Synagoge

21 Καὶ τὸ ἀναστρόφιον δὲ φανερόν ἐστιν. ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ Κέστιν ἐπʼ τὐθείας γίνεται τῇ ∠Ε.

Παράλληλός τε γάρ ἐστιν ἡ ΑΚ τῇ Γ ∠ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς βΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς Γ ∠· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ Κ ∠ τῇ  ∠Ε. εἰ γὰρ ἡ διὰ τῶν Κ Ε οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ  ∠, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, γίνεται ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΘ, ὅπερ ἀδύνατον. ὁμοίως οὐδὲ τοῦ  ∠ ἐκτὸς ἥξει τέμνουσα τὴν Γ ∠ ἐκβληθεῖσαν, [*](1. πεσουνται A2(BS), πεσουται correctum ex πεσουσαι A1, δαοῦσαι coni. Ηυ 2. τὸν Β εύκλον A, τὸν β κύκλον B1, τὸν βμ κύκλον 3 τὸν ηθλ κύκλον S, corr. Ηυ 3. συμπεσεῖται voluit Co 3. 4. ἐκἀμλλομενηι εὐθεῖα //// τὸ μείζονα A, εὐθεία (sic) corr. aitera manus in Paris, 2368, διὰ add. BS 4. 5. τῆς ΓΛ τοῦ ΑΚ τραπεζείου A, τῆς γλ τοῦ ακλγ τραπεζίου BS, corr Ηυ 5. τὴν κυκλον A, corr. BS 8. ἐπιζευχθείσης τῆς Γ ∠ interpolatori tribuit Ηυ (nam iungendam esse δγ scriptor iam supra verbis τοῦ ΑΚ ∠Γ τραπεζἰου significavit) 10. πρὸς τῶι Λ As, πρὸς τὸ λ ΒS, del. Ηυ τὰς ΓΗ A, distinx. BS 11. ἔχοντα interpolatori tribuit Ηυ ὑπὸ  ∠ΓΗ Sca (ὑπὸ ΗΓ ∠ Co) pro ὑπὸ  ∠ΗΓ· 12. τῇ ΑΗ] καὶ τῆι ΑΚ AS cod. Co, καὶ del. Β Co Sca, AH corr. Ηυ 13. post τὴν ΕΓ add. γζ Paris. 2368 S (vo- luerunt οὕτως) 19. ἡ ΑΕ Α2 ex ἡ) Α* 20. ἡ Κ ∠ Co Sca pro ἡ 23. τέ|μνουσα*τὴν A)

Ἢ οὕτως. διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΚΝ ἤχθω, καὶ γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓΝΚ, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΓΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΓΝ, πρὸς Γ ∠ , διελόντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ἡ Ν ∠ τρὸς  ∠Γ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΝ, πρὸς Ν ∠, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς Γ ∠. καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Ν Γ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ Ε ∠Γ τρίγωνον τῷ  ∠ΝΚ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε ∠Γ γωνία τῇ ὑπὸ Ν ∠Κ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΓΝ· εὐθεῖα ἄρα καὶ ἡ Κ ∠Ε.

22 Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΒ.

Ἔπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν πρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Κ ∠. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΚΕ πρὸς Ε ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς EΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ BΕΖ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠ τῷ ὑπὸ ΒΕ ΕΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ τῷ ἀπὸ EΒ.

23 ιϚ΄ .  ∠ύο ἡμικύκλια τὰ BΗΓ· BΕ ∠, καὶ ἐφαπτόμενος αὐτῶν κύκλος ὁ ΕΖΗΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Α κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν BΓ βάσιν τῶν ἡμικυκλίων ἡ ΑΜ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ

Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ BΓ παράλληλος ἡ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι οἱ BΗΓ· EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Η, καὶ διάμετροι ἐν αὐτοῖς παράλληλοί εἰσιν αἱ BΓ ΖΘ, εὐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Η Θ B καὶ ἡ διὰ τῶν Η Ζ Γ, πάλιν ἐπεὶ δύο κύκλοι οἱ ΒΕ ∠ EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι διάμετροί εἰσιν αἱ ΘΖ B ∠, εἐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Ζ Ε B καὶ ἡ δμὼ τῶν Θ Ε  ∠. ἤχθωσαν καὶ ἀπὸ τῶν Θ Ζ σημείων κάθετοι αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΗΙ ΒΘΚ τριγώνων ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΒΚ, καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΖΛ ΒΕ ∠ τριγώνων ὡς ἡ  ∠Β πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΒΛ, καὶ τὸ ὑπὸ  ∠Β ΒΛ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ τῷ ὑπὸ  ∠Β ΒΛ , ἂν δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ  ∠ [*](4. τουτέστιν τὴν Γ ∠ add Ηυ 6. ΕΖ ΗΘ A, coniunx. BS, item vs. 9 8. τῶν ΗΘΒ ABS, distinx. Ηυ ἡ (ante διὰ) add S τῶν ΗΖΓ AS, distinx. 8 11. 12. τῶν ZEB — τῶν ΘΕ ∠ AS, distinx. B 12. τῶν ΘΖ A, distinx S (τῶν ζ θ Β) 14. 15. πρὸς τὴν ΘΚ καὶ ΑB cod Co, corr. S Co 15. ἴσον τὸ AΒ, corr. S 20, ἄν δὲ) — p 216, ἀπὸ τῆς Β ∠ a Graeco scriptore addita sunt propter propos 17)

24 Συνθεωρεῖται δʼ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑM. διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΘΚ ΖΛΓ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΛΓ, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΚ ΖΛ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ.

Γίνεται δὲ καὶ διὰ μὲν τὸ εἶναι ὡς τὴν BΓ πρὸς τὴν Γ ∠, οὕτως τὴν ΒΛ πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ ΒΓ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΛ  ∠Γ, διὰ δὲ τὸ εἶναι ὡς τὴν Β ∠ πρὸς τὴν Γ ∠ , οὕτως τὴν BΚ πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ τῆς B ∠ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΚ  ∠Γ.

25 ιζ´. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων γεγράφθω κύκλος ὁ ΘΡΤ ἐφαπτόμενος τῶν τε ἐξ ἀρχῆς ἡμικυκλίων καὶ τοῦ ΕΗΘ κύκλου κατὰ τὰ Θ P Γ σημεία, καὶ ἀπὸ τῶν Α Π κέντρων κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΒΓ· βάσιν αἱ ΑΜ ΠΝ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετά τῆς διαμέτρου τοῦ ΕΗ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον αὐτοῦ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον.

Ἤχθω τῇ Β ∠ τρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ· ἐφάπτεται ἄρα τοῦ ΒΗΓ ἡμικυκλίου. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ διὰ τό προδειχθέν ὡς συναμφότερος ἡ [*](1. συνθεωρεῖται ταδʼ ὅτι A(BS), συνθεωρεῖται λέγω ὅτι Co, corr. Ηυ 2. ἐστιν τὸ ἀπὸ A, corr. BS 4. BK ΛΓ Co pro ΒΚ  ∠Γ 8. τῶι ὑπὸ ΒΛ AΒS, corr. Co 42. A1 in marg. (ΒS) 14 τὰ ΘΡΤ τῶν ΑΠ Α, distinx. BS 49. Ἤχθω τῇ ΒΓ coni. Ηυ)

26 ιη´  Τούτων προτεθεωρημένων ὑποκείσθω ἡμικύκλιον τὸ ΒΗΓ, καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον εἰλήφθω τὸ ∠, καὶ ἐπὶ τῶν Β∠ ∠Γ ἡμικύκλια γεγράφθω τὰ ΒΕ∠ ∠ΥΓ, καὶ ἐγγεγράφθωσαν εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῶν τριῶν περιφερειῶν τὸν καλούμενον ἄρβηλον κύκλοι ἐχαπτόμενοι τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς οἱ περὶ τὰ κέντρα τὰ Α ΠΟ, καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων αὐτῶν κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΑΜ ΠΝ ΟΣ· λέγω ὅτι ἡ μὲν ΑΜ ἴση ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , ἡ δὲ ΠΝ διπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου, ἡ δὲ ΟΣ τριπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν οἰκείων διαμέτρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς.

Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ παράλληλος τῇ BΓ, καὶ [*](1. ιε´] ί ε΄ * A, ί ε´ S, ἐν τῷ τε ω΄ B (conf. ad p. 222, 7. 8) 2. τῇ ΜΑ Co pro τῆι ΜΛ εκβληθείσης A(BS), corr. Sca (Co) 4. οὕτως — ΑΘ πρὸς ΘΠ bis scripta in ABS, corr. Co Sca 5. 6. πρὸς ΠΟ· ἴση ἄρα ἡ ΑΣ τῇ add. Hu auctore Sca, qui) ἴση αρα ἡ σκ τῇ πσα adscripsit (πσα igitur pro codicum scriptura ΣΚ intulit) 7. καὶ ante ἔστιν super versum add. A prima, ul videtur, manu 8. ἡ ante ΝΠ om. AS , add. B1, rursus del. B3 11. in fine huius lemmaltis quaedam periise videntur: vide append 12. ΙΗ A1 in marg. (BS) 15. ἐγγράχθωσαν A1, corr. A2(BS) 17. ὅσοι δήποτ᾿ οὖν ΑΒ, coniunx. S ὡς ὁ περὶ ABS, corr. Hu 18. τὰ ΑΠΟ A, distinx. BS 21. post διπλῆ add. ἐστι (sic) ABS, del. Hu τοῦ A2 in rasura pro τῆς 22. αἱ ἑξῆς αἱ AS, ἑξῆς αἱ B, corr. Hu)

27 Ἂν δʼ ἀντὶ τῶν BΗΓ. ∠ΥΓ περιφερειῶν εὐθεῖαι ὦσιν ὀρθαὶ πρὸς τὴν Β∠, ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης ἔχει καταγραφῆς, τὰ αὐτὰ συμβήσεται περὶ τούς ἐγγραφομένους κύκλους· αὐτόθεν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν Β∠ ἴση γίνεται τῇ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου διαμέτρῳ.

Ἂν δὲ αἱ μὲν ΒΗΓ ΒΕ∠ μένωσιν  περιφέρειαι, ἀντὶ δὲ τῆς ∠ΥΓʼ περιφερείας εὐθεῖα ὑποτεθῇ (ὡς ἐπὶ τῆς τετάρτης ἔχει καταγραφῆς) ἡ ∠Ζ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΒΓ, τῆς μὲν BΓ πρὸς τὴν Γ∠ τετραγωνικὸν ἐν ἀριθμοῖς λόγον ἐχούσης, σύμμετρος ἔσται ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος τῇ διαμέτρῳ

28 ιθ´  Τὸ ὑπερτεθὲν λῆμμα. ἡμικύκλια τὰ BΗΓ ΒΑ∠, καὶ ἀρθὴ ἡ ∠Ε, καὶ κύκλος ἐφαπτόμενος ὁ ΘΗΖΑ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ μήκει, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου δυνάμει.

Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ· εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΖΑΒ ΘΑ∠. κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἔσται ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς1Β∠ τετραγώνῳ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΒ∠, οὕτως ἡ ΒΒ∠ πρὸς Β∠Κ, τουτέστιν πρὸς ΘΖ. ὡς δὲ ἡ ΒΒ∠ πρὸς ΘΖ, ἡ Β∠Α πρὸς ΘΑ, ὡς δὲ ἡ Β∠Α πρὸς ΑΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς [*](2. post λόγον add. μήκει Co 4— 8. verba σἷον ἐὰν usque ad finem capitis forsitan alius atque ipse theorematis scriptor addiderit 9. ΙΘ A1 in marg. (BS) 10. ὁ ΘΗ ΖΑ A, coniunx. ΒS, item vs. 12 et p. 232, 11. ὡς add. Ηυ auctore Co 12. κύκλου add. Ηυ auctore Co 14. τὰ omissum in AΒ add. S 15. τῶ ἀπὸ super evanidam primae manus scripturam A2(BS) 17. Β∠K τουτέστιν A2(BS), // ////////)

29 κ´ . Ἔτι καὶ τοῦτο διὰ τῶν προγεγραμμένων λημμάτων τεθεώρηται. ἔστω ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ Α∠Ε, καὶ γεγράφθωσαν  ἐφαπτόμενοι τῶν περιφερειῶν αὐτῶν κύκλοι οἱ περὶ τά κέντρα τὰ Ζ Η Θ, καὶ οἱ συνεχεῖς αὐτοῖς ὡς ἐπὶ τὸ Α. ὅτι μὲν οὖν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Ζ κύκλου δῆλον, λέγω δʼ ὅτι καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Η κάθετος τριπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Η κύκλου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Θ πενταπλασία, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσούς ἀριθμούς.

