Synagoge

45 κγ΄ (δ΄), Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὕτι, ἐὰν ἡμικνκλίου τινὸς ὡς τοῦ ΑΒΓ περιφέρειά τις ὡς ἡ ΑΓ∠ διαιρεθῇ εἰς ὁποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, αἱ ὑπὸ τῶν ἐτιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ Η∠ κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΑΒ στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι είσίν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζεοχθείσης τῆς ΕΒ, τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.

Ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς Η∠ ινομένη ἐτιτάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὐπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠ ὧν μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρυυ τοῦ εἰρημένου κύκλου. λέγει γάρ Ἀρχιμήδης ὅτι ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῇ μεταξὺ τῶν παλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κύνου τῆς μεταξύ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς περαλλήλοις ἐπιπέδοιςʼ᾿  ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς Η∠ γινυμένη ἐπιμφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ [*](2. ἡ Η∠ A1 ex ἡ Ν∠ 3. ἡ δὲ — ΗΕ interpolatori tribuit Hu τῇ ηε BS, τῆι HC A 4. τοῦ Εὶ pro τὸ 9. τῶν Εὶ pro τῆς 10 τῆς Γ∠ΕΖ AS, distinx. B 11 ΚΓ Α1 in narg. BS), δ΄ add. Hu 15. επιφανειας καὶ εἰσὶν A(Β), ἐπιφανείας καὶ εἰσὶν ἐν S, corr. Εὶ auctore Co 20, 21. ὧν μέση — κύκλου interpolatori tribuit Hu 21 ὁ ante Αρχιμ. add. Β1, del. B3, item p, 368, 21 24, ὁ ante κύκλος add, S Εὶ (invitis AB atque ipso Archimede) 25. τῆς τε πλευρᾶς Archim.)

∠ῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὅλη τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα διαιρεθῇ, ὧν μία ἐστὶν ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὐμοίαν στροφὴν ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒΑ.

46 κδ΄ (ε΄). Διῃρήσθω δὲ πάλιν ἡ τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα ὑποσαοῦν, ἀφ᾿ ὧν ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται· ὅτι αἱ ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινύμεναι ἐπιφάνειαι κατά τὴν ὐμοίαν στρυρὴν ἴσαι εἰσὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ.

Κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠ Ε Ζ Η ἐπὶ τὴν διάμετρον. διὰ δὴ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΞ τῇ Ξ∠ καὶ καθέτους τὰς ΓΑ ∠Κ , τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συνσμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ τοῦτο γὰρ β΄ θεωρήιματι προδέδεικται. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ διὰ τὸ αὐτὸ Ἀρχιμήδους ιζ΄ θεωρημα· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένῃ ἐτιφανείᾳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὁ κύκλος οὖ ἡ ἐκ ταῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ ΚΛ, διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλιν τὴν ∠Ο τῇ ΟΕ, ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ∠Ε γινομένη ἐπιφανείᾳ. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ [*](1. Κ∠ A1 in marg. BS), ε΄ add. Hu δὴ B1, sed δὲ restituit B2 6. τῶν ∠Ε ΖΗ A, distinx. BS 8. τὰς ΓΑΛΚ et 9. τῆς ΓΑ∠Κ A, distinx. BS 9. β΄] Β Γ AB, β γ S, τῷ δευτέρῳ Εί (cοnf. adnot. ad p. 362, 22) 10. γινομένης AB, corr. S 18, ΙΖ AB cod. Co, ἑπτακαιδέκατον S Εί (ex edit. Basil. ιϚ΄ voluit Co) 15. γινομένη ἐπιφάνει A, corr. BS 16. διὰ τὸ S, διὰ τοῦ AB 17. τὴν ∠* Ο τῆς Ε A, τὴν δ ὁ τῆς ε BS, corr. Co 17, 18. γινομένη ἐπιφανεία Α, corr BS)

