Synagoge

21 Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ Γ∠· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια [*](3. ῖ A1 in marg. (BS) πολύπλευρον Hu pro πεντάπλευρον, item vs. 14 4. γὰρ S, om. AB 12. τὸ γὰρ ΑΖΓ ΗΕ A, coniunx. BS 17. ὀρθογώνιον ABS, corr. Hu auctore Co 18. τῶν B1 S, om. A, del. B3 22. ῑᾱ A1 in marg. (BS) 25. αὐτὰ ABS, corr. Hu auctore Co)

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν Γ∠ ΓΑ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχύμενον όρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, τοῦ δὲ Γ∠ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ὐπὸ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ Γ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιρέρεια πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠.

22 ιβ΄. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου. τά γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφύμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

23 Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ∠Β, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ διήχθω τις ἡ ∠Ε· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα.

Εἰ μὲν οὖν σύμμετρύς ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπεὶ διαιρεθείσης εῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἷς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς διαιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ ∠ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν [*](2. εὐθεῖα] διάμετρος Pappus VIll cap. 46 πρὸς BS, om. A 10. κύκλου et 11. Γ∠ add. Hu auctore Co 12. καὶ ἐναλλὰξ —)

24 εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ ΒΖΕ περιφρείρ, ὐμοίως ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν. ἔστω, εἶ δυνατόν, ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περφιετρος ἀετοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας, καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μείζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Η. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περι ειαν. ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περίμεπρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν Η περιψέρειαν ἐλάσσονμ λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τήν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέσειν ἥπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα· καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα ἐλάσσονα λόγον ἓξει ἤπερ πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὑτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας.

25 λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΤ περιφέρειαν, καὶ εἰλήφθω τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περιφερείας μείζων τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων, σύμετρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύἰέ [*](4. 5 τοῦ ἐ στοιχειωεν A(Β) , διὰ τὸ ιε τοῦ ε τῶν στοχείων S, interpolatori tribuit Hu 6. ὁμοίως ἐστὸν Co pro μηδὲ ἐστιν 15. πρὸς τὸν κΛΗ AΒ, corr. S 17. πρὸς τὴν ΕΖΗ ABS, corr. Co 19. οὖν] ἄρα coni. Hu 23. BZ om. Co ante οὖσαν super vs. add. λόγον ἔχει A4, eadem codex Co habet pro οὖσαν τῆς ΒΕΖ et 24. τῆς ΒΕ ABS, corr. Co)

26 ιγ΄. Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύκλων πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

Ἐστω ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ λέγω ὅτι ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ , οὕτως τὸ ἀκὸ τῆς ΑΓ τετράγμωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ πιριφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ζ.

Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν κέντρα τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗΓ ΔΘΖ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐσειν τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τμήματα, ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Η γωνία τῇ πρὸς τῷ Θ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγπωνον τῷ ∠ΘΖ , καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ ∠ΕΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτπως ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν, τουτέστιν δ΄ ῥρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν. ὡς δὲ ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου πρὸς τὴν ∠ΕΖ περιφέρειαν, τουτέσετν δʼ ῤρθαὶ πρὸς τὴν Θ γμωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ [*](5. τὸν (ante Β∠Θ) om. A, add. BS 8. τῆς ΒΖΕ περιᾳερείας ABS, corr. Hu auctore Co 11. IF A1 in marg. (BS) 16. ἀπὸ τῆς ∠ΕΖ ABS, corr. Co Sca 17. περᾳέρεια add. Hu auctore Co 19. πὰ ΗΘ A, distinx. 38 αἱ ΑΗΓ ∠ΕΖ ABS, corr. Sca (Co) 21. τὸ ΑΒΓ η τρίγωνον A (in archetypo gitur pro Β correctum erat Η), τὸ βγη τρῦγωνον BS, corr. Co Sca 23 τὸν ΑΗ ΓΒ A, coniuax. BS 26, ∠ΘΖΕ τομέα ρὕτ?? Α2 ex sθνί ∠Θ 27 πρὸς τὴν ∠ΒΖ ABS, corr. Co Sca τουτέστιν Ηυ pro καὶ)

27 Λέγω δὴ ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ. ὡς δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ∠Θ, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ· πρὸς τὴν ∠Ζ.