Ἐπεὶ γὰρ προδέδεικται ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος πρὸς τὴν ἰδίαν διάμετρον, καὶ ἔστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου ἡμιολία τῆς διαμέτρου, τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται τριπλασία. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον , οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διάμετρον, ἡ δʼ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον λόγον ἔχει ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ δύο, ἕξει καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διάμετρον τὸν αὐτὸν λόγον· τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται πενταπλασία. ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς.

30 κα΄. Τὸ ἐπὶ τῆς ἕλικος τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γραφομένης θεώρημα προὔτεινε μὲν Κόνων ὁ Σάμιος γεωμέτρης , ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης θαυμαστῇ τινι χρησάμενος ἐπιβολῇ. ἔχει δὲ γένεσιν ἡ γραμμὴ τοιαύτην.

31 Ἔστω κύκλος οὗ κέντρον μὲν τὸ Β, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΑ. κεκινήσθω ἡ ΒΑ εὐθεῖα οὕτως ὥστε τὸ μὲν Β μένειν, τὸ δὲ Α ὁμαλῶς φέρεσθαι κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἅμα δὲ αὑτῇ ἀρξάμενόν τι σημεῖον ἀπὸ τοῦ Β φερέσθω κατʼ αὑτῆς ὁμαλῶς ὡς ἐπὶ τὸ Α, καὶ ἐν ἴσῳ χρὸνῳ τό τε ἐπὸ τοῦ Β σημεῖον τὴν ΒΑ διερχέσθω καὶ τὸ Α τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν γράψει δὴ τὸ κατὰ τὴν ΒΑ κινούμενον σημεῖον ἐν τῇ περιφορᾷ γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΒΕΖΑ, καὶ ἀρχὴ μὲν αὐτῆς ἔσται τὸ Β σημεῖον, ἁρχὴ δὲ τῆς περιφορᾶς ἡ ΒΑ, αὐτὴ δὲ ἡ γραυμὴ ἕλιξ καλεῖται. καὶ τὸ ἀρχικὸν αὑτῆς ἐστι σύμπτωμα τοιοῦτον.

32 Ἥτις γὰρ ἂν διαχθῇ πρὸς αὖτὴν ὡς ἡ ΒΖ καὶ ἐτβληθῇ, ἔστιν ὡς ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ εὔθεῖα πρύς τὴν ΒΖ.

Τοῦτο δὲ συνιδεῖν ῥᾴδιον ἐκ τῆς γενέσεως· ἐν ᾧ μὲν γὰρ τὸ Α σημεῖον τὴν ὅλην κύκλου περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΑ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Α τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀκὸ τοῦ Β τὴν ΒΖ εὐθεῖαν. καὶ εἰσὶν αἱ κινήσεις αὗται ἑαυταῖς ἰσοταχεῖς, ὥστε καὶ ἀνάλογον εἶναι.

33 Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο ὅτι, αἵτινες ἂν διαχθῶσιν ἀπὸ [*](1 ΚΑ A1 in marg. (BS) 2. Κόνων Hu pro κώνων 14. ἀπὸ τοῦ add. Hu, item vs. 27 16. ἡ ΒΖ ΕΛ ABS, corr. Co 17. περιφορᾶς Hu auctore Co pro περιφερείες 21. ἔσται voluit Co, ἐστιν A, ἔστιν BS 29. τὸ ἀπὸ τεῦ Β] τὸ Β τὴν Β AB, τὸ β S Co, corr. Hu)

34 κβ΄. Δείκνυται δέ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἕλικος καὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐν ἀρχῇ τῆς περιφορᾶς τρίτον μέρος τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κύκλου.