κε΄. Ἤ οὕτως τὸ αὐτό. ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ∠ΕΖΗΘΒ πολύγωνον εἰς ἕτερον ἡμικύκλιον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἡ ΡΣ, καὶ κάθετοι ὁμοίως ἤχθωσαν· γίνεται δὴ διπλῆ ἡ μὲν Γ∠ τῆς ΓΡ, ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΣ διὰ τὸ προκείμενον, καὶ διὰ τοῦτο Γ∠ μετὰ τῆς Γ∠Θ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΘΣ. ὑποτείνει δὲ τὴν Γ∠Θ ἡ, ἐπὶ τὰ Γ Θ ἐπιζευγνυμένη ἴση τῇ ΑΒ ἔσται δὴ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τὸ ὑπὸ ΘΓ ΑΚ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ BΑΚ, ἵκον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑ ΚΛ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠Κ ΕΛ καὶ τῆς ∠Ε. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ πάντα ἅρα πᾶσιν ἴσα καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε Ε∠ ΖΗ ΗΘ γινομέναις ἐτιφανείαις.

47 κϚ΄ (Ϛ΄). Ημικύκλιον οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἤχθω [*](2. Γ∠ ∠Ε Co pro Γ∠ ΛΒ γινομένη AΒ, corr. S ἐπιφπνεα (sine acc.) A , ἐπιφάνεια B, corr. S 3, KE A1 in marg. (BS) ἐγγεγράψθω ΑΒ , γεγράψθω S Εὶ τὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ ΗΘΒ ΑΒ, τὸ βδεξηθβ S, corr. Co 4. περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον Co, περί τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ ΑΘΒ ΑΒ, καὶ ἔστω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ αβ S, om. Εὶ 5. διέμετρος αὐτιῦ Εἰ 6. 7. τῆς ΓΑ ἡ δὲ) ΗΘ τῆς ΘΒ ABS, corr. Hu 7. 8. ἡ Γ∠ μετὰ τῆς ∠Θ ABS, ἡ Γ∠Θ μετὰ τῆς ∠Ε Εὶ, corr. Hu 8. τῇ ΡΘΣ Εὶ pro τῆι ∠ΘϹ ἡ om. AB Paris. 2368, add. S Εὶ 9. τὰ ΓΘ A, distinx. BS post τῇ AB add. τουτέστιν τῆι ∠E ABS, del. Εὶ γ΄ Hu ∠ A, δ΄ Β, τέτκρτον S Εὶ, κα΄ voluit Co (qui omnino in corruptissimo hoc theoremate restituendo aliam , nec tamen rectam viam ingressus est , circumferentiam enim γδ bifariam divisit in ξ et rectam ξσ iunxit, quibus ambagibus abstinuit vetus scrip-)

Ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Ζ, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ ᾗ ΖΛ, ἐπὶ δέ τὴν ΗΡ ἡ ΖΚ, τῆς ΖΚ καθέτου, ὀξείας μέν οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , μεταξὺ τῶν Η Θ πιπτοόσης, ἀμβλείας δέ οὕσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , ἐκτὸς τοῦ Η, ὡς ἔχουσιν αἰ καταγραφαί. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ ἢ ΡΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπό ΑB ΛΡ (τοῦτο γάρ ἐν τῷ α’ θεμωρήματι δέδεικται), κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ πώ ΒΑ ΛΡ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΑΡ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ καὶ τοῦ ὑπὸ ΒΑΛ.