28 ιδ΄. Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις οὐτῶν ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ περιεχύιιεναι, καὶ ἐφαπτύμεναι μὲν αἰ ΑΗ ∠Θ, κάθετοι δὲ αἰ ΑΚ ∠Λ δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον, οὕτως καὶ τὸ ∠ΘΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΖΛ τρίγρεμμον.

Ἔστι δέ φανερὸν ἐκ τοῦ προγεγραμμένου. ὅμοιον γὰρ γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ∠ΘΛ, καὶ τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον τῷ ∠ΖΛ τριγράιιμῳ , καὶ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἑκάτερον

29 ιέ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ Α∠, ὀρθὴ δέ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία δεῖξαι ὅτι ὁ Α∠Γ τομεὺς πρὸς τὸ μεὺςΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην.

Ηχθὼ τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ (ἐφάπτεται ἄρα τῆς Α∠ περιφερείας), καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθα ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα , καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον, οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Β τρίγραμμον διά τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓ∠ γωνίας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, κείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ∠ΑΒ τριγραμμου μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς ρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα. τὸ δὲ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν BAH τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ. καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΕ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ [*](3. ιε Α1 in marg. (BS) 5. δείξη AB, corr. S 12. πρὸς τὸν ΘΕΑΒ ABS, corr. Co 23. πρὸς τὸν ΑΒΗ BS, corr. Hu (πρὸς τὸν ΒΑΗ voluit Co) 24. ἢ πρὸς Hu auctore Co pro ἥπερ 25. πρὸς τὸν BAH] in A littera punctis notata est)

30 ιϚ΄. Ἔστω πάλιν ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ δμὼ τοῦ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ Α∠· λέγω ὅτι ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠.

Ἤχθω τῇ ΑΓ ὀρθὴ ἡ ΑΕ, καὶ ἐκθεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου περὶ κέντρον τὸ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΓΖ. ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ κέντρου τὴν ΓΑ γεγρσμμέναι εἰσὶν αἱ περιφέρειαι, φανερὸν ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων. καὶ μείζαων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓ∠ τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ τρίγωνον, καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΓΖ τομέα. ὡς δὲ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΑΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς νὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ὁ ΑΓ∠ ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἀναστρέψαντι μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΖ , τουτέστιν ἤπερ ὀρθὴ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠ (ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓ∠, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓ∠ ἴση ἐστὶν ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ καὶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ).

31 ιξ΄. Τούτων πρθγεγραμμένων τὸ προκείμενον θεμωρηφα συγκρινικὸν ὑπάρχον δείξομεν οὕτως.

Ἔστω δύο τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒΓ ∠ΕΖ περιφερείας, καὶ ἔστω ἡμικύκλιον μὲν τὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ Ε∠Ζ πρότερον ἔλαττον ἡμικυκλίου λέγω ὃτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ἡμικόκλιον τοῦ τμήματος.

