De animae procreatione in Timaeo

Ἀποδεδειγμένου δὲ τούτου, σκοπῶμεν εἰ δίχα τέμνεσθαι πέφυκε τὸ ἐπόγδοον· εἰ γὰρ μὴ πέφυκεν, οὐδʼ ὁ τόνος. ἐπεὶ δὲ πρῶτοι τὸν ἐπόγδοον λόγον ὁ θʼ καὶ ὁ ηʼ ποιοῦντες οὐδὲν διάστημα μέσον ἔχουσι, διπλασιασθέντων δʼ ἀμφοτέρων ὁ παρεμπίπτων μεταξὺ δύο ποιεῖ διαστήματα δῆλον ὅτι τούτων μὲν ἴσων ὄντων δίχα τέμνεται τὸ ἐπόγδοον. ἀλλὰ μὴν διπλάσια γίγνεται τῶν μὲν θʼ τὰ ιηʼ τῶν δʼ ηʼ τὰ ισʼ, δέχονται δʼ οὗτοι μεταξὺ τὰ ιζʼ καὶ γίγνεται τῶν διαστημάτων τὸ μὲν μεῖζον τὸ δʼ ἔλαττον· ἔστι γὰρ τὸ μὲν πρότερον ἐφεπτακαιδέκατον τὸ δὲ δεύτερον ἐφεξκαιδέκατον. εἰς ἄνισα τοίνυν τέμνεται τὸ ἐπόγδοον εἰ δὲ τοῦτο, καὶ ὁ τόνος. οὐδέτερον ἄρα γίγνεται διαιρεθέντος αὐτοῦ τῶν τμημάτων ἡμιτόνιον, ἀλλʼ ὀρθῶς ὑπὸ τῶν μαθηματικῶν λεῖμμα προσηγόρευται. καὶ τοῦτʼ ἐστὶν ὅ φησιν ὁ Πλάτων τὰ ἐπίτριτα τοῖς ἐπογδόοις συμπληροῦντα τὸν θεὸν λείπειν ἑκάστου μόριον αὐτῶν, οὗ λόγος ἐστίν, ὃν ἔχει τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ

πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. εἰλήφθω γὰρ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἀριθμοῖς δυσὶ τὸν ἐπίτριτον λόγον περιέχουσι, τοῖς σνσʼ καὶ τοῖς ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο· ὧν ὁ μὲν ἐλάττων, τὰ ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο, κείσθω κατὰ τὸν βαρύτατον τοῦ τετραχόρδου φθόγγον ὁ δὲ μείζων, τὰ σνσʼ, κατὰ τὸν ὀξύτατον· ἀποδεικτέον ὅτι, τούτου συμπληρουμένου δυσὶν ἐπογδόοις, λείπεται διάστημα τηλικοῦτον, ἡλίκον ὡς ἐν ἀριθμοῖς τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ ἔχει πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. τοῦ γὰρ βαρυτέρου τόνῳ ἐπιταθέντος, ὅπερ ἐστὶν ἐπόγδοον, γίγνεται σισʼ· τούτου πάλιν τόνῳ ἄλλῳ ἐπιταθέντος, γίγνεται σμγʼ· ταῦτα μὲν γὰρ ὑπερέχει τῶν σισʼ τοῖς κζʼ, τὰ δὲ σισʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τοῖς εἴκοσι καὶ τέσσαρσιν ὧν τὰ μὲν κζʼ τῶν σισʼ ὄγδοά ἐστι, τὰ δὲ κζʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο. διὸ γίγνεται τῶν τριῶν τούτων ἀριθμῶν ὅ τε μέγιστος ἐπόγδοος τοῦ μέσου καὶ ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου· τὸ δʼ ἀπὸ τοῦ ἐλαχίστου διάστημα μέχρι τοῦ μεγίστου, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο μέχρι τῶν σμγʼ, δίτονον ἐκ δυεῖν συμπληρούμενον ἐπογδόων ἀφαιρουμένου δὲ τούτου, περίεστι τοῦ ὅλου διάστημα λοιπὸν τὸ μεταξὺ τῶν σμγʼ καὶ τῶν σνσʼ, τὰ τρισκαίδεκα διὸ καὶ λεῖμμα τοῦτον τὸν ἀριθμὸν ὠνόμαζον. ἐγὼ μὲν οὖν εὐσημότατα δηλοῦσθαι τὴν Πλάτωνος οἶμαι γνώμην ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς.