48 ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται). καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΗ [*](2. ὁποιεσοῦν Εὶ τοῖς ΜΝΞ et 3. ΑΗ καὶ A, distinx. BS 3. αἱ om. S Εὶ 4. κάθετος AΒ, corr. S 7, κύκλου η ἐκκέντρου A, κύκλου ᾗ ἐκ τοῦ κέντρου B, κύκλου ᾗ ἐκ κέντρου S, corr. Εὶ auctore Co κύκλῳ Εὶ auctore Co pro κύκλου 8. ἡ om. A, add. BS τὸ ἥμησυ BS, τὸ U+2220΄ A ἐπί τὸ ABS, corr. Co (conf. adnot. ad p 876, 16. 17) 11. τῶν ΗΘ Α, distinx. BS 18. ἢ S , ἡ A (cum proximis sic confundit 8 ηρ ηζ) 14. ὑπὸ ΑΒ ΑΡ A1, corr. A2 (BS) α’ Hu, β A(Β). δευτέρῳ S Εὶ, κ΄ voluit Co 21. τῶ δις ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ Α2 in marg. (fuerat primum τῶ τε , sed τε deletum), τῷ δὶς etc. BV (nisi quod V habet μετά τοῦ ὑπὸ θηκ), om. A1 Paris. 2368 S τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ Εὶ καὶ τοῦ AΒS, μετὰ τοῦ Εὶ 22. τῷ (ante ὑπὸ ΗΘΚ ) add. Εὶ 23, τὸ ἀπὸ AS, τῷ ἀπὸ B, ὑπὸ corr. Εὶ auctore Co)

Καὶ ἐπεὶ τὸ ἥμισυ εοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἔλασσόν ἐστιν ἀεὶ τοῦ δὶς ἀπὸ Ζ H, δῆλον ὡς ἡ ὑπὸ τῶν AΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μετὰ δύο κύκλων, ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΖΗ, ἐλάσσων ἐστίν.

49 κζ΄ (ή ). Οτι τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφντέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ.

Κείσθω τῇ μὲν ΗΡ ίση ἡ ΡΣ, τῇ δὲ ΘΡ ἡ ΡΛ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΣ τῇ ΘΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΡΘΗ. μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΡ τῇ ΡΣ, ἡ δὲ ΘΡ τῇ ΡΛ, ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΣΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΚΘΗ τὸ ἔρα ὑπὸ ΣΗΘ [*](1. δευτέρας BS, β A 2. τὸ ὑπὸ ΚΗΘ ΑΒ, corr. Co (τὸ ὑπὸ θηκ S , quem errorem retinuit Εὶ, sed paulo post vs. 9 recte secutus est Commandinum) ἡμίσει S, U+2220΄ ΑΒ, item vs. 6 2, 3, ἐπὶ τὰ ΖΘ Α, distinx ΒS, item vs. 5. 7. 9 10 3. οὕτως ἐπὶ τὸ ABS, τὸ γὰρ Εὶ, corr. Hu 4. ἥμισυ S , U+2220΄ ΑB 8. στεχείου ABS, corr. Hu 9. ἥμισυ S, U+2220΄ A, S΄΄ Β τῷ ὑπὸ ΚΘΗ Co pro τῶι υπὸ ΚΗΘ 10. ἐπεὶ τὸ ἥμισυ S, ἐπὶ τὸ U+2220΄ AΒ 10. 11. ἐλάσσονω ἐστιν A(Β), corr. S 12. ἡ om. AΒ, add. S 13. ἡ (ante ἐκ) om. AΒS , add. Εὶ 15. κζ Α1 in marg. (ΒS); ή add. μετὰ τὸ AΒ, corr. S 20. post ἐστὶν τῷ add. τε ABS, om. Εὶ, item vs. 21 21. δὶς ὑπερ ΘΗ A(Β1), ὑπὸ corr. Β2S, ΡΘΗ 22. 23. ἴση — ἀπὸ ΗΘ om, Εὶ 24. τὸ ἄρα — p. 880, 7. ὑπὸ ΚΘΗ] pro his sic seribere ausus est Εὶ: τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ μετεὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσαν)

50 κή (θ΄ ) Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Γ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠.

Τῇ Α∠ ἴση ἡ ΑΕ, τῇ δέ ΑΓ ἡ ΑΖ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ. τῷ δέ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΒ (διπλῆ γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ) καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΒ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΓ Γ∠ τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓ ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ (τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΓ διὰ τὸ αὐτὸ στοιχείων)· καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ ἔρα, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΒΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ ὥστε τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ∠ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠.