Ἔστω γάρ ὅ τε κύκλος καὶ ἡ προειρημένη γραμμή, καὶ ἐκκείσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογόνιον τὸ ΚΝΛΠ, καὶ ἀπειλήφθω μὲν ΑΓ περιφέρεια μέρος τι τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἡ δέ ΚΡ εὐθεῖα τῆς ΚΠ τὸ αὐτὸ μέρος, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ, καὶ τῇ μὲν ΚΝ παράλληλος ἡ ΡΤ, τῇ δέ ΚΠ ἡ ΩΜ, καὶ περὶ τὸ Β κέντρον περιφέρεια ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, οὕτως ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ (τοῦτο γάρ ἐστιν τὸ ἀρχικὸν τῆς ἕλικος σύμπτωμα) , ὡς δὲ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ, ἡ ΠΚ πρὸς ΚΡ, ὡς δέ ἡ ΠΚ πρὸς τὴν ΚΡ, ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΩ, τουτέστιν ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΡΩ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τήν ΓΖ, ᾗ ΓΡ πρὸς ΡΩ. καὶ ἀναστρέψαντι· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΩ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ PΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΩ, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΝΤ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΜΤ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΓΒΑ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν [*](2 ὑπερέχουσι (sic) omissum in AB add. S 3, KB; A1, in marg. (BS) 3. 4. τῆς ἕλικος καὶ τῆς εὐθείας bis scripta in ABS v. τὸ κν, λπ Β, ΛΠ (sine τὸ) A, κλνπ S 8. ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεμια μέρος ἐστιν τί A(BS), corr. Co et manus quaedam recentior (non Sca- ligeri) in S 40. ἡ ΒΑ Co pro ἡ ΚΑ 11. τῇ δὲ ΚΠ Hu pro τῆι δὲ ΚΜ τῇ δὲ ΚΡ Co S man. rec. ) 13. οὕτως ἡ add. S man. rec. 22. πρὸς τὸν *ΖΒ.Η τομεα A 26. τὸν ΖΒΗ A2 ex τὸν *ΒΗ ὁ omissum in AB add. S)

35 ὁμοίως δὲ ἐὰν τῇ μέν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν Γ∠, τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τήν ΡΧ, καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, ἔσται ὡς ὁ ∠ΒΓ τομεύς πρὸς τὸν ΕΒΘ , μῦτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΡΦ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΓΦ τπρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΞΦ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα. τῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ ἐφοδεύσαντες δείξομεν ὡς ὅλον τὸν κύκλον πρὸς πάντα τὰ ἐγγεγραμμένα τῇ ἕλικι ἐκ τομέων σχήματα, οὕτως τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΠ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ ἄξονα τὸν ΝΛ πρὸς πάντα τὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΚΝΛ τριγώνου περὶ τὸν ΛΝ ἄξονα κώνῳ ἐγγραφόμενα ἐκ κυλίνδρων σχήματα, καὶ πάλιν ὡς τὸν κύκλον πρὸς πάντα τά περιγραφόμενα τῇ ἕλικι ἐκ τομέμων σχήματα, οὕτως τὸν κύλινδρον πρὸς πάντα τὰ τῳ αὐτῷ κώνῳ ἐκ κυλίνδρων περιγραφόμενα σχήματα, ἐξ οὗ φανερὸν τι ὡς ὁ κύκλος πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆμα, οὕτως ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κῶνον. τριπλάσιος δὲ ὁ κύλινδρος τοῦ κονοῦ· τριπλάσιος ἅρα καὶ ὁ κύκλος τοῦ εἰρημένου σχήματος.

36 κγ΄. Γῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ δείξομεν ὅτι, κἂν διαχθῇ τις εἰς τὴν ἕλικα ὡς ἡ ΒΖ καὶ διὰ τοῦ περὶ τὸ κέντρον τύ Β γραφῇ κύκλος, τὸ περιεχύμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ΖΕΒ ἕλικος καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας τρίτον μέρος ἐστὶν τοῦ περιεχομένου σχήματος ὑπό τε τῆς ΖΗΘ περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν.

37 Ἡ μέν οὖν ἀπόδειξις τοιαύτη τίς ἐστιν, ἔξῆς δὲ γράφομεν θεώρημα περὶ τὴν αὐτὴν γραμμὴν ὑπάρχον ἱστορίας ἄξιον.