Εἰλήφθω κέντρα τῶν κύκλων τὰ Η. Θ, καὶ ὀρθὴ μὲν ἡ ΗΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ζ ἡ ΘΚΕ, καὶ τῇ ∠Ζ παράλληλος ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ (αἱ γὰρ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι), ἴση δὲ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ∠Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΕ πιριφέρεια πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΛ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠Ε, ὁ ΛΘΕ τομεύς πρὸς τὸν ΕΘ∠ τομέα. καὶ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς ΗΑ, τὸ δέ ἀπὸ τῆς ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστιν ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ, διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΛΕΘ τομεύς πρὸς τὸν ∠ΕΘ τομέα· τῶν ἄρα ΛΕΘ ΑΒΗ τομέων μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ὁ ∠ΕΘ τομεύς. καὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχθὲν λῆμμα μείζονα λόγον ὁ Ε∠Θ τομεὺς πρὸς τὸ Ε∠Κ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ, τουτἐστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, ὡς δὲ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα, ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΕΚ τρίγραμμον μείζονα [*](1. ιζ Α1 in marg. (BS) 7. τὰ ΗΘ A, distinx. BS 10. ἡ (ante ΑΘ) om. A, add. BS 13. περιφέρειμ add. Hu auctore Co 14. ὡς δἐ ᾗ Ε∠ ABS, corr. Sca (ὡς δὲ ἡ ΛΕ voluit Co) 14. 15. πρὸς τὴν ∠Ε AΒ, πρὸς λε S, sed πρὸς σῆ corr. Sca 17. τοῦ τῆς ∠ΘΛ (anle πρὸς ΗΑ) ABS cod. Co, τοῦ τῆς ΛΘ Co, corr. Sca δὲ] ἄρα Co ἀπὸ τῆς ∠Θ ABS cod. Co, ἀπὸ τῆς ΛΘ Co, corr. Sca 18. ὁ ΛΕΘ ΑΒ Paris. 2368 Co, corr. S διπλασίονα BS, β A 20. μέσον S 23. τὴν add. Hu 25. 26. πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα add. Scα (item Co, aisi quod ABH) 26. ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεὺς add. Co (item Sca, nisi quod E∠Θ)

32 ιή. Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ∠ΕΖ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν κλίουΘΕ, οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒ ∠Ε περιφέρειαι). καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ, τουτέστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ, ἔσται μείζων ὁ ΑΗΒ τομεὺς τοῦ ∠ΕΚ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἔρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ∠ΕΖ τμήματος· πάντων ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων τάς περιφερείας κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον.

Περὶ τῶν στερεῶν.

33 τθ΄. Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων θεὸν οἱ φιλόσοφοί φασιν εἰκότως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιθεῖναι σφαιρικὸν ἐκλεξάμενον τῶν ὄντων τό κάλλιστον , τά τε προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ τοῦτο προστιθέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα. τἄλλα μὲν οὖν ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ ἐστιν καὶ παραμυθίας ἐλάσσονος δεῖται, τὸ δʼ ὅτι μείζων ἐστὶ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔδʼ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν, ἀλλʼ ἀποφαίνονται μόνον, οὕτε παραμυθήσασθαι ῥᾴδιον ἄνευ θεωρίας πλείονος. φέρʼ οὖν, ὥρπερ ἐν τοῖς πρόσθεν [*](5. ΙΗ A1 in marg. (BS) 10. πρὸ δύο Hu, β A, δεότερον BS 15. μείζονα ἄρα A, corr. BS 16. τοῦ ∠Ε ΑΒ, corr. S 19, πεῖ στερεων add. Α3 in marg (BS) 20. ΙΘ A1 in marg. (BS) 22. 23, τὰ δὲ προσόνεα coni Hu 24, σχημέτωων om, Ei 26 τἄλλα Hu: pro τὰ ἄλλα)

34 πρότερον δὲ περὶ τῶν στερεῶν κὐτῶν, πρὸς ἃ δεῖ συγκρίνειν τὴν σφαῖραν, ὀλίγα προδιαληψόμεθα· πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα, μᾶλλον δʼ ἄν τις ἀξιώσειε λόγου τὰ τετάχθαι δοκοῦντα καὶ τούτων πολὺ πλέον τούς τε κώνους καὶ κυλίνδρους καὶ τὰ καλούμενα πολύεδρα. ταῦτα δʼ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρά τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἔξάεδρον, ὀκτάεδρύν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δʼ εἶκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων περιεχόμενα.

τὸ μέν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγύνων δ΄ καὶ ἑξαγώνων δ΄ .

τρία δέ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγμνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄, τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ , τὸ δέ τρίτον τριγώνοις η΄ καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄.

μετὰ δέ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγμώνοις ιη΄ , τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις β΄, ἑξαγώνοις η΄ καὶ όκταγώνοις Ϛ΄.