51 κθʼ (ί). Εστω τις κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΑΒΓ καὶ εὐθεῖα ἡ ∠ ὅτι δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς ἀπολαβεῖν τὴν ΚΑ περιφέρειαν μέρος οὖσαν τῆς ΚΒΓ, ὅπως. ἐφαπτομένων ἀχθεισῶν τῶν ΚΕ ΑΕ, ἐλάσσονες ὦσιν αὗται τῆς ∠.

Ἔστω γάρ ἐφατομένη ἡ ΚΗ ἴση τῇ ∠, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον γ ἡ ΗΒΘ. τέμνοντες δὴ τὴν ΚΒΓ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα, καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιμῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ὡς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα τῆς ΚΑΒ. καὶ ἤχθω ἐραπτομένη τοῦ τμήματος ἡ ΑΕ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΚΕ, καὶ ἔσται γεγονὸς τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ διὰ τῶν Θ Α ἐκβάλλεται ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ αἱ ΚΕΑ τῆς ΚΖ ἐλάσσονές εἰσιν διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΖΕ ἑκατέρας τῶν ΑΕ ΕΚ, ὀρθῆς οὕσης τῆς ὑπὸ ΖΑΕ, καὶ πολὺ μᾶλλον τῆς ∠ ἴσης ὑποκειμένης τῇ ΚΗ.

52 λ΄ (τά ). Παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ κυρτὴ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ε ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ τμήματος.

Ἔστω γὰρ τμῆμα σφαίρας, οὗ πόλος μέν ἐστιν τὸ Κ σημεῖον , ἐκ πόλου δέ ἡ ΚΒ, καὶ ὁ διὰ τῶν Κ Β μέγιστος, οὗ διάμετρος ἡ ΚΓ, ἐφʼ ἣν κάθετος ἡ ΒΑ λέγαω [*](1. ΚΘ Α1 in marg. BS, ί add. Hu ἡ ΑΚΒΓ ΑΒ, ἠ ΚΒΓ Co. corr S 5 Ἔστω Co pro ὡς 6. ἴση τῇ idem pro ἐλάσσων νῆς 7. ἡ ΘΒΗ ΑΒS, corr. Co 8 ἡμίσειαν S U+2220΄ ΑΒ 11. τὴν ΚΑ Co pro τὴν Κ∠ 15. τῶν ΘΑ Α, distinx. B, τῶν θ ε S Εὶ 17. τῆς ὑπὸ ΘΖ ABS, corr. Co πολ??υ A2 ex πολλυ 19, λ A1 in marg (BS), τά add. Hu 26. τὸ ΚϹ σημεῖον AΒ, corr. S 26. 27, εκπολου)

Ἔστω γάρ, εἶ δυνατόν , ἄνισα ταῦτα, καὶ πρότερον μείζων ἡ τοῦ τμήματος ἐπιφάνεια, καὶ τῆς ὐπεροχῆς αὑτῶν νοείσθω ἐλάσσων κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ Θ, ὥστε τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος μείζθνa εἶναι τῶν δύο κύκλων, οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἡ Θ, καὶ διῃρήσθω ἠ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσας ὁποσοσοῦν, καὶ ἐφαπτύμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται, ὥστε ἑκάστην αὐτῶν ἐλάσσονα εἶναι τῆς δυναμένης τὸ η΄΄ τοῦ ἀπὸ Θ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν προγέγραπται. ἐπεὶ οὖν μεῖζόν ἐστιν τὸ ἀπὸ Θ τοῦ ὀκτάκις ἀπὸ ΗΒ, καὶ ὁ περὶ διάμετρον ἄρα τὴν Θ κύκλος μείζων ἐστὶν δύο κύκλων ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΗΒ. οὗτοι δὲ οἱ δύο κύκλοι καὶ ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὡς προδέδεικται τῷ Ϛ΄ θεωρήματι, μείζονές εἰσιν τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων ἐπιφανείας, ἥτις περιγέγραπται περὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια, καὶ πολὺ μᾶλλον ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας, ἐλάσσων κύκλων οὗ τε ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρυς ἐστὶν ἡ Θ. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται, ὅπερ ἄτοπον.