κδ΄. Ἔστω γὰρ ὅ τε κύκλος ὁ προειρημένος ἐν τῇ γενέσει. [*](5 τὸν ΕΒΘ Co pro τὸν ΕΘΒ 6. τοῦ ΞΦ παρελληλογράμου] quod plenius parallelogrammo ξτφοʼʼ in Lat. versione scripsimus, litte- ram quidem O, quae in Graeco contextu non exstat, figura in codicibus tradita exhibet 16 πρὸς τὸ A, πρὸς τὰ BsS 17. σχμκ Hu auc- tore Co pro σχήματα 20. ΚΓ A1 in marg. (BS) 22. post σχῆμα repetunt γραφη A(BS), del. Co 25. καὶ τῶν ZBH ABS, et rectis li- neis ZB ΒΘ Co, corr. Hu 29. KΔ Α1 in marg (BS))

Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ κύκλος περὶ κέντρον τὸ B ὁ ΖΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα, οὕτως ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΗΘ περιφερείας καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν περιεχόμενον σχῆμα (ἑκάτερον γάρ ἑκατέρου τρίτον ἐδείχθη μέρος), ὁ δὲ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον, ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον, οὕτως τό ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, ὡς δέ ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τύ εἰρημένον χυρίον , ἡ ὕλη αὐτοῦ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΘ , τουτέστιν ἡ τοῦ ΑΓ∠ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠Α τουτέστιν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, καὶ τὸ μεταξὺ ἄρα τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆχα πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΖ. οὗτος δὲ ὁ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΖ κύβον.

μείου οὕτως ὥστε διὰ παντὸς φέρεσθαι τὸ ∠ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ μὴ ἐκπίπτειν ἑλκομένης τῆς Γ∠ΕΖ διὰ τοῦ Ε. τοιαύτης δὴ κινήσεως γενομένης ἐφ᾿ ἑκάτερα φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον γράψει γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΛΓΜ, καὶ ἔστιν αὐτῆς τὸ σύμπτωμα τοιοῦτον. ὡς ἂν εὐθεῖα προσπίπτῃ τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμήν, τὴν ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τῆς τε ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς ΛΓΜ γραμμῆς ἴσην εἶναι τῇ Γ∠ εὐθείᾳ· μενούσης γὰρ τῆς ΑΒ καὶ μένοντος τοῦ Ε σημείου, ὅταν γένηται τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η, ἡ Γ∠ εὐθεῖα τῇ ΗΘ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Θ πεσεῖται· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ΗΘ. ὁμοίως καὶ ἐὰν ἑτέρα τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμὴν προσπέσῃ, τὴν ἀποτεμνομένην ὑπὸ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἴσην ποιήσει τῇ Γ∠ ἐπειδὴ τούτῃ ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπτουσαι. καλείσθω δέ, φησιν, ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα κανών, τὸ δὲ σημεῖον πόλος, διάστημα δὲ Γ∠, ἐπειδὴ ταύτῃ ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπτουσαι πρὸς τὴν ΛΓΜ γραμμήν, αὐτὴ δὲ ἡ ΛΓΜ γραμμὴ κοχλοειδὴς πρώτη (ἐπειδὴ καὶ ἡ δευτέρα καὶ ἡ τρίτη καὶ ἡ τετάρτη ἐκτίθεται εἰς ἄλλα θεωρήματα χρησιμεύουσαι).

40 κζ΄. Ὅτι δὲ ὀργανικῶς δύναται γράφεσθαι ἡ γραμμὴ καὶ ἐπ᾿ ἔλαττον ἀεὶ συμπορεύεται τῷ κανόνι, τουτέστιν ὅτι πασῶν τῶν ἀπό τινων σημείων τῆς ΛΓΘ γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν καθέτων μεγίστη ἐστὶν ἡ Γ∠ κάθετος, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς Γ∠ ἀγομένη κάθετος τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν , καὶ ὅτι, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τοῦ κανόνος καὶ τῆς κοχλοειδοῦς ἐάν τις ᾖ εὐθεῖα, ἐκβαλλομένη τμηθήσεται ὑπὸ τῆς κοχλοειδοῦς, αὐτὸς ἀπέδειξεν ὁ Νικομήδης, [*](2. τῆς Γ∠ ΕΖ ΑΒ, coniunx. S 6. τις Sca (quaepiam Co) pro τῆς 8. εἶναι] ποιεῖ Hu τὴν Γ∠ ευθειαν A(BS), corr. man. rec. in S 11. πεσεῖται add. Hu 14 , 15, ἐπειδὴ — προσπίπτουσαι ex proximis inepte huc translata del. Hu 17. οἱ om. AB1S S, add. B2 18. κογχοειδὴς A1, corr. A2, BS 19. ἐκτίθενται Hu 21, ΚΖ A1 in marg. (BS) 22. συμπορεύεσθαι ABS, corr. Hu auctore Co 25. δὲ η εγγειον A, spirit. et acc. add. B, corr. S 27. κοχλοειδοῦς AB2)