μετὰ δέ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ μέν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ πενταγώνεις ιβ΄, [*](1, εὕρομεν A2 ex εὕρωμεν 5. στερεῶν alterum om. S Εὶ 8. μᾶλλον ἂν, deleto δʼ, vel μᾶλλόν γʼ ἂν coni. Hu 9. λόγον S Εἰ τὰ add. Ηu auctore Co 9, 10. καὶ τούεων — πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 18. τριγώνων ∠ A, τριγώνων εεσσάρων Β, τεσσάρων τριγώνων S δʼ alterum] ∠ A (ac similiter posthac, lineola super numerorum Detas ducta), τεσσάρων BS (ac similiter posthac B saepius, S fere constaner pro uolis numeralibus) 19, τρία S, δύο AB 20. τετραγώνοις Εὶ pro ὀκταγαώνοις 22, κταγώνοις Εὶ pro τετραγαένοες 23. Ϛ κειεικοσκεδρα sine acc.) A, ἓξ καὶ εκοσάεδρά Β, ἐξκαιεπποσάερέ S Εὶ; corr. Hu 25. δεύτερον BS, βʼ A, Item p 354, 1 26. δύο καὶ Ἀρισκον-)

μετὰ δὲ ταῦτα ἓν ἐστιν ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιὑπὸ τριγμώνων λβ΄ καὶ τετραγώνων Ϛ΄ .

μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ κεὶ πενταγώνοις ιβ΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ΄ καὶ ἔξαγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄.

μετὰ δέ ταῦτα τελευῖόν ἐστιν δυοκατενενηκοντάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄.

35 Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεάς τῶν ιγ΄ τούτων σχημάτμων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρέπου θεωρεῖται· ὅσων μὲν γάρ ἀπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίεις, ἐξ αριθμηθεισῶν εῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἁριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθκοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ἡ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου. ὁμοίως δὲ εαὶ ὅσσων πολοέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ έ γωνιῶν ἐπιπέδων , τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὦ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν.

36 Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος ἃς ἕεαστον ἔχει τῶν πολυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. ἐξαριθκηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν ἅς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχαντα τὸ [*](2. τρίτον BS, Γ΄ A δεκαγώνοις Hu, πεγταγώνοις Εὶ pro τετραγμώνοις 4. μεταταῦτα A(S) , δὲ add, B1, sed αlia manus id rursus delevit 5. δύο καὶ ἐξηκονέαεδρπ A, δύο καὶ ἐξηκοντάεδρά 8, coniunx. S 9, δύο καὶ ενενηκονάεδρον A(B), δυοκαιεννεηκοντάεδρον S Εὶ 11 ΙΓ A, δεκατριῶν BS, item p. 856, 5 14. γωνἵαις pro γωνιῶν scripsit et 15. ἃς add Εὶ anctore Co 17. τρίτον BS, Γ A 19. ἃς add. Εὶ auctore Co 23. τὸ πέμπτον Εὶ auctore Co, ε AS, πέντε Β 27 τὸν add B1)

τῶν δέ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τριγόνοις η΄ καὶ τετραγώνοις Ϛ΄ , ὥστε ἔχειν στερεάς μέν γωνίας β΄ (ἑκάστη γάρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γαωνιῶν περιέχεται), πλευρὰς δέ ἔχει κδ΄ τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ , ἔξει στερεάς μὲν γωνίας κδ΄ (ἑκάστη γάρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ΄ γωνιῶν ἐπιπέδων), πλευρὰς δέ ἔχει λϚ΄. τὸ δὲ τρίτον τῶv τετρακαιδεκαέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις ή καὶ ῤκταγώνοις Ϛ΄ , ἕξxι στερεὰς μὲν χωνίας κδ΄ , πλευρὰς δὲ λϚ΄.

τῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μέν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις τε ή καὶ τετραγώνοις ιή , ἔξει στερεὰς μέν γωνίας κδ΄ , πλευράς δὲ μή . τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγόνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις ή καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄, ἔξει στερεάς μέν γωνίας μή . πλευρὰς δὲ οβ΄.