53 (ιβ΄). Ἔστω δὲ μείζων ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ μείζων ἐστίν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος. νοείσθω δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς Θ· ἔστω τῇ Θ [*](1. ἡ ante σφπιρκὴ add. Ei 5. τῆ ὑπεροχῆι A, τῇ περοχῇ B, corr. S 8. τοῦ ante κέντρου add. B Ei 11. τὸ Η A, τὸ η BS 45. ἡ ἐκ] ἐκ ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei, item proximo vs. 17. Ϛ΄ Hu, Η A, η΄ B, ὀγδόῳ S Ei (in 25. huius Co) εἰσιν Ei auctore Co pro εἶναι 17. 18. τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων om. Ei 20. οὔτε AB, corr. Paris. 2368 V (οὗ τὲ S) ἡ (aute ἐκ) add. Hu 20. 21. ἐκ τοῦ κέντρου Ei 23. λα A1 in marg. (BS), ιβ΄ add. Hu ἡ ἐκ] ἐκ ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei 25. τὸ ὑπὸ ΚΓΑ AB, corr. S 27, post μνταξὺ repe-)

Καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν τὸ Α κέντρον ᾖ, γίνεται τὸ τμῆμα ἡμισφαίριον, καὶ ἔσεαι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ὅλης ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΓ, ἢ καὶ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων, ὁποῖα ἔν ἧ, τὸ αὐτὸ συναχθήσεται.

54 λβ΄ (ιγ΄ ). Ἐὰν ὦσιν γ΄ εὐθεῖαι ὡς αἰ Α Β Γ, ὁ κῶνος [*](1. ἡ ΓΟ Co pro ἡ ΓΘ 2. 3. τῆς ΚΛΟ idem pro τῆς ΚΛΘ 4. δὴ AΒ, δὲ S Εὶ 4. 5, κατὰ — ἀποκατάσεασιν interpolatori tribuit Hu 5. στροφὴν, deleto ἀποκμτάσεασιν, Εὶ 6, 7, καὶ τὴν — ἕξει interpolatori tribuit Hu 6. αὐτῷ om. Co Εὶ 7. μὲν om. Εὶ 8. τὸ ὑπὸ ΛΚ ΚΑ ΑΒS, corr. Co 9. δ΄ Hu, ἔ A, ε Β, πέμπτον S Εὶ (ex 23. huius Co) 10. πολλῷ — 12. ἐπιφμνείας om. Paris. 2368 S Εὶ 10 ἡ ἐκ] ἐκ AΒ1), ἔκ τοῦ Β3, ἡ ἐκ τοῦ V 11. ἢ V, ή AΒ, τουτέστιν voluit Co τὸ ὑπὸ ΘΚΑ ΑΒV, distinx. Co 12. 18. ἐπιφπνείας — τμήματος bis scripta in A 13. ὢν om. S, unde Εὶ ὑπόκειται γὰρ μεταξὺ τοῦ cet. ἡ ἐκ] ἐκ ΑΒS, ἡ ἐκ τεῦ Εὶ 16. ὡς ἐὰν Εὶ, ὡσο??ν Α2 ex ὡσων, ut videtur, ὡς οὔ Β, ὡς ὂν S, ὡς ἂν Co ᾐ Co, η A, ἠ Β, ἢ S 19. οὗ ἡ ἐκ τοῦ Co, οὔση ἐκτου A, ρὔση ἐκ τοῦ B cod. Co, οὗ ἴση ἐκ νοῦ S κέντρου add. S Co, om. AB cod. Co ἢ om. Εὶ 22. λβ A1 in marg (BS), ιγ΄ add. Ηκ Γ Α, τρεῖς ΒS αἱ ΑΒΓ A, distinx. BS)

Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ Ε Ζ, καὶ τοῦ μὲν Ε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Α Β, τοῦ δὲ Ζ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ τοῦ μὲν Ε κώνου ἔστω τὸ ΕΗ ἴσον τῇ Γ, τοῦ δὲ Ζ ὕψος τὸ ΖΘ ἴσον ἔστω τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Γ, τουτέστιν ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΕΗ, τὸ ὑπὸ Α Β πρὸς τὸ ὑπὸ B Γ τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ε πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἴσος ἄρα ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ὁ Ε κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΕΗ, τῷ κύνῳ οὗ βόσις μὲν ὁ Ζ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΖΘ· ἀντιπεπόνθασιν γάρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

55 λγ΄ (ιδ΄). Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπ᾿ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.

Ἤχθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α Γ αἱ ΓΕ Α∠. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ∠ ὁρθῇ τῇ Ε ἴση, κοινὴ [*](2. ὑπὸ ΑΒ et 3. ὑπὸ ΒΓ A Paris. 2368 S, distinx. BV 6. οἱ ΕΖ A, distinx. BS 9, 10, τὸ ὑπὸ Α Β — δυνάσθω add. Co 11, ὑπὸ ΒΓ AS, distinx. 3 12. κώνου Hu pro κύκλου (proprie dicenda erant τοῦ κώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ Ε κύκλου) 13. τῇ Γ Ei, τῶι Γ ABV, om, Paris. 2368 S 15. τῇ Α Ei pro τῶι A 16. ὑπὸ AB — ὑπὸ ΒΓ ABS, distinx. Hu 17. 18. τουτέστιν — τοῦ Ζ interpolatori tribuit Hu, δυνάμει post Ε et post Z. add. Ei, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Z coni. Co 18. πρὸς τὴν Ζ)

56 λδ΄ (ιε΄). Ἔστω πάλιν τρίγωνον τὸ ΑΓΖ καὶ τυχοῦσα διήχθω ἡ ΓΒ, ἧς μενούσης περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ [*](1. 2. ΒΓΕ τριγώνω A1 ex ΒΓΕ τρίγανον 7. ἡ ΓΕ Co pro ἡ Γ 11. ἡ ante δόσις add. ABS, del. Ei 13. τῷ ante κώνῳ om. Ei μὲν om, S Ei 16. γινομένη κωνικη επιφανεια A, γιν. κωνικὴ ἐπιφάνεια B, corr. S ιε΄ Mu, Ι∠ ΑΒ Co, ἑνδέκανον S Εi (ergo hic Archimedem evolvere non duxit operae pretium] 17, παντὸς — 21. κώνου interpolatori tribuit Hu 19. aut μέσον λόγον ἔχει (sic Ei), aut μέση ἀνάλογόν ἐστιν scribere debuit interpolator 21, ἐὰν ἄρι Ss Co, εν παρε A, ἓν ἄρα B, ἐὰν γὰρ Paris. 2368 23. κώνου AΒ, corr. S 24, 25. γινομένη κωνικὴ ἐπιφανεια A, γινομένη κωνικῇ ἐπι-)

Ἐκβεβλήοθω ἡ ΖΑ ἐπὶ τὸ Β· διὰ τὸ προδειχθὲ  ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἧ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΒΖΓ γινόμενον ὁμοίως ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κύνου ἣν ποιεῖ ἡ ΒΖ, ὕψος δέ τὸ αὐτό· καὶ λοιπὸν ἅρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΓΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΖ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ.

57 λε΄ (ιϚ΄). Ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΓ καὶ ἤχθωσαν αἱ ΖΓ Α∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΓΖ, ὕψος δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΖ, τουτέστιν τῆς ∠Γ.