ἕτεροι δὲ τοῦ διὰ τεσσάρων ὅρους θέμενοι, τὸν μὲν ὀξὺν ἐν τοῖς σπηʼ τὸν δὲ βαρὺν ἐν τοῖς σισʼ, ἀναλόγως ἤδη τοῖς ἑξῆς περαίνουσιν· πλὴν ὅτι τὸ λεῖμμα τῶν δυεῖν τόνων μεταξὺ λαμβάνουσι τοῦ γὰρ βαρυτέρου τόνῳ ἐπιταθέντος, γίγνεται σμγʼ· τοῦ δʼ ὀξυτέρου τόνῳ ἀνεθέντος, γίγνεται σνσʼ· ἔστι γὰρ ἐπόγδοα τὰ μὲν σμγʼ τῶν σισʼ τὰ δὲ σπηʼ τῶν σνσʼ· ὥστε τονιαῖον εἶναι τῶν διαστημάτων ἑκάτερον, λείπεσθαι δὲ τὸ μεταξὺ τῶν σμγʼ καὶ τῶν σνσʼ, ὅπερ οὐκ ἔστιν ἡμιτόνιον ἀλλʼ ἔλαττον τὰ μὲν γὰρ σπηʼ τῶν σνσʼ ὑπερέχει τοῖς κζʼ καὶ δυσί, τὰ δὲ σμγʼ τῶν σισʼ ὑπερέχει τοῖς κζʼ, τὰ δὲ σνσʼ τῶν σμγʼ ὑπερέχει τοῖς ιγʼ· ταῦτα δὲ τῶν ὑπεροχῶν ἀμφοτέρων ἐλάττω ἢ ἡμίσεά ἐστι. διὸ δυεῖν τόνων καὶ λείμματος, οὐ δυεῖν καὶ ἡμίσεος, εὕρηται τὸ διὰ τεσσάρων. καὶ ταῦτα μὲν ἔχει τοιαύτην ἀπόδειξιν. ἐκεῖνο δʼ οὐ πάνυ χαλεπὸν ἐκ τῶν προειρημένων συνιδεῖν, τί δήποτε φήσας ὁ Πλάτων ἡμιολίους καὶ ἐπιτρίτους καὶ ἐπογδόοις γίγνεσθαι διαστάσεις ἐν τῷ συμπληροῦσθαι τὰς ἐπιτρίτους ταῖς ἐπογδόοις, οὐκ ἐμνήσθη τῶν ἡμιολίων ἀλλὰ παρέλιπε. τὸ γὰρ ἡμιόλιον, τοῦ ἐπιτρίτου τῷ ἐπογδόῳ τῷ ἐπιτρίτῳ προστιθεμένου, συμπληροῦσθαι καὶ τὸ ἡμιόλιον.

Ὑποδεδειγμένων δὲ τούτων, τὸ μὲν συμπληροῦν τὰ διαστήματα καὶ παρεντάττειν τὰς μεσότητας, εἰ καὶ μηδεὶς ἐτύγχανε πὲποιηκὼς πρότερον, ὑμῖν ἂν αὐτοῖς ἕνεκα γυμνασίας παρῆκα νῦν δὲ πολλοῖς κἀγαθοῖς ἀνδράσιν ἐξειργασμένου τούτου, μάλιστα δὲ Κράντορι καὶ Κλεάρχῳ καὶ Θεοδώρῳ τοῖς Σολεῦσι, μικρὰ περὶ τῆς τούτων διαφορᾶς εἰπεῖν οὐκ ἄχρηστόν ἐστιν. ὁ γὰρ Θεόδωρος οὐχ ὡς ἐκεῖνοι δύο στίχους ποιῶν, ἀλλʼ ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐφεξῆς τούς τε διπλασίους ἐκτάττων καὶ τοὺς τριπλασίους, πρῶτον μὲν ἰσχυρίζεται τῇ λεγομένῃ κατὰ μῆκος σχίσει τῆς οὐσίας, δύο ποιούσῃ μοίρας ὡς ἐκ μιᾶς οὐ τέσσαρας ἐκ δυεῖν ἔπειτά φησι τὰς τῶν μεσοτήτων παρεντάξεις οὕτω λαμβάνειν προσήκειν χώραν· εἰ δὲ μή, ταραχὴν καὶ σύγχυσιν ἔσεσθαι καὶ μεταστάσεις εἰς τὸ πρῶτον εὐθὺς τριπλάσιον ἐκ τοῦ πρώτου διπλασίου τῶν συμπληροῦν ἑκάτερον ὀφειλόντων. τοῖς δὲ περὶ τὸν Κράντορα βοηθοῦσιν αἵ τε θέσεις τῶν ἀριθμῶν, ἐπιπέδων ἐπιπέδοις καὶ τετραγώνων τετραγώνοις καὶ κύβων κύβοις ἀντιθέτως συζυγούντων, τῇ τε μὴ κατὰ τάξιν αὐτῶν λήψει, ἀλλʼ ἐναλλὰξ ἀρτίων καὶ 30β περιττῶν.

τὴν γὰρ μονάδα κοινὴν οὖσαν ἀμφοῖν προτάξας λαμβάνει τὰ ὀκτὼ καὶ ἐφεξῆς τὰ κζʼ μονονουχὶ δεικνύων ἡμῖν, ἣν ἑκατέρῳ γένει χώραν ἀποδίδωσι. ταῦτα μὲν οὖν ἑτέροις προσήκει μᾶλλον ἐξακριβοῦν, τὸ δʼ ἀπολειπόμενον οἰκεῖόν ἐστι τῆς ὑποκειμένης ἡμῖν πραγματείας.