τῶν δέ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μέν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεάς [*](9. τε post γωνίαι repetit A 10 τὸν (post ἐστιν) A1 ex τῶν 11. τρίτον BS, Γ΄ Α 12. αὐτοῦ AΒ3S S, om B1 14. ἥμισυ BS,)

τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεί περιέχεται τριγμώνοις τε λβ΄ καὶ τετραγώνοις ἕξ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ΄, πλευρὰς δέ ξ΄.

τῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ  περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεάς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ ρκ΄. τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λ΄ καὶ ἑξαγύνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ΄, πλευρὰς δὲ ρπ΄.

τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγμώνοις τε π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὲς δὲ ρν΄.

37 Ταῦτα μὲν οὖν τὰ ιγ΄ σχήματα ἤτοι ἀνομοιογώνια ὄντα ἢ ὑπὸ ἀνίσων καὶ ἀνομοίων πολυγώνων περὶεχόμενα διὰ τὸ ἀτακτότερον παρῃτήσθω τὸ νῦν , τὰ δὲ καλούμενα έ σχήματα τῇ σφαίρᾳ συγκρίνειν ἄξιον ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχμενα μόνα ταῦτα τὰς στερεὰς γωνίας ἴσας ἔχει, καὶ διὰ τοῦτʼ εὔτακτα παρὰ τὰ λοιπὰ μᾶλλόν ἐστιν. ὅτι δὲ πλείω τῶν ε΄ τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγόνοις περιλαμβανύμενα, καὶ ὑπὸ τοῦ Εὐκλείδου καὶ ὑπό τινων ἄλλων ἀποδέδεικται. συγκρίνμωμεν οὖν αὐτὰ ταῦτα πρότερον τὰ πολύεδρα τῇ σφαίρᾳ.

38 Ἔστω γὰρ σφαῖρα μὲν ἐν ᾗ τὸ Α, ἒν δέ τι τῶν προειρημένων ε΄ σχημάτων ἴσην ἔχον τὴν σύμπασαν ἐπιφάνειαν [*](1. δεύτερον BS, β A 3. ἕξεις AB, corr. S, item vs. 5. 8. 12. 14 4. τρίτον BS, Γ A, δύο καὶ τριακονταέδρων AB, coniunx. S 6. δεκαγώνοις AB Εί, τετραγώνοις S 9. κδ΄ Εί, μ AB, τεσσαράκεντα S 10. δυοκαὶ εξηκονταέδρων A, δύο καὶ ἑξ. B, coniunx. Paris. 2368)

Νοείσθω γὰρ εἰς τύ πολύεδρον ἐγγεγραμμένη σφαίρα, ὥστε τῶν περιεχόντων ἐπιπέδων ἅπτεσθαι· μείζμων ἄρα ἐστὶν ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας· περιέχει γὰρ αὐτήν. ἀλλʼ ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς Α σφαίρας ἐπιφανείᾳ, ὥστε καὶ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης τῷ πολυέδρῳ σφαίρας· καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα τῆς Α σχαίρας μείεζων ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας. ἴση δὲ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων κύκλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς Α σφαίρας, ὥψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς A σφαίρας, μείζων ἐστὶν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν ἐχούσης ὐθύγραμμον τὸ ἴσον τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ καὶ ὕψος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης αὐτῷ σφαίρας. ἀλλʼ ὁ μὲν κῶνος ἴσος ἐστὶν τῇ Α σφαίρᾳ (τοῦτο γὰρ ἐκ τῶν ὑπʼ Ἀρχιμήδους δεδειγμένων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου καὶ τῶν ἄλλων ὑφ’ ἡμῶν ὑποτεταγμένων λημμάτων ἐστὶ φανερόν), ἡ δὲ πυραμὶς ἴση τῷ πολυέδρῳ· μείζων ἄρα καὶ ἡ Α σφαῖρα τοῦ ὑποκειμένου πολυέδρου.