Ἐπεὶ γάρ ὁ ἀπὸ τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου κύλινδρος ἴσος ἐστὶν κώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἠ ἐκ τοῦ κάντρου ἐστὶν ἡ Α∠ ὕψος δὲ τὴν τριπλασίαν τῆς Δ∠Γ, ὁ δέ ὑπὸ τοῦ ΑB∠ τριγώνου γινόμενος κῶνος βάσιν μὲν ἔχει τὴν αὐτήν, ὕψος δέ τὴν Β∠ τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου μετὰ τοῦ ὑπὲ [*](1. ὅτι om. S Ei 3. γινομενη ἐπιφανεια A, corr. BS κατὰ τὴν στροφὴν γινομένῃ ἐπιφανείᾳ Ei 7, τοῦ om. Ei 12. ην πειω A, corr BS 13. τοῦ ΒΖΓ Co pro τοῦ ΑΖΓ 16. τοῦ ΑΓΖ idem pro τοῦ ΛΓΖ 17. κολούρου] vide adnot. ad Lat. 18. τὸ αὐτό om. Ei, restituit et proxima ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ interpolatori tribuit Hu τοῦ Γ Co pro τοῦ ΓΕ 20. λε A1 in marg. (BS), ιϚ΄ add. Hu)

58 Ἔτι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφανείᾳ κυλινδρικῇ ρὔσῃ, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως (τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδησ ἔδειξεν ιδ΄ θεωρήματι περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλψ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΓ∠.

59 λϚ΄ (ιζ΄). Ἐὰν μέντοι τὸ Β μεταξὺ ᾗ τῶν ∠ Γ, δείκνυται. ὁ γὰρ ὑπὸ τοῦ Α∠ΓΖ παραλληλογράμμου γινόμενος κύλινδρος, τοῖς ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ ΖΒΓ τριγώνων γινομένοις κώνοις τὴν αὐτὴν ἔχων αὐτοῖς βάσιν καὶ ὕψος τὴν ∠Γ, ὑπερέχει οὐτῶν τῷ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κώνῳ ὕψος ἔχοντι τὴν διπλασίαν τῆς ∠Γ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ αὐτῷ κώνῳ, ὅπερ: ~

60 λζ΄ (ιη΄). Ἔστω τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὰς Α∠ ∠Γ κάθετοι ἴσαι, καὶ διήχθω τις ἡ ΒΕ, καὶ μενούσης αὐτῆς περιενεχθὲν τὸ τετράπλευρον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω ὅτι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ στροφῇ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ, κάθετος.

Ἐπεζεύχθω ἡ Β∠ τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ ∠ΓΒ τριγώνων ἐστὶν γινόμενον. καὶ δέδεικται πρὸ δυοῖν τὸ μέν ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠ γινόμενον ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς Α∠ γινομένη ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ κάθετος, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ∠ΒΓ τριγώνου ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ∠Γ γινομένῃ ἐτιφανείᾳ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ∠ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ γινομέναις κατὰ τὴν στροφὴν ἐπιφανείαις, ὕψος δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ.

61 λη΄ (ιθ΄). Κἂν ἀντὶ τοῦ τετραπλεύρου δὲ πεντάπλευρον ἦ τὸ ∠ ΑΒΖΓ ἢ καὶ ὁποσασοῦν πλευρὰς ἔχον, ὥστε τὰς ἀπὸ τοῦ Β ἐφ’ ἑκάστην τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ καθέτους ἴσας εἶναι, δειχθήσεται ὁμοίως τὸ ὑπὸ τοῦ πολυγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον κύνῳ πὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δέ μία τῶν εἰρημένων ἴσων καθέτων. καὶ οὐδὲν διαφέρει, ἂν ἡ ἐσχάτη ἐφαρμόζῃ τῇ ΕΒ. ἑξῆς τὸ σχῆμα.