41 Διὰ δὴ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν γωνίας δοθείσης ὡς τῆς ὑπὸ ΗΑΒ καὶ σημείου ἐκτὸς αὐτῆς τοῦ Γ διάγειν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ μεταξὺ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ.

Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ ∠Θ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δέ τῷ δοθέντι, τουτέστιν τῇ ∠Θ, κανόνι δὲ τῷ ΑΒ γεγράφθω κοχλοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ Ε∠Η συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προλεχθέν. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ δοθείσῃ.

42 κη΄. Τινὲς δὲ τῆς χρήσεως ἕνεκα παρατιθέντες κανόνα τῷ Γ κινοῦσιν αὐτόν, ἕως ἂν ἐκ τῆς πείρας ἡ μεταξὺ ἀπολαμβανομένη τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς Ε∠Η γραμμῆς ἴση γένηται τῇ δοθείσῃ· τούτου γάρ ὄντος τὸ προκείμενον ἐξ ἀρχῆς δείκνυται λέγω δέ κύβος κύβου διπλάσιος εὑρίσκεται). πρότερον δέ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον λαμβάνονται, ὧν ὁ μὲν Νικομήδης τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο μόνον, ἡμεῖς δέ καὶ τὴν ἀπόδειξιν ἐφηρμόσαμεν τῇ κατασκευῇ τὸν τρόπον τοῦτον.

43 Δεδόσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ ΛΛ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχές εὑρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς ∠ Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ∠Λ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ Α∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ Α∠ ἢ τῇ ΓΖ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς), καἰ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ, καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ.

Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, [*](1 sqq. Δεδόσθωσαν etc. usque ad finem cap. 43 item e Nicomedis libro περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν repetita habet Eutocius in Archimedis de sphaera et cylindro librum II p. 149 ed. Torell. 1. αἱ ΓΛ ΑΛ ABS Eutocius, et sic ubique in hac demonstratione Λ occurrit, ubi rectius Pappus ΙΙΙ cap. 24 ∠ habet, et vice versa ∠ pro Λ 2. κατὰ τὸ συν- εχὲς Β1 Eutoc., τὸ om. AS, expunx. B2 3. συμπεπληρώσθν] hioc us- que simillimus est demonstrationis contextus ei qui apud Pappum supra ΙΙΙ cap. 24 legitur τὸ ΑΒΓΛ Eutoc., τὸ ΑΒΓ∠ ABS 4. τοῖς ∠Ε. A, τοῖς δὲ Β, distinx. S 5. ἐπιζευχθεισαν (sine acc.) A, corr. BS 7. προσβεβλήσθω ABS Eutoc., ἐπεζεύχθω Pappus supra p. 60, 2 8. καὶ (ante γωνίας) add. Eutoc. et Pappus p. 60, 3 9, ἀποδοδθέν- τος AB, distinx. S 11. κοχλοειδοῦς ABS, sed in A prima, ut videtur, manus λ expunxit et γ superscr 15, Επεὶ ΑBS Eutoc., Επεὶ γὰρ Pappus p. 60, 20 16. ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ Pappus p. 60, 21 Eutoc., ἄρα ὑπὸ ΒΓΛ ΑΒS τοῦ ἀπὸ ΓΕ Pappus l. c. Eutoc., τοῦ ΓΕ ΑΒ, τοῦ γ S 18. μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ Pappus p. 60, 23, μετὰ τῶν ἀπὸ ΛΕΖ ΑΒS, μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕ ΕΖ Eutoc.)