39 κ΄ . Ἔχει δέ τινα σύγκρισιν καὶ ταῦτα τὰ ε΄ σχήματα πρὸς ἄλληλα, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα· δείκνυται γάρ ὑποκειμένων ἴσων τῶν ἐπιφανειῶν τὸ πολυεδρόεερον ἀεὶ καὶ μεῖζον. οἷον τὸ μὲν εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου, τὸ δὲ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου , καὶ ὁμοίως τὸ μέν ὀκτάεδρον τοῦ κύβου, ὁ δέ κύβος τῆς πυραμίδος· ὅμοιον γάρ τι πέπονθεν τὰ στερεά ταῦτα τοῖς ἐπιπέδοις πολυώνοις· καὶ γὰρ ἐπʼ ἐκείνων, ὁπότε τὰς περιμέτρους ἴσας [*](1. τῇ τῆς Α σφαίρας Hu auctore Co, τῇ om. AB, unde τῇ α σφαίρᾳ Paris, 2368 (S) Εὶ 5. ἐπιφάνεια τῆι ἐπιφανείαι AΒ, corr. S 7. Α om Β1 Εὶ 12. Α om. Εὶ 13. ὁ τὴν βάσιν A, sed τὴν del. prima m. κύκλον A8 Εὶ, κύκλου BS τὸ ante ἴσον add ABS, del. Εὶ 14. 15, ὕψος — σφαίρας add. Εὶ 15. τῆς (ante ευραμίδος) om. Εὶ)

40 πρόδηλον δʼ ὅτι καὶ ὁ κῶνος καὶ ὁ κύλινδρος ἑκάτερος ὁ ἴσην ἔχων ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρμς ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς. ὁ μὲν γὰρ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὅλην δὲ τὴν ἐπιφάνειαν μείζονα τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἴσος αὐτῇ καταλαμβάνεται, ὅταν τὸ ὕψος αὐτοῦ ἴσον ᾗ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ κύλινδρος ὁ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχων τῷ κώνῳ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὸ γ΄ τοῦ ἄξπνος τοῦ κώνου, καὶ ἴσος ὢν τῷ κύνῳ, ἴσος εὑρίσκετει καὶ τῇ σφσίρᾳ μείζονα τὴν ἐπιφάνειαν ἔχων αὐτῆς· αἱ γὰρ δύο βάσεις αὐτοῦ τῆς βάσεως τοῦ κώνου , τουεέστιν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, διπλασίους εἰσίν, ὥστε ὅταν ἑκάτερον τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας, τότʼ ἐξ ἀνάγκης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μείζων ἐστίν.

41 Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς εφαίρας πρὸς τὰ ε΄ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον, τὰ δʼ ὑπὸ τοῦ Ἀρχιμήδους, ὡς εἴρηται, δειχθέντα καὶ ἄλλως ἀπδείξομεν, πρνγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αύτῶν συντείνει λημμάτια.

42 (ά ), Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ τυχοῦσαι ἐπὶ τὴν διάμετρον κάθετοι αἱ Γ∠ ΕΖ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΕ. ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ· ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ∠Ζ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΕΗ, καὶ ληφθέντος τοῦ Θ κέντρου ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ, ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἧ ὑπὸ ΓΕΘ τῇ ὑπὸ ΖΕΗ ἐστὶν ἴση, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ὑπὸ ΗΕΘ ἔσται λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ τῇ ὑπὸ ΖΕΘ ἴση. ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἢ Ζ τῇ Η ἴση· ἰσογώνιον ἄρα [*](4. νῇ τῆς σφαίρκς Hu, τῆι σφκίραι ABS, τῇ ἐπιχενείᾳ τῆς σφείρας Εὶ 10. τὸ A, τὸ τρίτον BS 14. διπλασίους A1 ex διπλασίου 15 τῇ add. Ηu (τῇ ἐπιφανείᾳ add. Εὶ) 20. ὅσα post αὐτῶν transpos. S Εὶ 21. λημμάτι· A1), α add. Α2 22. α’ add. Hu (quoniam lemmata huius secundae qinti libri partis a Scrlptore seorsum numerantur))