62 λθ΄ (κ΄). Τὸ δʼ αὐτό ἐστιν τῷ εἰρημένῳ λέγειν ὅτι, ἐὰν περὶ ἡμικύκλιον οὗ κέντρον τὸ Σ, γραφή τι πολύγωνον ὑποσασοῦν ἔχον πλευράς, ὡς τὸ ΒΕΖΘΛΓ, μενούσης δὲ τῆς ΒΓ περιενεχθέν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκα- [*](2. τρίγωνον ABS, corr. Ei auctore Co 3. πρὸ δυοῖν Hu, πρὸς δὲ ABS, proxime Co, πρὸ ἑνὸς Ei 5. γινομένης AB, corr. S ἐπιφάνεια A, corr. BS 6. τοῦ ∠ΒΓ Co pro τοῦ ΑΒΓ τριγώνων AB, corr. S 7. 8 γινομένης ἐπιφανείας AB, corr. S 13. ΛΗ 1 n marg (BS), ιθ᾿  add. Hu δὲ om Ei 14. τὸ ∠ΑΒ ΖΓΗ | καὶ A, τὸ δαβζγη καὶ BS, corr. Co post ᾗ καὶ add. ἄλλο τι πολύγωνον Ei ὁποσαου A1, ὁποσαουν A2, ὁποσουν B1, corr, B3S 15. κμθέτους A} ex καθέτου 19. ἴσων add. A1 super vs. 20. τῇ EB Hu pro τῆι AB εξης (sine spir. et acc.) A, ἐξ ἦς BS, corr. Hu εξῆς τὸ σχῆμα del. Co Εi 21. ΛΘ A1 in marg. (BS) κ΄ add. Hu 22. τὸ Σ Co pro τὸ Ε γραφῆτι A (ι in rasura), distinx. BS 23. τὸ ΒΕΖ ΘΛ A, coniunx. BS, Γ add. Co)

Δῆλον δʼ ὅτι, κἂν περὶ τομέα κύκλου, οἷον τὸν ΞΣΑ ἢ ΜΣΑ περιγραφῇ τι πολύγωνον, τὰ αὐτὰ δειχθήσεται.

63 μ΄ (κα΄). Πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου.

Ἔστω γὰρ σφαῖρα ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καί, εἰ δυνατόν, πρότερον ἔστω μείζων ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, τουτέστιν ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, καὶ μεταξὺ αὐτῶν, τουτέστιν ἐλάσσων μὲν τοῦ κώνου, μείζων δὲ τῆς σφαίρας, νοείσθω κῶνος ἄλλος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ Β∠, ἐλάσσων οὖσα τῆς ΓΒ, καὶ ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἤχθω ἡ ΑΚ δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ Γ∠· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Κ Β. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν ἡμίσει τῷ ἀπὸ [*](3. βάσις μὲν ἡ Ei auctore Co pro ἡ μὲν 9. δʼ ὅτι Hu pro ἤδη τὸν Ξ ΣΑ A, coniunx. BS 11. μ A1 in marg. (B Paris. 3368 V, om. S), κα΄ add. Hu ἡ ante βάσις add. Ei 14, δὲ τὸ BS, το δε τὸ A 20 —p. 402, 2] totus hic locus misere turbatus eat in codicibus, quem nos, quantum probabili conieclura assecuti sumus, restituimus (longe alia ratione Ei, de quo vide append.) 20. 21. ἡ Β∠Ε ἐλάσσων ABS, corr. Co 21, τῆς ΓΒ Ei pro τῆς ΓΔ τοῦ ΑΕΒ Cο pro τοῦ ΑΒΕ 22. ἤχθω Co, ἐδείχθη ABS, εἰλήφθω Ei ὑπὸ ΑΒΓ∠ AB, distinx. s 23. 24. ἐπὶ τὰ ΚΒ A, distinx. B, ἐπὶ τὰ β κ S 24. καὶ τὰ ἡμίση — p. 400, 1. τὰ Β Κ om. S Ei 24. καὶ AB3, om. B1 ἡμίση Co pro ἤμισυ ἡμίσει add. Hu (ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ καὶ τῆς ἡμισείας Co))

64 ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἀρτιόπλευρον τὸ ΑΕΖΗΘΛΒ, ὥστε ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΒΛ περιφέρειαν τῆς BΛΚ (δυνατὸν δὲ τοῦτο· τέμνοντες γάρ τὸ ἡμικύκλιον δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν περιφέρειαν δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΒΛΚ, ὡς τὴν ΒΛ).