ] ἢ B 23 συνεστηκότα Meibom : συνεστηκός codd. μέρους M V B S 24 τὸ ante τόνος add. V S)

Ἤδη δέ τις ἠπόρησε διὰ τί οὐκ ἂν καὶ ταῦτα τὰ γένη

ἐκ δύο ἀσυνθέτων εἴη συνεστηκότα ὥσπερ καὶ τὸ διάτονον. Φανερὸν δὴ τίς ἐστι παντελῶς καὶ ἐπιπολῆς ἡ αἰτία τοῦ μὴ γίγνεσθαι τοῦτο· τρία γὰρ ἀσύνθετα ἴσα ἑξῆς ἐν ἁρμο| νίᾳ μὲν καὶ χρώματι οὐ τίθεται, ἐν διατόνῳ δὲ τίθεται. διὰ ταύτην δὴ τὴν αἰτίαν τὸ διάτονον μόνον ἐκ δύο ἀσυνθέτων συντίθεταί ποτε.

Μετὰ δὲ ταῦτα λεκτέον τί ἐστι καὶ ποία τις ἡ κατʼ εἶδος διαφορά—διαφέρει δʼ ἡμῖν οὐδὲν εἶδος λέγειν ἢ σχῆμα, φέρομεν γὰρ ἀμφότερα τὰ ὀνόματα ταῦτα ἐπὶ τὸ αὐτό. Γίγνεται δʼ ὅταν τοῦ αὐτοῦ μεγέθους ἐκ τῶν αὐτῶν ἀ| συνθέτων συγκειμένου μεγέθει καὶ ἀριθμῷ ἡ τάξις αὐτῶν ἀλλοίωσιν λάβῃ. Τούτου δʼ οὕτως ἀφωρισμένου τοῦ διὰ τεσσάρων ὅτι τρία εἴδη, δεικτέον. πρῶτον μὲν οὖν οὗ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ βαρύ, δεύτερον δʼ οὗ δίεσις ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ διτόνου κεῖται, τρίτον δʼ οὗ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῦ διτόνου. ὅτι δʼ οὐκ ἐνδέχεται πλεοναχῶς τεθῆναι τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη πρὸς ἄλληλα ἢ τοσαυταχῶς, ῥᾴδιον συνιδεῖν---.